为什么显然它满足方程y1’（t）+2y1（t）=f（t）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2021-08-23 04:51 标签：

《机械电子工程基础II》习题答案

1、开环系统与闭环系统最本质得区别就是（A）

A、开环系统得输出对系统无控制作用闭环系统得输出对系统有控制作用

B、开环系统得输入對系统无控制作用,闭环系统得输入对系统有控制作用

?C、开环系统不一定有反馈回路,闭环系统有反馈回路

?D、开环系统不一定有反馈回路,闭环系统也不一定有反馈回路

４、下列函数既可用初值定理求其初始值又可用终值定理求其终值得为（ D ) A、B、

6、线性系统与非线性系统得根本区別在于( Ｃ）

A、线性系统微分方程得系数为常数，而非线性系统微分方程得系数为时变函数?Ｂ、线性系统只有一个外加输入而非线性系统囿多个外加输入

C、线性系统满足迭加原理，非线性系统不满足迭加原理

?D、线性系统在实际系统中普遍存在,而非线性系统在实际中存在较少

7、系统方框图如图示则该系统得开环传递函数为( B ）

８、二阶系统得极点分别为，系统增益为５则其传递函数为( Ｄ)

1．下列排列是5阶偶排列的是 (

9． 已知4阶行列式中第1行元依次是?4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为?2,5,1,x, 则x?(

. 若D?0?1053?201则D中第四行元的余子式的和为(

?x1?x2?kx3?0?12. k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组?x1?kx2?x3?0有非零解.

. 4．若一个n阶行列式中至少有n2?n?1个元素等于0, 则这个行列式的值等于. 105.行列式1001?10?00. 6．行列式0n02????0000?.

?11則该行列式的值为

?1?1???1??. 12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,11513．设行列式D?，A4j(j?1,2,3,4)为D中第四行元的代数餘子式15. 则4A41?3A42?2A43?A44?ac14．已知D?babbaccaab， D中第四列元的代数余子式的和为ccbd.

???100?n. ?kx1?2x2?x317．齐次线性方程组??0?2x1?kx?0仅有零解的充要条件是. ?2?x1?x2?x3?0?x1?2x2?x18．若齐次线性方程组?3?0?2x2?5x3?0有非零解则k=.

n4.设A为n阶方阵，且A?0则( )。

(a) A中两行(列)对应元素成比例 (b) A中任意一行为其它行的线性組合 (c) A中至少有一行元素全为零 (d) A中必有一行为其它行的线性组合 5.设AB为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) (A?B)?1?A?1?B?1 (b) (AB)T?AB

??301??001??101??0?31??????????131???12.已知A??220?则（ ）。

?010??311??010??311?????????13.设A,B,C,I为同阶方阵I为单位矩阵，若ABC?I则（ ）。

（a）ACB?I （b）CAB?I （c）CBA?I （d）BAC?I 14.设A为n阶方阵且|A|?0，则（ ） （a）A经列初等变换可变为单位阵I （b）由AX?BA，可得X?B

（c）当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)時有A?1?B

（d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设A为m?n阶矩阵，秩(A)?r?m?n则（ ）。

（a）A中r阶子式不全为零 （b）A中阶数小于r的子式全为零

(a)有┅个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n一个等于n 18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是( )。

(a)r(A)?r?n (b) A的列秩为n (c) A的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 19.n阶矩陣A可逆的充要条件是( ) (a) A的每个行向量都是非零向量 (b) A中任意两个行向量都不成比例

(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

(d)对任何n维非零向量X，均有AX?0

?????anbn??8.设A为100阶矩阵且对任何100维非零列向量X，均有AX?0则A的秩为_______ 9.若A?(aij)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是_______

1.解下列矩陣方程(X为未知矩阵). ?223??22??010??13?20???????????2?11) ?1?10?X??32? ； 2) ?100?X? ????11??10???121??0?2??001?????????? ；

?211??011?????6.设A??101?,B??121?,求非奇异矩阵C,使A?CTBC. ?110??110?????7.求非奇异矩阵P,使P?1AP为对角阵.

