这个题原先高三模拟考时考过原题是在[-π/2,π/2]区间内y=x和y=sin x有几个交点,答案是一个即x=0时有一个交点。该题翻译过来就是在[-π/2,π/2]区间内除了x=0时,sinx=xsinx和x哪个大,当時很多人做错了都选3个,老师讲解时只说靠画图,画准一点解决。
现在才想明白怎么做了,只有用单位圆解决先说[0,π/2]区间[-π/2,0]同理
在单位圆[0,π/2]区间内sinx值为与x轴垂直的那条竖线,即sin线这个好理解,那么x呢在单位圆内对应哪条线?(这个问题很关键吔是考察各位对单位圆及用π表示角度的能否正确理解)。x是表示角度,我们知道360°角在单位圆中用2π表示,为什么用2π?因为我们在半径为1的单位圆中,绕一圈长度就是2π,即x值对应单位圆中一个圆的弧长度!!!
那么180°角,在单位圆中,就是半圆弧的长度;90°角,就是1/4段圆弧的长度这样通过单位圆,我们就把角度和圆完美统一了。
再回到此题,[0π/2]区间内,除了x=0这点只要单位圆中半径线一往90°方向旋转,单位圆的圆弧长度永远大于sin线的直线长度,所以在[0π/2]区间内,sinx永远小于x这样可以扩展到x从0到无限大,sinx永远小于x
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画单位圆,以圆心为顶点作角x则sinx和x还有tanx可以用单位圆上的扇形或者三角形面积表示
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