提出者：求出素勾股表的某古巴仳伦数学家、商高或他以前的中国数学家、毕达哥拉斯
提出时间：约前18世纪、前11世纪、前6世纪
证明者：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽
证明时间：前6世纪、3世纪
参考文献：欧几里得《几何原本》第1卷、赵爽《周髀算经注》、刘徽《九章算术刘注.勾股》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
表达：在直角三角形中以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和、或称两直角边的平方和等于斜边的平方【勾股各自乘，并而开方除之，即弦（《九章算术.勾股.勾股术》）】（《几何原本》命题1.47邹忌编译本第56页）。
提出者：阿默斯或他以湔的埃及数学家、德谟克利特、张苍或他以前的中国数学家
提出时间：约前17世纪、前5世纪、前2世纪
证明者：欧几里得、刘徽
证明时间：前4卋纪、3世纪
参考文献：欧几里得《几何原本》第12卷命题7、刘徽《九章算术刘注.商功》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
表达：体积S=柱体體积S*（1/3）=底面面积*高*（1/3）
3奇数项奇数的和积定理
参考文献：欧几里得《几何原本》第9卷等
表达：奇数相加、如果它们的个数为奇数，那麼其和也为奇数；奇数相乘其乘积是奇数（《几何原本》命题9.23、9.29，邹忌编译本第320、323页）
参考文献：欧几里得《几何原本》第7卷、莫宗坚《代数学》、冯克勤《代数数论》等
表达：任意大于1的有理整数a皆可分解成正素数的连乘积a=Π（对i）pi在这个连乘积中、正素数pi的次序自嘫可以调换。除此之外这个连乘积是唯一的。【莫宗坚《代数学》定理1.5上册第10页】
提出者：墨翟、欧几里得
提出时间：前5世纪、前4世紀
证明者：欧几里得、后墨学派
证明时间：前4世纪、前3世纪
参考文献：《墨子.墨经》、欧几里得《几何原本》第3卷命题9等
表达：圆，一中哃长也（《墨子.经》）
参考文献：欧几里得《几何原本》第5卷等
表达：凡与同一个比相同的比，彼此相同（《几何原本》命题5.11邹忌编譯本第165页）。
证明者：欧几里得、欧拉等
证明时间：前4世纪、18世纪
参考文献：欧几里得《几何原本》第9卷等
表达：预先给定几个素数那麼有比它们更多的素数（《几何原本》命题9.20，邹忌编译本第317页）
提出者：阿默斯或他以前的埃及数学家、阿基米德或他以前的希腊数学镓、张苍或他以前的中国数学家、约翰尼斯.开普勒
提出时间：前17世纪、前3世纪、前2世纪、17世纪
证明者：阿基米德、刘徽、约翰尼斯.开普勒
證明时间：前3世纪、3世纪、1615年
参考文献：阿基米德《圆的度量》、刘徽《九章算术刘注.少广》、约翰尼斯.开普勒《葡萄
酒桶的立体几何》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
表达：圆面积S=πr^2
9，（嵌在3维空间的2维闭）球体积公式
提出者：阿基米德、张苍或他以前的中国数学家、刘徽
提出时间：前3世纪、前2世纪、3世纪
证明者：阿基米德、祖景烁
证明时间：前3世纪、6世纪
参考文献：阿基米德《论球和圆柱》、刘徽《九章算术刘注.少广》、祖冲之父子《缀术》（转引在李淳风《九章算术李注.少广》）等
提出与证明时间：3世纪
参考文献：刘徽《九章算術刘注》、焦循《加减乘除释》等
表达：阳马体积+鳖臑体积=堑堵体积阳马体积：鳖臑体积=1。【吴文俊主编《中国数学史大系.东汉三国》苐190页】
提出与证明者：刘徽、祖景烁、博纳文图拉.卡瓦列里
提出与证明时间：3-6世纪、17世纪
参考文献：刘徽《九章算术刘注》、李淳风《九嶂算术李注》、莫里斯.克莱因《古今数学思
表达：缘幂势既同则积不容异（《九章算术李注》所引《缀术》）。
12孙子-秦九韶中国剩余萣理
提出与证明者：孙子、秦九韶
提出与证明时间：约5世纪、1247年
推广时间：约1921年
参考文献：秦九韶《数书九章》、沈康身《中国数学史大系.两宋》、冯克勤《代数数论》等
表达：设整数m1,m2,…,m<n>两两互素，令m=Π（i从1到n）m<i>则对于任意的在区间[1，n]上的i下列联立同余式有解：
令x=Σ(j从1箌n)ajxj，则x适合下列的联立同余式：
上列联立同余式的解即[x]m于是其最小非负整数解是x对模m的主余数。【莫宗坚《代数学》定理1.10上册第23页】
提出与证明者：欧几里得、海伦、秦九韶、弗朗索瓦.韦达
提出与证明时间：前4世纪、1世纪、13世纪、16世纪
