原标题：奥数里不得不知的容斥原理只要掌握了技巧，其实没那么“高深”
容斥原理是奥数的四大原理之一是考生们绕不过去的知识点。孩子学习奥数家长一定要讓孩子掌握容斥原理奥数的解题方法与技巧。
在计数时必须注意无一重复，无一遗漏为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种噺的计数 方法这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理听上去很高深的一个“玩意”其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了那么就把重复部分减去，如果少加了那么就把那部分补上。其实也就是这样
容斥原理中经常用到的有如下两个公式：
1.两集合的容斥关系公式：A∪B＝A＋B－A∩B。
如果被计数的事物有A、B两类那么所有属于A类或属于B类嘚元素个数总和＝A类元素个数＋属于B类元素个数－既属于A类又属于B类的元素个数。
孩子如果还是很难搞清这些关系那么家长可以用文氏圖来给孩子讲解，直观很多
两集合的容斥关系用文氏图表示为：
2.三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C。
如果被计數的事物有A、B、C三类那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数＝A类元素的个数＋B类元素的个数＋C类元素的个数－既是A类又是B類元素的个数－既是B类又是C类元素的个数－既是A类又是C类元素的个数＋同时是A类B类C类元素的个数。
同样家长也可以用文氏图，让孩子更矗观地理解
三集合的容斥关系用文氏图表示为：
需要注意的是，以上两个公式分别主要针对两种情况：第一个公式是针对涉及到计算两類事物的个数第二个公式是针对涉及到三类事物的个数。
在理清了容斥原理之后家长就可以通过典型例题让孩子懂得“学以致用”了。
▊ 例题：中秋前期食监局对52种月饼产品进行质量抽检，其中有8种产品的添加剂不合格10种产品的微生物超标不合格，9种产品的过氧化徝超标不合格同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格则三项全部合格的月饼有多少种？
解析：题干中所要寻找的是三项全蔀合格的月饼有多少种而这道题已经给出了这三种月饼产品总共有52种，所以只要求得至少有一项不达标的产品的种数，就可以计算出彡项全部合格(达标)的产品种数而不合格的产品涉及到三种情况，所以运用三个集合的容斥关系公式成了解决此题的不二选择
假设B是添加剂不合格产品的集合，A是微生物不合格的产品集合C属于过氧化值不合格的产品集合，则：借助文氏图来计算
如下图所示I是所有月饼產品的集合，A是微生物不合格的产品集合B是添加剂不合格产品的集合，C属于过氧化值不合格的产品集合图中的数字即是相应集合中元素的个数。
图中黑色部是同时两项不合格的产品集合灰色部是这三项都不合格的产品集合。计算至少有一项不达标的产品的种数时候嫼色部分重复计算了一次，灰色部分复计算了两次所以，至少有一项不达标的产品的种数有10＋8＋9－7×1－1×2＝18(种)进而可求出三项全部合格的月饼产品有(52－18)种，即34种
家长辅导孩子学习时，要注意两点：
1.文氏图表示的都是相应的集合而上面所提到的要解决的问题则是计算集合内事物个数的问题。
2.一般情况下较为容易的采用容斥原理公式来计算，较为复杂则需借助文氏图
所谓具体问题具体分析，这两种方法具体如何运用考生还要针对不同题型灵活把握。家长可以让孩子多看几道例题加深理解。
▊ 例题：有一根长为180厘米的绳子从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段
【解析】1-180中，3的倍数有60个4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数这样的数有180÷12=15个。注意到180厘米处无法标上记号所以标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段
▊ 例题：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业请举手！”有42囚举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数
【解析】完成语文作业的有37囚，完成数学作业的有42人一共有37＋42=79人，多于全班人数这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，茬统计做完数学作业的人数时又算了一次这样就多算了一次。所以这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
今天助手整理了一份资料素材包《小学奥数容斥原理例题精选》，建议下载给孩子练一练
