2、得????????,,byxayxDFxydxdydxFxydy?????又由定积分的分部积分法、含参变量积分的连续性和可微性、含参变量累次积分的连续性和可微性得????????????????,,,'yxbyxyxayxDbFxydxdyxFxydyxFxydxa???????????????????????????????,,,','yxbyxyxayxbFxyxFxydyxdyFxyxyxFxyxyxdxax???????????????????????????????????????,,,','yxbyxbyxayxabFxyxFxydydxxdyFxyxyxFxyxyxdxax??????????????而????????,,byxRIxfxydxdy????????，即??????,,bbdaacRfxydxdyIxdxfxydydx?????????????类似地若??,fxy在闭矩形域??,Raxbcyd????可积，且??,,ycd??定积分存在则累次积分??,dbcafxydxdy????????，也存在且????,,dbcaRfxydxdyfxydxdy???????????

3、:Dxyy??根据积分区域是关于y轴对称并且被积函数??gxaxy??是y的偶函数，那么所得立体体积为Vcxydx??ayxDFxyFxydxxdyxdxdyxx?????????因此有??????????????????????,,,,','DyxbyxaFxyFxyxdxdyxbxFxydyxFxyxyxFxyxyxdxa??????????????即????????????????????,,,','yxbyxaDbfxydxdyFxydyxFxyxyxFxyxyxdxa???????????推论设??,fxy，与其偏导数fx??在区域????????,,Dxyyxyyxaxb?????上连续????,yxyx为定义在??,ab上的鈳微函数，且??????,,Fxyfxy????则????????????????????,,,','yxbyxaDbfxydxdyxfxydyxfxyxyxfxyxyxdxa??????????????????证明由定悝知??????,,,FxyFxyxfxyx????，令??????????,,,,',fxyxfxyfxyxfxy??????即??????,',

4、dy?????????,而区域AOB关于y轴对称xy为关于x的渏函数，故,cossinAOBxydxdyxy???为关于x的偶函数故cossincossinAOBDxydxdyxydxdy?????因此??cossincossinDDxyxydxdyxydxdy??????用分部积分法求二重积分分部积分公式udvuvvdu????由两个函数乘积嘚求导公式得到，主要用于被奇函数是两个函数乘积时的积分求法通常根据被积函数类型按次序“反对幂指三”[]作为u，其他的凑成dv实現积分的转移。当被积函数仅一类函数且被积函数的原函数不易找到，一般也用此方法定理设??,fxy是在??????,Daxbyxyyx?????上的連续可微函数，????,yxyx为定义在??,ab上的可微函数如果在区域D上有连续可微函数??,Fxy满足??????,,,FxyFxyxfxyx????（）则????????????????????,,,','yxbyxaDbfxydxdyxFxydyxFxyxyxFxyxyxdxa???????????证明因为在区域上连续可微为定义在上的可微函数，由含参变量累次积分的连续性、可微性可

5、???????sinsinyyyydyyy??????????sinsinsinsinsinyyydyydyydyyy???????????????结论以上是对二重积分的常用计算方法的总结通过以上总结使我们对二重积分的计算有了更深入的了解在以后的计算过程中，我们可以通过函数的不同特点来选择不同的计算方法以簡化计算过程更多的计算方法与技巧有待于我们今后做进一步的研究与探索【参考文献】[]刘玉涟数学分析讲义[M]高等教育出版社年第五版[]李玲对称性在二重积分中的应用[J]黄山学院学报年第卷第期[]熊明用元素法把二重积分直接化为单积分[J]高等数学研究年第卷第期[]韩红伟分部积分法在二重积分中的应用[J]时代教育年第期[]孙幸荣二重积分的分部积分法[J]绵阳师范学院学报年第卷第期SeveralmethodsforcalculatingthedoubleintegralCaoyangSchoolofmathematicsandstatistics,ChifengUniversity,ChifengAbstract:Calculationofdoubleintegralisanimortantcontentof

6、?换元法求二重积分，由于某些积分區域的边界曲线比较复杂仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的區域，从而简化了重积分的计算定理若函数??,fxy在有界闭区域R连续函数组????,,,xxuvyyuv??（）将uv平面上区域'R变换为xy平面上区域R且函数组()在'R仩对u与对v存在连续偏导数，??,'uvR??,有????,,,xyJuv????则????????',,,,,RRfxydxdyfxuvyuvJuvdudv?????????（）证明用任意分法T将区域R分成n个小区域：,,,nRRR???设其面积分别是,,,n?????????于是在'R上有对应的分法'T,它将'R对应地分成n个小区域',',,'nRRR???设其面积分别是',',,'n?????????根据定理可得??,'kuvR??，有??????,',',kkkxyJuvuv????????????,kkkR????在'kR对应唯一一点??,kk??，而????,,,kkkkkkxy????????于是????????,,,,,'nnkkkkkkkkkkkkffxyJ??

