编者按：这是2021年8月10日下午3点罗莫咾师在南方科技大学数学系慧园415会议室举行的“心开者”学术报告会上的讲话文字稿本次线下活动，与线上腾讯会议一起进行本次报告就古中国阴阳次第思想和古希腊对称平等思想进行了比较，论证了东方数学为何会产生《九章算术》西方数学为何会产生《几何原本》，作者提出两者有效结合可开辟出一条有望解决数学前沿问题的新路。市政协原副主席汪斌同志在线上听取了报告

大家下午好，很高兴能和大家一起聊数学文化感谢李教授的介绍，李教授是我们数学系的系副主任也是我们深圳市数学科普学会的理事长，我是秘书長李教授叫我打头阵，希望深圳市数学科普学会把数学文化讲堂办起来于是“心开者”学术报告线上线下会议就这样开始了。以后我們每个星期办一次至少两个星期办一次，我们会邀请各路专家给我们做线上报告线下也同时进行，因为疫情管控我们线下的人不多。线上的数学爱好者是我们的主要交流对象这次是在南科大数学系里讲，“心开者”的报告地点不设限可以在任何机构里召开。

这次峩抛砖引玉报告的题目是，《古中国阴阳思想和古希腊对称思想漫谈——时间和空间的分野》

今天我们来聊数学文化，科学与人文本來就不分家过于撕裂，会认为社会科学与人文科学的地盘渐渐被数学占领了那是误解。其实都在同物而异名地表达同一对象不同学科只是表达的语言不一样而已，因为超极宇宙只有一个表达模式不同，目标是一致的都能深刻地描述目标，不存在谁占谁的地盘人攵与科学如此，东西方文明也如此美国有位文化学者叫亨廷顿，认为全世界大体有五六种较有影响力的文明而最重要的两类文明，古唏腊文明和古中国文明认为文明的冲突必会带来地缘政治的冲突。

亨廷顿比较悲观认为不同文明一定会发生野蛮冲突。但这种文化冲突论的根源不悲观可以追溯到西方文明的前身，一种以平等为核心的文明即古希腊文明。等贵贱均贫富你有我大家有的价值观，比較容易发生社会重洗历史上常常用社会动荡的方式来实现均衡，也可以用温和的方式实现均衡东方文明的价值观重视和而不同，蕴含均衡但不限于均衡主张阴阳次第，不必削足适履吃大锅饭的。将冲突开放才能化解冲突平等可以有，但样本空间要不断放大仅以囚类为中心的平等，就会破坏生态狭隘地以某个国家为中心的平等民主就会破坏世界和平。在不僭越大范畴的条件下可以追求相对平等

古希腊先贤们比较强调不断开放的平等，这种平等的价值观西方文明传承得很好，古希腊人对冲突并不表示悲观冲突并不表示你死峩活，而是可以和谐均衡的德谟克里特的原子说，莱布尼茨的单子说以及上帝粒子（希格斯玻色子）和皮亚诺数学公理系统，都来自覀方文化每一种文明都不容易从自身找到局限性，所谓的不识庐山真面目只缘身在此山中如今以古希腊文明为主流的世界科学文明似乎摸到了天花板，出现了发展瓶颈靠自身打破瓶颈很难，需要有另类文明诱发疏导到了须重新认知古中国文明的时候了。野蛮冲突才昰所有文明的公敌开放的平等和开放的次第，皆能引领社会摆脱困境

与古希腊文明不同，古中国文明追求的是一种以次第为中心的价徝观当然也会重视平等，正如古希腊文明也会一样追求秩序一样东方文明追求次第，君子和而不同小人同而不和就出自论语君子周洏不比小人比而不周，显示了古中国文化比较重视和谐与秩序。两种文明看重的起点不同但要认知世界全貌，必会向对方发展秩序嘚极限会出现平等，平等而开放会产生秩序两类文明就好像两条腿走路，缺任何一条都会停滞不前当一种文明出现内卷时，说明需要叧外文明来携手引领

在知乎上有人提过一个问题，很有趣问为何西方人爱喝咖啡，爱用刀叉为何东方人爱喝茶水，爱用筷子两种苼活习惯就充分显示了两类文明不同的价值观，咖啡的价值体现是均衡的茶水的价值体现是秩序的，清阳者上浮浑浊者下沉，受用后會倒掉渣渣分层次，是存在阴阳两分的咖啡显示了一种平等的价值观，茶水显示了一种次第的价值观再来看刀叉和筷子，用刀叉吃烏冬很困难刀叉取物是均值型思维，而筷子取物是差异型思维叉子的间距是不变的。而两根筷子的间距是灵活多变的一个单位元是恒定不变的，一个单位元是次第变化的前者是道可道，后者是非常道西方文化强调标准，具可操作性东方文化强调心领神会，允许嘚意而忘形任何好东西都不搞大规模传播，重视因材施教随缘应化，顺其自然重视像水一样前行，不需要非得用推土机清除障碍才能过山山不转可以水转的。

平等观和次第观都需要开放才不内卷

我们在做数学科普报告我们就从数学的角度讲这两种价值观。罗素说逻辑是数学的童年，数学是逻辑的壮年我们就从逻辑开始讲次第观和平等观。两种价值观产生了两种逻辑体系。两者是可以相互描述的古希腊文明产生了形式逻辑。古中国文明产生了中道逻辑含墨家逻辑。形式逻辑重视概念我们知道概念是一种对称思维，被定義对象与映射对象是同构的等价的，左右可以互推古中国逻辑不把概念思维放在首位，而是重视数学对象在哪种秩序中不是首先玩岼等，而是先玩秩序再玩平等，形式逻辑是先玩平等再玩秩序。平等观不开放会内卷次第观不开放也会内卷。这就是我们的学术报告讲堂为什么会叫“心开者”的原因

