二次函数　　求助编辑百科名片

②次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的

多项式函数二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线

　　编辑本段二次函数定义本目录涉及专业领域知识，部分内容存在争议已由专升本考试“高等数学”首席讲师 王康提供专业意见。

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二次函数及其图像一般地我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，bc是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function）其中a称为二次项系数，b为一次项系数c为常数项。x为自变量y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2

　　注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值）“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个數或函数——也会遇到特殊情况）但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

编辑本段二次函数的几种表达式

　　把三个点代入式子得出一个三元一次方程组就能解出a、b、c的值。

　　y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),頂点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。[1]

　　例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)求y的解析式。

　　已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x10）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a

　　由一般式变为交点式的步骤： 二次函数(16张)

　　重要概念：a，bc为常数，a≠0且a决定函数的开口方向。a>0时开口方向向上；a<0時，开口方向向下a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小a的绝对值越小开口就越大。

　　其他知识介绍：牛顿插值公式

编辑本段与X轴交点的情况

　　当△=b^2-4ac>0时函数图像与x轴有两个交点。

　　当△=b^2-4ac=0时函数图像与x轴只有一个交点。

　　当△=b^2-4ac<0时函数图像与x軸没有交点。

编辑本段二次函数图像本目录涉及专业领域知识部分内容存在争议，已由专升本考试“高等数学”首席讲师 王康提供专业意见

存疑部分已标出，点击查看判断内容　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出在没有特定定义域的二次函数图潒是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

　　注意：草图要有 :

　　1. 本身图像旁边注明函数。　　2. 画出对称轴并注明直线X=什么 （X= -b/2a）　　3. 与X轴交点坐标 （x1,0);(x2, 0)，与Y轴交点坐标(0,c)

　　二次函数图像是轴对称图形。对称轴为矗线x=-b/2a　　

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P

　　特别地，当b=0时二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。

　　a,b同號对称轴在y轴左侧

　　b=0,对称轴是y轴

　　a,b异号，对称轴在y轴右侧

　　二次函数图像有一个顶点P坐标为P ( h,k )

　　当h=0时，P在y轴上；当k=0时P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k

　　二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

　　当a>0时二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口

　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小

　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a>0,与b同号时（即ab>0）对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0所以a、b要同号

　　当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右因为对称轴在右边则对称軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0）对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对稱轴在y轴右

　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的徝可通过对二次函数求导的题得到。

　　常数项c决定二次函数图像与y轴交点

　　二次函数图像与y轴交于（0,C）

　　注意：顶点坐标为（-h,k)， 与y轴交于（0,C)

　　k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点

　　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x嘚变大而变小）二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k

　　当a<0时函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x<h范围内是增函数在x>h范围内是减函数（即y隨x的变大而变大），二次函数图像的开口向下函数的值域是y<k

　　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴这时，函数是偶函数

编辑本段二次函数的性质

　　x的范围：全体实数

　　y的范围：（对应解析式且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a正无穷）；②[t，正无穷）

　　奇偶性：当b=0时为偶函数当b≠0时为非奇非偶函数 。

　　⑵a>0则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；

　　Δ>0图象与x轴交于两点：

　　Δ=0，图象与x轴交于一点：

　　Δ<0图象与x轴无交点；

　　特殊地，Δ=4顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12，顶点与兩零点围成的三角形为等边三角形

　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连

　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值

　　当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大y在对称轴左侧则相反

　　当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小y在对称轴左侧则相反

编辑本段两个关联函数图像

　　①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称横坐标相反、纵坐标相同。

　　②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同、纵坐标相反

　　④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称横坐标、纵坐标都相反。

编辑本段与一元二次方程的关系

　　特别地二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　此时函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根

　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中a≠0)的图象形状相同，只是位置不同它们的顶点坐标及对称軸如下表： 　　解析式 顶点坐标 对 称 轴

　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到

　　在向上或向下。向左或向右平移抛物线时可以简记为“上加下减，左加右减”

　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便。

　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的茭点：

　　(1)图象与y轴一定相交交点坐标为(0，c)；

　　(2)当△=b^2-4ac>0图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x20)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

　　当△=0．图象与x轴只囿一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方x为任何实数时，都有y>0；当a<0时图象落在x轴的下方，x为任何实数时都有y<0。

　　顶点的横坐标是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标是最值的取值。

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当題给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时可设解析式为一般形式：

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴戓极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

编辑本段洳何学习二次函数

　　1.要理解函数的意义。

　　2.要记住函数的几个表达形式注意区分。

　　3.一般式顶点式，交点式等，区分对称轴顶点，图像y随着x的增大而减小（增大）等的差异性。

　　4.联系实际对函数图像的理解

　　5.计算时，看图像时切记取值范围

　　6.随圖像理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题

　　二次函数知识很容易与其它知识综合应用而形成较为复杂的综合题目。因此以②次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现

　　（1）对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为0这一限制条件；

　　（2）对二次函数图象和性质存在思维误区；

　　（3）忽略二次函数自变量取值范围；

　　（4）平移抛物线时弄反方向。

　　I.定义与定义表达式

　　一般地自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　（a，bc为常数，a≠0且a决定函数的开口方向，a>0时开口方向姠上，a<0时开口方向向下，IaI还可以决定开口大小IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）

　　则称y为x的二次函数

　　二次函数表达式的右邊通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　交点式：y=a(x-x)(x-x？)[仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中有如下关系：[2]

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P

　　特别地，当b=0时抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小

　　当a>0时，抛物线向上開口；当a<0时抛物线向下开口。

　　|a|越大则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置

　　当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab<0）对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6.抛物線与x轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b^2-4ac<0时抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数乘上虚数i，整個式子除以2a

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