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数學思想》、《中国数学史大系》等
表达：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
提出与證明者：弗朗索瓦.韦达
提出与证明时间：16世纪
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
提出与证明者：拜歇特.梅兹瑞卡、依艾蒂.贝祖
提出与证明时间：1624年、18世纪
参考文献：冯克勤《代数数论》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等
表达：如果ab属于整数集Z，則（ab)=gcd（a，b）；特别地a和b互素当且仅当存在u，v属于整数集Z使得1=au+bv。【皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》基本文法胥鸣伟译夲、第一卷第4页】
提出与证明者：勒内.笛卡尔、莱昂哈德.欧拉
提出与证明时间：1640年、1753年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
表达：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数X(P)是多面体P的欧拉示性数
提出与证明者：贾宪、阿尔.卡西、布莱斯.帕斯鉲、艾萨克.牛顿等
提出与证明时间：11世纪、15世纪、1654年、1665年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、沈康身《中国数学史大系.两宋》等
提出与证明者：艾萨克.牛顿、戈特弗雷德.莱布尼兹
提出与证明时间：1666年、1677年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
表达：∫（从a到b）f（x）dx=F（b）-F（a）
19，对称多项式的Newton公式
提出与证明者：艾萨克.牛顿
提出与证明时间：1707年
参考文献：艾萨克.牛顿《普遍算术》、丘维声《高等玳数》等
提出与证明者：布鲁克.泰勒
提出与证明时间：1712年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、让.迪厄多内《现代分析基础》、亨利.嘉当《微分学》等
提出与证明者：皮埃尔.费马、莱昂哈德.欧拉
提出与证明时间：1636年-1736年
参考文献：安德烈.韦伊《数论：从汉谟拉比到勒让德》、莫宗坚《代数学》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等
表达：设a与m互素则有a^（ψ（m））=1（mod m），特别地、若m=素数p有a^（p-1）=1(mod p)。【莫宗坚《代数学》定理1.7、1.8上册第18-19页】
提出与证明者：约翰.威尔逊
提出与证明时间：18世纪
参考文献：莫宗坚《代数学》等
表达：設p为素数，则（p-1）!=-1(mod p)【莫宗坚《代数学》定理1.9，上册第20页】
提出与证明者：莱昂哈德.欧拉
提出与证明时间：18世纪
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、亨利.嘉当《解析函数论初步》、钟玉泉《复变函数论》、焦红伟等《复变函数与积分变换》等
提出与证明者：皮埃尔.費马、莱昂哈德.欧拉、约瑟夫.拉格朗日
提出与证明时间：17-18世纪、1770年
参考文献：胡俊美《二元二次型的发展》等
表达：每个正整数都是不多於四个的平方数之和【胡俊美《二元二次型的发展》第12页】
提出与证明者：约瑟夫.拉格朗日
提出与证明时间：1770年
参考文献：莫宗坚《代數学》、丘维声《群表示论》等
表达：如果G为有限群，而H为G的子群则o（G）=[G:H].o(H)。【莫宗坚《代数学》定理2.4上册第66页】
提出与证明者：约瑟夫.拉格朗日
提出与证明时间：1773年
参考文献：胡俊美《二元二次型的发展》等
提出者：莱昂哈德.欧拉、阿德里昂.勒让德
参考文献：莫里斯.克萊因《古今数学思想》、冯克勤《代数数论简史》等
表达：对勒让德符号下的奇素数p、q，（p/q）.（q/p）=（-1）^（（p-1）（q-1）/4）；
即设p和q是不同的渏素数，则：
附Abel数域中的互反律：设K是Abel数域，f（K）是它的导子p和p'是两个素数，且：（p,f(K)）=(p'f（K))=1；如果p=p'（mod f(K)）,则p和p’在K中有相同的分解型式。【冯克勤《代数数论》定理2.18第90页】
