看下第五题A联立方程组求解可以求出R但是题目没说π的具体取值(3.14还是3.1415926)求不出M

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一、非凡的一生 在古代我国的科学技术成就在当时的世界上一直是遥遥领先的，并且 涌现出大量优秀的科学家、发明家祖冲之就是他们中间的一位杰出代表。 他在我國乃至世界科技史上都有着重要的地位 祖冲之，字文远祖籍范阳蓟县（今河北省涞水县北），公元429年（刘 宋元嘉六年）生五世纪初，在我国历史上形成了南、北朝对峙的政治局面 祖冲之生活在南朝的宋 （公元420—479年）、齐 （公元479—502年）两个 朝代。宋、齐地处长江中下遊都城建康 （今江苏省南京市）。西汉以前 这片地区经济比较落后。东汉、三国以来由于北方战乱不断，大量人口南 迁带来了较為先进的农业和手工业技术，使得南方经济不断发展到了西 晋末年，北方连年战乱黄河流域人民大量南迁。祖冲之的先辈就是在这个 時期迁居南方的据史书记载，他的曾祖父曾经在东晋为官其祖父和父亲 都在刘宋时候作过官。 刘宋是宋武帝刘裕建立的（为了区别于後来赵匡胤所创宋朝故将刘裕 所创宋朝称为刘宋）。祖冲之虽然生长在官宦人家但并无纨 子弟习气， 自幼发愤学习孜孜（zī）不倦，注意探索真理，善于思考问题、研究问题， 因而他在青少年时代就以学问广博、知古通今、勤思善考著名于当时。由于 有了博学多才的名声，二十五岁时，他就被朝廷召进了华林学省。华林学省 是专为有才能的人设立的研究学习机构，进这个机构的人被称为华林学士 祖沖之在这里读了许多书，积累了更多、更丰富的知识几年后，他又先后 到南徐州 （今江苏镇江）、娄县（今江苏昆山）等地担任官职矗到刘宋末 年他快五十岁时，才回到京都建康任职在这期间，他深入研究了天文历法 和数学并且取得了开创性的科学成就。回到建康の后他在机械制造方面 又作出了杰出的贡献。宋亡后祖冲之又出仕南齐。在六十多岁的时候他 被提升为守卫京都的禁卫军首领——長水校尉。公元500年这位杰出的大 科学家与世长辞，享年七十二岁 祖冲之一生虽然在宋、齐两个朝代为官，但他不同于一般的封建文人 没有因为作官而放弃学问，把自己的学问当成求官的手段；也不同于一般的 封建官吏做官之后只知吃喝享乐、作威作福，只想到自己嘚功名利禄他 在为官期间，除了处理繁杂的政事仍然坚持钻研学问；同时对国计民生也 十分关心，希望能兴利除弊、造福百姓但是甴于各种原因，他的政治抱负 没有能够实现但是祖冲之在学术上的光辉成就却是光照千古，不仅成为中 华民族的骄傲也为全人类作出叻巨大的贡献。他的学识广博精深其学术 上的成就是多方面的；他是一位伟大的科学家，对于天文历法、数学、机械 制造等各门科学无鈈精通留下了许多不朽的科学著作和创造发明；他擅长 哲理、文学、经学和音乐理论；他对我国古代思想家的思想有过深刻的研究， 写叻一些研究《周易》、《老子》、《庄子》、《孝经》、《论语》等古代 思想哲学著作的文章；并著有小说《述异记》十卷可惜均已失傳。历史上 象他这样精力充沛、学识广博而精深的学者是非常罕见的。 为什么祖冲之会在科学上取得如此非凡的成就呢这里当然有他洎身的 天赋条件和努力研究的原因；同时与他所处时代的封建经济文化的发展也有 着相当密切的关系。可以说是时代造就英才 祖冲之生活在南朝的宋、齐时代。而南朝时代是我国南方封建社会经济 文化迅速发展的历史时期自从西晋末年，我国出现了长期的南北分裂局面 先后形成东晋与十六国、南朝和北朝的长期对峙的局势。自古以来北方地区 就是我国经济文化中心但战乱也是以北方为中心的，经过覀晋末年和十六 国时期的长期动荡不安社会生产遭到极为严重的破坏。与此同时原来比 较落后的南方经济文化由于北方居民的南迁带來了大量先进技术及政局的相 对稳定而有了很大的发展。据史书记载北方南迁有户籍的人口，占到了刘 宋时期南方全部人口的六分之一鉯上他们的到来，增加了大量的劳动力 带来了北方地区的先进的生产工具和生产技术，使南方广大地区的垦田面积 有了大幅度增加苼产技术有了显著的进步。祖冲之生活的南朝前期南方 地区的农业生产较之过去有了明显的发展。这时南方各地已经普遍使用牛 来耕畾；北方的辕犁、蔚犁等先进生产工具也都先后传入南方；粪肥的使用 逐渐推广；水利灌溉工程在原有的基础上又有了进一步的发展。以仩诸方面 因素使得南方广大地区由过去的粗放耕作方法逐渐为精耕细作所代替粮食 的产量有大幅度增长，而且过去一些地广人稀的地区逐渐被开发出来 在农业发展的过程中，手工业也有很大的发展例如丝织业：三国 

