设光滑闭曲面曲面的正侧为外侧那么所围城立体的体积是

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-31 13:19 标签： 光滑闭曲面

* 运行时, 点击按钮“相片”, 或按钮“高斯”, 可显示高斯简介,并自动返回. * * 运行时, 点击按钮“P16” ,可显示三度的含义. * 例16 ( L.P339例4 ) * 运行时, 点击“(斯托克斯公式)”, 或按钮“介绍”, 将显示斯托克斯生平简介, 并自动返回. * 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. * 运行时, 点击按钮“公式”, 英国数学物理学家他是19世纪英国数学物理学派嘚重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念。他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式他一生的工作先后分 五卷出版。 习题課 一、曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 线面积分的计算 一、曲线积分的计算法 1.基本方法 曲线积分 第一类(对弧长) 第二类(对坐标) (1)统一積分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2)确定积分上下限 第一类：下小上大 第二类：下始上终 解答提示: 计算 其中L为圆周x2+y2=ax 提示: 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算, 则 P184 3 (1) P184 3(3). 计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧。 提示: P184 3(6). 计算 其中?由平面 y = z截球面 提示: 因在 ?上有x2+2y2=1 故 原式 = x2+y2+z2=1所得，从 z 轴正向看沿逆时针方向 (1)利用对称性及重心公式简化计算； (2)利用积分与路径无关的等价条件； (3)利用格林公式 (注意加辅助线的技巧)； (4)利用斯托克斯公式； (5)利用两类曲线积分的联系公式。 2.基本技巧 例1 计算 其中?为曲线 解：利用轮换对称性有 利用重心公式知 (?的重心在原點) 例2. 计算 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, 解法1 令 则 这说明积分与路径无关, 故 a 为半径的上半圆周. 解法2 它与L所围区域为D, (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 哃例2 , 如何计算下述积分: (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分: 则 添加辅助线段 思考题解答: (1) (2) 计算 其中L为上半圆周 提示: 沿逆时针方向. 练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). P185 6. 設在右半平面 x> 0 内, 力 构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关. 提示: 令 易证 F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为 P185 10. 求力 沿有向闭曲线 ? 所作的 功, 其中 ? 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 提示: 方法1 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 利用对称性 角形的整个边界, 设三角形区域为?，方向向上 则 方法2 利用斯托克斯公式 二、曲面积分的计算法 1.基本方法 曲面积分 第一类(对面积) 第二类(对坐标) 转化 二重积分 (1)统一积分变量 — 代入曲面方程 (2)积分元素投影 第一类：始终非负 第二类：有向投影 (3)确定二重积分域 —把曲面积分域投影到相关坐标面 思考题 1) 二重积分是哪一类积分? 答：第一类曲面积分的特例. 2)设曲面 问下列等式是否成立? 不对!对坐标的积分与?的侧有关。 2. 基本技巧 (1)利用对称性及重心公式简化计算 (2)利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3)两类曲面积分的转化 思考与练习 其中?为半球面 的上侧 提示:以半球底面∑0为辅助面,且取下侧, 原式= 记半球域为?, 计算 利用高斯公式有 例3. 证明: 设 (常向量) 则 单位外法向向量, 试证 设?为简单闭曲面，a为任意固定向量, n 为?的 例4. 计算曲面积分 其中, 解: 思考: 本题 ? 改为椭球面 时, 应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 内侧, 然后用高斯公式 . 例5. 设 ? 是曲面 解: 取足够小的正数?, 作曲面 取下侧 使其包在 ? 内, 为

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立体体积可用三重积分表示V=∫∫∫dxdydz，积分区域为z=6-x^2-y^2及z=√x^2+y^2所围成的立体联立两曲面方程，解得z=2即两曲面的交接面用截面法计算此三重积分，V=∫（0到2）dz∫∫dxdy+∫（2到6）dz∫∫dxdy=π∫（0到2）z^2dz+π∫（2到6）(6-z)dz=32π/3

是半径平方为2的球体积v=32/3派

x^2+y^2=z过球心且平行于xoy面的圆面积。

这题其实不用算的因为Ω关於x轴和y轴都对称，而xy是奇函数所以结果为0

但是一般计算过程如下：

(二重积分)求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6_2X2-Y2所围成的立体的体积._ …… 图形是一个开口向上的抛物面和一个开口向下的拋物面围成的立体,不用考虑图形具体的样子 首先求立体在xy坐标面上的投影区域,把两个曲面的交线投影到xy面上去,就是两个方程联立,消去z,得x^2+y^2=2,所鉯立体在xy坐标面上的投影区域是D:x^2+y^2≤2

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