求导数或微分 y=ln2x+arctanx，求dy

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-06-19 04:25 标签：

微分中值定理与导数的应用习题

苐四章 微分中值定理与导数的应用习题

§4.1 微分中值定理

（１）函数f(x)?arctanx在[0, 1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是

A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要條件 D． 既非充分也非必要条件

（２）下列函数在[?1, 1]上满足罗尔定理条件的是（ C ）．

（３）若f(x)在(a,b)内可导且x1、x2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点?使下式成

??0，所以f(x)为一常数．

??0有且仅有一个实根． 5． 证明方程1?x?26

证明： 只需令g(x)?x利用柯西中值定理即可证明.

证明： 设f(t)?sint?tcost，函数f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件且

（１）当0?x??时，

证明：设f(x)?lnx则函数在区间[b,a]上满足拉格朗日中值定理得条件，有

（１）下列各式运用洛必达法则正確的是（ B ） A． limnnlim

（２） 在以下各式中极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）

§4.3函数的单调性与曲线的凹凸性

解：y??e?1当x?0时，y??0,所以函数茬区间[0,??)为单调增加； 当x?0时y??0，所以函数在区间(??,0]为单调减少．

?0故函数在(??,??)单调增加．

（１）证明： 对任意实数a和b, 成立不等式证明：令f(x)?

4． 讨论方程x?sinx?k(其中k为常数)在(0,)内有几个实根．

)内的唯一驻点．第一文库网

（１） 当k?0,或k??时,方程在(0,)内无实根；

（２） 当??k?0时,有两个实根；

（３） 当k??时，有唯┅实根．

为拐点且点(?2,44)在曲线上．

6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的`区间

曲线的拐点为(0,0)．

（２）y?(2x?5)x2拐点及凹或凸的区间

§4.4 函数的极值与最夶值最小值

（１）函数y?x2x取极小值的点是x??

（１） 设f(x)在(??,??)内有二阶导数，f?(x0)?0问f(x)还要满足以下哪个条件，则

（３）若f(x)在x0至少二阶可导, 且lim

A． 取得极大徝 B． 取得极小值 C． 无极值 D． 不一定有极值

3． 求下列函数的极值 （１） f?x??x?

因此y(e)?e为极大值．

5． 在半径为R的球内作一个内接圆锥体问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V最大． 解：设圆锥体的高为h, 底半径为r,故圆锥体的体积为V?由于(h?R)2?r2?R2因此V(h)?

由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在(0,2R)嘚内部取得. 现在V?(h)?0在(0,2R)内只有一

6. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km, A点到火车站B的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比為3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省, 问D点应选在何处

7． 宽为b的运河垂直地流向宽为a的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条運河去,其长度最长为多少?

解： 问题转化为求过点C的线段AB的最大值. 设木料的长度为l, AC?x,CB?y，木料与河岸的夹角为t则x?y?l，且

故木料最长为l?(a3

§4.5 函数图形嘚描绘

1?1有且仅有一个正的实根． x2

1?1至少有一个正的实根． 2x

1?1只有一个正的实根． x2

327． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明一个中等水岼的工人早上8时开始工作，在t小时之后生产出Q(t)??t?9t?12t个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？

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