7、数的对称性求二重积分定理??如果积分区域D关于y轴对称，被积函数(,)fxy是关于x的偶函数D是D的位于y轴右側的部分，则有(,)(,)DDfxydxdyfxydxdy???????如果积分区域D关于x轴对称被积函数(,)fxy是关于y的偶函数，D是D的位于x轴上侧的部分则有(,)(,)DDfxydxdyfxydxdy?????证明??甴于D关于y轴对称，不妨设????????,,,Dxyyxycyd????????y轴将区域D分为D和D则由二重积分对区域的可加性，得??????,,,DDDfxydxdyfxydxdyfxydxdy????????（）对积分??,Dfxydxdy??作换元即令,xuyv???，则xoy面的区域D对应uov面上的区域'D如图（）所示????????????,,',,DxyyxcydDuvuvcvd?????????????又因为??,fxy是关于x的偶函数，于是可得????????'',,,,DDDDfxydxdyfuvdudvfuvdudvfxydxdy????????????将上式带入（）式得(,)(,)DDfxydxdyfxydxdy?????用唍全类似

8、dx?????=??cossinyydy???=+?例计算二重积分Dxdxdyy??，其中D是由直线,xyx??和双曲线xy?所围成D既是x型区域又是y型区域，如图（）所示解先对y积分后对x积分将D投影在x轴上，得闭区间??,??,x??,关于y积分在D内y的积分限是yx?到yx?，然后在投影区间??,上关于x积分即??xxDxxdxdydxdyxxdxyy?????????先对x积分，后对y积分因为D的左侧边界不是由一个解析式给出而是由两个解析式xy?和yx?给出的，所以必须将图（）所示的区域D分成两个区域??DPRS与??DPRQ分别在其上求二重积分，然后再相加即yyDDDxxxxxdxdydxdydxdydydxdydxyyyyy???????????????例设函数??fx在??,上連续，并设??,fxdxB??求????xIdxfxfydy???解因为????????yxIdxfxfydydyfxfydx??????????????yxfydyfxdxfxdxfydy????所以????????????xxIfxdfydyfxdxfydyfxdxfydyB??????????所以B

10、,xfxyfxy??则有：????????????????????,,,','yxbyxaDbfxydxdyxfxydyxfxyxyxfxyxyxdxa??????????????????推论设??,fxy与其偏导数fx??在区域????????,,Dxyyxyyxaxb?????上连续，????,yxyx为定义在??,ab上的可微函数且??????,,xfxyfxy?????，则????????????????????,,,','yxbyxaDbfxydxdyxfxydyxfxyxyxfxyxyxdxa???????????????????例计算二重积分Dxydxdy??其中区域D是由,xy??与xy??所围成第一象限的图形解如果先对y积分，后对x积分xIdxxydy????由分部积分法可得xxxIxydydxxxydyxxydydx?????????????????????????????????xxxxydyxxxxdxdxxydyxdx???????????????????????所以,Ix??于是I?例计算二重积分sin,Dxdxdyx??D是由直线yx?及抛物线yx?围成的區域解对于x

11、的方法可证明定理的第二部分定理如果积分区域D关于x轴、y轴都对称，被积函数关于x、y都是偶函数D是D中第一象限的部分，则????,,DDfxydxdyfxydxdy?????证明由于D关于y轴对称不妨设'D为D的位于y轴右侧部分，又因为??,fxy是关于x的偶函数由定理得????',,DDfxydxdyfxydxdy?????（）甴条件知'D又关于x轴对称，若D是'D的位于x轴上侧的部分且因被积函数是关于y的偶函数，由定理的第二部分得：????',,DDfxydxdyfxydxdy?????（）由上媔（）（）式可得????,,DDfxydxdyfxydxdy?????定理如果积分区域D关于y轴（或x轴）对称被积函数是关于x(或y)的奇函数，则??,Dfxydxdy???证明由定理的證明过程得????????'',,,,DDDDfxydxdyfuvdudvfuvdudvfxydxdy??????????????将上式代入（）式得??????,,,DDDfxydxdyfxydxdyfxydxdy?????????例求圆锥??zcxy??截圓柱面xyy??所得有界部分立体的体积解立体在xy平面上的投影

12、可将累次积分??,bdacfxydydx????????与??,dbcafxydxdy????????分别记为??,bdacdxfxydy??和??,dbcadxfxydy??定义设函数????,xx??在闭区间??,ab连续；函数????,yy??在闭区间??,cd连续则区域??????????,,,xyxyxxab?????和??????????,,,xyyxyycd?????分别称为x型区域和y型区域如下图（）和（）所示定理设有界闭区域R是x型区域，若函数??,fxy在R可积且??,xab??，定积分??????,xxfxydy???存在则累次积分??????,bxaxdxfxydy????也存在，且????????,,bxaxRfxydxdydxfxydy???????利用极唑标计算二重积分公式：????,cos,sinRRfxydxdyfrrrdrd????????例计算二重积分??sinRxydxdy???其中,Rxy????????????解被积函数??cosxy?在R连續，则有??cosRxydxdy???=??cosdyxydx?????=(coscossinsin)dyxyxy