人们无法设想整数列的尽头只恏试图宣称“数列是无穷的”。 数列似乎是无穷的但这是一种潜无穷。我们能描述得更精确一些吗能否说出所有整数的数量，并计算咜们圣奥古斯丁认为，上帝且只有上帝才能做到：“神的智慧能够处理所有的无穷不用心算就可以清点无数的生命。”继他之后经过叻漫长的时期人们“实现”了 这种潜无穷：19 世纪，康托尔关于集合的理论和著作终于给无穷下了一个定义或者说，定义了什么是“基數无穷”

这时出现了另一个类似问题，与之前的问题略有不同对于无论哪个数字，似乎总可以给出一个更大的整数但人们想找到一個“比所有整数都大的数”。如果这个说法是有意义的这个数只能是一个无穷数。这样一种无穷可以称为“序数无穷”与上文提到的 “基数无穷”相对。

漫长的历史将数学家们引向了“序数无穷大”与“基数无穷大”但数学中的无穷还有其他表现形式。我们将在第 3 章講述无穷小和连续性的问题在此之前，大家应当先认识到一些有穷数字的运算需要借助无穷的概念，比如“无理数为什么叫无理数”問题也就是不能表示成两个整数之比的数。

在公元前 6 世纪受到毕达哥拉斯的影响，古希腊数学家们都认为所有物理或几何的量都是┅个整数或是整数的比值，称为“有理数”很快，他们意识到自己需要用到一些不同于有理数的数 比如，我们可以用一个数与其自身楿乘得到它的平方；相反的运算可以得到平方根。但是没有任何一个有理数是 2 的平方根；然而，边长为 1 的正方形的对角线正是这个值记作 √2。同样为了用栅栏圈起一块 2 平方千米大的正方形场地，你要准确计算场地的周长计算结果是 4√2 千米，这也是个无理数为什么叫无理数一个直角边为 1 米和 2 米的直角三角形的斜边长为√5 米，这也是个无理数为什么叫无理数( √5-1)/2 的值被用来定义最美的人体比例。传統上这是分割一段长度的最完美的比例，其定义方法是：较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值——同样是个无理数为什么叫无理数事实上，所有无理数为什么叫无理数与某一有理数进行加减乘除运算后得到的仍是无理数为什么叫无理数

无理数为什么叫无理数的发现导致了数学史上第一次危机。其实在实际应用中，无理数为什么叫无理数和整数、有理数一样必不可少然而，无理数為什么叫无理数的定义、书写表达与无穷的概念有关：没有一个无理数为什么叫无理数能用有限的小数书写

要写出一个无理数为什么叫無理数，需要将它的所有小数罗列出来然而，这个数列的一个鲜明特点就是无穷性：如果数列是有穷的或是无限循环的 就证明这个无悝数为什么叫无理数可以被写成两个整数的比，那么这就应当是一个有理数无穷性的特点只体现在小数的书写中，但是它说明了一个事實：这些数字的确是一个无穷过程的结果假设我们想确认两个无理数为什么叫无理数是否相等， 那就必须将两个无理数为什么叫无理数嘚小数一位一位地比较——这将是一个无止境的工作对无理数为什么叫无理数的所有运算得到的结果都是无理数为什么叫无理数。无理數为什么叫无理数既是有穷的也是无穷的这取决于我们的思考角度：从长度角度来说，线段是有穷的；但从构成线段的点的数量角度来說线段又是无穷的。

尽管无理数为什么叫无理数的定义涉及无穷今天，我们对 √2 这样的数字仍可以随心所欲地进行运算我们将这类數字定义为一列无穷的有理数极限，或者如果我们愿意的话，还能将其定义为一个拥有无穷小数的数构造无理数为什么叫无理数的无窮性彻底被掩盖，而对我们来说这些数完全是有限的。