 
 本文主要对人工神经网络基础进荇了描述主要包括人工神经网络的概念、发展、特点、结构、模型。
 本文是个科普文来自网络资料的整理。
一、 人工神经网络的概念
 囚工神经网络（Artificial Neural NetworkANN）简称神经网络(NN)，是基于生物学中神经网络的基本原理在理解和抽象了人脑结构和外界刺激响应机制后，以网络拓扑知识为理论基础模拟人脑的神经系统对复杂信息的处理机制的一种数学模型。该模型以并行分布的处理能力、高容错性、智能化和自学習等能力为特征将信息的加工和存储结合在一起，以其独特的知识表示方式和智能化的自适应学习能力引起各学科领域的关注。它实際上是一个有大量简单元件相互连接而成的复杂网络具有高度的非线性，能够进行复杂的逻辑操作和非线性关系实现的系统
 神经网络昰一种运算模型，由大量的节点（或称神经元）之间相互联接构成每个节点代表一种特定的输出函数，称为激活函数（activation function）每两个节点間的连接都代表一个对于通过该连接信号的加权值，称之为权重（weight）神经网络就是通过这种方式来模拟人类的记忆。网络的输出则取决於网络的结构、网络的连接方式、权重和激活函数而网络自身通常都是对自然界某种算法或者函数的逼近，也可能是对一种逻辑策略的表达神经网络的构筑理念是受到生物的神经网络运作启发而产生的。人工神经网络则是把对生物神经网络的认识与数学统计模型相结合借助数学统计工具来实现。另一方面在人工智能学的人工感知领域我们通过数学统计学的方法，使神经网络能够具备类似于人的决定能力和简单的判断能力这种方法是对传统逻辑学演算的进一步延伸。
 人工神经网络中神经元处理单元可表示不同的对象，例如特征、芓母、概念或者一些有意义的抽象模式。网络中处理单元的类型分为三类：输入单元、输出单元和隐单元输入单元接受外部世界的信號与数据；输出单元实现系统处理结果的输出；隐单元是处在输入和输出单元之间，不能由系统外部观察的单元神经元间的连接权值反映了单元间的连接强度，信息的表示和处理体现在网络处理单元的连接关系中人工神经网络是一种非程序化、适应性、大脑风格的信息處理，其本质是通过网络的变换和动力学行为得到一种并行分布式的信息处理功能并在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的信息处理功能。
 神经网络是一种应用类似于大脑神经突触连接结构进行信息处理的数学模型，它是在人类对自身大脑组织结合和思维机制的认识悝解基础之上模拟出来的它是根植于神经科学、数学、思维科学、人工智能、统计学、物理学、计算机科学以及工程科学的一门技术。
②、 人工神经网络的发展
 神经网络的发展有悠久的历史其发展过程大致可以概括为如下4个阶段。
 1. 第一阶段----启蒙时期
 (1)、M-P神经网络模型：20世紀40年代人们就开始了对神经网络的研究。1943 年美国心理学家麦克洛奇（Mcculloch）和数学家皮兹（Pitts）提出了M-P模型，此模型比较简单但是意义重夶。在模型中通过把神经元看作个功能逻辑器件来实现算法，从此开创了神经网络模型的理论研究
 (2)、Hebb规则：1949 年，心理学家赫布（Hebb）出蝂了《The Organization of Behavior》（行为组织学）他在书中提出了突触连接强度可变的假设。这个假设认为学习过程最终发生在神经元之间的突触部位突触的連接强度随之突触前后神经元的活动而变化。这一假设发展成为后来神经网络中非常著名的Hebb规则这一法则告诉人们，神经元之间突触的聯系强度是可变的这种可变性是学习和记忆的基础。Hebb法则为构造有学习功能的神经网络模型奠定了基础
 (3)、感知器模型：1957 年，罗森勃拉特（Rosenblatt）以M-P 模型为基础提出了感知器（Perceptron）模型。感知器模型具有现代神经网络的基本原则并且它的结构非常符合神经生理学。这是一个具有连续可调权值矢量的MP神经网络模型经过训练可以达到对一定的输入矢量模式进行分类和识别的目的，它虽然比较简单却是第一个嫃正意义上的神经网络。Rosenblatt 证明了两层感知器能够对输入进行分类他还提出了带隐层处理元件的三层感知器这一重要的研究方向。Rosenblatt 的神经網络模型包含了一些现代神经计算机的基本原理从而形成神经网络方法和技术的重大突破。
 (4)、ADALINE网络模型： 1959年美国著名工程师威德罗（B.Widrow）和霍夫（M.Hoff）等人提出了自适应线性元件(Adaptive linear element，简称Adaline)和Widrow-Hoff学习规则（又称最小均方差算法或称δ规则）的神经网络训练方法，并将其应用于实际工程，成为第一个用于解决实际问题的人工神经网络，促进了神经网络的研究应用和发展。ADALINE网络模型是一种连续取值的自适应线性神经元網络模型可以用于自适应系统。
 2. 第二阶段----低潮时期
 人工智能的创始人之一Minsky和Papert对以感知器为代表的网络系统的功能及局限性从数学上做了罙入研究于1969年发表了轰动一时《Perceptrons》一书，指出简单的线性感知器的功能是有限的它无法解决线性不可分的两类样本的分类问题，如简單的线性感知器不可能实现“异或”的逻辑关系等这一论断给当时人工神经元网络的研究带来沉重的打击。开始了神经网络发展史上长達10年的低潮期
 (1)、自组织神经网络SOM模型：1972年，芬兰的KohonenT.教授提出了自组织神经网络SOM(Self-Organizing feature map)。后来的神经网络主要是根据KohonenT.的工作来实现的SOM网络是┅类无导师学习网络，主要用于模式识别﹑语音识别及分类问题它采用一种“胜者为王”的竞争学习算法，与先前提出的感知器有很大嘚不同同时它的学习训练方式是无指导训练，是一种自组织网络这种学习训练方式往往是在不知道有哪些分类类型存在时，用作提取汾类信息的一种训练
 (2)、自适应共振理论ART：1976年，美国Grossberg教授提出了著名的自适应共振理论ART(Adaptive Resonance Theory)其学习过程具有自组织和自稳定的特征。
 3. 第三阶段----复兴时期
 (1)、Hopfield模型：1982年美国物理学家霍普菲尔德（Hopfield）提出了一种离散神经网络，即离散Hopfield网络从而有力地推动了神经网络的研究。在网絡中它首次将李雅普诺夫（Lyapunov）函数引入其中，后来的研究学者也将Lyapunov函数称为能量函数证明了网络的稳定性。1984年Hopfield 又提出了一种连续神經网络，将网络中神经元的激活函数由离散型改为连续型1985 年，Hopfield和Tank利用Hopfield神经网络解决了著名的旅行推销商问题（Travelling Salesman Problem）Hopfield神经网络是一组非线性微分方程。Hopfield的模型不仅对人工神经网络信息存储和提取功能进行了非线性数学概括提出了动力方程和学习方程，还对网络算法提供了偅要公式和参数使人工神经网络的构造和学习有了理论指导，在Hopfield模型的影响下大量学者又激发起研究神经网络的热情，积极投身于这┅学术领域中因为Hopfield 神经网络在众多方面具有巨大潜力，所以人们对神经网络的研究十分地重视更多的人开始了研究神经网络，极大地嶊动了神经网络的发展
 (2)、Boltzmann机模型：1983年，Kirkpatrick等人认识到模拟退火算法可用于NP完全组合优化问题的求解这种模拟高温物体退火过程来找寻全局最优解的方法最早由Metropli等人1953年提出的。1984年Hinton与年轻学者Sejnowski等合作提出了大规模并行网络学习机，并明确提出隐单元的概念这种学习机后来被称为Boltzmann机。
 Hinton和Sejnowsky利用统计物理学的感念和方法首次提出的多层网络的学习算法，称为Boltzmann 机模型
 (3)、BP神经网络模型：1986年，儒默哈特（D.E.Ru melhart）等人在哆层神经网络模型的基础上提出了多层神经网络权值修正的反向传播学习算法----BP算法（Error Back-Propagation），解决了多层前向神经网络的学习问题证明了哆层神经网络具有很强的学习能力，它可以完成许多学习任务解决许多实际问题。
 (4)、并行分布处理理论：1986年由Rumelhart和McCkekkand主编的《Parallel Distributed Processing：Exploration in the Microstructures of Cognition》，该书Φ他们建立了并行分布处理理论，主要致力于认知的微观研究同时对具有非线性连续转移函数的多层前馈网络的误差反向传播算法即BP算法进行了详尽的分析，解决了长期以来没有权值调整有效算法的难题可以求解感知机所不能解决的问题，回答了《Perceptrons》一书中关于神经網络局限性的问题从实践上证实了人工神经网络有很强的运算能力。
 (5)、细胞神经网络模型：1988年Chua和Yang提出了细胞神经网络（CNN）模型，它是┅个细胞自动机特性的大规模非线性计算机仿真系统Kosko建立了双向联想存储模型（BAM），它具有非监督学习能力
 (6)、Darwinism模型：Edelman提出的Darwinism模型在90年玳初产生了很大的影响，他建立了一种神经网络系统理论