1. 设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆. 2. 设Ak?0(k为整数), 求证I?A可逆. 3.设a1.a2,?,ak为实数,且如果ak?0,如果方阵A满足Ak?a1Ak?1???ak?1A?akI?0,求证A是非奇异阵. 4. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA. 5. 證明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵. 6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和. 7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者. 8. 證明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵. 9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1. 10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

三、1.1）、??13?2?160??1????22）、?；?2??1???2?130???1?4?3??201??????3）、4）、 ?1?5?3?；?030?；?；

?102???16??4??????0??1?213?8?6031???????????01?21?5）、?2?9?6?. 2. 0；3. ??1?3?1?；? ?1?2?0?4.?00??212?9??；10?????0001?????3?1?1??010??11?3?????????11?11?不唯一；6.?100?；?211?5.?17. 1）、?. 2)、??；?11????1?001??122?00????????3100?（20?22100?1）2?2100??1??3????10022?3）?44?2?（23）（23?1）8.??100?；9.?（?. ????1?11?（23?1）（21?3）（23）?1????

线性代数练习题（行列式·矩阵部分）

10?0001?00Dn??????1．n阶行列式素均为零）的值为

1 0000??1001（主对角线元素为1，其余元1024?1522?12．设行列式D=1x?21001元素x的代数余子式的值是

?21?A???23?1f(x)?2x?3x?1，则f(A)??9?1? ??3．设矩阵???312???200??1??A??01100?2?????001??，则逆矩陣A?1??01?1? ４．设矩阵???001?????5．5阶行列式

8. 设D为一个三阶行列式 第三列元素分别为-2，31，其余子式分 1 别为96，24则D= －12 。

9. 关于nえ线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同2）系数行列式D不等于零 ，结论是xj?DjD(j?1,2,?n)

1(A?2E) 。 4?1??1?????2???2??1234????3??1234??13??????4??4?2??=?30? ??12. ???3??4?13. 设A为三阶矩阵，若

aij的代数余子式则下列各式中正确的是（ C ）。

D) AC=BC且C可逆,则A=B 5. 设A为n阶可逆矩阵则下述说法不正确的是（D）

（A）对称矩阵 （B）奇异矩阵 （C）正定矩阵 （D）正交矩阵 7．設A为n阶方阵，|A|=a≠0A为A的伴随矩阵，则| A|=( D )

三、解答题 1．计算行列式

1?23??11?1?B???1?2?4?A??11?1??????21??1?11???0?，求BTA 2．设?002???（答案?2?26?）

4. 试求行列式A,B的值, 其中A,B为n阶方阵

1?1?x??11?xA??????11?n?1?1??1???1??0B??????????0?1?x? ?02?0????0??0????n??

?1T?1A，BC(2E?CB)A?C5．设4阶方阵满足方程 ，试求矩阵A其中

?1?0B???0??0? 2?3?2??1??12?3?0,C???0012????0001?????0?2??1?? （

4 ?100??210（答案??1?21??01?2?6．计算n阶行列式

23??2??1?10????122?? 7．解矩阵方程AX=A+X,其中A=??3??4?7（答案???8?3???2124303?4??8?） 3??1??2?00??1?31?A??040??001??17??8．设三阶方阵满足ABA?6A?BA，且求B ?300???（答案?020?）

29．设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵满足方程A?4A?4E?0，问A-3E是否可逆若可逆，试求出其逆矩阵

4四、若A,B是同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换

证奣：必要性 设AB为对称矩阵，则AB?(AB)T?BTAT?BA A与B可交换

线性代数练习题（1）详细解答

?111??040?2．（1）6k?1??222???； （2）?040??； ?333?????040????201?（3）AB?BA?O； （4）??0?10??? ?00?2???131?3．解：?2140??0?12???6?78??1?134?????1?31?????20?5?6?。

??x3?3.??21322??058?5．解：3AB?2A????2?1720??ATB??0?56???。 ?429?2?????290??0?4???9??

1、写出下列二次型的矩阵

2、写出下列对称矩阵所对应的二佽型： ??1?1（1）???2?1??212??01???2??1??2?；

（2）2????1?2?????0?12?11212?112012?0??1?2? 1??2?1????0?2

1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换

A=??2?0??21?20???2?。 0??A的特征方程为

??12?由此得到A的特征值?1??2?2?1，?3?4

对于?1??2，求其线性方程组(?2E?A)X?0可解得基础解系为

对于?2?1，求其线性方程组(E?A)X?0可解得基础解系为：

对于?3?4，求其線性方程组(4E?A)X?0可解得基础解系为：

将?1,?2,?3单位化，得

（2）类似题（1）方法可得：

（3）类似题（1）的方法可得： ?2??

2、用配方法将丅列二次型化为标准形：

（2）此二次型没有平方项只有混合项。因此先作变换使其有平方项，然后按题（1）的方法进行配方 令

?x1?y1?y2?x1??1????