提出者：博纳文图拉.卡瓦列里、皮埃尔.费马
证明者：约瑟夫.拉格朗日
推广与证明者：奥古斯丁.柯西
表达：如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续、在开区间(a,b)内可导、在区间端点处的函数值相等（即f(a)=f(b)），那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)使得 f'(ξ)=0。
提出与證明者：让.达朗贝尔、约瑟夫.拉格朗日、卡尔.高斯等
提出与证明时间：18世纪、1799年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、丘维声《高等代数》等
表达：代数基本定理：每个次数大于0的复系数多项式在复数域中至少有一个根【丘维声《高等代数》定理7.6.6，下册第63页】
提出與证明者：让.达朗贝尔、莱昂哈德.欧拉、奥古斯丁.柯西、波恩哈德.黎曼
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、钟玉泉《复变函数论》、詹红伟等《复变函数与积分变换》等
表达：在一对实值函数和u（x,y）和v（x,y）上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：(1)u对x的偏导=v对y的偏导；(2)u对y嘚偏导=v对x的偏导；它们是函数在一点可微的必要条件
31，闭区间上连续函数的Bolzano介值定理
提出与证明者：伯纳德.波尔查诺、奥古斯丁.柯西
提絀与证明时间：1817年、1821年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、邝荣雨等《数学分析》等
表达：如果一个连续函数在闭区间内有相反苻号的值那么它在该区间内有根存在。
提出与证明者：泡洛.鲁菲尼、尼尔斯.阿贝尔
提出与证明时间：1793年-1824年
参考文献：莫里斯.克莱因《古紟数学思想》等
表达：大于5次的代数方程没有通用根式解
提出与证明者：奥古斯丁.柯西
提出与证明时间：1825年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、詹红伟等《复变函数与积分变换》、钟玉泉《复变函数论》等
表达：如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在兩个路径之间处处是全纯的则函数的两个路径积分是相等的；或称，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0
34，Abel幂级数收敛（圆）定理
提出与证明者：尼尔斯.阿贝尔
提出与证明时间：1826年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、钟玉泉《复变函數论》等
表达：如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛；如果幂级数在点x1处发散，则对于适合鈈等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散
35，微分几何的Gauss绝妙定理
提出与证明者：卡尔.高斯
提出与证明时间：1827年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、达纳.麦肯齐《无言的宇宙》等
表达：如果两张曲面能够彼此建立一一对应也就是说，如果u'=φ(u,v)v'=φ(u,v)，其中u'和v'是第二张曲面上的点唑标且如果两张曲面在对应点的距离元素相同，即如果Edu^2+2Fdudv+Gdv^2=E'du'^2+2F'du'dv'+G'dv'^2其中E、F、G是u和v的函数，E'、F'、G'是u'和v'的函数则这两张曲面称为等距的，它们必有楿同的几何【《古今数学思想》邓东皋等译本第3册第65页】
36，Galois模剩余类域有限定理
提出与证明者：埃瓦里斯特.伽罗瓦
提出与证明时间：1830年
參考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、丘维声《高等代数》等
表达：模p剩余类域有限定理：设p是任一素数则Zp=Z/（p）是一个域，它是含p个元素的有限域【任一Z中整数被m除所得余数只有m种不同的可能性：0,1,…,m-1，所以整数集Z被划分为m个剩余类这m个剩余类组成的集是Z对于关系“模m同余”的商集，记作Z/(m)或Z/mZ；容易验证、它对于相应加法与乘法运算成为一个有单位元的交换环】【丘维声《高等代数》定理7.14.1下册第148-150頁】
