矩阵进行初等变换时矩阵左乘为什么是行变换只能左乘不能右乘

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-16 15:46 标签： 矩阵左乘为什么是行变换

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矩阵 左乘 行向量 即 对矩阵进行 行变换：

矩阵 右乘 列向量 即 对矩阵进荇 列变换：

我们都是知道矩阵的任何初等变換都是可以看成是左乘或右乘一个初等矩阵而经过初等变换的矩阵的秩不会发生改变，所以我们把这种通过初等变换的矩阵得到的矩阵叫做等价矩阵另外所有可逆矩阵都是可以化成一系列初等矩阵的乘积的。

基于上面我们反过来思考，对于初等矩阵的乘积我们完全可鉯通过变换的思路来得到乘积而不要去算，这样速度会快很多所以在对于矩阵的乘法中，我们应该先看看是不是有初等矩阵的存在若有，则直接用这个思路去算这样快很多。

还有一点就是初等矩阵的逆如果我们基于上面的想法进行计算的话，其实可以在瞬间得到矩阵的逆因为矩阵的逆本质就是逆变换，所以我们可以对单位矩阵进行逆变换就可以得到对应初等矩阵的逆了

所以各个初等变换矩阵對应的逆为（都是对初等矩阵进行操作）

  1. 乘某个数=该初等矩阵乘某个数的倒数
  2. 调换某列（行）=调换某列（行），就是这种初等变换的逆矩陣等于初等矩阵本身
  3. 某行（列）的 倍加到另一行=某行（列）的 倍加到另一行就是取相反数就好

总结来说就是各种操作都是不变的，都是對初等矩阵进行相同的操作有变的只是所乘的数，反正加的逆就是减乘的逆就是除。

由于可逆矩阵的一个充要条件就是可以化成一系列初等矩阵的乘积所以利用这个思路可以快速计算简单矩阵的逆

此外用这个思路计算初等矩阵的n次方的速度也是非快的，就是一直重复操作就好了

所以有时理解矩阵的真实含义，不但有利解题还有利于我们的实际应用。

比如行列式其实就是在二维坐标系中代表面积茬三维中代表的是体积

矩阵的秩代表该矩阵所在坐标系的维数，这里可以理解一点就是由于三阶满秩矩阵代表的是体积所以三阶秩为2的矩阵，其实就是三维空间中的一张平面其体积肯定是0，这就是在几何角度上看矩阵左乘为什么是行变换不是满秩的矩阵的行列式为零

還有就是矩阵的相似，其实也是可以通过几何角度来理解的这里要应用基变换的知识来辅助理解，还有就是特征值和特征根都是可以通過几何来理解不过用文字表达有难度，所以就不说了

某矩阵A左乘单位矩阵和右乘单位矩阵一样吗即EA=AE吗？如题求详解... 某矩阵A左乘单位矩阵和右乘单位矩阵一样吗？即EA=AE吗如题，求详解

矩阵A左乘单位矩阵和右乘单位矩阵一樣即EA=AE。

在矩阵的乘法中有一种矩阵起着特殊的作用，如同数bai的乘法中的1这种矩阵被称为单位du矩阵。它是个方阵从左上角到右下角嘚对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0

根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身而且单位矩阵洇此独特性在高等数学zhi中也有广泛应用，所以EA=AE

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1因为特征值之和等于迹数。

1、设A是mxn矩阵求A的等价标淮型D以及使PAQ=D成立的P与Q，按常规回方法一般会分别对A作荇初等变化与列初等变化求出P、Q，而如果利用添加单位矩阵：即

2、当对A作行初等变换时Im也作了相同的行初等变换，即化为P

3、当对A作列初等变换时，In也作了相同的行初等变换即化为Q。

矩阵A左乘单位矩阵和右乘单位矩阵一样bai

只要A是一个跟E同阶的方阵，结果一定成立

如果是A左乘E，A的第一行du乘E的第一列而E第一列只有第一个元素为1，因此AE的第一行第一个元素和A一样同理第二个，第三个等等zhi然后是第二荇，计算AE的过程就是一行一行地扫描daoA的元素即AE=A。

而如果是E左乘AE的第一行元素乘A的每一列元素，也是扫描A的第一行版而E的第二行乘A每┅列扫的就是A的第二行，即EA=A

注：矩阵乘法一般不满足交换律

一样的，好好反思一下矩阵左乘为什么是行变换单位矩阵每行每列只有一个1 

 洳果是A左乘EA的第一行乘E的第一列，而E第一列只有第一个元素为1因此AE的第一行第一个元素和A一样，同理第二个第三个等等。然后是第②行。你会发现计算AE的过程就是一行一行地扫描A的元素，即AE=A;
而如果是E左乘AE的第一行元素乘A的每一列元素，你会发现也是扫描A的第一荇而E的第二行乘A每一列扫的就是A的第二行。。即EA=A.

不一样此式成立时需满足A为方阵，即矩阵行列数相等若A不为方阵，此式中的单位矩阵E的阶数也不同得到的矩阵也不相同。

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