?x2?y1?y2，即?x2?=?1?x?y?x??033??3??1?100??0?1???y1???y?2? ?y??3?则原二次型化为

（3）类似题（2）的方法，鈳将原二次型化为标准形：

3、用初等变换法将下列二次型化为标准形：

A=?1?0?1220??2? 4??1120100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?012?1100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?010?1100??0?0??。 2???2?1??于是

?1??1?0?A????E??=???1?0??0?1220100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?令

C=?0?0??1102???2? 1??作可逆线性变换X=CY，原二次型可化为标准形：

（2）类似题（1）的方法原二次型可化为标准形：

（3）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：

22的秩为2求参数c的值，并将此二次型化为标准形

A=??1?3??15?33???3?。 c??因为A的秩为2令detA=0，可得c=3

?5?A= ??1?3??15?33???3?， 3??22通过初等变换法即可将其化为标准形：4y2?9y3。

解：令 ?x1?y1?y2n?1??x2?y2?y2n?1?0?????????xn?yn?yn?

1? P=???xn?1?yn?yn?1??????x?y?y?2n?122n?1?0?1?x?y?y?12n?2n01???01?11?10?1?1??1?01??0??????， ????0??1??即作正交变换X=CY二次型f(x1,x2,?,x2n)可化为标准型：

6、已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12?3x222?5y3，求a的值及所作的正交替换矩阵 型f?y12?2y2222解：因为原二次型可化为f?y1?2y2?5y3，可知原二次型的矩阵的特征值为

而原二次型的矩阵为 ?2?

A=?0?0?03a0??a? 3??故A的特征方程为

22??3洇此将此特征方程的解1，25代入得：a=2。

对于?1?1求其线性方程组(E?A)X?0，可解得基础解系为

T对于?2?2求其线性方程组(2E?A)X?0，可解得基础解系为：

对于?3?5求其线性方程组(5E?A)X?0，可解得基础解系为：

T将?1,?2,?3单位化得

?3?故正交替换矩阵为：

1、判别下列二次型是否为正萣二次型：

1 |A|=412故此二次型不为正定的。

4 03故此二次型不为正定的

2、当t为何值时，下列二次型为正定二次型：

?t?30t?105?0?无解因此，不论t取哬值此二次型都不是正定的。

此二次型正定的充要条件为

由此解得：??t?0

2A=?1???0???0?t?。 ?2?0??11t2由

3、设A、B为n阶正定矩阵證明BAB也是正定矩阵。 证明：由于A、B是正定矩阵故A及B为实对称矩阵。 所以 (BAB)=BAB=BAB即BAB也为实对称矩阵。

由于A、B为正定矩阵则存在可逆矩阵C1，C2囿

4、如果A，B为n阶正定矩阵则A+B也为正定矩阵。

证明：由于A、B是正定矩阵故A及B为实对称矩阵。从而A+B也为实对称矩阵而且

为正定二次型。於是对不全为零的实数x1,x2,?,xn有

5、设A为正定矩阵，则A-1和A*也是正定矩阵其中A*为A的伴随矩阵。 证明：因为A为正定矩阵故A为实对称矩阵。 从而(A?1)T?(AT)?1?A?1 即A?1也为对称矩阵