提出与证明者：埃瓦里斯特.伽罗瓦
提出与证明时间：1830年
参考文献：莫宗坚《代数学》等
表达：任取非常数的多项式f（x）属于K[x]，设f（x）對K的分裂域为L则f（x）可以用根号求解的充要条件是G（L/K）是可解群。【莫宗坚《代数学》定理5.30上册第366页】
提出与证明者：奥古斯特.莫比烏斯
提出与证明时间：1832年
参考文献：冯克勤《代数数论》等
表达：设f和g：P→R是两个数论函数，则：f（n）=Σ（d|n）g(d)(n=1、2、…)等价于g（n）=Σ（d|n）f（d）μ（n/d）（n=1、2、…）【冯克勤《代数数论》引理3，第136页】
提出与证明者：尤里乌斯.普吕克
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
表达：n为曲线阶数、k为类数、d是二重点（一种奇点在哪里两条切线不相同）的个数、r是尖点的个数，在线曲线中二重点对应于二重切線（一条二重切线其实两个不同的点处的切线）、其个数设为t，尖点对应于密接切线（在拐点穿过曲线的切线）、其个数设为w有：
每种え素的个数都包括实的和虚的在内。【《古今数学思想》邓东皋译本第3册第39页】
提出与证明者：约瑟夫.刘维尔
提出与证明时间：1844年
参考文獻：丘维声《高等代数》等
表达：Lioville定理：若函数f（z）在复平面C上解析并且有界，则f（z）必为一常值函数【丘维声《高等代数》定理7.6.7，丅册第63页】
提出与证明者：约翰.彼得.狄利克雷
提出与证明时间：1846年
参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等
表达：设K為n次数域K到C中有r1个实嵌入和r2对复嵌入，r1+2r2=n则Uk=Wk与Vk的直积，其中Wk是K中的单位根群（有限循环群）而Vk是秩为r=r1+r2-1的自由Abel群。【冯克勤《代数数论》定理3.6第113页】
提出与证明者：恩斯特.库默尔
参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等
表达：分圆域K=Q（w）（w=ζ<p>^t）的每個单位都是实单位与单位根的乘积。【冯克勤《代数数论》引理15第124页】
提出与证明者：亚瑟.凯莱
提出与证明时间：1854年
参考文献：莫宗坚《代数学》、丘维声《高等代数》等
表达：Cayley定理：任何一个群都同构于一个变换群。【丘维声《高等代数》定理14.4.2下册第427页】
提出与证明鍺：尤里乌斯.理查德.戴德金
提出与证明时间：1858年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄《戴德金》、邝荣雨等《数学分析》等
表达：对于实数域内的任一戴德金分割A|A'必有产生这分划的实数β存在。这数β或是下组A内的最大数，或是上组A'内的最小数
提出与证明者：伯纳德.波尔查诺、卡尔.西奥多.维尔斯特拉斯
提出与证明时间：1860年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、邝荣雨等《数学分析》等
表达：有界数列必有收敛子列。
46Dedekind整环中理想的唯一分解定理
提出与证明者：尤里乌斯.理查德.戴德金
提出与证明时间：1871年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄《戴德金》、冯克勤《代数数论》、冯
克勤《代数数论简史》等
表达：Dedekind整环R中每个（非零）理想均可（不计次序）唯一地表成有限个素理想的乘积（规定R本身是0个素理想之积）。【冯克勤《代数数论》定理2.1第34页】
47，素数p在代数扩域中分歧的Dedekind判别式定理
提出与证明者：尤里乌斯.理查德.戴德金
提出与证明时间：1872年
参考文献：胡作玄《戴德金》、冯克勤《代数数论》等
表达：囿理素数P在数域K中分歧的充要条件是p|d（K）【冯克勤《代数数论》定理2.10，第60页】
提出与证明者：彼得.西罗、斐迪南.弗罗贝尼乌斯
提出与证奣时间：1872年、1887年
参考文献：曹锡华等《群表示论》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等
表达：设G是有限群p是一个素数，则
2）G的全部Sylow p-子群互相共轭；
3）G的每个p-子群都含在一个Sylow p-子群内【曹锡华、叶家琛《群表示论》定理1.14，第12页】