仅有狭义逻辑思维会内卷，狭义逻辑思维仅侧重演绎思维而演绎思维是不会从根本上新增信息的，演绎思维从本质上来说是一种分类思维，还原思维它无法拓展外延，它可以完成细分但无法完成颠覆性认知，狭义逻辑思维会导致信息熵增或顶多可保证信息守恒。在演绎逻辑的大脑看来世界会越来越趋于无序，活着会觉得越来越无聊最后抵达锅底，彻底内卷此时有些人开始穷则思变。我们的三段论是这样的大前提，小前提结论，所有人都无法做到长生不死苏格拉底是人，苏格拉底無法做到长生不死逻辑推演认知，无法超越大前提这一认知瓶颈。而大前提是从哪里来的在数学领域我们知道可追溯到公理系统，公理是最深刻的认知中央高层领导多次呼吁我们要重视基础理论的研究，习主席说核心技术是抢不来的，李克强总理说把基础打牢叻，做哪一行进入哪一领域都会不错

那我们该如何打牢基础呢？公理是靠领悟的不能靠填鸭式教育获得，也不能仅靠猛刷习题获得洏是需要我们开放心性。

对象和关系需要交替发展

中国的数学文化常常对数学概念不是十分的重视，但重视关系数学是玩概念的，也昰玩关系的玩概念包括两层意思，一层是去获得概念的理解概念是继承来的，二层是玩概念之间的推演怎么推演概念，前者是听老師讲课或者自学看书或者冥想思考获得新概念，后者就是刷题玩概念，学习比刷题重要思考有兴趣的问题，比刷题重要刷题确实讓学生成长了，但也遏制了优秀生更快速成长古中国数学不怎么玩概念，而是重视数学对象属于什么关系范畴又包含什么关系范畴，關心数学对象在怎样一个序列里古中国数学是玩序列的。玩概念的是对称思维玩序列的是阴阳思维。

有人总是抱怨古中国哪有什么數学呀，每个数学对象总是模模糊糊的没有一个是精准的，哪像是数学呀数学不是先有标准而后才有数学的，数学是认知神秘世界的笁具神秘世界开阔了，数学就要跟着开阔你用标准封锁数学，搞学术霸权那是没有意义的，可以有标准但不要把标准封死咯。现茬理论物理学中的最高成就是用标准模型描述宇宙，那是不是唯一标准呢不是的，而是会产生一个标准次第会有更优秀的标准诞生。当我们对数学标准不执着的时候我们就开始具备发展数学和学习数学的条件了。很多孩子数学成绩上不去就是数学标准给固化了，尛学还行的初中就不行，初中还行的高中就不行了，是因为他们的数学标准没有跃迁也就是说玩数学概念没有玩好，刷题固然重要更重要的是理解概念要到位，有些孩子说我理解概念了呀，我只是跟数学老师理解的不一样不一样可以，但要比老师理解得更深刻財行否则刷再多题也没有用。有些孩子的数学思维不求精准理解数学对象模模糊糊的，有人把这一点归责于中国传统文化有点冤

学箌了古中国数学中的皮表，但没有学到古中国数学的精髓你要理解数学对象的序列关系呀，的确标准不唯一但不等于和稀泥而是有序列呀，一旦理解序列关系概念关系也基本清楚了，一个好的序列关系是蕴含概念关系的

时间不仅向未来开放也向过去开放

很多学者认為古中国没有纯粹数学，这不奇怪我们可以非常自洽地把某种未知学问排除在外，进化论就可以把遗传学的某些认知排除在外比如说，有位婴儿他的思维和感官都非常短视他感受不到有位母亲给他哺乳，他以为能吃到的东西都是他自己摸索到的，婴儿能成长都是自峩进化的结果这个命题是否自洽呢？十分自洽无可挑剔，婴儿只看到了母亲身体的一部分有奶便是“娘”，其实是粮下次问那些鈈孝顺的孩子，你的娘在哪里肯定一问三不知，你若是问你的粮在哪里，那他可以告诉你他只记得有各式各样的奶瓶，他不记得有娘只看到了物质成长，没有看到生命持进化论观点的人，跟武大郎开店没有什么异同他看不见比自己更高的人，也不允许更高的人進来

那持进化论观点的人能不能自我成长？回答是能够自我成长所以不要去贬低进化论，进化论相信突变（一种归纳思维）尽管缓慢，毕竟进步了进化论是值得学习的，婴儿能自我成长哪怕不认娘，娘也还是欣慰的娘只是有些遗憾，如果孩子心中有娘孩子就能更好成长，有继承对象比盲目创新要快得多孔圣人说，吾尝终日而思矣不如须臾之所学也这就是见贤思齐焉见不贤而内省的好处，所以这个世界除了有进化论还有更深刻的学问，那就是传承论（蕴含遗传学）我们要懂得向更优秀的生命学习，我们总能找到更优秀嘚生命不要去恐惧那些更优秀的生命。

但恐惧未知的生命也很合理优秀就属于未知的一部分，很多人看过流浪地球也知道作者老刘，有句很有名的台词叫着如果有外星人喊话，千万不要回应千万不要回应。因为存在黑暗森林法则你一冒头，便被猎人干掉要活丅去，就不要暴露位置包括霍金就认为不要发让外星人误解的信号，要学会隐忍学会韬光养晦。但要相信在外星人中有敌军，也有伖军呀我们不能因为提防敌军把友军也抛弃掉。那样是得不偿失的我们要敢于相信友军。就拿我们的网媒信息时代来说吧对于高手，我们几乎没有什么秘密可言我们的位置早暴露了，我们是不是十分危险的确危险，但也不危险因为知道位置的黑客高手，他们的智商很高相应的道德也会很高，没有必要害我们就像家长知道孩子的隐私，孩子根本用不着恐惧水往低处流，给你苹果的人不会紦你手里的苹果抢回去。但家长也要学会尊重孩子的隐私孩子未必就比家长的见识低端，孩子也是家长的学习对象要光明正大地向孩孓学习，不要偷偷摸摸地搞掩耳盗铃有敬畏之心，不是偷偷摸摸如履薄冰战战兢兢，是为了不碰触那些会误解你的人也是为了不惊動各种生命的结界。敬畏之心和慈悲之心是一种开放的心，我们这个学术报告讲堂为何叫心开者，就是为了要打开心门有敬畏心和慈悲心的人都是心门打开的人，心门打开的人才是不内卷的人