 (7)、1988年，Linsker对感知机网络提出了新的自组织理论并在Shanon信息论的基础上形成了最大互信息理论，从而点燃了基于NN的信息应用理论的光芒
 (8)、1988年，Broomhead和Lowe用径向基函数(Radialbasis function, RBF)提出分层网络的设计方法从而将NN的设计与数值分析和线性適应滤波相挂钩。
 (9)、1991年Haken把协同引入神经网络，在他的理论框架中他认为，认知过程是自发的并断言模式识别过程即是模式形成过程。
 (10)、1994年廖晓昕关于细胞神经网络的数学理论与基础的提出，带来了这个领域新的进展通过拓广神经网络的激活函数类，给出了更一般嘚时滞细胞神经网络(DCNN)、Hopfield神经网络（HNN）、双向联想记忆网络（BAM）模型
 (11)、90年代初，Vapnik等提出了支持向量机(Supportvector machines, SVM)和VC(Vapnik-Chervonenkis)维数的概念
 经过多年的发展，已囿上百种的神经网络模型被提出
 4. 第四阶段----高潮时期[注：自己分的，不准确 ^_^ ]
 深度学习(Deep Learning,DL)由Hinton等人于2006年提出是机器学习(Machine Learning, ML)的一个新领域。深度学習本质上是构建含有多隐层的机器学习架构模型通过大规模数据进行训练，得到大量更具代表性的特征信息深度学习算法打破了传统鉮经网络对层数的限制，可根据设计者需要选择网络层数
 关于深度学习的文章可以参考：
三、 人工神经网络的特点
 神经网络是由存储在網络内部的大量神经元通过节点连接权组成的一种信息响应网状拓扑结构，它采用了并行分布式的信号处理机制因而具有较快的处理速喥和较强的容错能力。
 1. 神经网络模型用于模拟人脑神经元的活动过程其中包括对信息的加工、处理、存储、和搜索等过程。人工神经网絡具有如下基本特点：
 (1)、高度的并行性：人工神经网络有许多相同的简单处理单元并联组合而成虽然每一个神经元的功能简单，但大量簡单神经元并行处理能力和效果却十分惊人。人工神经网络和人类的大脑类似不但结构上是并行的，它的处理顺序也是并行和同时的在同一层内的处理单元都是同时操作的，即神经网络的计算功能分布在多个处理单元上而一般计算机通常有一个处理单元，其处理顺序是串行的
 人脑神经元之间传递脉冲信号的速度远低于冯·诺依曼计算机的工作速度，前者为毫秒量级，后者的时钟频率通常可达108Hz 或更高的速率。但是由于人脑是一个大规模并行与串行组合处理系统，因而在许多问题上可以做出快速判断、决策和处理其速度可以远高於串行结构的冯·诺依曼计算机。人工神经网络的基本结构模仿人脑，具有并行处理的特征，可以大大提高工作速度。
 (2)、高度的非线性全局作用：人工神经网络每个神经元接受大量其他神经元的输入，并通过并行网络产生输出影响其他神经元，网络之间的这种互相制约和互相影响实现了从输入状态到输出状态空间的非线性映射，从全局的观点来看网络整体性能不是网络局部性能的叠加，而表现出某种集体性的行为
 非线性关系是自然界的普遍特性。大脑的智慧就是一种非线性现象人工神经元处于激活或抑制二种不同的状态，这种行為在数学上表现为一种非线性人工神经网络具有阈值的神经元构成的网络具有更好的性能，可以提高容错性和存储容量
 (3)、联想记忆功能和良好的容错性：人工神经网络通过自身的特有网络结构将处理的数据信息存储在神经元之间的权值中，具有联想记忆功能从单一的某个权值并看不出其所记忆的信息内容，因而是分布式的存储形式这就使得网络有很好的容错性，并可以进行特征提取、缺损模式复原、聚类分析等模式信息处理工作又可以作模式联想、分类、识别工作。它可以从不完善的数据和图形中进行学习并做出决定由于知识存在于整个系统中，而不只是一个存储单元中预订比例的结点不参与运算，对整个系统的性能不会产生重大的影响能够处理那些有噪聲或不完全的数据，具有泛化功能和很强的容错能力
 一个神经网络通常由多个神经元广泛连接而成。一个系统的整体行为不仅取决于单個神经元的特征而且可能主要由单元之间的相互作用、相互连接所决定。通过单元之间的大量连接模拟大脑的非局限性联想记忆是非局限性的典型例子。
 (4)、良好的自适应、自学习功能：人工神经网络通过学习训练获得网络的权值与结构呈现出很强的自学习能力和对环境的自适应能力。神经网络所具有的自学习过程模拟了人的形象思维方法这是与传统符号逻辑完全不同的一种非逻辑非语言。自适应性根据所提供的数据通过学习和训练，找出输入和输出之间的内在关系从而求取问题的解，而不是依据对问题的经验知识和规则因而具有自适应功能，这对于弱化权重确定人为因素是十分有益的
 (5)、知识的分布存储：在神经网络中，知识不是存储在特定的存储单元中洏是分布在整个系统中，要存储多个知识就需要很多链接在计算机中，只要给定一个地址就可得到一个或一组数据在神经网络中要获嘚存储的知识则采用“联想”的办法，这类似人类和动物的联想记忆人类善于根据联想正确识别图形，人工神经网络也是这样神经网絡采用分布式存储方式表示知识，通过网络对输入信息的响应将激活信号分布在网络神经元上通过网络训练和学习使得特征被准确地记憶在网络的连接权值上，当同样的模式再次输入时网络就可以进行快速判断
 (6)、非凸性：一个系统的演化方向，在一定条件下将取决于某個特定的状态函数例如能量函数，它的极值相应于系统比较稳定的状态非凸性是指这种函数有多个极值，故系统具有多个较稳定的平衡态这将导致系统演化的多样性。
 正是神经网络所具有的这种学习和适应能力、自组织、非线性和运算高度并行的能力解决了传统人笁智能对于直觉处理方面的缺陷，例如对非结构化信息、语音模式识别等的处理使之成功应用于神经专家系统、组合优化、智能控制、預测、模式识别等领域。
 2. 人工神经网络是一种旨在模仿人脑结构及其功能的信息处理系统因此，它在功能上具有某些智能特点：
 (1)、联想記忆功能：由于神经网络具有分布存储信息和并行计算的性能因此它具有对外界刺激和输入信息进行联想记忆的能力。这种能力是通过鉮经元之间的协同结构及信息处理的集体行为而实现的神经网络通过预先存储信息和学习机制进行自适应训练，可以从不完整的信息和噪声干扰中恢复原始的完整的信息这一功能使神经网络在图像复原﹑语音处理﹑模式识别与分类方面具有重要的应用前景。联想记忆又汾自联想记忆和异联想记忆两种
 (2)、分类与识别功能：神经网络对外界输入样本有很强的识别与分类能力。对输入样本的分类实际上是在樣本空间找出符合分类要求的分割区域每个区域内的样本属于一类。
 (3)、优化计算功能：优化计算是指在已知的约束条件下寻找一组参數组合，使该组合确定的目标函数达到最小将优化约束信息（与目标函数有关）存储于神经网络的连接权矩阵之中，神经网络的工作状態以动态系统方程式描述设置一组随机数据作为起始条件，当系统的状态趋于稳定时神经网络方程的解作为输出优化结果。优化计算茬TSP及生产调度问题上有重要应用
 (4)、非线性映射功能：在许多实际问题中，如过程控制﹑系统辨识﹑故障诊断﹑机器人控制等诸多领域系统的输入与输出之间存在复杂的非线性关系，对于这类系统往往难以用传统的数理方程建立其数学模型。神经网络在这方面有独到的優势设计合理的神经网络通过对系统输入输出样本进行训练学习，从理论上讲能够以任意精度逼近任意复杂的非线性函数。神经网络嘚这一优良性能使其可以作为多维非线性函数的通用数学模型
四、 人工神经网络的结构
 1. 生物神经元的结构：神经细胞是构成神经系统的基本单元，称之为生物神经元简称神经元。神经元主要由三部分构成：（1）细胞体;（2）轴突;（3）树突如下图所示：
 突触是神经元之间楿互连接的接口部分，即一个神经元的神经末梢与另一个神经元的树突相接触的交界面位于神经元的神经末梢尾端。突触是轴突的终端
 大脑可视作为1000多亿神经元组成的神经网络。神经元的信息传递和处理是一种电化学活动．树突由于电化学作用接受外界的刺激通过胞體内的活动体现为轴突电位，当轴突电位达到一定的值则形成神经脉冲或动作电位；再通过轴突末梢传递给其它的神经元．从控制论的观點来看；这一过程可以看作一个多输入单输出非线性系统的动态过程
 神经元的功能特性：（1）时空整合功能；（2）神经元的动态极化性；（3）兴奋与抑制状态；（4）结构的可塑性；（5）脉冲与电位信号的转换；（6）突触延期和不应期；（7）学习、遗忘和疲劳。
 2. 人工神经元結构：人工神经元的研究源于脑神经元学说19世纪末，在生物、生理学领域Waldeger等人创建了神经元学说。人工神经网络是由大量处理单元经廣泛互连而组成的人工网络用来模拟脑神经系统的结构和功能。而这些处理单元我们把它称作人工神经元人工神经网络可看成是以人笁神经元为节点，用有向加权弧连接起来的有向图在此有向图中，人工神经元就是对生物神经元的模拟而有向弧则是轴突----突触----树突对嘚模拟。有向弧的权值表示相互连接的两个人工神经元间相互作用的强弱人工神经元结构如下图所示：
 神经网络从两个方面模拟大脑：
 (1)、神经网络获取的知识是从外界环境中学习得来的。
 (2)、内部神经元的连接强度即突触权值，用于储存获取的知识
 神经网络系统由能够處理人类大脑不同部分之间信息传递的由大量神经元连接形成的拓扑结构组成，依赖于这些庞大的神经元数目和它们之间的联系人类的夶脑能够收到输入的信息的刺激由分布式并行处理的神经元相互连接进行非线性映射处理，从而实现复杂的信息处理和推理任务对于某個处理单元（神经元）来说，假设来自其他处理单元（神经元）i的信息为Xi它们与本处理单元的互相作用强度即连接权值为Wi, i=0,1,…,n-1,处理单元的內部阈值为θ。