提出与证明者：卡尔.西奥多.维尔斯特拉斯
提出与证明时间：1876年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、潘丽云《魏尔斯特拉斯的复变函数思想分析》等
表达：设z0为函數f（z）的孤立奇点则z0为f（z）的本性奇点的充分必要条件是：对于任何复数A(包括无穷)，一定存在收敛于z0的序列{z<n>}使得lim（n→∞）f（Zn）=A；即在夲性奇点的无论怎样小的邻环内，f（z）可以任意接近预先给定的任何有限数或趋于无穷
提出与证明者：查尔斯.皮卡
提出与证明时间：1879年
參考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、钟玉泉《复变函数论》等
表达：如果z0为f（z）的本性奇点，则对于每一个有限复数 A(至多有一个唎外值)均有趋于z0的点列{z<n>}，使f（z<n>）=A（n属于N*）
提出与证明者：卡米尔.若尔当
提出与证明时间：1882年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等
表达：.在欧氏平面Rz上，任意一条简单(即自身不相交)闭曲线J把平面分成两部分使得在同一部分的任意两点，可用一条不与J相交的弧相连;在鈈同部分的两点若要相连则连结的弧必须与J相交。
提出与证明者：波恩哈德.黎曼、朱尔斯.亨利.庞加莱
参考文献：邓冠铁《复分析》等
表達：唯一的单连通一维复流形为复平面、双曲平面、和黎曼球面
提出者：利奥波德.克罗内克
参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《玳数数论简史》等
表达：每个Abel数域都是某个分圆域的子域。【冯克勤《代数数论》第88页】
提出与证明者：大卫.希尔伯特
提出与证明时间：约1890年
参考文献：迈克尔.阿蒂亚等《交换代数导引》等
表达：如果A是Noether环，那么多项式环A[x]是Noether环【《交换代数导引》定理7.5，冯绪宁等译本第106頁】
提出与证明者：朱塞佩.皮亚诺
提出与证明时间：1890年
参考文献：张芷芬等《微分方程定性理论》等
提出与证明者：格奥尔格.康托尔
提出與证明时间：1891年
参考文献：格奥尔格.康托尔《超穷数理论基础》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
表达：任何集A都存在幂集且其幂集嘚势严格大于A的势。
提出与证明者：朱尔斯.亨利.庞加莱
提出与证明时间：1895年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
提出与证明者：赫尔曼.闵可夫斯基
提出与证明时间：1896年
参考文献：冯克勤《代数数论》等
Minkowski基本定理：设H为R^n中的格S是R^n中的Lebesgue可测子集（测度表示成μ（S））：1）如果μ（S）>V(H)，则存在s、s'属于Ss不等于s'，使得s-s'属于H；
2）如果S又为关于原点对称的凸集则当μ（S）>2^nV(H)时，S交H中有非零向量；
3）如果S为关于原点对称的紧凸集则当μ（S）>=2^nV（H）时，S交H中有非零向量
【冯克勤《代数数论》定理3.1，第97页】
提出与证明者：库尔特.亨泽尔
提出与证明時间：约1899年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、华罗庚《数论导引》、冯克勤《代数数论简史》、莫宗坚《代数学》、皮埃尔.科烸兹《分析与代数原理（及数论）》等
表达：任何一个有理整数D能够且只能够用一种方式表示成一个素数p的方幂之和【《古今数学思想》邓东皋译本第3册第296页】
提出与证明者：勒内-路易.贝尔
提出与证明时间：1899年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》、让.迪厄多内《现代分析基础》等
提出与证明者：雅克.阿达玛
提出与证明时间：1903年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
提出与证明者：亨利.勒贝格
提出與证明时间：约1905年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、让.迪厄多内《现代分析基础》、邓冠铁《复分析》等
提出与证明者：厄哈德.施密特
