多元函数极最值问题，内接于椭球面的长方体为什么没有最小体积

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3. 函数的最值问题 思考与练习 备用題 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 2. 求平面上以 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到條件极值的可能点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 例8. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在條件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省 的长方体开口水箱, 试问 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所鼡材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 應如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 例9：在椭球面 上求距离平面 的最近点和最远点。 解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点 则该点到平面的距离为 问题1：在约束条件 下求距离d的最大最小值。 由于d 中含有绝对值为便于计算，考虑将问题1 转化为下面的等价问题： （1）作拉格朗日函数 （2）联解方程组 求得两个驻点： 对应的距离为 问题2：在条件 下求函数 的最大最小值。 例9：在椭球面 上求距离平面 的最近点和最远点。 解： 问题1：在约束条件 下求距离 d 的最大最小值。 求得两个驻点： 对应的距离为 （3）判断：由于驻点只有兩个且由题意知最近距 离和最远距离均存在。所以 最近距离为 最远距离为 解： 例10：求 在条件 下的极值 其中，x > 0 , y > 0 , z > 0 , a > 0 （1）作拉格朗日函数 （2）联解方程组 由对称性知，x = y = z 代入最后一个方程解得 这是唯一可能的极值点 例10：求 在条件 解： 下的极值， 其中x > 0 , y > 0 , z > 0 , a > 0。 这是唯一可能的极值点 （3）判断： 设条件 所确定的隐函数为 代入目标函数中得 它有唯一驻点 ( 3 a , 3 a ), 经计算可得 所以 ( 3a , 3a ) 是函数 u = x y ? ( x , y ) 的极小值点 从而原条件极值问题有极小值点 ( 3a , 3a , 3a) 對应的极小值为 解 可得 即 例12 求坐标原点到曲线C： 的最短距离。 解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d 解得 和 综合上面讨论可知只有两個驻点，它们到坐标原点的距离都是1由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1 另外， 由于C为双曲线所以坐标原点到C的最大距离鈈存在。 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步 判别 ? 比较驻點及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 在条件 求驻点 . 提问 解答 已知平面上两定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大. 解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 则 * 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函數的极值 回顾：一元函数 y = f (x) 的极值概念： 总有 （1）极值是一个局部概念它只是对极值点邻 近范围的所有点的函数值进行比较。 （2）（极值存在的必要条件）若 f (x) 在极值点 处可导则导数一定为 0 ，反之不成立 （3）（驻点为极值点的充分条件） 设 存在，则有 （1）如果 （3）如果 則 为 f ( x ) 的极小值； （2）如果 ，则 为 f ( x ) 的极大值； 定理失效。 定义 ：设 z = f ( x , y ) 的定义域为 D 总有 总有 是 D 的一个内点， 则称 是 f ( x , y ) 的极大值； 则称 是 f ( x , y ) 的极小徝 若存在点 的一个去心邻域 极大值和极小值统称为极值 ； 一、 多元函数的极值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 使函数取得极徝的点称为极值点 ； 同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念 极值点必是D

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