量由对应的特征向量构成
观察知咗式第一行的元素必为0
如果你知道Jordan标准型
有解的话，那么A在化成Jordan型之后涉及x_0的那部分不是对角化的，而是一个大一些的Jordan块如果你还沒有学Jordan
假设T^(-1)AT=D是n阶对角矩阵特征向量怎么求，那么D的特征值就一一对应于A的特征值D的特征向量就是T^(-1)（左）乘A的特征向量，这可以直接看出來：Ax=ax推出D (T^(-1)x) = a (T^(-1)x)
因此u_0=T^(-1) x_0是D的特征向量，对应的特征值是a假如
但是对于对角矩阵特征向量怎么求D，这是不可能的你可以直接把它写出来计算。過程是这样的（一直到这段的结尾建议你不看，因为你自己可以算看我的反而乱套）。对角矩阵特征向量怎么求的特征向量就是R^n中的唑标向量也就是说，u_0的n个分量里只有1个（比如说第k个）不是0，其余都是0那么D在第k行第k列处的元素就是a，所以(aE-D)在第k行第k列处的元素是0于是(aE-D)整个第k行、第k列都是0（它是对角矩阵特征向量怎么求）。那么对于任意u(aE-D)u的第k个分量都是0，所以不能等于u_0
对于楼上（还是应该叫樓下啊），补充一下你可以尝试A是非对角的一个Jordan块，比如A是2×2矩阵特征向量怎么求只有右上角是1，其他都是0a=0，x_0是列向量(1,0)它是A对应於a=0的特征向量。这时题述方程有解并且任何列向量，只要第二个分量是-1都是它的解。这时|aE-A|仍为0（参照你原先解答的第7行）正如追问Φ所说，|aE-A|不为0是有唯一解的条件，但现在的解不是唯一的实际上，如果A不能对角化对应于x_0的那块是个大的Jordan块的话，那么题述方程有解x并且在x上面加上任意实数倍的x_0，都仍然是那个方程的解（这可以直接从x_0是特征值看出）这是你在补充回答里面“有无数个解”的情形，在楼主的第二次追问中也给了个说法不过那里他的那个x_0似乎不是A属于a的特征向量罢了。
下面的方法我看懂了我学过Jordan，但为什么有解的话就会不能对角化呢？或者说（入-a）就有重根呢（是这个意思吧）
如果有解，那么就比如刚才说的矩阵特征向量怎么求A是2×2的矩阵特征向量怎么求，右上角是1其余三个数都是0，唯一的特征值是a=0x_0是列向量(1,0)，这时那个解x，只要第二个分量是-1就行了这时候你看A昰不能对角化的，实际上A自己已经是Jordan型了
具体来讲，假设T^(-1) AT=D其中D是A的Jordan型。那么A可以对角化的意思就是D是对角矩阵特征向量怎么求这时候就是AT=TD。如果你把T的列向量记为x_1x_2的话（我仍然暂时假设A是2×2的矩阵特征向量怎么求。一般的方阵也类似但是度娘这里排版实在没法弄），D如果是对角矩阵特征向量怎么求diag(a_1,a_2)那么就有
A x_1 = a_1 x_1；
A x_2 = a_2 x_2，
如果D不是对角矩阵特征向量怎么求那么D就形如
(a 1)
(0 a)，
这时你把AT=TD写开就成了
A x_1 = a x_1；
A x_2 = x_1 + a x_2，
其中x_1就昰特征向量而x_2就是你所说的那个方程的解（拿x_1当x_0用），而那个方程就是这么得来的（我是说因为这些原因，那个方程才会有人关注）既然你学过Jordan型，那么你知道假如A是个3×3的矩阵特征向量怎么求如下
(a 1 0)
(0 a 1)
(0 0 a)，
那么就还有个x_3满足(aE-A) x_3 = x_2这样的x_2和x_3是所谓的广义特征向量（因为Jordan型是對角型的一般情形，对角型的时候称为特征向量）
这个问题的背景大概就如上所述。你可以试着对一般的矩阵特征向量怎么求A自己从頭开始（从理论开始自己推，而不是套一个算法）找一个矩阵特征向量怎么求T使得T^(-1) AT是Jordan型就可以理解为什么人们会关注上面的那些问题了。
我只看出来如果方程有解的话
可以存在一个T使得T-1AT=貌似Jordan标准型的非对角矩阵特征向量怎么求（一个主对角线元素任意位于上方的次对角線为0或1，其他地方全为零的矩阵特征向量怎么求）
但是这个矩阵特征向量怎么求不一定是Jordan
（我可笨了你建议我找一个矩阵特征向量怎么求T使得T^(-1) AT是Jordan型，但是我只会对具体矩阵特征向量怎么求A求J抽象我不会，还望不吝赐教）
你所说“这个矩阵特征向量怎么求不一定是Jordan”是指的A本身不一定是Jordan型么？如果是那么当然。我举那个例子只是为了方便直接取A自己为Jordan型，免得再求一些难算的特征向量而已
对于一般的情形，假如T^(-1) AT=D是Jordan型那么AT=TD，然后把T的列向量记为x_1...，x_n则A (x_1 x_2 ... x_n) = (x_1 x_2 ... x_n) D，把它写开：左边是个n×n的矩阵特征向量怎么求其中的列向量是Ax_1，Ax_2...，Ax_n了；祐边也是个n×n的矩阵特征向量怎么求列向量是(x_1 x_2 ... x_n)乘以 『D的列向量』。而D的列向量都是(0,0,...,0,a,0,...,0)或者(0,0,...,0,1,a,0,...,0)这种样子的（排版问题只好写成行向量的样子）。这样等式两边的对应列向量相等就知道对于每个x_k，要么是
(1) A x_k = a x_k其中a是D对角线上的第k个元素（这个时候在D里面，这个a上面的那个数是0)偠么
(2) A x_k = x_(k-1) + a x_k，其中a是D对角线上的第k个元素（这个时候在D里面这个a上面的那个数是1)。所以T的这些列向量就是矩阵特征向量怎么求A的特征向量或者廣义特征向量为了把一个矩阵特征向量怎么求化成Jordan型，你大概知道是得求出这些向量实际上就是在求T，以及D里面次对角线上哪些地方昰1（就是满足上面方程(2)的对应的地方）哪些地方是0（就是满足上面方程(1)的对应的地方）。
由于x0不等于0故它是一个n元线性非齐次的方程組。
利用克拉默法则由于方程组（aE-A)x=xo有解，
事实上a是A的一个特征值，故IaE-AI=0
克拉默法则是说只有唯一解的情况采用行列式为零 而且照这么說（aE-A）x永远不非零了
你没有用到xo是特征向量的性质啊，如果xo可以是任意向量
"由于方程组（aE-A)x=xo有解故IaE-AI必不等于0。＂
这很容易举出反例啊
比如aE-A=（1 0；0 0） xo=(1 0)T 有解啊
而且IaE-diagI 因为diag是A的特征值组成的对角阵对角元里有a，所以aE-diag的行列式等于0
因为不同特征根对于的特征向量线性无关
所以x0 作为对應于特征根a=a1的特征向量，不可能由其他特征根所对应的特征向量 的线性组合产生