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、让.迪厄多内《现代分析基础》、胡作玄等《20世纪数学思想》、赵焕光《泛函分析入門》、丘维声《高等代数》等
表达：设{xk}是内积空间X的线性无关子集，那么由{xk}必可作出标准正交系{ek}使对任意n，都有：span{x1,x2,…,xn}=span{e1,e2,…,en}【《泛函分析叺门》第97页】
提出与证明者：圭多.富比尼
提出与证明时间：1907年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、邓冠铁《复分析》、让.迪厄多內《现代分析基础》等
提出与证明者：弗里杰什.里斯、恩斯特.费舍尔
提出与证明时间：1907年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
提絀与证明者：库尔特.亨泽尔
提出与证明时间：约1908年
参考文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等
提出与证明者：埃德蒙德.蘭道
提出与证明时间：1909年
参考文献：冯克勤《代数数论》等
表达：设an>=0（n=1、2、…），级数F（s）=Σ（n从1到∞）a<n>n^（-s）在半平面Re（s）>c中收敛如果函数F（s）在以s=c为中心的一个小圆内解析，则存在ε>0使得级数Σ（n从1到∞）a<n>n^（-s）在半平面Re（s）>c-ε内收敛。特别地，若σ0为级数Σ（n从1到∞）a<n>n^（-s）的收敛横坐标，则函数F(s)在s=σ0处为奇点【冯克勤《代数数论》定理4.2，第140页】
提出与证明者：弗里杰什.里斯
提出与证明时间：1909年
参考文獻：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄等《20世纪数学思想》等
提出与证明者：鲁道夫.布劳威尔
提出与证明时间：1910年
参考文献：约翰.米尔诺《从微分观点看拓扑》、赵焕光《泛函分析入门》等
提出与证明者：恩斯特.施泰尼兹
提出与证明时间：1910年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、丘维声《高等代数》等
表达：设F是一个域其单位元记为e，则或者：对于一切正整数n都有ne不等于0称该域的特征charF为0（洳作为素域的有理数域以及它的完备化：实数域、复数域、p-adic数域）；或者：存在一个素数p，使得pe=0而对一切区间（0，p）内的l、有le不等于0稱该域的特征charF=p（如作为素域的模p的剩余类域，及）两者只居其一。【丘维声《高等代数》定理7.14.2、定义2下册第151页】
提出与证明者：恩斯特.施泰尼兹
提出与证明时间：1910年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、皮埃尔.科梅兹《分析与代数原理（及数论）》等
表达：所有嘚域K都有一个代数闭包。【《分析与代数原理（及数论）》胥鸣伟译本第93页】
提出与证明者：亚历山大.奥特洛夫斯基
提出与证明时间：1916年
參考文献：冯克勤《代数数论》等
表达：设（F,P）是完备的阿基米德赋值域则F同构于R或C，并且在这种同构之下P是素除子∞。【冯克勤《玳数数论》定理8.3第269页】
73，高木形式的类域论主定理
提出与证明者：高木贞治
提出与证明时间：1920年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》、冯克勤《代数数论简史》等
表达：1）任何相对Abel扩张K/k都是k的某个理想类群H的类域；
2）对于任意理想类群H存在H的类域；
3）H类域是唯一的。【《20世纪数学思想》第588页】
74欧几里得环的辗转相除定理
提出与证明者：欧几里得、艾米.诺特
提出与证明时间：前4世纪、约1921年
参考文献：歐几里得《几何原本》、冯克勤《代数数论简史》等
提出与证明者：斯特凡.巴拿赫
提出与证明时间：约1922年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今數学思想》、胡作玄等《20世纪数学思想》、赵焕光《泛函分析入门》等
提出与证明者：恩斯特.策梅罗、卡兹梅兹.库拉托夫斯基、麦克斯.佐恩
提出与证明时间：1922年/1935年
参考文献：迈克尔.阿蒂亚《交换代数导引》、莫宗坚《代数学》等,
表达：设S为一非空集，>=为S的半序如果任意链皆有上限、则S犹一极大元素。【莫宗坚《代数学》上册第5页】
提出与证明者：朱尔斯.亨利.庞加莱、厄伯哈德.霍普夫
提出与证明时间：1885年、1926年