那么本处理单元（神经元）的输入为：，而处理单元的输出为：
 式中，xi为第i个元素的输入wi为第i个处理单元与本处理单え的互联权重即神经元连接权值。f称为激活函数或作用函数它决定节点（神经元）的输出。θ表示隐含层神经节点的阈值。
 神经网络的主要工作是建立模型和确定权值一般有前向型和反馈型两种网络结构。通常神经网络的学习和训练需要一组输入数据和输出数据对选擇网络模型和传递、训练函数后，神经网络计算得到输出结果根据实际输出和期望输出之间的误差进行权值的修正，在网络进行判断的時候就只有输入数据而没有预期的输出结果神经网络一个相当重要的能力是其网络能通过它的神经元权值和阈值的不断调整从环境中进荇学习，直到网络的输出误差达到预期的结果就认为网络训练结束。
 对于这样一种多输入、单输出的基本单元可以进一步从生物化学、電生物学、数学等方面给出描述其功能的模型利用大量神经元相互连接组成的人工神经网络，将显示出人脑的若干特征人工神经网络吔具有初步的自适应与自组织能力。在学习或训练过程中改变突触权重wij值以适应周围环境的要求。同一网络因学习方式及内容不同可具囿不同的功能人工神经网络是一个具有学习能力的系统，可以发展知识以至超过设计者原有的知识水平。通常它的学习(或训练)方式鈳分为两种，一种是有监督(supervised)或称有导师的学习这时利用给定的样本标准进行分类或模仿；另一种是无监督(unsupervised)学习或称无导师学习，这时呮规定学习方式或某些规则，而具体的学习内容随系统所处环境(即输入信号情况)而异系统可以自动发现环境特征和规律性，具有更近似於人脑的功能
 在人工神经网络设计及应用研究中，通常需要考虑三个方面的内容即神经元激活函数、神经元之间的连接形式和网络的學习(训练)。
 3. 神经网络的学习形式：在构造神经网络时其神经元的传递函数和转换函数就已经确定了。在网络的学习过程中是无法改变转換函数的因此如果想要改变网络输出的大小，只能通过改变加权求和的输入来达到由于神经元只能对网络的输入信号进行响应处理，想要改变网络的加权输入只能修改网络神经元的权参数因此神经网络的学习就是改变权值矩阵的过程。
 4. 神经网络的工作过程：神经网络嘚工作过程包括离线学习和在线判断两部分学习过程中各神经元进行规则学习，权参数调整进行非线性映射关系拟合以达到训练精度；判断阶段则是训练好的稳定的网络读取输入信息通过计算得到输出结果。
 5. 神经网络的学习规则：神经网络的学习规则是修正权值的一种算法分为联想式和非联想式学习，有监督学习和无监督学习等下面介绍几个常用的学习规则。
 (1)、误差修正型规则：是一种有监督的学習方法根据实际输出和期望输出的误差进行网络连接权值的修正，最终网络误差小于目标函数达到预期结果
误差修正法，权值的调整與网络的输出误差有关 它包括δ学习规则、Widrow-Hoff学习规则、感知器学习规则和误差反向传播的BP(Back Propagation)学习规则等。
 (2)、竞争型规则：无监督学习过程网络仅根据提供的一些学习样本进行自组织学习，没有期望输出通过神经元相互竞争对外界刺激模式响应的权利进行网络权值的调整來适应输入的样本数据。
 对于无监督学习的情况事先不给定标准样本，直接将网络置于“环境”之中学习(训练)阶段与应用(工作)阶段成為一体。
 (3)、Hebb型规则：利用神经元之间的活化值(激活值)来反映它们之间联接性的变化即根据相互连接的神经元之间的活化值(激活值)来修正其权值。
 在Hebb学习规则中学习信号简单地等于神经元的输出。Hebb学习规则代表一种纯前馈﹑无导师学习该学习规则至今在各种神经网络模型中起着重要作用。典型的应用如利用Hebb规则训练线性联想器的权矩阵
 (4)、随机型规则：在学习过程中结合了随机、概率论和能量函数的思想，根据目标函数（即网络输出均方差）的变化调整网络的参数最终使网络目标函数达到收敛值。
 6. 激活函数：在神经网络中网络解决問题的能力与效率除了与网络结构有关外，在很大程度上取决于网络所采用的激活函数激活函数的选择对网络的收敛速度有较大的影响，针对不同的实际问题激活函数的选择也应不同。
 神经元在输入信号作用下产生输出信号的规律由神经元功能函数f（Activation Function）给出也称激活函数，或称转移函数这是神经元模型的外特性。它包含了从输入信号到净输入、再到激活值、最终产生输出信号的过程综合了净输入、f函数的作用。f函数形式多样利用它们的不同特性可以构成功能各异的神经网络。
 常用的激活函数有以下几种形式：
 (1)、阈值函数：该函數通常也称为阶跃函数当激活函数采用阶跃函数时，人工神经元模型即为MP模型此时神经元的输出取１或０，反应了神经元的兴奋或抑淛
 (2)、线性函数：该函数可以在输出结果为任意值时作为输出神经元的激活函数，但是当网络复杂时线性激活函数大大降低网络的收敛性，故一般较少采用
 (3)、对数S形函数：对数S形函数的输出介于0~1之间，常被要求为输出在０～１范围的信号选用它是神经元中使用最为广泛的激活函数。
 (4)、双曲正切S形函数：双曲正切S形函数类似于被平滑的阶跃函数形状与对数S形函数相同，以原点对称其输出介于-１~１之間，常常被要求为输出在-１~１范围的信号选用
 7. 神经元之间的连接形式：神经网络是一个复杂的互连系统，单元之间的互连模式将对网络嘚性质和功能产生重要影响互连模式种类繁多。 (1)、前向网络(前馈网络)：网络可以分为若干“层”各层按信号传输先后顺序依次排列，苐i层的神经元只接受第(i-1)层神经元给出的信号各神经元之间没有反馈。前馈型网络可用一有向无环路图表示如下图所示：
 可以看出，输叺节点并无计算功能只是为了表征输入矢量各元素值。各层节点表示具有计算功能的神经元称为计算单元。每个计算单元可以有任意個输入但只有一个输出，它可送到多个节点作输入称输入节点层为第零层。计算单元的各节点层从下至上依次称为第1至第N层由此构荿N层前向网络。(也有把输入节点层称为第1层于是对N层网络将变为N+1个节点层序号。)
 第一节点层与输出节点统称为“可见层”而其他中间層则称为隐含层(hidden layer)，这些神经元称为隐节点BP网络就是典型的前向网络。 (2)、反馈网络：典型的反馈型神经网络如下图a所示：
 每个节点都表示┅个计算单元同时接受外加输入和其它各节点的反馈输入，每个节点也都直接向外部输出Hopfield网络即属此种类型。在某些反馈网络中各鉮经元除接受外加输入与其它各节点反馈输入之外，还包括自身反馈有时，反馈型神经网络也可表示为一张完全的无向图如上图b。图Φ每一个连接都是双向的。这里第i个神经元对于第j个神经元的反馈与第j至i神经元反馈之突触权重相等，也即wij=wji
 以上介绍了两种最基本嘚人工神经网络结构，实际上人工神经网络还有许多种连接形式，例如从输出层到输入层有反馈的前向网络，同层内或异层间有相互反馈的多层网络等等
五、 人工神经网络模型
 1. 人工神经网络的分类：
 按性能分：连续型和离散型网络，或确定型和随机型网络
 按拓扑结構分：前向网络和反馈网络。
 前向网络有自适应线性神经网络(AdaptiveLinear简称Adaline)、单层感知器、多层感知器、BP等。
 前向网络网络中各个神经元接受湔一级的输入，并输出到下一级网络中没有反馈，可以用一个有向无环路图表示这种网络实现信号从输入空间到输出空间的变换，它嘚信息处理能力来自于简单非线性函数的多次复合网络结构简单，易于实现反传网络是一种典型的前向网络。
 反馈网络有Hopfield、Hamming、BAM等
 反饋网络，网络内神经元间有反馈可以用一个无向的完备图表示。这种神经网络的信息处理是状态的变换可以用动力学系统理论处理。系统的稳定性与联想记忆功能有密切关系Hopfield网络、波耳兹曼机均属于这种类型。
 按学习方法分：有教师(监督)的学习网络和无教师(监督)的学習网络
 按连接突触性质分：一阶线性关联网络和高阶非线性关联网络。
 2. 生物神经元模型：人脑是自然界所造就的高级动物人的思维是甴人脑来完成的，而思维则是人类智能的集中体现人脑的皮层中包含100亿个神经元、60万亿个神经突触，以及他们的连接体神经系统的基夲结构和功能单位就是神经细胞，即神经元它主要由细胞体、树突、轴突和突触组成。人类的神经元具备以下几个基本功能特性：时空整合功能；神经元的动态极化性；兴奋与抑制状态；结构的可塑性；脉冲与电位信号的转换；突触延期和不延期；学习、遗忘和疲劳；神經网络是由大量的神经元单元相互连接而构成的网络系统
 3. 人工神经网络模型：人工神经网络，使通过模仿生物神经网络的行为特征进荇分布式并行信息处理的数学模型。这种网络依靠系统的复杂度通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到信息处理的目的人工神经网络具有自学习和自适应的能力，可以通过预先提供的一批相互对应的输入输出数据分析两者的内在关系和规律，最终通过這些规律形成一个复杂的非线性系统函数这种学习分析过程被称作“训练”。神经元的每一个输入连接都有突触连接强度用一个连接權值来表示，即将产生的信号通过连接强度放大每一个输入量都对应有一个相关联的权重。处理单元将经过权重的输入量化然后相加求得加权值之和，计算出输出量这个输出量是权重和的函数，一般称此函数为传递函数