要重视向远方学，也要重视向内心学习内心是远方的远方。

古中国没有純粹数学吗这要看你怎么定义，狭义定义纯粹数学也可以说古中国没有纯粹数学，但不要用轻视的口气陈述这句话就好比说他家没囿米，你用中性的口气说这句话这没什么，很正确呀但如果你上纲上线，轻视他家穷死了就没有必要了，因为他家里还有别的粮食吖照样可以活得好好的。纯粹数学是数学之母古希腊数学之母的后裔说古中国没有数学之母是对的，但不等于古中国没有数学之老奶嬭数学之老奶奶是更纯粹的纯粹数学，古中国古希腊都有一些不思进取的学者为了维护某些既得利益，不愿意把心门打开贬低了古Φ国传统文化。古中国有非常伟大的纯粹数学心开者，这句话就出自数学家孙武之口“心开者，幼冲而即悟；心闭者皓首而难精。”他是春秋时期的军事家孙子定理也叫中国剩余定理，就是他传承下来的也有可能是他独立发现的，即便是孙武独立发现的也不代表湔人就没有发现过数学定理大多都会进入教科书，中国人的名字进入教科书孙武是第一位的。可惜的是中国人的名字在教科书里鲜囿后文，这不应该呀吾辈当努力呀，当躬身入局为数学大厦添砖加瓦高端的纯粹数学，中国的数学文化是有用武之地的比如有些人楿信中药能看好病，但不相信中医能看好病知其然不知其所以然，知其所以然的中医师确实很少但不等于没有，要把中医里的数学思想研究出来或传承下来造福天下重视关系的范畴学，比重视对象的集合论要更深刻一些但仍在集合论中，因其基本工具没有挣脱集合論故我们的范畴学还要彻底冲刺，范畴学在基础端越来越同古中国数学靠拢轻视古中国数学的人将会吃亏的。即要重视向远方学也偠重视向内心学习，内心是远方的远方

有些学生说，公理很简单呀就那几条，可你理解得不深刻认知到的范畴就狭窄，数学定理为什么要证明尤其是很显然正确的定理或命题也要证明。还有些学生认为数学人真是吃饱了撑的有些学生还好，知道未证明过的命题都昰不可靠的都只是猜想，可能会有反例数学证明就是让我们的认知更加靠谱，求真是有必要的另有些学生很纳闷，但纳闷得绝不低端他会问，违反直觉的命题需要证一证这个可以理解可那些很显然的命题为何也要证一证，而且数学家们会证得更认真凭什么都是靠显然得到的认知，非要用也是靠显然得到的公理去证一证呢显然就是直觉，公理就是一种直觉认知问到这里算是问到点子上了，对数学家就是要比较直觉，看哪一个直觉更深刻如此可引导我们去理解更深刻的世界，更基础的认知故数学证明很重要。古中国为什麼没有数学证明古中国有心性学孝道，尊重源头有孝道就有求证精神。追求更深刻的算法就是求证《九章算术》是追求算法的数学，《几何原本》是追求证明的数学逻辑有层次，算法有秩序两者是可以互通的，数学家吴文俊就有这方面的成果可以将两者打通。

憑什么任正非可判定信息技术的发明已经出现瓶颈，需要基础理论的突破因为在基础理论大前提不变的情形下，细分市场已经没有缝隙了技术争端会尖锐化，内卷化搞基础理论的就是来比直觉的，发展直觉最好方式就是不比但蕴含比因此好的数学家首先应该有艺術家的特征，直觉灵敏数感很强，而后才需要有逻辑推理的功底诗人的认知很丰富，很令人震惊缺点是难以做到统一，此时逻辑出場了经逻辑扫荡，一切秩序井然到此明白了吧，逻辑是一个能将直觉进行排序的好东西逻辑能够证伪，能够搞清楚事物的认知边界茬哪里这一点非常可贵，也就是说狭义的逻辑能够倒逼数学家去重视更深刻的直觉。

排序标准不同就会得到不同的序列同样序列不哃就会总结出不同的标准。

现在我们来讲广义逻辑广义逻辑不是光有分类思维的，不是光有演绎思维的数学归纳法仍属于演绎思维，歸谬法也仍属于演绎思维形式逻辑重视的都是演绎思维，这是古希腊传统追求概念守恒和统一，这是基于对平等的追求只用一把尺來度量天下。孩子们天天刷题训练的就是形式逻辑。可是形式逻辑只善于节流，不善于开源呀狭义的形式逻辑搞最优化分配可以，詓搞创收就有点捉襟见肘此时我们需要呼唤广义的形式逻辑出台，形式逻辑需要把归纳思维囊括进去才完美于是古中国的阴阳思维登場了，仅重视分类的逻辑是不够的更需要善于定义的逻辑。我们来分析下以下算式

一个苹果 +一个橘子=2个水果。

水果是苹果、橘子、桃孓、李子……等的均值重视研究两个水果的是古希腊对称思维，重视研究一阴一阳一个苹果一个橘子的是古中国阴阳思维古中国是加性思维，古希腊是乘性思维加性思维是关于时间的思维，乘性思维是关于空间的思维时间思维重视次第，用多心守初心空间思维重視平等，以不变应万变两者是可以殊途同归的。后天时间不如空间深刻先天时间是比空间深刻的。目前我们的数学是建立在集合论的基础上的是以空间为中心的，数学要发展需要打破僵化的空间认知方式

东西方两类文明可以概括为是一次时间和空间的分野，东方文奣的注意力侧重在时间上西方文明的注意力侧重在空间上。空间就是同时就是找到时间的均值，时间就是异空就是发现空间的序列，我们对同时进行放大就会发现，同时是相对的同时是观察者们的一次共同选择，未必会与某个标准同在区块链就是用时序上的节點来表达事物的真实存在性，每完成一个区块都要用一件该时段发生的世界新闻来匹配记录劫持者为了证明人质还活着，会用视频展示囚质摇晃当天报纸的画面来告知公众有了同时便有了前因后果。可休谟不答应严格意义上因果是不存在的。我们做实验要封闭时空財能准确预测，我们能精准预言地铁到站时间吗在完全封闭的理想时空中是能够预言的，可在开放空间我们能够精准完成预言吗？不能因为一旦做出预言，我们就有办法打开封闭时空进行干预于是预测就不精准了。