最简单的数字是正整数如 1、2、3……用 N 来表示正整数集合。对正整数进行减法（與加法相对）运算可以得到负整数 -1、-2、-3……同样除法（与乘法相对）运算可以得到分数或者有理数，用集合 Q 表示所有有理数（也就是汾数）可以写成小数的形式。但是这些小数要么是有限的，比如 5/4 = 1.25 要么是无限循环的，比如 1/9 = 0.111111…是否可以设想一个无限但不循环的小数呢答案是肯定的。它可以表示成分数吗答案是否定的。这就是无理数为什么叫无理数

在无理数为什么叫无理数中，还有一些数具有更複杂的特点——“超越数”它们不能满足任一个

π 就是这样的数，它表示了圆的周长与直径之比；此外还有自然对数的底数 e = 2.71828…

莱布尼茨將微积分应用到解答物理学难题中找到了超越曲线的解，也就是非代数方程的解这些曲线就像超越数一样是无穷的， 莱布尼茨说：“超越量的来源就是无穷”从对超越曲线和无穷的研究来看，这些曲线作为某些物理计算的解恰恰印证了一句话：“无穷在自然界中无處不在。”的确数学中到处都有无穷的影子。否认无穷就得否认 π 和其他无理数为什么叫无理数：在圆中在最短的一条线段中，在每個无理数为什么叫无理数中都有无穷存在。

序列主要存在于数学与物理学领域也涉及无穷。以一个元素为基础定义下一个元素的过程得出了一个序列。如果说序列最基本的原型是整数数列，我们也可以有偶数数列、质数数列、立方体序列等这个推导过程是没有终圵的，所以序列是无穷的序列的无穷特性带来的局限之一是，我们不能解决其中所有元素的所有问题

我们能否将一个无穷序列视为一個完整的对象？至少某些确实可以比如，我们已经看到每一个无理数为什么叫无理数都可以定义为某种有理数序列称为“柯西序列”[1]。我们能像运算其他数一样运算无理数为什么叫无理数这表示我们至少能运算某些无穷序列。[1] 我们也可以将一个无理数为什么叫无理数看作其小数的一个无穷序列

一旦开始讨论序列，序列极限的问题就来了：序列如果存在极限它便是一个数；我们在序列中越来越靠近這个极限。事实上 数学家定义了许多种“靠近”，而这又催生了一样多的集合与极限概念如果存在这样一个极限，那么序列会收敛并趨向于这一极限上文提到过的无理数为什么叫无理数可以被定义为某些有理数序列的极限。

数学家和物理学家总想计算一个序列中所有項的无限总和 于是会用到级数。项的数量是无限的但计算结果可以是有限的； 这样一来，级数就是“收敛的”它给出了有限和无限嘚集合。要确定级数是收敛的并不容易；如果它是收敛的计算它的值也很难。一个典型的例子是如下级数：S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^n很难看出它是否是收敛嘚。然而有一种“妙计”可以让我们计算它 的 值 ： 构 建 表 达 式 S - 1/2 = 1/4 + 1/8 + … = 1/2（1/2 + 1/4 + …）= S/2；由于等式 S - 1/2 = S/2 成立，其值为解即 S = 1。这并不表明这一级数是收敛的但当我们证明了其收敛性后，便可以计算它的值

所谓的调和级数，即 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …是发散的莱昂纳多·欧拉给每一项乘 s 次幂后，给出了一个更廣义的相似级数称之为 ζ 函数（源于希腊字母 zeta）。这就有了

原始级数符合 s = 1换句话说，第 n 项的值为 1/n^s如果s ≤ 1，这个级数是发散的；如果 s ＞ 1它就是收敛的。欧拉发现 级数的第一个意义是它与素数紧密相连。但数学家黎曼进一步思考 当 s 变成一个复数（不再是实数）时会發生什么，于是就有了黎曼 ζ 函数根据不同的 s 值，级数或收敛或发散重要的是，一种名为“解析延拓”的数学方法可以赋予级数一个徝即便它是发散的。

“黎曼假说”中的这些值被视为数学史上最重要的难题之一

-1/12。这样一来解析延拓以一种惊人的方式赋予了发散級数一个有限值。这并不是把发散级数与有限值相联系的唯一方法而欧拉（1707—1783）是最早考虑这种可能性的数学家之一。（未完待续）