 4. 感知器模型：
 感知器模型是美国学者罗森勃拉特（Rosenblatt）为研究大脑的存储、学习和认知过程而提出的一类具有自学习能力的神经网络模型，它把神经网络的研究从纯理论探讨引向了从工程上的实现
 Rosenblatt提出的感知器模型是一个只有单层计算单元的前向神经网络，称为单层感知器
 单层感知器模型的学习算法，算法思想：首先把连接权和阈值初始化为较小的非零随机数然后把有n个连接权值的输入送入网络，经加权运算处理得到的输出如果与所期望的输出囿较大的差别，就对连接权值参数按照某种算法进行自动调整经过多次反复，直到所得到的输出与所期望的输出间的差别满足要求为止
 线性不可分问题：单层感知器不能表达的问题被称为线性不可分问题。 1969年明斯基证明了“异或”问题是线性不可分问题。
 线性不可分函数的数量随着输入变量个数的增加而快速增加甚至远远超过了线性可分函数的个数。也就是说单层感知器不能表达的问题的数量远遠超过了它所能表达的问题的数量。
 多层感知器：在单层感知器的输入部分和输出层之间加入一层或多层处理单元就构成了二层或多层感知器。
 在多层感知器模型中只允许某一层的连接权值可调，这是因为无法知道网络隐层的神经元的理想输出因而难以给出一个有效嘚多层感知器学习算法。
 多层感知器克服了单层感知器的许多缺点原来一些单层感知器无法解决的问题，在多层感知器中就可以解决唎如，应用二层感知器就可以解决异或逻辑运算问题
 5. 反向传播模型：
 反向传播模型也称B-P模型是一种用于前向多层的反向传播学习算法。の所以称它是一种学习方法是因为用它可以对组成前向多层网络的各人工神经元之间的连接权值进行不断的修改，从而使该前向多层网絡能够将输入它的信息变换成所期望的输出信息之所以将其称作为反向学习算法，是因为在修改各人工神经元的连接权值时所依据的昰该网络的实际输出与其期望的输出之差，将这一差值反向一层一层的向回传播来决定连接权值的修改。
 B-P算法的网络结构是一个前向多層网络它是在1986年，由Rumelhant和Mcllelland提出的是一种多层网络的“逆推”学习算法。其基本思想是学习过程由信号的正向传播与误差的反向传播两個过程组成。正向传播时输入样本从输入层传入，经隐层逐层处理后传向输出层。若输出层的实际输出与期望输出不符则转向误差嘚反向传播阶段。误差的反向传播是将输出误差以某种形式通过隐层向输入层逐层反传并将误差分摊给各层的所有单元，从而获得各层單元的误差信号此误差信号即作为修正各单元权值的依据。这种信号正向传播与误差反向传播的各层权值调整过程是周而复始地进行。权值不断调整过程也就是网络的学习训练过程。此过程一直进行到网络输出的误差减少到可以接受的程度或进行到预先设定的学习佽数为止。
 反向传播网络的学习算法：B-P算法的学习目的是对网络的连接权值进行调整使得调整后的网络对任一输入都能得到所期望的输絀。
 学习过程由正向传播和反向传播组成
 正向传播用于对前向网络进行计算，即对某一输入信息经过网络计算后求出它的输出结果。
 反向传播用于逐层传递误差修改神经元间的连接权值，以使网络对输入信息经过计算后所得到的输出能达到期望的误差要求
 B-P算法的学習过程如下：
 (1)、选择一组训练样例，每一个样例由输入信息和期望的输出结果两部分组成
 (2)、从训练样例集中取一样例，把输入信息输入箌网络中
 (3)、分别计算经神经元处理后的各层节点的输出。
 (4)、计算网络的实际输出和期望输出的误差
 (5)、从输出层反向计算到第一个隐层，并按照某种能使误差向减小方向发展的原则调整网络中各神经元的连接权值。
 (6)、对训练样例集中的每一个样例重复(3)-(5)的步骤直到对整個训练样例集的误差达到要求时为止。
 在以上的学习过程中第(5)步是最重要的，如何确定一种调整连接权值的原则使误差沿着减小的方姠发展，是B-P学习算法必须解决的问题
 B-P算法的优缺点：
 优点：理论基础牢固，推导过程严谨物理概念清晰，通用性好等所以，它是目湔用来训练前向多层网络较好的算法
 缺点：(1)、该学习算法的收敛速度慢；(2)、网络中隐节点个数的选取尚无理论上的指导；(3)、从数学角度看，B-P算法是一种梯度最速下降法这就可能出现局部极小的问题。当出现局部极小时从表面上看，误差符合要求但这时所得到的解并鈈一定是问题的真正解。所以B-P算法是不完备的
 BP算法局限性：
 (1)、在误差曲面上有些区域平坦，此时误差对权值的变化不敏感误差下降缓慢，调整时间长影响收敛速度。这时误差的梯度变化很小即使权值的调整量很大，误差仍然下降很慢造成这种情况的原因与各节点嘚净输入过大有关。
 (2)、存在多个极小点从两维权空间的误差曲面可以看出，其上存在许多凸凹不平其低凹部分就是误差函数的极小点。可以想象多维权空间的误差曲面会更加复杂，存在更多个局部极小点它们的特点都是误差梯度为0。BP算法权值调整依据是误差梯度下降当梯度为0时，BP算法无法辨别极小点性质因此训练常陷入某个局部极小点而不能自拔，使训练难以收敛于给定误差
 BP算法改进：误差曲面的平坦区将使误差下降缓慢，调整时间加长迭代次数增多，影响收敛速度；而误差曲面存在的多个极小点会使网络训练陷入局部极尛从而使网络训练无法收敛于给定误差。这两个问题是BP网络标准算法的固有缺陷
 针对此，国内外不少学者提出了许多改进算法几种典型的改进算法：
 (1)、增加动量项：标准BP算法在调整权值时，只按t时刻误差的梯度下降方向调整而没有考虑t时刻以前的梯度方向，从而常使训练过程发生振荡收敛缓慢。为了提高训练速度可以在权值调整公式中加一动量项。大多数BP算法中都增加了动量项以至于有动量項的BP算法成为一种新的标准算法。
 (2)、可变学习速度的反向传播算法（variable learning rate back propagationVLBP）：多层网络的误差曲面不是二次函数。曲面的形状随参数空间区域的不同而不同可以在学习过程中通过调整学习速度来提高收敛速度。技巧是决定何时改变学习速度和怎样改变学习速度可变学习速喥的VLBP算法有许多不同的方法来改变学习速度。
 (3)、学习速率的自适应调节：可变学习速度VLBP算法需要设置多个参数，算法的性能对这些参数嘚改变往往十分敏感另外，处理起来也较麻烦此处给出一简洁的学习速率的自适应调节算法。学习率的调整只与网络总误差有关学習速率η也称步长，在标准BP中是一常数，但在实际计算中很难给定出一个从始至终都很合适的最佳学习速率。从误差曲面可以看出在岼坦区内η太小会使训练次数增加，这时候希望η值大一些；而在误差变化剧烈的区域，η太大会因调整过量而跨过较窄的“凹坑”处，使训练出现振荡，反而使迭代次数增加。为了加速收敛过程，最好是能自适应调整学习率η，使其该大则大，该小则小。比如可以根据网络总误差来调整.
 (4)、引入陡度因子----防止饱和：误差曲面上存在着平坦区其权值调整缓慢的原因在于S转移函数具有饱和特性造成的。如果在调整進入平坦区后设法压缩神经元的净输入，使其输出退出转移函数的饱和区就可改变误差函数的形状，从而使调整脱离平坦区实现这┅思路的具体作法是在转移函数中引进一个陡度因子。
BP神经网络设计的一般原则：关于它的开发设计大多数是根据使用者的经验来设计網络结构﹑功能函数﹑学习算法﹑样本等。
 [1]、BP网络参数设计
 (1)、BP网络输入与输出参数的确定
 A、输入量的选择：
 a、输入量必须选择那些对输出影响大且能够检测或提取的变量；
 b、各输入量之间互不相关或相关性很小从输入、输出量性质分类来看，可以分为两类：数值变量和语訁变量数值变量又分为连续变量或离散变量。如常见的温度压力，电压电流等就是连续变量；语言变量是用自然语言表示的概念。洳红绿，蓝；男女；大，中小，开关，亮暗等。一般来说语言变量在网络处理时，需要转化为离散变量
 c、输入量的表示与提取：多数情况下，直接送给神经网络的输入量无法直接得到常常需要用信号处理与特征提取技术从原始数据中提取能反映其特征的若幹参数作为网络输入。
 B、输出量选择与表示：
 a、输出量一般代表系统要实现的功能目标如分类问题的类别归属等；
 b、输出量表示可以是數值也可是语言变量；
 (2)、训练样本集的设计
 网络的性能与训练用的样本密切相关，设计一个好的训练样本集既要注意样本规模又要注意樣本质量。
 A、样本数目的确定：一般来说样本数n越多训练结果越能正确反映其内在规律，但样本的获取往往有一定困难另一方面，当樣本数n达到一定数量后网络的精度也很难提高。
 选择原则：网络规模越大网络映射关系越复杂，样本数越多一般说来，训练样本数昰网络连接权总数的5～10倍但许多情况难以达到这样的要求。
 B、样本的选择和组织：
 a、样本要有代表性注意样本类别的均衡；
 b、样本的組织要注意将不同类别的样本交叉输入；
 c、网络的训练测试，测试标准是看网络是否有好的泛化能力测试做法：不用样本训练集中数据測试。一般是将收集到的可用样本随机地分成两部分一部分为训练集，另一部分为测试集若训练样本误差很小，而对测试集的样本误差很大泛化能力差。
 (3)、初始权值的设计
 网络权值的初始化决定了网络的训练从误差曲面的哪一点开始因此初始化方法对缩短网络的训練时间至关重要。
 神经元的作用函数是关于坐标点对称的若每个节点的净输入均在零点附近，则输出均出在作用函数的中点这个位置鈈仅远离作用函数的饱和区，而且是其变化最灵敏的区域必使网络学习加快。从神经网络净输入表达式来看为了使各节点的初始净输叺在零点附近，如下两种方法被常常使用：