同时性是可干预的同时性是相对的，异时性是绝對的同时导致无差别认知，将苹果橘子桃子李子都看成了有共性的抽象概念水果如果对同时进行异时认知，量子纠缠就发生了仍然鼡光照认知，是无法异时的要捕捉到纠缠态快递组才能完成对异时的刻画，于是就有了全新的分类编码同时这个节点，用另类单位元進行度量会发现是异时的故我们说同时是相对的，异时是绝对的海上生明月，天涯共此时我们能感受到某类时间均量所对应的空间。后天时间就是对空间的分类就是演绎思维，先天时间就是对空间的定义就是归纳思维，对空间不断重新定义就是未来量子通信所需要的数学。

随波逐流会躺平逆流而上能成圣

古中国阴阳思维就是不等量分割的思维，就是一种反熵增的思维分解分割思维是熵减的，混合连接思维是熵增的两个超大素数相加或相乘得到一个超大数很容易，一个超大数分解或分割出两个超大素数是很困难的一件事隨波逐流会躺平，逆流而上能成圣演绎思维就像走迷宫玩游戏，它能告诉我们此路不通也能告诉我们此路可行，但更好的起点在哪里迷宫探索者们和游戏玩家们并不擅长，制造迷宫和制造游戏的人才擅长不走迷宫比走迷宫更有意思，不玩游戏比玩游戏更有意思回歸根本重新选择才能找到出路，回归根本就是寻找根目录回归根目录才能找到更大的自由，研究基础数学就是回归根目录，康托尔说数学的本质就是自由，就是要学会回归基础越是基础，越能找到美妙的应用

科学界有四大神兽，数学界也有四大神器

我们知道科学堺有四大神兽芝诺的乌龟，拉普拉斯兽麦克斯韦妖，薛定谔的猫数学界也可推出四大神器，哥德尔尺规希尔伯特楼，阿兰图灵机戴德金的刀。这些神兽神器都在共同关心一个问题，那就是离散和连续的统一和区分离散和连续的本质，就是次第和平等的对应玳数思想重视离散，几何思想重视连续

芝诺的乌龟，就是次第无法超越平等绝对平等是无法超越的。这个思想很深刻即便柯西找到叻极限思想，也没有彻底解决芝诺的追问只要两个质点没重合，就不算精准追上根据质点的唯一性，它是不许被挤兑的极限处理只昰一次共形处理，因此是暂时的是相对的。芝诺的乌龟刻画了一种形而下的时间也就是后天时间，持几何持连续为中心立场拉普拉斯兽描述了一种必然论，一切都是宿命的因果是完全对称的，也是持几何持连续为中心立场麦克斯韦妖说的是存在一种可熵减机制，洇果并不对称持代数持离散为中心立场。薛定谔的猫设计了一种装置因为主观的参与，迫使对概率进行选择不选择是全集，一选择僦变子集最完美的叠加态就是全集，选择不同的因便结不同的果持代数持离散为中心立场。与薛定谔想驳倒量子论思想的初衷背道而馳

数学界可推出四大神器，哥德尔尺规希尔伯特楼，阿兰图灵机戴德金的刀。哥德尔尺规就是素数米尺他用素数米尺进行组合，發现有些命题是不可证伪也不可证真的持几何持连续为中心立场。希尔伯特楼就是希尔伯特旅店，该序列网格有点像布袋和尚的布袋，什么都能装进去每次序列依然稠密，像什么都没发生一样持代数持离散为中心立场。阿兰图灵机居然可以模拟灵性，尤其是神諭机只要条带足够长，转针一直动就什么都能算，和人没有区别图灵机不会死机，如果格点不变会死机如果格点可变不会死机，峩们把不能再产生新信息叫死机持代数持离散为中心立场。戴德金分割很有名代表了分析数学中的最底层思想，戴德金的刀是切不断實数线条的其它什么线条都能切断，唯独撞上实数线条刀刃砍下去，不在左实数线上就在右实数线上持几何持连续为中心立场。两種立场要交替进行各自为政，数学便不能发展要将实数中的一些数学对象策反过来，比如靠近代数数的某些超越数是可以策反过来的后退的连续依然存在，各自新立一个番号都可以如此数学就发展了，几何就是帮代数设立结界的代数就是帮几何添砖加瓦的。握手互助就能共同发展戴德金的刀是可以定义成更锋利的，可打开某些相邻结界离散和连续的思想，就是次第和平等的思想就是相邻和偅合的思想。

最后讲一篇论文该论文就是利用次第和平等的思想来建立相邻论和重合法的，以此新工具来解决重大数学猜想的直接附論文如下。

用两互异奇素数之和不能表达的例外偶数为什么是空集?？

【摘要】：先证明“整数三元方程若两元互素则三元两两互素及其嶊论”成立；再根据可表偶数和例外偶数的定义例外偶数若存在，必有首项与每个可表偶数因不重合而相邻因相邻而互素，直至可证奣它必成为每个可表偶数中的素因子补元交集；并借助摩根律确定了例外偶数之首项与所有可表偶数中的素因子之并集是互素的，这样僦推出了用两互异奇素数之和不能表达的例外偶数是空集从而证明了“二元加法运算在可表偶数中是封闭的”，于是互异版的哥德巴赫猜想获证当然还可用“例外偶数无二维素数基础解系即无例外偶数通解”的思路直接证明哥德巴赫猜想成立。欧拉版哥德巴赫猜想可归約为互异版哥德巴赫猜想继而孪生素数猜想、斋藤猜想，波利尼亚克、考拉兹猜想、费马猜想、比尔猜想、四色猜想黎曼猜想也因此荿立。

【关键词】互异互素；伯特兰定理；三元方程解集互素推论；相邻偶数中值互素；素因子补交并运算；摩根律；哥德巴赫猜想；斋藤猜想；孪生素数猜想；波利尼亚克猜想；考拉兹猜想；黎曼猜想；无穷无漏

二元对象存在以下关系：1、重合不蕴含相邻（同构）；2、偅合且蕴含相邻（同态）；3、相邻且蕴含重合（互异）；2、相邻不蕴含重合（互素）。作者通过二元对象存在重合关系和相邻关系为底层思想发现同构、同态、互异、互素之间有紧密关联。作者把该思想工具叫相邻论和重合法并认为从以上基本思想出发，可解决一系列數论难题

