求这道数学物理方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-07-02 05:52 标签：

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第七章 一维波动方程的傅氏解 今囿一弦其两端被钉子钉紧，作自由它的初位移为： ，初速度为0试求其付氏解，其中h为已知常数 解：所求问题是一维波动方程的混匼问题：，根据前面分离变量解法得其傅氏解为： 其中， ， 于是所求傅氏解为： 2.将前题之初始条件改为：试求其傅氏解。 解：所求問题为一维波动方程的混合问题： 3今有一弦，其两端和为钉所固定作自由摇动，它的初位移为0初速度为 ，其中为常数试求其傅氏解。 解：所求问题为一维波动方程的混合问题： ４．今有一弦其两端固定在和两处，在开始一瞬间它的形状是一条以过 点的铅垂线为對称抛物线，其顶点的纵坐标为h,假定没有初速度试用付氏方法求弦的振动情况： 解：设其抛物线方程为，将点代入得： 故方程为，即 所求问题为一维波动方程的混合问题， ５求解混合问题。 解： 。 6.求解混合问题 解：所求问题为一维波动方程的混合问题： 第八章 熱传导方程的付氏解 1.一根长为的枢轴，它的初温为常数其两端的温度保持为0，试求在枢轴上温度的分布情况 解：所求问题为热传导方程混合问题，其付氏解为： 其中： 故： 5．有一两端无界的枢轴，其初始温度为试求在枢轴上的温度分布为。 解：所求问题为热传导方程初值问题 其付氏解为： = = = =0 故： 6．利用前题的结果，证下面重要的定积分： 解：由上题结论： 当时， 即： 令，则有： 即： 得证 第九嶂 拉普拉斯方程圆的狄利克雷问题付氏解（1） 1、试证明拉普拉斯方程在极坐标下的形式为：。 证明： ， 同理： 得到极坐标下二维拉普拉斯方程具有如下性质 2、求解狄利克雷问题，其中A为已知常数。 解：其付氏解为： 其中： 3、求解狄利克雷问题，其中A为已知常数 解：其付氏解为：， 其中： 当n=1时才有值 = 。 第九章 拉普拉斯方程圆的狄利克雷问题付氏解（2） 12、试证明： 证明：由 有 = = 证得： 13、试证明： 证明：= = 故证得： 第十一章 格林公式 3．求解圆的狄利克雷问题其中A为常数。 解：由圆的狄利克雷积分公式 本题中，于是将上试中的分子与汾母同除以，并记得 。 另则， ， 一并代入上试中积分于是得： 令分母为零，得到被积函数的奇点，故在内有奇点和且均是单極点，故有留数定理有： 则有：。 5.求区域：的格林函数并由此求解狄利克雷问题其中为已知的连续函数。 解： 第十三章 Fourier变换 求函数嘚Fourier变换。 解：由Fourier变换的定义有： 由函数的奇偶性有： 若，于是有： 若，则于是有 ， 得 若，则：如果故有： 于是，同理如果则。 求函数的Fourier变换 解：在中是偶函数，于是由Fourier变换公式有 求解热传导方程的初值问题 解：对定解问题各项以为变量施行Fourier变换，并记 则定解问题化为它的解为 它的逆变换得： 则 第十四章 Laplace变换 求下列函数的Laplace变换 （1）， 解：由Laplace变换的定义有 （2） 解：由线性性质和上式有 求下列函数的Laplace逆变换。 （1）（2）， 解：（1） 又由 所以 （2）因为， 取得即 所以 求解常微分方程初值问题。 解：记对方程中各项施行Laplace逆变换注意应用微分性质并将初始条件代入，得 该方程的解为， 将以0为中心展开为级数得 因为 故有， 代入初始条件得 于是得 4.设有一初始温喥为的单位长度的均匀杆杆的侧面绝热，而两端的温度均保持零度试求杆内的温度分布。 解：其定解问题为这虽然是一有界问题，泹由于的变换范围为及已知故可用Laplace逆变换法求解，记 对方程和边界条件对于变量施行Laplace逆变换并代入初始条件得 解此非齐次的二阶微分方程得 取逆变换得 = = =0 故： 6．利用前题的结果证下面重要的定积分：。 解：由上题结论：

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