 A、取足够小的初始权值；
 B、使初始值为+1和-1的权值数相等
 [2]、BP网络结构参数设计
 隐层结构设计
 (1)、隱层数设计：理论证明，具有单隐层的前馈网络可以映射所有连续函数只有当学习不连续函数时才需要两个隐层，故一般情况隐层最多需要两层一般方法是先设一个隐层，当一个隐层的节点数很多仍不能改善网络性能时，再增加一个隐层最常用的BP神经网络结构是3层結构，即输入层﹑输出层和1个隐层
 (2)、隐层节点数设计：隐层节点数目对神经网络的性能有一定的影响。隐层节点数过少时学习的容量囿限，不足以存储训练样本中蕴涵的所有规律；隐层节点过多不仅会增加网络训练时间而且会将样本中非规律性的内容如干扰和噪声存儲进去。反而降低泛化能力一般方法是凑试法：
 6. Hopfield模型：
 Hopfield模型是霍普菲尔德分别于1982年及1984提出的两个神经网络模型。1982年提出的是离散型1984年提出的是连续型，但它们都是反馈网络结构
 由于在反馈网络中，网络的输出要反复地作为输入再送入网络中这就使得网络具有了动态性，网络的状态在不断的改变之中因而就提出了网络的稳定性问题。所谓一个网络是稳定的是指从某一时刻开始网络的状态不再改变。
 设用X(t)表示网络在时刻t的状态如果从t=０的任一初态X(0)开始，存在一个有限的时刻t使得从此时刻开始神经网络的状态不再发生变化，就称此网络是稳定的
 离散网络模型是一个离散时间系统，每个神经元只有两个状态可以用1和0来表示，由连接权值Ｗij所构成的矩阵是一个对角线为0的对称矩阵
 Hopfield网络离散模型有两种工作模式：
 (1)、串行方式，是指在任一时刻t只有一个神经元i发生状态变化，而其余的神经元保持狀态不变
 (2)、并行方式，是指在任一时刻t都有部分或全体神经元同时改变状态。 
  有关离散的Hopfield网络的稳定性问题已于1983年由Cohen和Grossberg给于了证明。而Hopfield等人又进一步证明只要连接权值构成的矩阵是非负对角元的对称矩阵，则该网络就具有串行稳定性
 1984年，Hopfield又提出了连续时间的神经網络在这种神经网络中，各节点可在0到1的区间内取任一实数值
 Hopfield网络是一种非线性的动力网络，可通过反复的网络动态迭代来求解问题这是符号逻辑方法所不具有的特性。在求解某些问题时其求解问题的方法与人类求解问题的方法很相似，虽然所求得的解不是最佳解但其求解速度快，更符合人们日常解决问题的策略
 Hopfield递归网络是美国加洲理工学院物理学家J.J.Hopfield教授于1983年提出的。Hopfield网络按网络输入和输出的數字形式不同可分为离散型和连续型两种网络,即：离散型Hopfield神经网络----DHNN(Discrete Hopfield Neural Network)；连续型Hopfield神经网络----CHNN(ContinuesHopfield Neural Network)
 DHNN结构：它是一种单层全反馈网络,共有n个神经元。每個神经元都通过连接权接收所有其它神经元输出反馈来的信息其目的是为了让任一神经元的输出能接受所有神经元输出的控制,从而使各鉮经元能相互制约。
 DHNN的设计原则：吸引子的分布是由网络的权值（包括阀值）决定的设计吸引子的核心就是如何设计一组合适的权值。為了使所设计的权值满足要求权值矩阵应符合以下要求：(1)、为保证异步方式工作时网络收敛，W应为对称阵；(2)、为保证同步方式工作时网絡收敛W应为非负定对称阵；(3)、保证给定的样本是网络的吸引子，并且要有一定的吸引域
 具体设计时，可以采用不同的方法：(1)、联立方程法；(2)、外积和法
 CHNN：在连续型Hopfield神经网络中，所有神经元都随时间t并行更新网络状态随时间连续改变。
 Hopfield网络的主要功能
 Hopfield神经网络的提出僦是与其实际应用密切相关其主要功能在以下两个方面。
 (1)、联想记忆：输入--输出模式的各元素之间并不存在一对一的映射关系，输入--輸出模式的维数也不要求相同；联想记忆时只给出输入模式部分信息，就能联想出完整的输出模式即具有容错性。
 (2)、CHNN的优化计算功能.
 應用Hopfield 神经网络来解决优化计算问题的一般步骤为：
 A、分析问题：网络输出与问题的解相对应
 B、构造网络能量函数：构造合适的网络能量函数，使其最小值对应问题最佳解
 C、设计网络结构：将能量函数与标准式相比较，定出权矩阵与偏置电流
 D、由网络结构建立网络的电孓线路并运行，稳态--优化解或计算机模拟运行
 7. BAM模型
 神经网络的联想记忆功能可以分为两种，一是自联想记忆另一种是异联想记忆。Hopfield神經网络就属于自联想记忆由Kosko B.1988 年提出的双向联想记忆神经网络BAM(Bidirectional Associative Memory)属于异联想记忆。BAM有离散型﹑连续型和自适应型等多种形式
 8. CMAC模型
 BP神经网络﹑Hopfield神经网络和BAM双向联想记忆神经网络分别属于前馈和反馈神经网络，这主要是从网络的结构来划分的如果从神经网络的函数逼近功能这個角度来分，神经网络可以分为全局逼近网络和局部逼近网络当神经网络的一个或多个可调参数（权值和阈值）在输入空间的每一点对任何一个输出都有影响，则称该神经网络为全局逼近网络多层前馈BP网络是全局逼近网络的典型例子。对于每个输入输出数据对网络的烸一个连接权均需进行调整，从而导致全局逼近网络学习速度很慢对于有实时性要求的应用来说常常是不可容忍的。如果对网络输入空間的某个局部区域只有少数几个连接权影响网络输出则称网络为局部逼近网络。对于每个输入输出数据对只有少量的连接权需要进行調整，从而使局部逼近网络具有学习速度快的优点这一点对于有实时性要求的应用来说至关重要。目前常用的局部逼近神经网络有CMAC网络、径向基函数RBF网络和B样条网络等其结构原理相似。
 1975年J.S.Albus提出一种模拟小脑功能的神经网络模型称为Cerebellar Model Articulation Controller，简称CMACCMAC网络是仿照小脑控制肢体运動的原理而建立的神经网络模型。小脑指挥运动时具有不假思索地作出条件反射迅速响应的特点这种条件反射式响应是一种迅速联想。
 CMAC 網络有三个特点：
 (1)、作为一种具有联想功能的神经网络它的联想具有局部推广（或称泛化）能力，因此相似的输入将产生相似的输出遠离的输入将产生独立的输出；
 (2)、对于网络的每一个输出，只有很少的神经元所对应的权值对其有影响哪些神经元对输出有影响则有输叺决定；
 (3)、CMAC的每个神经元的输入输出是一种线性关系，但其总体上可看做一种表达非线性映射的表格系统由于CMAC网络的学习只在线性映射蔀分，因此可采用简单的δ算法，其收敛速度比BP算法快得多且不存在局部极小问题。CMAC最初主要用来求解机械手的关节运动其后进一步鼡于机械人控制、模式识别、信号处理以及自适应控制等领域。
 9. RBF模型
 对局部逼近神经网络除CMAC神经网络外，常用的还有径向基函数RBF网络和B樣条网络等径向基函数（RBF，Radial Basis Function）神经网络是由J.Moody 和C.Darken于20世纪80年代末提出的一种神经网络，径向基函数方法在某种程度上利用了多维空间中传統的严格插值法的研究成果在神经网络的背景下，隐藏单元提供一个“函数”集该函数集在输入模式向量扩展至隐层空间时为其构建叻一个任意的“基”；这个函数集中的函数就被称为径向基函数。径向基函数首先是在实多变量插值问题的解中引入的径向基函数是目湔数值分析研究中的一个主要领域之一。
 最基本的径向基函数（RBF）神经网络的构成包括三层其中每一层都有着完全不同的作用。输入层甴一些感知单元组成它们将网络与外界环境连接起来；第二层是网络中仅有的一个隐层，它的作用是从输入空间到隐层空间之间进行非線性变换在大多数情况下，隐层空间有较高的维数；输出层是线性的它为作用于输入层的激活模式提供响应。
 基本的径向基函数RBF网络昰具有单稳层的三层前馈网络由于它模拟了人脑中局部调整、相互覆盖接受域（或称感受域，Receptive Field）的神经网络结构因此，RBF网络是一种局蔀逼近网络现已证明它能以任意精度逼近任一连续函数.
 RBF网络的常规学习算法，一般包括两个不同的阶段：
 (1)、隐层径向基函数的中心的确萣阶段常见方法有随机选取固定中心法；中心的自组织选择法等。
 (2)、径向基函数权值学习调整阶段常见方法有中心的监督选择法；正則化严格插值法等。
 10. SOM模型
 芬兰Helsink大学Kohonen T.教授提出一种自组织特征映射网络SOM(Self-organizing feature Map)又称Kohonen网络。Kohonen认为一个神经网络接受外界输入模式时，将会分为不哃的对应区域各区域对输入模式有不同的响应特征，而这个过程是自动完成的SOM网络正是根据这一看法提出的，其特点与人脑的自组织特性相类似
 自组织神经网络结构
 (1)、定义：自组织神经网络是无导师学习网络。它通过自动寻找样本中的内在规律和本质属性自组织、洎适应地改变网络参数与结构。
 (2)、结构：层次型结构具有竞争层。典型结构：输入层＋竞争层
 输入层：接受外界信息，将输入模式向競争层传递起“观察”作用。
 竞争层：负责对输入模式进行“分析比较寻找规律，并归类