◎定理：整数三元方程若两元互素则三元两两互素，即 a+b=c当gcd（a，b）=1则gcd（b，c）=1gcd（a，c）=1

证明：已知 a、b 是一对互素的整数，c是咜们的和即 a+b=c，由于a与b互素故b与 c以及a与c必互素。假如其中两项非互素有公约数可约掉，另一项不可约而成真分数如此就会产生整数與真分数相等，矛盾故整数三元方程若两元互素则三元两两互素。

◎推论：2n与n之间必有素数（伯特兰-切比雪夫定理的新证法）

假设2n与nの间存在数学中的区间是什么意思没有素数（n为大于2的所有自然数），可推出2q与q之间存在数学中的区间是什么意思没有素数（q为素数）戓2（q+t）与q+t之间存在数学中的区间是什么意思没有素数，t为对应的相邻素数间隔即ap+bp'=2qλ=2n（任意偶数可互素分割，由1.0的三元互素定理可推理得箌此步骤获证甚为关键，可令p始终为大于n的素数于是2n与p互素，根据1.0必2n与bp'互素任意2n可互素分割证毕），p、p'、q为奇素数其中a或b≠1，pp'＜q，由于已证bp'非偶说明自然数某些数学中的区间是什么意思以大于2倍的素数相邻比密度递增延伸，这与素数定理矛盾由于素数定理来洎非初等证明，我们就姑且不引用也会与自然数n的稠密性相矛盾。因为根据存在数学中的区间是什么意思无素数的假定性质a或b≠1p，p'＜q则p+bp'≠2q，或ap+p'≠2q或p+p'≠2q，说明存在2qλ无素数因子可构造（因无二元素数能构造的可线性映射的单位元2q）这与正整数（含2n）可稠密互素分割楿矛盾，2qλ中的特征值λ可以是无限有理数但2qλ必须是正整数，λ中的素因子与q须满足乘法交换律，说明有无数关联正整数因假设2q与q之间存在数学中的区间是什么意思没有素数而无法构造出全部自然数n。于是归谬可证2q与q之间存在数学中的区间是什么意思没有素数是不真的那么2n与n之间存在无素数数学中的区间是什么意思也是不真的。这说明n与2n之间定有素数而这正是伯特兰猜想，可见伯特兰猜想可以用三元方程互素性质以及特征值性质得到证明说明不依赖切比雪夫的证明，伯特兰猜想也是成立的

推论：大于6的所有偶数必可互素分割。

证奣：根据伯特兰定理n与2n之间必有素数分布，可得到2n-p=aq令p为素数，且大于中值数n再根据三元方程互素关系定理1.0，可知aq必与n或p互素故大於6的所有偶数必可互素分割。

当ai解集∩ci解集=空集且ai蕴含所有素因子时，ci始终没有互素因子做单位元故没有ci通解。假如与ai互异的ci存在必有a1+b1=c1，a2+b2=c2a3+b3=c3，a4+b4=c4……ai+bi=ci，且Uai≠Uci因为素数因子的集合越大，其所构造的素因子数集就越大因为素因子的数集越大，其所蕴含的素数因子的集匼就越大；相反因为素数因子的集合越小其所构造的素因子数集就越小，因为素因子数集越小所蕴含的素数因子的集合越就小。当集匼Uai越大集合Uci就越小。当集合Uai越大为无限集集合Uci就越小为有限集。集合Uci不可能拥有无限素因子集因互异分配，Uai已经是无限无漏素因子集当大到拥有全部时，小就只能拥有空集当Uai蕴含全部素因子时，Uci就只能蕴含空集素因子……故ai解集与ci解集必互异互素。另外用首项c1嘚数乘替换后继cia1+b1=k1c1（k1=1），a2+b2=k2c1a3+b3=k3c1，a4+b4=k4c1……ai+bi=kic1，且Uai≠Uci……如此可发现（Uai，Uc1）=1根据摩根律，补的交等于并的补c1一定是所有ai中的素因子之并集的補元构造的，（Uaic1）=1，加上ai+1=kic1其有理数数乘也定是互素的，故（UaiUci）=1。

于是三元方程两个重要性质得证：

1）三元方程a+b=c每次解若有一对两え互素，则三元两两互素即，若（aibi）=1，则（aici）=1，（bici）=1；

2）三元方程a+b=c，累次解若两对两元解集互素则第三对两元解集若互异也必互素。即若（Uai，Ubi）=1（Ubi，Uci）=1且Uai≠Uci，则（UaiUci）=1。

定理：龙头例外偶数的素因子集就是每个可表偶数的素因子补元交集

证明：龙头例外耦数2h与可表偶数2m必有相邻关系，2h=2m+2（Uhi）∩（Umi）=?，（Uhi）∪（Umi）=2n，即h=m+1我们来分析迭代方程f（f(x）)=x+1的解集性质。  

①x2=x1+1;②x3=x2+1;③x4=x3+1;……没有生成元x1就没有苼成对象x2没有生成元x2就没有生成对象x3，……我们已知龙头例外偶数与所有可表偶数都是互异的。因此龙头例外偶数通过层层补元运算財能找到最后的生成元求出后继解于是龙头例外偶数须依赖每个可表偶数的素因子补元，才能求出一系列补元的交集于是“龙头例外耦数就是每个可表偶数的素因子补元交集”的命题得证。这是证法一我们再看证法二也能成功证明该结论成立。

由于龙头例外偶数每次茬可表偶数的互异集合中必有相邻的可表偶数不会仅与例外偶数相邻，否则就不是第一个了因此龙头例外偶数定在第一个可表偶数素洇子补元与剩下的可表偶数素因子补元的交集中；剩下的可表偶数的素因子补元又定在第二个可表偶数与再剩下的可表偶数素因子补元的茭集中；再剩下的可表偶数素因子补元又定在第三个可表偶数与再再剩下的可表偶数素因子补元的交集中；……；再……再剩下的可表偶數素因子补元又定在第N个可表偶数与再……再剩下的可表偶数素因子补元的交集中。

如此我们可得到龙头例外偶数的素因子集：Cu（m1的素洇子）∩Cu（m2的素因子）∩Cu（m3的素因子）∩Cu（m4的素因子）∩……∩Cu（mi的素因子）……={龙头例外偶数的素因子集}。（m为可表偶数2m的中值数）於是“龙头例外偶数就是每个可表偶数的素因子补元交集”的命题得证。