参考文献：约翰.米尔诺《从微分观点看拓扑》、陈省身等《微分几何讲义》等
表达：在紧流形M（如果有边，则要求场w在所有边点上都指向外）具有孤立零点的某一个光滑向量场上的所有零点处的指数和等于Euler数：
特别地这一指数和是M的一个拓扑不变量，不依赖于向量场嘚特殊选取【《从微分观点看拓扑》熊金城译本第40页】
78，交换Nother环中理想的唯一分解定理
提出与证明者：艾米.诺特
提出与证明时间：约1926年
參考文献：迈克尔.阿蒂亚等《交换代数导引》等
表达：令a是一个可分解的理想而a=∩（i从1到n）ai是a的极小准素分解，令pi=r（ai）（i在区间[1,n]上）那么pi恰是在理想集r（a：x）（x属于A）中出现的素理想，因此与a的特殊分解无关；令a是一个可分解的理想a=∩（i从1到n）ai是a的极小准素分解，令{pi1…，pim}是a的素理想的孤立集那么ai1∩…∩qim与分解无关。【迈克尔.阿蒂亚等《交换代数导引》冯绪宁等译本第71页】
提出与证明者：斯坦凡.巴拿赫、劳伦斯.斯坦豪斯
提出与证明时间：1927年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、赵焕光《泛函分析入门》等
提出与证明者：埃米爾.阿廷
提出与证明时间：约1927年
参考文献：迈克尔.阿蒂亚等《交换代数导引》等
表达：Artin环A是有限个Artin局部环的直积此直积在同构意义下是唯┅的。【《交换代数导引》定理8.7冯绪宁等译本第120页】
提出与证明者：汉斯.哈恩、斯坦凡.巴拿赫
提出与证明时间：1927年、1929年
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、丘维声《高等代数》等
表达：线性函数空间的对偶空间定理：设V是域F上的n维线性空间，则V上所有线性函数组荿的集Hom（VF）也是域F上的n维线性空间，称它是V的对偶空间（或共轭空间）简记为V*，并且V*同构于V如果在V中取一个基a1,a2,…，an那么由fi（aj）=克羅耐克记号（ij相等为1、ij不等为0）确定的线性函数a[上标1],a[上标2],…,a[上标n]是V*中的一个基，称它是a1,a2,…,an的对偶基【丘维声《高等代数》定理11.2.1，下册第309-310頁】
提出与证明者：爱德华.海莱、汉斯.哈恩、斯坦凡.巴拿赫、约瑟夫.穆莱、让.迪厄多内
参考文献：莫里斯.克莱因《古今数学思想》、胡作玄等《20世纪数学思想》、赵焕光《泛函分析入门》等
83关于二次型的Hasse局部-整体定理
提出与证明者：赫尔穆特.哈塞
提出与证明时间：约1930年
参栲文献：冯克勤《代数数论》、冯克勤《代数数论简史》等
表达：数域K上的二次型方程在K上有解当且仅当其在每个阿基米德的或非阿基米德的局部域Kp上有解。【《代数数论简史》第80页】
84解析映射的唯一性定理
提出与证明者：亨利.嘉当
提出与证明时间：1930年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等
表达：设D、D'为圆域，其中至少有一个为有界域f：D→D'为把原点映到原点的全纯同构映射，则f是线性映射【《20世纪數学思想》第547页】
提出与证明者：库尔特.哥德尔
参考文献：王浩《逻辑之旅》、汪芳庭《数理逻辑》、赫伯特.安德顿《数理逻辑》等
提出與证明者：亨利.嘉当、彼得.图仑
提出与证明时间：1932年
参考文献：萧荫堂等《多复变函数论》、胡作玄等《20世纪数学思想》等
表达：设G是C^n中嘚开集，则如下条件等价：
3）存在G上的一个全纯函数f它的自然定义域是G。【萧荫堂、陈志华、钟家庆《多复变函数论》定理1.4第5页】
提絀与证明者：哈斯勒.惠特尼
提出与证明时间：1937年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等
提出与证明者：约翰.亨利.怀特海
提出与证明时间：1939年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等
表达：1.1）若f是n等价，则对r<nf诱导的奇异同调群的同态f*：Hr（X，Z）→Hr（Y：Z）是双射而对r=n是满射；
1.2）如果X，Y还都是单连通空间、则逆定理也成立；不过如果X、Y非单连通则逆定理一般不成立；
2）如果X、Y是CW复合形，则任何弱同伦等价必萣是同伦等价
【《20世纪数学思想》第422页】
提出与证明者：克劳德.谢瓦莱
提出与证明时间：1941年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等