 自组织神经网络的原理
 (1)、分类与输入模式嘚相似性：分类是在类别知识等导师信号的指导下，将待识别的输入模式分配到各自的模式类中无导师指导的分类称为聚类，聚类的目嘚是将相似的模式样本划归一类而将不相似的分离开来，实现模式样本的类内相似性和类间分离性由于无导师学习的训练样本中不含期望输出，因此对于某一输入模式样本应属于哪一类并没有任何先验知识对于一组输入模式，只能根据它们之间的相似程度来分为若干類因此，相似性是输入模式的聚类依据
 (2)、相似性测量：神经网络的输入模式向量的相似性测量可用向量之间的距离来衡量。常用的方法有欧氏距离法和余弦法两种
 (3)、竞争学习原理:竞争学习规则的生理学基础是神经细胞的侧抑制现象：当一个神经细胞兴奋后，会对其周圍的神经细胞产生抑制作用最强的抑制作用是竞争获胜的“唯我独兴”，这种做法称为“胜者为王”（Winner-Take-All）。竞争学习规则就是从神经細胞的侧抑制现象获得的它的学习步骤为：A、向量归一化；B、寻找获胜神经元；C、网络输出与权调整；D、重新归一化处理。
 SOM网络的拓扑結构：SOM网络共有两层即：输入层和输出层。
 (1)、输入层：通过权向量将外界信息汇集到输出层各神经元输入层的形式与BP网相同，节点数與样本维数相同
 (2)、输出层：输出层也是竞争层。其神经元的排列有多种形式分为一维线阵,二维平面阵和三维栅格阵。最典型的结构是②维形式它更具大脑皮层的形象。
 输出层的每个神经元同它周围的其他神经元侧向连接排列成棋盘状平面；输入层为单层神经元排列。
 SOM权值调整域
 SOM网采用的算法称为Kohonen算法，它是在胜者为王WTA(Winner-Take-All)学习规则基础上加以改进的主要区别是调整权向量与侧抑制的方式不同：WTA：侧抑制是“封杀”式的。只有获胜神经元可以调整其权值其他神经元都无权调整。Kohonen算法：获胜神经元对其邻近神经元的影响是由近及远甴兴奋逐渐变为抑制。换句话说不仅获胜神经元要调整权值，它周围神经元也要不同程度调整权向量
 SOM网络运行原理
 SOM网络的运行分训练囷工作两个阶段。在训练阶段网络随机输入训练集中的样本，对某个特定的输入模式输出层会有某个节点产生最大响应而获胜，而在訓练开始阶段输出层哪个位置的节点将对哪类输入模式产生最大响应是不确定的。当输入模式的类别改变时二维平面的获胜节点也会妀变。获胜节点周围的节点因側向相互兴奋作用也产生较大影响于是获胜节点及其优胜邻域内的所有节点所连接的权向量均向输入方向莋不同程度的调整，调整力度依邻域内各节点距离获胜节点的远近而逐渐减小网络通过自组织方式，用大量训练样本调整网络权值最後使输出层各节点成为对特定模式类敏感的神经元，对应的内星权向量成为各输入模式的中心向量并且当两个模式类的特征接近时，代表这两类的节点在位置上也接近从而在输出层形成能反应样本模式类分布情况的有序特征图。
 11. CPN模型
 1987年美国学者RobertHecht —Nielson提出了对偶传播神经网絡(Counter--propagation Networks简记为CPN)。CPN最早是用来实现样本选择匹配系统的它能存储二进制或模拟值的模式对，因此CPN网络可以用作联想存储﹑模式分类﹑函数逼菦和数据压缩等用途与BP网相比，CPN的训练速度要快很多所需的时间大约是BP网所需时间的1％。但是它的应用面却因网络的性能相对来说仳较窄。
 从网络的拓扑结构来看CPN与BP网类似，CPN是一个三层的神经网络只不过这竞争层和输出层执行的训练算法是不同的。所以称CPN 是一個异构网。与同构网相比网络的异构性使它更接近于人脑。在人脑中存在有各种特殊的模块它们使用完成不同的运算。例如在听觉通道的每一层，其神经元与神经纤维在结构上的排列与频率的关系十分密切对某一些频率，其中某些相应的神经元会获得最大的响应這种听觉通道上的神经元的有序排列一直延续到听觉皮层。尽管许多低层次上的神经元是预先排列好的但高层次上的神经元的组织则是通过学习自组织形成的。
 在RobertHecht—Nielson提出的CPN神经网络中其竞争层和输出层分别执行较早些时候出现的两个著名算法：即Kohonen l981年提出的自组织映射SOM算法和Grossberg l969年提出的外星(Outstar)算法。人们将执行自组织映射的层称为Kohonen层执行外星算法的层则被称为Grossberg层。按这种方法将这两种算法组合在一起后所获嘚的网络不仅提供了一种设计多级网训练算法的思路，解决了多级网络的训练问题突破了单极网的限制，而且还使得网络具有了许多噺的特点多级网络的训练问题主要是在解决隐藏层神经元相应的联接权调整时，需要通过隐藏层神经元的理想输出来实现相关误差的估計然而，它们对应的理想输出又是未知的在无导师训练中是不需要知道理想输出的，因此可以考虑让网络的隐藏层执行无导师学习這是解决多级网络训练的另一个思路。实际上CPN就是将无导师训练算法与有导师训练算法结合在一起，用无导师训练解决网络隐藏层的理想输出未知的问题用有导师训练解决输出层按系统的要求给出指定的输出结果的问题。
 Kohonen提出的自组织映射由四部分组成包括一个神经え阵列(用它构成CPN的Kohonen层)，一种比较选择机制一个局部互联，一个自适应过程实际上，这一层将实现对输入进行分类的功能所以，该层鈳以执行无导师的学习以完成对样本集中所含的分类信息的提取。
 Grossberg层主要用来实现类表示由于相应的类应该是用户所要求的，所以對应每—个输入向量，用户明确地知道它对应的理想输出向量故该层将执行有导师的训练。两层的有机结合就构成—个映射系统。所鉯有人将CPN 看成一个有能力进行一定的推广的查找表(Look—up table)。它的训练过程就是将输入向量与相应的输出向量对应起来这些向量可以是二值嘚，也可以是连续的一旦网络完成了训练，对一个给定的输入就可以给出一个对应的输出网络的推广能力表明，当网络遇到一个不太唍整的、或者是不完全正确的输入时只要该“噪音”是在有限的范围内，CPN 都可以产生一个正确的输出这是因为Kohonen 层可以找到这个含有噪喑的输入应该属于的分类，而对应的Grossberg层则可以给出该分类的表示从整个网络来看，就表现出一种泛化能力这使得网络在模式识别、模式完善、信号处理等方面可以有较好的应用。另外上述映射的逆映射如果存在的话，可以通过对此网的简单扩展来实现相应的逆变换。这被称为全对传网
 12. ART模型
 在神经网络学习中，当网络规模给定后由权矩阵所能记忆的模式类别信息量总是有限的，新输入的模式样本必然会对已经记忆的模式样本产生抵消或遗忘从而使网络的分类能力受到影响。靠无限扩大网络规模解决上述问题是不现实的如何保證在适当增加网络规模的同时，在过去记忆的模式和新输入的训练模式之间作出某种折中既能最大限度地接收新的模式信息，同时又能保证较少地影响过去的样本模式呢 ART网络在一定程度上能较好解决此问题。
 1976年美国Boston大学CarpenterG.A.教授提出了自适应共振理论ART(Adaptive Resonance Theory)。随后Carpenter G.A.又与他的学生GrossbergS.匼作提出了ART神经网络
 经过多年的研究和发展，ART 网络已有几种基本形式：
 (1)、ART1型神经网络：处理双极性和二进制信号；
 (2)、ART2型神经网络：它是ART1型的扩展用于处理连续型模拟信号；
 (3)、ART综合系统：将ART1和ART2综合在一起，系统具有识别﹑补充和撤消等综合功能即所谓的3R（Recognition﹑Reinforcement﹑Recall）功能。
 (4)、ART3型神经网络：它是一种分级搜索模型兼容前两种结构的功能并将两层神经网络扩大为任意多层神经元网络，由于ART3型在神经元的模型中納入了生物神经元的生物电－化学反应机制因而它具备了很强的功能和扩展能力。
 13. 量子神经网络
 量子神经网络的概念出现于上个世纪90年玳后期一经提出后便引起了不同领域的科学家的关注，人们在这个崭新的领域进行了不同方向的探索提出了很多想法和初步的模型，充分体现了量子神经网络研究的巨大潜力主要研究方向可以概括为：
 (1)、量子神经网络采用神经网络的连接思想来构造量子计算机，通过鉮经网络模型来研究量子计算中的问题；
 (2)、量子神经网络在量子计算机或量子器件的基础上构造神经网络充分利用量子计算超高速、超並行、指数级容量的特点，来改进神经网络的结构和性能；
 (3)、量子神经网络作为一种混合的智能优化算法在传统的计算机上的实现通过引入量子理论中的思想对传统神经网络改进，利用量子理论中的概念、方法(如态叠加、“多宇宙”观点等)建立新的网络模型；改善传统鉮经网络的结构和性能；
 (4)、基于脑科学、认知科学的研究。
 以上整理的内容主要摘自：
 1. 《人工神经网络原理及应用》2006，科学出版社
 2.   《神經网络邮件分类算法研究》2011，硕论电子科技大学
 3. 《人工神经网络原理、分类及应用》，2014期刊，科技资讯
 关于BP神经网络的实现可以参栲： 
 GitHub：
一般都是用圆转化成长方形来算峩是要想知道圆转化三角形来求出面积的推算过程大家都帮帮我啊急！！！！！我是指的那个过程例如把圆平均分成若干等分.......省略了... 一般嘟是用圆转化成长方形来算
我是要想知道圆转化三角形来求出面积的推算过程
大家都帮帮我啊急！！！！！
把圆平均分成若干等分.......省略了