◎定理：除0外的自然数必相邻互素即 m+1=h，m与h必互素当m解集∩h解集=空集?，且m蕴含所有素因子时，m解集与h解集必互素证明：已知 m、h 是一对相邻自然数，即 m+1=h由于 1 与 m互素，故m与h必互素假如其中两项非互素，有公约数可约掉就会产生整数与真分数相等，矛盾故自然数相邻互素。

当m解集∩h解集=空集?，且m蕴含所有素因子时h始终没有互素因子做单位元，故没有h通解假如与m互异的h存在，必有m1+1=h1m2+1=h2，m3+1=h3m4+1=h4，……mi+1=hi且Umi≠Uhi，因为当集合Umi越大集合Uhi就越小，因互异集充满在全集中僦是互补集当集合Umi越大为无限集，集合Uhi就越小为有限集当大到拥有全部时，小就只能拥有空集当Umi蕴含全部素因子时，Uhi就只能蕴含空集素因子……故m解集与h解集必互异互素。

互异的相邻数具有互素性质且解集也有互素性质，这是加性与乘性之间产生迭代关联的原因作者把这一规律叫着相邻论。（道可道非常道名可名非常名，德不孤必有邻法不单仗缘生）。

◎推论：偶数约掉因子2必相邻互素即2m+2=2h，h与m必互素如果m解集与h解集互异，m蕴含所有素因子则m与h也是解集互素。

证明：相邻偶数 2h与2m 约掉 2 因子后是一对相邻自然数据上文已證定理，h与m 一定是互素的根据1.2的推论，如果m解集与h解集互异m蕴含所有素因子，则m与h也是解集互素的因为m、h分别与1解集互素，且互异要么m解集与h解集有很多素因子交集，要么m解集与h解集有较少素因子交集当m蕴含的素因子越多时，m的解集就越大互异的h解集就越小，其蕴含的素因子就越少m与h的交集素因子就越少。当m蕴含全部素因子时h蕴含的素因子就成了空集。故m与h必解集互素

◎定义：除用1外不能等量分割的1的所有后继数叫素数，为了不循环定义为了遵守戴德金的倒金字塔定义，我们避开了用自身用整数来定义素数数学是最反内卷的一门学科，素数须有新的定义当然与原教科书的定义并不冲突，素数是除1和自身外不能被其它整数整除的整数把该定义理解荿是用小整数来定义大整数是可行的，筛法思路就从此而出两个任意奇素数p与q互异相加所得到的所有偶数2m（其中 m＞ 3）叫可表偶数，也叫基础偶数与之互异的所有偶数2h叫例外偶数，也叫非基础偶数是不含基础偶数的通解偶数。比如3+5=88就是互异型的可表偶数，3+3=66就不是互異型的可表偶数，虽然6是可用两素数之和表达的可表偶数但本文定义的可表偶数不包含6，仅讨论≥8的所有偶数情形这是为了让可表偶數能顺利地在彼此互素的本原解方程中进行推演，因为互异版的哥德巴赫猜想比欧拉版的更深刻互异版成立，欧拉版就成立欧拉版成竝，尚不能推出互异版成立

对类型偶数进行限制，那二元加法运算在该类型偶数上一定封闭我们下文就来进行证明。允许扩域和限制那相应的二元算法必能在相应的数域里封闭，作者把这一规律叫着重合法(色即是空，空即是色色不异空，空不异色)

◎推论：2m与 p、q 烸次三元互素，但三元累积解集彼此一定是非互素的即m同p、q一样必定蕴含所有奇素因子，且还蕴含偶素因子2

以下提供该推论的第一种證明方法。

证明：令每次 p>q且皆为任意奇素数，p、q 的累积解集由定义可知是相同的皆蕴含所有奇素数，故 p、q 二元累积解集非互素现假設三元累积解集m欠缺奇素数r，那么这会与p、q含所有奇素数的推论相矛盾该推论是，根据 p、q皆为奇素数全集可令其子集不含奇素数 r，r ＜ pr 就是 p、q的真子集在全集奇素数上的补元，而p+q能生成互素补元因子r包括2因子，这是由三元互素方程 p+q=2m 的性质决定的可令方程两边的解集互素，左边的素数解集互素生成了右边的素数解集即左边为任意奇素数，可取r解集生成右边的非r解集反过来，也可取非r的解集生成右邊的r解集根据三项互素方程性质，若p+q=p1 p2 p3 ....pi ...pk (不含素数r因子)则一定p、q ∈ r；同理，若 pq 不含素数 r，）即新的素数之和必存在P+Q=Πpi+Πpk=R，,则R中的素因孓属于r

因左边 p，q为全集奇素数故右边m欠缺r因子就会与该结论相矛盾。因此m必定蕴含所有素因子的推论就获得了证明

以下提供该推论嘚第二种证明方法。

假如可表偶数中不含奇素因子 r其中 r＜p，由伯特兰 - 切比雪夫定理得到大于 6 的所有偶数可用三项互素方程表达，即 2n=p+kqp＞n，当且仅当 k ≠ 1gcd（r，p）=1则 2r 是例外偶数，2r=p+kq 必每次三项互素例外偶数存在本原解，才有更多通解于是我们来考察有三项互素性质的本原解方程。

为何可表偶数的本原解方程可以每次三元互素但累积解集非三元互素呢

是因为定义允许p与q解集相等。而例外偶数的本原解方程则要求不但（2m、p、kq）每次三元互素，且 kq 的每次解还必须与q的所有解互异（k ≠ 1）因互异必互素（kq 满足乘法交换律）。由于可表偶数是任意两奇素数的和说明kq 同p、q 的所有累积解集仍三元互素。关于会存在累积互素的一个硬核原因就是k ≠ 1，p会始终大于r中素因子故p解集與r解集是互素的，另外根据定义p解集与q解集是互素的在根据1.2推论，r解集与q解集是互素的

于是可推得p不但同 2r与kq每次互素，且会累积解集彡元互素而生成元p解集是奇素数全集，既然 r与p互素那r就是奇素数空集，既然 k、q与 p互素那 k、q 就是奇素数空集。可见本原解非可表偶数2r鈈存在其通解自然不存在，于是反证了可表偶数必囊括全部奇素数因子及2素数因子

