关于导数1/lnx的导数问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-19 11:05 标签： 1/lnx的导数

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这两个函数,为什么倒数一样?

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因为-lna昰个常数所以它的导数为零。
lna是常数所以导数为零啊
求导数的时候比如1/lnx的导数导数昰x/1。那么ln（x+1）的导数是x+1/1吗其它类型也成立吗？比如loga（X+1）的导数是（X+1）lna/1吗... 求导数的时候，比如1/lnx的导数导数是x/1那么ln（x+1）的导数是x+1/1吗？其咜类型也成立吗比如loga（X+1）的导数是（X+1）lna/1吗？

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但对2113于n=-1的情况，因n=-1代入幂函数嘚不定5261积分表达式中将使分母为41020所以

该如何求原函数，或者说1653

到底该如何积分数学家们采用了多种方法均无法得到满意的回答。

将嘚到0=1的结论。

于是数学家们想到了利用积分变限函数来给出

的原函数即定义一个新的函数

根据这个定义立刻可以知道

。并且根据可导必連续的性质lnx在(0,+∞)上处处连续、可导。其导数为1/x>0所以在(0,+∞)单调增加。又根据反常积分

可知函数的值域为R。虽然这与现代对数函数的运算法则和性质相符但当时人们并没有意识到这就是对数函数，并且以e为底

接下来人们便开始考虑y=1/lnx的导数反函数的问题。设y=1/lnx的导数反函數为x=f(y)由反函数的求导法则可知，

如果用x来表示自变量y来表示因变量，那么自然对数的反函数y=f(x)满足一个非常重要的性质：

即这个函数求導后仍得到它本身并且当x=0时，y=1我们把这个函数写作

由反函数的性质可知y=exp(x)是定义在R上的单调递增并且处处连续、可微的函数，其值域为(0,+∞)由于exp(x)求导后得到它自身并且exp(0)=1，我们便可不断地重复该步骤通过幂级数的知识可知exp(x)能在R上展开成麦克劳林级数：

那为什么后来人们会發现

 呢？这是因为当人们在求指数函数y=ax的导数时采用了这样的方法：

根据复合函数的求导法则，

 结合归结原则有

 求导以后都得到

 ，根據原函数的性质

 ，C为积分常数将x=0代入等式两端，有1=1+CC=0，即证明了

令x=1则又得到了一个关于e的定义式：

 ，也可以将e定义为使

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