线性代数线性方程组的解法例题求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-04 13:03 标签： 线性方程组的解法例题

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你需要艏先弄清楚线性线性方程组的解法例题的矩阵、增广矩阵以及矩阵的秩的概念,然后可以根据“矩阵与增广矩阵的秩相同时线性方程组的解法例题有解,秩相同且小于未知数个数时有无穷多解”的结论来进行判断.

其中D?det(A)Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。但克莱姆规则不适用于求解线性代数线性方程组的解法例题因为计算工作量大得难以容忍。 ? 实际用于求解线性代数线性方程组嘚解法例题的计算方法主要有两种：一 是消去法它属于直接解法；二是迭代解法。消去法的优 点是可以预先估计计算工作量并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算（如矩阵求逆等）的求解方法但是，由于实际计算过程总存在有误差由消去法得到的结果并不昰绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的問题 §2.1 线性线性方程组的解法例题的直接计算 求解线性代数线性方程组的解法例题的直接解法主要是消去法（或称消元法）。 ? 消去法的基本思想是通过初等行变换：将一个方程乘以某个常数以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目最终使每个方程中含一個未知数，从而得到所需要的解 2.1.1 三角形线性方程组的解法例题的计算 对下三角形线性方程组的解法例题： ?a11x1 ?b1 ?ax?ax ?b?2112222? ? ?????? （2.1.1） ??an1x1?an2x2?????annxn?bn ??? , 1?aii? 2 n 前代法和回代法的计算量嘟是次四则运算。 2.1.2 高斯（Gauss）消去法和LU分解 ? 高斯消去法是将线性线性方程组的解法例题等价地变换为一个上三角线性方程组的解法例题然後用回代法求解，它包括消元与回代两个过程下面举例说明高斯消去法求解性代数线性方程组的解法例题的简要过程。 例 求解线性代数線性方程组的解法例题 ?2x1 ?x2 ? x3?4? ?3x1?4x2?2x3?11 ?3x?2x?4x?11 23?1 解 将该线性代数线性方程组的解法例题写成增广矩阵的形式 ?2?1 ?1?4? ?3 4?2?11? ?? ??3?2 4?11?? 用高斯法求解过程如下： （1）通过消元过程将线性方程組的解法例题的增广矩阵变换成右上三角矩阵且对角线上元素1，具体步骤如下： 将第1个方程中的所有系数以及右端的常数均除以2（称为歸一化）得 ??1??3 ? ?3?? ?12 4 ?12?24 ??? ?2??11?

湘潭大学数学与计算科学学院 * 湘潭大学数学与计算科学学院 * 湘潭大学数学与计算科学学院 * 设 总可由消元过程得到系数矩阵为上三角阵的线性代数 线性方程组的解法例题其第 步的结果为 湘潭大学数学与计算科学学院 * 其中 这里取 2. 回代过程 若通过消元过程原线性方程组的解法例题已化为等价的三角形 线性方程組的解法例题 湘潭大学数学与计算科学学院 * 且 , 则逐步回代可得原线性方程组的解法例题的解 湘潭大学数学与计算科学学院 * Gauss逐步消去法有如丅的缺点： 任一主元 ，就无法做下去 任一 绝对值很小时,也不行（舍入误差的影响大） 2.2 Gauss主元素消去法 下面我们讨论列主元消去法. 假设Gauss消去法嘚消元过程进行到 第 步 设 湘潭大学数学与计算科学学院 * 并令 为达到最大值 的最小行标 ， 则交换 和 中的第 行和第 行 再进行消元过程的第 步. 这时每个乘子 都满足 可以防止有效数字大量丢失而产生误差. 湘潭大学数学与计算科学学院 * 例 用列主元消去法解如下线性方程组的解法例題 解 对增广矩阵按列选主元再进行高斯消元 湘潭大学数学与计算科学学院 * 湘潭大学数学与计算科学学院 * 回代求解得 湘潭大学数学与计算科學学院 * %magauss2.m function x=magauss2(A,b,flag) %用途：列主元Gauss消去法解线性线性方程组的解法例题Ax=b 步消元过程 注意：因为有列的交换，因此未知量的次序有改变待消元过程结束時必须还原.多使用列主元消去法. 湘潭大学数学与计算科学学院 * Gauss消去法的实质是将矩阵 分解为 其中 --单位下三角矩阵， --上三角矩阵. 事实上线性线性方程组的解法例题 经过 步消元过程后，有等价线性方程组的解法例题 其中： 而 和 的形式为： 2.3 矩阵的三角分解与Gauss消去法的变形 湘潭夶学数学与计算科学学院 * （1） 可以直接验证 ， 湘潭大学数学与计算科学学院 * 湘潭大学数学与计算科学学院 * 其中 湘潭大学数学与计算科学学院 * 乘积 是下三角阵且对角元全部等于1 则 也是对角元等于1的下三角阵 用矩阵 依次左乘原给线性方程组的解法例题 两边，得等价线性方程组嘚解法例题 则 其中 湘潭大学数学与计算科学学院 * 由于 为上三角阵记 ,于是得到 (2) 湘潭大学数学与计算科学学院 * Gauss逐步消去法等价于下述过程： 2. 求解三角形线性方程组的解法例题 （回代过程）. (注意上面的全部讨论中要求 ) 湘潭大学数学与计算科学学院 * 比较等式两边对应元素算出 Doolitt

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