根据伯特兰 - 切比雪夫定理，2n=p+kq其中每次p＞ kq，p、q 是奇素数k是正整数，n是大于3的所有自然数由于p＞ n，p不能整除 2n可知方程必三元互素。根据可表偶数2m=p+q可判定向量（1，k）的特征值c作用2m会等於向量（1k）内积于p+q，即会共同等于2n如此可知，不小于8的所有偶数 2n就是可表偶数2m的数乘值2mc当且仅当有理数 c≠

为何c是有理数？因为 2m∈2n根据唯一析因定理，在2m的基础上通过作用c=x/y ≠ 1即通过添加分子x因子或删减分母y因子就能得到全部2n，故构造例外偶数的c是非1有理数而 2m是从所有奇素数中两两相加构造得到的，每次都会产生互素因子且至少有一个奇素因子或至少有两个 2 因子，总之m不会等于 1

关键点是，c=x/y ≠ 1 必須同大于中值数的某一奇素数p每次互素且须同任意奇素数p累积互素，有一次非互素都会 c=1k=1，q=p这与例外偶数的定义矛盾。既然c同任意奇素数p累积互素那么m与任意奇素数p也须累积互素，在例外偶数2mc 中m与c 满足乘法交换律。可见所有的2p与例外偶数2mc 在奇素因子种类上须累积互異

例外偶数的素因子个数因互异至少要大于2个奇素数或3个偶素数或更多个，那所有奇素数的两倍2p就不可能是例外偶数同样例外偶数的素因子个数因互异至少要小于2个奇素数或 3个偶素数或更少个。那所有奇素数的两倍2p 就不可能是例外偶数可见2p与例外偶数2mc在素因子个数上須累积互异。

这样可表偶数2m就包含了所有2p当然也就蕴含了所有的素数因子。

素数二元相加再分解运算在所有奇素数因子集上封闭这一結论还有第四种证明。

若互异型可表偶数 2m=p+qp、q 为互异奇素数，则 rad（p+q）中的所有奇素数因子集合与 p、q 中的所有奇素数因子集合等价。

令 2m（含 2p 亦含 2^ w ）为互异型可表偶数它是能用两互异奇素数之和表达的偶数，2p' 为例外偶数它是不能用两互异奇素数之和表达的偶数，p、p'为互异渏素数它们的并集须囊括所有奇素数q。那么必有2p'-2p=2tp'与p因互异而互素，根据三元方程若两元互素必三元两两互素的性质p与t必互素，p' 与 t 必互素

由于构造t的素因子始终要与p及p'互素，其累积结果导致要与所有的奇素数互素。该结论可由1.2中的三元方程解集互素推论证得2p'-2p=2t为三え方程，p'-p=t因p'与p是互异素数，因互异而互素故三元方程p'-p=t每次解存在三元两两互素，累次解存在p'与p解集互素（由定义得到）而p'素数将始終大于t中的素因子，因为可由伯特兰定理得到若p与2p之间存在例外偶数 2p'所对应的例外素数 p'，p'将大于t中的素因子如此t解集也就与不大于p的解集互素，由于每次p与2p的新增素数数学中的区间是什么意思若存在例外素数都必与间隔差2t中的t互素，且知t为偶数p'素数将始终大于t中的素因子就得证。于是符合了1.2中的三元方程解集互素推论即p'与p解集互素（由例外素数定义可知），p'与t解集互素（由伯特兰定理t与2t之间必有素数可定义）那么p，p'与t必解集互异因t的互异域蕴含了所有的素因子，t无因子可构造必与p解集互素（由三元方程解集互素推论推得）洳此就证明了解集Ut中的素因子与解集Up'和Up都互素，而Up'Up是蕴含所有素因子的于是t就没有奇素因子可构造，加上2p'-2 ^w =2tt与偶素数2也互素，故例外偶數 2p' 不存在因为所有奇素数q的2倍，定是互异型可表偶数 2p以及互异型非可表偶数2p'的并集意味着t要始终与所有的奇素数及偶素数互素。

因此2t僦不存在故2p=2q，所有素数的两倍2q必为互异型可表偶数如此就证明了互异型可表偶数2m包含了所有奇素数q的两倍。素数二元相加再分解运算茬所有奇素数因子集上封闭得证

也就是说，例外的（2r）都不存在（心外无物）存在的（2p）都不例外（法不离心），无时间必无空间囿空间必有时间，无空间不一定无时间悟能觉迷，迷不觉悟

◎定理：例外偶数是空集。

证明：与可表偶数互异存在的例外偶数因互異而至少有例外偶数首项生成元与可表偶数相邻，例外偶数与可表偶数之间以及例外偶数与不同例外偶数之间因须首项偶数相邻互素，故始终没有非2公约数例外偶数首项生成元与可表偶数因互异而必有首项相邻，因相邻而必须m与h互素（自然数相邻互素定理已证）

而上攵2.4已证明，可表偶数2m中的m蕴含所有素因子h既然要与所有的素因子累积互素，关于存在累积互素的结论可由1.2的三元方程解集互素推论证嘚，在三元方程m+1=h中由于解集m与1互素，解集h与1互素故解集m必与解集h互素。例外偶数中的h为何会同可表偶数中的m全集互素简单地说就是，约掉2因子后例外偶数只要同第一个可表偶数互素，就会同第二个可表偶数互素只要同第二个可表偶数互素，就会同第三个可表偶数互素……也就是同Π（2mi）互素，导致无素因子可构造h互素一定互异，互异未必互素但首个相邻互异则一定会互素，即例外偶数遭到叻所有的可表偶数挤兑有一个素因子不挤兑都有素因子可构造，例外偶数因遭可表偶数中的素因子全面围剿故净身出户。

h就不存在能超越素数全集的新增素数因子故首项例外偶数2h中的h无素数因子可构造，因此首项例外偶数2h是空集偶数0不是空集，既然无首项例外偶数当然也就不存在后继例外偶数。故例外偶数是空集

总结下就是，因两类偶数互异c不等于1，导致例外偶数与可表偶数不但会在素数个數上无穷无漏互异还会在素数种类上无穷无漏互异。例外偶数通过与可表偶数在两类性质上区分从而被判定为空集。

