椭圆旋转曲面的面积表面积数学二考嘛

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-14 11:58 标签： 椭圆旋转曲面的面积

先画一条直线在同一平面上画┅条曲线，点曲面工具中的旋转曲面看下的命令做，三四步就做好了

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这种问题，只能用旋转做注意草绘的时候旋转轴只能一次画好

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可以转换的！必须做一个参照通过三维命令准换！

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将XOZ坐标面上的抛物线Z（平方）=5X,y=0,绕X軸旋转一周,求所生成的椭圆旋转曲面的面积方程. --旋转时,由于x坐标没变,故仍为x,而原曲线上某一点饶x轴

利用曲线积分计算旋转曲面面积嘚公式及几种证法

（内蒙古科技大学数理与生物工程学院包头０１４０１０）

摘要：介绍了利用由线积分计算旋转曲面面积的公式及其几種证法

关键词：曲线积分曲面积分旋转曲面曲面面积

中图分类号：０１５１文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—０９８Ｘ（２００９）１２（ｂ）一０２４９一０１

１平面曲线绕坐标轴旋转一周所得旋转曲面面积的计算公式

定理：设ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（口ｓｘ≤ｂ）是岼面上一

条光滑的曲线，绕ｘ周旋转一周得一旋转曲面则此旋转曲面面积Ａ＝２ｎＩｆ（ｘ）ｄｓ其中

１．１用曲线积分证明计算旋转曲面面积公式

证：任意插入分点ａ＝Ｘｏ＜Ｘｌ＜…＜Ｊ。＝ｂ

分【ａ，ｂ】为ｎ个小区间Ａ置＝ｘｔ一工“（ｉ＝１２…，ｎ）及ｎ个小窄旋转曲面

△Ａｉ＊丽，（‘）＋厂（而－１）】、／（缸；）２＋（缈）２

＝研，（‘）＋（¨听而△Ｘｉ，

Ｖ磊∈Ｉｘｐｌ，工ｆ】（ｉ＝ｌ，２…ｎ）。

＝ｌ…ｉｍＳ．ａ＇［ｆ（ｘ）＋／（茗一）】√１＋，”（夤）△ｔ

＝翱ｚ∑Ⅱ厂（毒）＋（磊）“ｌ＋，“（毒）△ｔ＋

∑ｑ缸心Ｅ［Ｘｔ＿。五】

４ｊ＝｛【．，ｂ）一以磊）】＋ＬＩ确）一八盏）】｝、／１＋／“（磊）

：’，（工）在【ａｂｌ－－ｆ，．燧续ｖ占＞０，弓Ｊ＞０

对№’，工∈【口，６】ｂ’－ｘｌ＜Ｊ，ＩＳ（ｘ’）一ｆ（ｘ’Ｘ＜Ｅ

慷一而Ｉ＜而一毛。＝△畸≤五≤Ｊｌ，“）一／皤Ｉ＜占

Ｉ，（葺一）一，（毒）Ｉ＜占

ｌ∑ｑＡｘ，卜∑ｈｋ＜２Ｍ（ｂ－ａ）ｓ

． ．烛∑ａｔ４ｋｌｃｉ＿．－＾＿’Ｏ一

Ａ＝ｌ…ｉｒａ百了－＂ＡＡｉ

＝慨∑砸，∽）＋（¨】√ｌ＋，“（磊）△墨

＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［（参）＋，（最）】√ｌ＋”（参）△ｘｉ＋

ｅ，（ｘ）√ｌ＋“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．

Ｖ毒∈［ｘｉ－１，一】（ｉ＝１，２．．．，ｎ）

１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式

证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘｘ＋ｄｘ］的小截锥面积近似于小椭圆旋转曲面的面积面积．

＝烛∑硝ｄ（工。）＋ｄ（ｘ）】√ｌ＋，“（磊）△ｔ

從而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋

转曲面的面积Ａ＝ｆｄＡ＝２ｘ；ｆ（ｘ）ｄｓ

＝ｌｉ。ｍ玎∑｛【ｄ（皇）＋ｄ（夤州ｌ＋”（最）△而＋

１．３用曲面积分求面积的方法证明计算旋∑ｑ△而｝

证：设曲线Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）绕ｘ周旋ａｉ＝｛【ｄ（而）一ｄ（｛，）】＋【ｄ（而一）一ｄ（毛）】｝√ｆ弓孑ｉ趸了，

转一周得旋转曲面方程为

ｚ＝懋｛缸ｊ｝陲ｑ缸ｆｆ≤喜ｋｋ＜ｚⅣ（ａ一４弦

令∑：ｚ＝护丽了，工＞０Ｙ＞０

＝４∽√巧丽ｘｒ丽ｄＹ

＝姆∑冗【ｄ（‘）＋ｄ（ｘＩ＿－）“ｌ＋廠“氆，）△‘＝ｌｉ。ｍ７【∑Ⅱｄ心，）＋ｄ心）】、／ｌ＋，”（；）△＿＋

＝２兀ｆｆ（ｘ）４１＋厂’２＠）ｄｘ＝２兀ｆｆ（ｘ）ｄｓ

２平面曲线绕平面上任一直线旋转一周所：２兀ｆＩ！三兰；占

得旋转曲面面积的计算公式

定理设Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）是平面上一

２．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式

条光滑的曲线．绕直线三：Ａｘ＋研＋Ｃ＝Ｏ。在【ａ＇ｂ】上的任意小区间【ｘｘ＋ｄｘ］的小（Ａ，Ｂｃ常数）旋转一周得一旋转曲面，则此截锥面积近似于此小椭圆旋转曲面的面积面积．

设坂笁）：—ｌａｘｌ＋—ａｆ—（ｘ一）＋ｃ１得面积元素

Ａ＝２兀￡了ｌａｘ＋露缈Ｆ＋ｃｌ

ｌＡ√＝４＋：Ｓ＋Ｙ口＋：Ｃ１．…，ｄ工

２．１用曲线积分证明计算旋转曲面面积公式

证：任意插入分点ａ＝‰＜‘＜…＜Ｘｎ＝ｂ

上√爿２＋Ｂ２’。…“

分［ａ＇ｂ】為ｎ个小区间Ａｆ＝工一‘一１（＝１，２…ｎ），设ｄ（工）为Ｃ：）＝ｆ（ｘ）上点（工，（工））到直

线￡的距离，ｄ（笁）＝盥等

【ｌ】同济大学应用数学系．高等数学【Ｍ】．北

京：高等教育出版社，２００２（５）．

鲋；ｚ尢【ｄ（工Ｈ）＋毗）厄萌而

【２】张春跃．利用球面坐标及柱面坐标计算

曲面面积［Ｊ】．大学数学１６７２～１４５４

（２００３）０４～００９８～０３．

：ｎ［ｄ（ｘ．，）＋ｄ（ｘ）】、压ｊｉｉ五。ｉｉ了▲ｑ

科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ

ａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ２４９

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