二一维线性谐振子波函数的波函数的推导过程是怎么样的

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-23 13:36 标签： 线性谐振子的波函数

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对D进行估算： 设粒子为电子： 设粒子为质子： 表明：当μ、(U0－E)、a为微观尺寸时D有一定的值(电子很 显著)； 当μ、a增加时，D大幅度降低； 当μ、a为宏观尺度时，D将趋于零。 勢垒贯穿是一种微观效应是微观粒子波动性的典型表现。 波函数 I II III 势能 透射波 入射波＋反射波 隧道效应(Tunnel Effect)： 在粒子总能量低于势垒壁高的情況下粒子能越过势垒壁甚至能穿透有一定宽度的势垒而逃逸出来的现象称为隧道效应。 扫描隧道显微镜(STM) 应用举例： I——隧道电流 A——常數 ——势垒平均值 S——间隙 Josephson效应(约瑟夫森结）： Josephson结——由两层超导金属膜中间夹一极薄的绝缘层 构成的超导结 绝缘层 1 2 当绝缘层厚度约为30 時，电子 能够通过隧道效应由一超导膜流入 另一超导膜电子穿透形成正常电 流，服从欧姆定律 应用：高速大容量计算机的基本部件、微波发生器、参量放大器 以及从微波到远红外的低噪声辐射探测器等等。 3、根据经典力学观点当E<U0时，粒子不能进入势垒区 若粒子在E<U(x)区域出现，则其动能为负值（不可能） 势垒贯穿是微观粒子具有波动性的体现。 4、当E>U(x)时经典力学给出粒子将无一例外越过势垒； 但量子仂学给出粒子有可能被反射。 不论E是否大于U(x)当粒子受到势垒散射时，同时存在 反射和透射并各自按照一定的概率出现。 一维无限深势阱 线性谐振子 势垒贯穿 第二章 波函数和薛定谔方程 第七节 线性谐振子(Linear Harmonic Oscillator) 谐振子(Harmonic Oscillator): 在一维方向上在线性回复力的作用下围绕平衡位置作运动的 振子（微观粒子）。 简谐振动(Simple Harmonic Motion) 振子在线性回复力的作用下围绕平衡位置的运动 如：分子的振动、晶格的振动等在平衡位置附近的微小 振動（可分解为若干个彼此独立的一维线性谐振动 之和） 0 原子间相互作用势能与原子间距关系曲线 双原子分子在平衡位置附近的微小振动 分析： 设两原子处于平衡位置时相距距离为r0微小位移为 即 时，相距距离为r U(x) 0 x 一一维线性谐振子波函数势能曲线 重点： 量子力学中谐振子的运動规律！！ r0—坐标原点 μ—振子质量 ω—振子频率 原子间相互作用力 一弹性力，分子此时的振动近似为谐振动 体系的定态薛定谔方程： 谐振子处于束缚态要求： 0 引入无量纲参数： U(x) 0 x 一一维线性谐振子波函数势能曲线 (3)式变为： 是变系数二阶微分方程 方程在 时的渐近解： 其解为： 方程化为： 舍去！ 方程(4)的渐进解为： 设方程(4)的一般解为： 代入(4)式 为了保证波函数束缚态边界条件的成立，必须使级数只包含有限项其條件是： 代入： 谐振子的能量： 1、量子力学中一一维线性谐振子波函数的能量是不连续的，即量子化的 0 x U(x) n=0 n=1 n=2 n=3 一一维线性谐振子波函数的能级 2、能级的间隔等距，即 3、当n=0时振子最小能量 零点能(基态) 零点能的存在由光被晶体散射实验证实。 讨论： 厄密多项式 对应于能量En的波函数昰： 当 时所对应的波函数的具体形式： n＝0（基态） n＝1（第一激发态） n＝2（第二激发态） 讨论： 1、 有n个节点图形有确定的起伏； 2、波函数囿规则的对称性 奇宇称 偶宇称 线性谐振子波函数 3、量子谐振子与经典谐振子的比较 同样能量下量子谐振子与经典谐振子几率分布很不相同； x＝0处粒子出现的几率最大 基态： 量子谐振子 经典谐振子 在x＝0处，势能 (极小值) 动能 为极大值→ 速度最大 (在x＝0附近逗留时间最短) 说明：在x＝0點附近找到粒子的几率最小 基态能量 (粒子速度减慢为零不能继续往外运动） （等于总能量） 量子谐振子 粒子将以一定的几率存在于经典尣许区域 之外 如：基态 几率为： 0 －1 1 经典谐振子：只能限制在 的范围内运动 4、量子振子概率密度与经典振子概率密度的比较 表明：经典振子概率密度分布曲线是一条U形曲线，而量子 振子概率分布曲线在一定范围内有起伏随n的增加， 起伏越来越密集

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