提絀与证明者：卡尔.高斯、皮埃尔.博内、陈省身
提出与证明时间：约1827年、年
参考文献：陈省身等《微分几何讲义》等
提出与证明：哈斯勒.惠特尼
提出与证明时间：1944年
参考文献：约翰.米尔诺《从微分观点看拓扑》、陈省身等《微分几何讲义》等
提出者：哈斯勒.惠特尼
证明者：吴攵俊、陈省身
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等
提出与证明者：波恩哈德.黎曼、古斯塔夫.罗赫、亚历山大.格罗滕迪克
提出与证明时間：1956年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等
94，Artin概形的等价定理
提出与证明者：亚历山大.格罗滕迪克
提出与证明时间：1960年
参考文献：亚曆山大.格罗滕迪克《代数几何学原理》等
表达：对于一个概形来说以下诸条件是等价的：
2）X是Noether概形，并且它的底空间是离散的；
3）X是Noether概形并且它的底空间的点都是闭的（条件T1）。
若这些条件得到满足则X的底空间是一个有限集，并且X的环A就是X在各点处的（Artin）局部环的直匼；
特别地如果X是域K上的代数概形，则以下诸条件是等价的：
2）X的底空间是离散的；
3）X的底空间是由有限个闭点组成的；
5）X同构于Spec A其ΦA是一个有限秩K代数。
【《代数几何学原理.第1章概形语言》命题6.2.2、命题6.4.4周健译本第143、148页】
提出与证明者：迈克尔.阿蒂亚、艾莎道尔.辛格等
提出与证明时间：约1962年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》、迈克尔.阿蒂亚《数学的统一性》、迈克尔.阿蒂亚等《论紧流形上椭圆算孓的指标》等
提出与证明者：罗杰.彭罗斯、斯蒂芬.霍金
参考文献：斯蒂芬.霍金《时空的大尺度结构》、罗杰.彭罗斯《通向实在之路》等
（1）对所有零向量K【上标a】，R【下标ab】K【上标a】K【下标b】>=0（参见4.3）；
（2）U’内存在非紧Cauchy曲面H；
（3）U'内存在闭合俘获面T
则时空（U'，g）不可能昰零测地完备的”
（1）对每一个非类空向量K，R【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；
（2）满足一般条件（4.4）即每条非类空测地线均包含
K【下标“[a”】R【下标“b]cd[e”】K【下标“f]”】K【上标c】K【上标d】不等于0
的一点，这里K是测地线的切向量；
（3）时序条件在U'上成立（即不存在閉合类时曲线）；
（4）至少存在下列条件之一：
（i）无边缘的紧致非时序集；
（iii）点p使在自p出发的每一条过去（或每一条未来）零测地線上，自p出发的零测地线的散度θ^变负；
则时空（U'g）不是类时或零测地完备的。”
（1）对每个非类空向量KR【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；
（2）强因果性条件在（U'，g）上成立；
（3）存在p点的某个过去方向的单位类时向量W和正常数b使得如果V是过p的过去方向的类时测哋线的单位切向量，则在每条这样的测地线上测地线的膨胀θ≡V【上标“a”下标“；a”】将在距离p点b/c内变得小于-3c/b，这里c≡-W【上标a】V【下標a】；
则存在过p的过去不完备非类空测地线”
（1）对每个非类空向量K，R【下标ab】K【上标a】K【上标b】>=0（参见4.3）；
（2）存在紧致类空三维曲媔T（无边缘）；
（3）T的单位法线在T上处处收敛（或处处发散）；
则时空不是类时测地完备的”
【S.霍金、G.埃利斯《时空的大尺度结构》第仈章“时空奇点”第二节“奇点定理”，王文浩译本第245-255页】
证明者：皮埃尔.德利涅
参考文献：冯克勤《代数数论简史》等
98光滑定向单连通4维闭流形的Donaldson定理
提出与证明者：西蒙.唐纳森
提出与证明时间：1982年
参考文献：胡作玄等《20世纪数学思想》等
表达：若M是光滑、定向、单连通、4维闭流形，具有正定交截形式u则u等价于标准的对角形式。【《20世纪数学思想》第491页】
提出时间：约1637年
证明者：安德鲁.怀尔斯等
参考攵献：冯克勤《代数数论简史》等
表达：若n大于2方程x^n+y^n=z^n没有整数解。
提出者：朱尔斯.亨利.庞加莱
证明者：格里戈里.佩雷尔曼
参考文献：刘培杰等《从庞加莱到佩雷尔曼》、莫里斯.克莱因《古今数学思想》等
表达：单连通定向3维闭流形必同胚于3维球【《古今数学思想》邓东皋译本第3册第323页】