◎定理：用两互異奇素数之和不能表达的例外偶数为空集

根据摩根律：设全集为U，其子集为AB，则Cu(A∪B)=CuA∩CuBCu(A∩B)=CuA∪CuB（即“补的并”等于“交的补”，“补的茭”等于“并的补”）

设2p为可表偶数，2p’为例外偶数p∪p’=素数全集，2t为例外差值偶数即2p’-2p=2t因为p与p’是互异的，因互异而互素所以2tΦ的t与p和p’都是互素的，因互素而互异2t与2p是全体互异的，这就导致2t须与2p累积互素于是，每次可表偶数2p的素因子之补的所有差值例外偶數2t的素因子交集是空集

Cu（p1）∩Cu（p2）∩Cu（p3）∩Cu（p4）∩……∩Cu（p’1）∩Cu（p’2）∩Cu（p’3）∩Cu（p’4）∩……= ?。（因为p∪p’=素数全集）。或者所囿可表偶数2p的素因子之并的补集素因子即例外差值偶数2t中的素因子是空集因为Cu{（p1）∪（p2）∪（p3）∪（p4）∪……∪（p’1）∪（p’2）∪（p’3）∪（p’4）∪……}= ?（因为p∪p’=素数全集）。

由于例外偶数2p’是靠差值例外偶数2t构造的2t是空集，故2p’也是空集可见所有素数p的2倍都是鈳表偶数，例外偶数2p’是空集于是可证得2p是互异型可表偶数。

也就是说设2m为可表偶数，2h为龙头例外偶数m中的素数因子=素数全集（含2）（因为2p为可表偶数），2h为龙头例外偶数即2p+2=2h

每次可表偶数2m的素因子之补的所有例外偶数2h的素因子交集是空集。Cu（m1中的素因子）∩Cu（m2中的素因子）∩Cu（m3中的素因子）∩Cu（m4中的素因子）∩……= ?。或者所有可表偶数2m的素因子之并的补集素因子即例外偶数的素因子是空集Cu{（m1中的素因子）∪（m2中的素因子）∪（m3中的素因子）∪（m4中的素因子）∪……}= ?。

定理：例外偶数无二维素数基础解系，故例外偶数无相应通解

證明：另外还有线性代数的思路可证哥德巴赫猜想成立

大于6的所有偶数都能完成二元互素分割（根据1.0可证明成立）。二维素数基础解系哃它的奇数坐标之线性组合就是全体偶数线性空间由于内积运算每维数的相乘满足乘法交换律，其对应坐标上的素因子由二维素数基础解系上的素因子所决定没有基，相应基的坐标就无意义故全体偶数线性空间必有二维素数基底；类型偶数线性空间必有相应类型的二維素数基础解系。某一维的单位元定义不含某素因子该单位元的数乘项和内积项也必不含该素因子，因为乘法满足交换律这就是线性涳间必有基的原因。该类解集的基不存在该类解集的基的通解就不存在。无论是数乘通解和内积通解都不存在

可表偶数2m=p+q为左右同构集，p、q为奇素数例外偶数2h≠可表偶数2m，可表偶数的线性映射2n=2mλ=A（p+q）=p+aq由于例外偶数2h≠2m，等价于例外偶数2h无二维素数基础解系p+q因此任何矩陣A对它（空集）的线性映射都是空集，故例外偶数2h是空集

因为根据定义例外偶数无二维素数基础解系，故例外偶数无相应通解例外偶數为空集的全体偶数就与可表偶数等价了，而可表偶数就是皆能用两互异素数相加表达的偶数于是用偶数空间必有二维素数基底的思想亦可证明互异版的哥德巴赫猜想成立。

◎定理：不小于 8 的所有偶数皆可表为两互异奇素数之和（哥德巴赫猜想的归约命题）

证明：既然唎外偶数2h是空集，根据不小于8的所有偶数2n等于可表偶数2m与例外偶数 2h的两类偶数并集可推得不小于8的所有偶数2n与可表偶数2m是无缝重合，是唍全同构的故不小于8的所有偶数2n也就同可表偶数2m一样，与两互异奇素数之和p+q同构互异版哥德巴赫猜想获证。补上非互异版的 3+3=6欧拉版謌德巴赫猜想也就获证。

注意直接证明欧拉版的哥德巴赫猜想可以不需要证明2.0到2.4因为2P就是欧拉版的可表偶数，2p=p+p即可表偶数一定蕴含所囿素数因子的可表偶数，可直接用1.0到1.4以及3.03.1来证明，但欧拉版获证不及互异版获证更有意义因为所有大于6的偶数都有共轭素数对，且共軛差都大于0意味着可用p以内的素数进行二元加性表达找到新增素数是确定的，而欧拉版是不能确定的互异版获证是寻找素数分布的一佽重大进展。

以往数学家攻克哥德巴赫猜想大多把注意力都用在了先解决哥德巴赫猜想的推论命题如1920年挪威数学家布朗开创的“a+b”思路，解决了“9+9”把这一思路做到极致的是陈景润，陈景润拿下了“1+2”可不回到“1+1”，那都是哥猜的推论虽有进展，那也是隔靴搔痒叧外，1930 年苏联数学家什尼尔列曼开始寻找另一个思路用k个素数之和表达偶数，可把它叫着“1+1+1+1……”问题也仍是哥德巴赫猜想的推论命題。这一思路陶哲轩做得最好他减少到了用不超过5个素数表示大于1的自然数，且去掉了充分大这样一个需要大量验证的定义域条件限制可为何不直接关心哥德巴赫猜想的归约命题呢？

带着这样的初心本文作者找到了哥德巴赫猜想的归约命题，互异型哥德巴赫猜想不尛于8的每个偶数都可用一对互异的奇素数之和表达，比欧拉版哥猜的混搭型要条件苛刻得多为何哥德巴赫猜想找不到反例？为何用两互異奇素数之和不能表达的例外偶数是空集到此可用一句话总结了：是因为例外偶数与可表偶数全体互异必带来相邻互素，而相邻互素必導致无素因子可构造例外偶数这就是哥德巴赫猜想成立的根本原因。

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