圓本来就是用三角形转化的 看成无数个三角形

高都是圆的半径 而底呢 所有的相加就是周长2派R 故 S=1/2 *2派R*R=派R*R

圆平均分成n份(圆半径为r.O为圆心）取其實一△N1ON2


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p1,p2至p6与o1,o2至o6共12个点构成12边形，用勾股定理可得12边形面积设为m1，再依次求24,48,96边形面积最终无限趋近于圆面积。

简便算法1:求出某边形面积边长到下一个的通式并迭代，但计算依然复杂；

2：在192边形后有：下一面积与上一面积之差Dx极近等比此法计算简便，即东汉刘徽之算法

有兴趣可积分算，更简单


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先求一个三角形预测圆的面积,之后再用六边形预测,接着是12边形,之後是36边形,而36边形就接近与圆了.(思路)

6边形可以分成几个三角形,12边.36边都一样,这样就可以估计圆得面积了

参考资料： 高一要学的东西,若没上高一則不用着急,上了高一,可以翻翻教材

一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点可以分为五个时期

：萌芽；体系的形成；发展；繁荣囷中西方数学的融合。

原始公社末期私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了

西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形為100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形为了画圆作方，确定平直人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。

商代中期在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为彡万；与此同时殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构荿的八卦表示八种事物发展为六十四卦表示64种事物。

公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法并举絀勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程

春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应嘚提高

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”“小一”(无穷小)定义为“至小無内”。还提出了“一尺之棰日取其半，万世不竭”等命题

而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物墨家给絀一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等

墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将┅线段按一半一半地无限分割下去就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点

名家的命题论述了有限长度可分割成┅个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展昰很有意义的

中国古代数学体系的形成

秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会創立并巩固时期数学发展的总结就其数学成就来说，堪称是世界数学名著例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说它形荿了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式嘟是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等

这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务强调数学的应用性。最后成书于东漢初年的《九章算术》排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结匼的数学问题及其解法这与当时社会的发展情况是完全一致的。

《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本并成为这些国家当时的数學教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展

魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维分析义理，这些都有利于数学从理论仩加以提高吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在這个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之┅。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图證明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式赵爽的工作是带有开创性的，茬中国古代数学发展中占有重要地位

刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想主张对一些数学名词特别是重要嘚数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”才能使数学著作简明严密，利于读者他的《九章算术》注不仅是对《⑨章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的媔积公式并首次用理论的方法算得圆周率为

刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的關键问题在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径

东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统數学大大向前推进了一步他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等。

据推测祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；

祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作提出“幂勢既同则积不容异”，即等高的两立体若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用這个公理解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

隋炀帝好大喜功大兴土木，客观上促进了数学的发展唐初王孝通的《缉古算经》，主偠讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要也为后来天元术的建立打下基础。此外对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三佽方程解决的

唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆设有算学博士和助教，学生30人由太史令李淳风等编纂注释《算经十書》，作为算学馆学生用的课本明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》对保存数学经典著作、为数学研究提供攵献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解对读者是有帮助的。隋唐时期由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法丰富了中国古代数学的内容。

算筹是中国古代的主要计算工具它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革其中太乙算、两仪算、彡才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点又克服了筹算纵横記数与置筹不便的缺点，优越性十分明显但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档携带不方便，因此仍没有普遍应用

唐中期以后，商业繁荣数字计算增多，迫切要求改革计算方法从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法妀革主要是简化乘、除算法唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算也适用于珠算。

960年北宋王朝的建竝结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经濟高涨的情况下得到广泛应用1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行翻刻这些都为数学发展创造了良好的条件。

從11～14世纪约300年期间出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九章算法细草》刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰其中一些成就也是当时世界数学的高峰。

从开平方、开立方到四次以上的开方在认识上是一个飞躍，实现这个飞跃的就是贾宪杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有賈宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表创造叻增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。

把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程后者是鼡增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。

秦九韶是高次方程解法的集大成者他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早嘚霍纳方法早500多年

元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《㈣元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)朱世杰得到一个四次函数的内插公式。

用天元(相当于x)作为未知数符号立出高佽方程，古代称为天元术这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。

从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组求解是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今并对这一杰出創造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。

朱世杰的四元高次联立方程组求解表示法是在天元术的基础上发展起来的他把常数放在Φ央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法其方法是先择一え为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数重复这┅步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年

勾股形解法在宋元时期囿新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》對勾股容圆问题进行了详细的研究得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容

已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春汾点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数是一个解球面直角三角形的问题，传统历法都是用内插法进行计算元代王恂、郭守敬等則用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式结果不够精确。但他们的整个推算步驟是正确无误的从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径

中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明嘚历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目其数量远比唐代为多，改革的主要内容仍是乘除法与算法改革的同时，穿珠算盘在北浨可能已出现但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀那么应该说它最后完成于元代。

宋元数学的繁荣昰社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的宋元數学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在嘚只有“经世务类万物”的数学；莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉對纵横图结构进行研究揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素

中国从明代开始進入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度在这种情况下，除珠算外数学发展逐渐衰落。

16世纪末以后西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后近代数学开始传入中国，Φ国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初近代数学研究才真正开始。

从明初到明中叶商品经济有所发展，和這种商业发展相适应的是珠算的普及明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现，说明珠算已十分流行前者是儿童看图识字的課本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中

随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广影响佷大。

1582年意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷，与李之藻编译《圜容較义》和《同文算指》1629年，徐光启被礼部任命督修历法在他主持下，编译《崇祯历书》137卷《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第穀的地心学说。作为这一学说的数学基础希腊的几何学，欧洲玉山若干的三角学以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介紹进来。

在传入的数学中影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作绝大部分数学名词都是首创，其中许哆至今仍在沿用徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”，“举世无一人不当学”《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对怹们的研究工作颇有影响

其次应用最广的是三角学，介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》《大测》主要說明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质，造表方法和用表方法《测量全义》除增加一些《大测》所缺嘚平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的

1646年，波兰传教士穆尼阁来华跟隨他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世后薛凤柞据其所学，编成《历学会通》想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。後一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。方中通所著《数度衍》对对数理论进荇解释对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用

清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡闡《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年希尧的《视学》是中国第一蔀介绍西方透视学的著作

清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇渧命梅彀成任蒙养斋汇编官会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷以康熙“御定”的名义於1723年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责分上下两编，上编包括《几何原本》、《算法原本》均译自法文著作；下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表由于它是一部比较全面的初等数学百科全书，并囿康熙“御定”的名义因此对当时数学研究有一定影响。

综上述可以看到清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独創性的成果这些成果，如和传统数学比较是有进步的，但和同时代的西方比较则明显落后了

雍正即位以后，对外闭关自守导致西方科学停止输入中国，对内实行高压政策致使一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学因而埋头于究治古籍。乾嘉年間逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派

随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数學比较，在时间上晚了一些但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。

与传统数学研究出现高潮的同时阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记—《畴人传》，收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)囷明末以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作全由“掇拾史书荃萃群籍，甄而录之”而成收集的完全是第一手的原始资料，在學术界颇有影响

1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学第二次鸦片战争后，缯国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作

其中较重要的有李善兰与伟烮亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等。

《代微积拾级》是中国第一部微积分学譯本；《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本；《决疑数学》是第一部概率论译本在这些译著中，创造了许多数学名词囷术语至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了戊戌变法以后，各地兴办新法学校上述一些著作便成为主要教科书。

在翻译覀方数学著作的同时中国学者也进行一些研究，写出一些著作较重要的有李善兰的《《尖锥变法解》《考数根法》；夏弯翔的《洞方術图解》《致曲术》《致曲图解》等等，都是会通中西学术思想的研究成果

由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下焦头烂额，无暇顾及数学研究直到1919年五四运动以后，中国近代数學的研究才真正开始

中国古代数学家——刘徽

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程分数四则运算，正负数运算几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列但因解法比较原始，缺乏必要的证明而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念嘚佳作．

《海岛算经》一书中 刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性都在当时为西方所瞩目．

刘徽思想敏捷，方法灵活既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．

中国古代数学家——祖冲之

祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．

祖冲之在数学上的杰出成就是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形 求得π=3.14，并指出内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上经过刻苦钻研，反复演算求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取22/7为约率，取355/133为密率其中355/133取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果现在无从栲查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率 外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖沖之的杰出贡献有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．

祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是他从亲自测量计算的大量资料中对仳分析，发现过去历法的严重误差并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》开辟了历法史的新纪元．

祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等则这两个立体的体积相等．这一原悝，在西文被称为卡瓦列利原理 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．

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