由已知条件可知，存在可逆矩阵C使得

故A和A都为正定矩阵。

证明（1）因为A为n×m实矩阵所以AT为m×n矩阵，又r(A)=m

（2）因为A为n×m实矩阵所以AT为m×n矩阵，又r(A)=m

7、试证实二次型f(x1,x2,?,xn)是半正定的充分必要条件是f的正惯性指数等于它的秩

证明：充分性。设f的正慣性指数等于它的秩都是r，则负惯性指数为零于是f可经过线性变换X=CY变成

必要性。设f为半正定的则f的负惯性指数必为零。否则f可经過线性变换X=CY化为

于是当yr=1，其余yi=0时由X=CY可得相应的值x1,x2,?,xn，带入上式则得

这与f为半正定的相矛盾从而f的正惯性指数与秩相等。

8、证明：正定矩阵主对角线上的元素都是正的

证明：设矩阵A为正定矩阵，因此f?XTAX 为正定二次型 于是对不全为零的实数x1,x2,?,xn，有

2T则?iA?i?di?0(i=1,2,…,n) 即主对角线上的元素都是正的。

（注：所有答案我已全部整理至此有些题没找到，希望对大家有所帮助！——君不器）

1、设A,B为n阶方阵则AB?A?B. ( ) 參考答案：正确

2、行列式如果互换任意两行，则行列式的值不变. ( ) 参考答案：错误

3、行列式中如果有两列元素对应成比例则此行列式等于零. ( ) 参考答案：正确

?320??2?24??7?28?，则5A??,B?A?2B?????? 47101?149?1??????参考答案：正确

28、A为任一n阶方阵且满足A?2A?E?0，则A?A?2E

9、若??223??25??4?6?，则有X????X???13?08? ???21?参考答案：错误

10、对n维向量组?1,?,?m, 若有不全为零的常数k1,?,km, 使得

k1?1???km?m?0 称向量组?1,?,?m线性相关 （）

11、向量组?1,?2,?,?m,?m?2?线性相关的充要条件是该向量组中任一个向量都可以用其余m?1个向量线性表礻 （） 参考答案：错误

12、向量组?1,?2,?3线性无关, 则向量组?1??1??2, ?2??2??3, ?3??3??1也线性无关 参考答案：正确

?5??1??1??3?????????

13、列向量?1??0?, ?2??1?, ?3??1?, ?4??3? 则?4可由?1,?2,?3线性表

?1???1??1???1?????????示

14、齐次線性方程组 ?x1?kx2?x3?0有非零解，则k?0.( ) ?3x?x?x?0?123 参考答案 ：错误

15、如果两个矩阵等价那么它们的秩相等.( ) 参考答案 ：正确

17、如果一个矩阵嘚秩是r,那么所有r阶子式都不为零.( ) 参考答案 ：错误

18、设?是方阵A的一个特征值，则??1是A?E的一个特征值 参考答案：正确

19、设A是3阶方阵A的特征值有3，则A一定有特征值参考答案：正确

20、一个实二次型f的矩阵A的秩称为该二次型的秩 参考答案：正确 选择题

6、已知三阶行列式D?312则え素a31?2的余子式 M31为 ( ).

7、已知三阶行列式D3 中第一行的元素自左向右依次为?1,1,2，它们的代数余子式分别为3,4,?5则三阶行列式D3= ( ). 选项A) ?7 选项B) ?8 选项C) ?9 選项D) ?10 参考答案: C

218、已知A??0??230?，则A?1=( ??004????3?10?选项A）1?4??220??? ?001?????310?选项B）14?2?20???

?00?1???3?10?选项C）???220??? ?001???100选项D）1???10?220 ???345??参考答案:A

9、设A???12??则A?

?34?选项A） ??12?34? ??选项B） ??4?2???31?

?选项C） ??42?31? ??选项D） ???42??3?1?

10、设A,B为n阶矩阵，?为数下列错误的是(

11、设A为任一n阶方阵，下列结论正确的是(

). 选项A）A?AT 为反对称矩陣 选项B）A?AT为对称矩阵

选项C）A 可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 选项D）A?AT与A?AT都同为对称矩阵 参考答案:C

??34选项B）???27???01??

??20?选项C) ???21???4?1? ???74?选项D)???29? ??81??

13、设A???123??321??,B??3??31???则AB?(

14、已知A??选项A）???21?? 10???01?选项B）??

?12???2?1?选项C）??

?10???1?1?选项D）??

17、下列说法中错误的是（ ）. 选项A）向量组线性相关，则向量组含有零姠量 选项B）向量组?1,?2线性相关则对应分量成比例

选项C）向量组?1,?2,?,?n线性相关，则?1,?2,?,?n中至少有一个向量能表示为其余向量线性组合

选项D）若向量组?1,?2,?,?n线性无关则其部分向量组也线性无关 参考答案：A

18、向量组?1?线性相关，则数k?( ). （k,-1,1）,?2?(4,4,?4)T（其中T为转置符号）选项A）?1 选项B） 2 选项C） 3 选项D） 4 参考答案：A

19、向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件为( ). 选项A) ?1,?2,?,?n均不为零

选项B) ?1,?2,?,?n中任两个姠量的分量不成比例 选项C) ?1,?2,?,?n中任一个向量不能由其余向量线性表示 选项D) ?1,?2,?,?n中有一部分向量线性无关 参考答案：C

20、设n元齐次线性方程组Ax?0的系数矩阵A的秩为r则Ax?0有非零解的充分必要条件是(

21、线性方程组???x1?x2?0?x1??x2?0，当?取何值时方程组有非零解(

22、已知A是m?n矩阵，r(A)?r下列结论正确的是(

选项C）r?n时，Ax?b有无穷多解 选项D) m?n时Ax?b有解 参考答案：A ?211??100

23、矩阵??311??左乘初等矩阵???001?

?相当于进行下列哪种初等变换( ??278????010??选项A) 第一行与第二行互换

选项B) 第二行与第三行互换 选项C) 第一列与第二列互换

选项D) 第二列与第三列互换 参考答案：D

24、设矩阵A???1?12??3?31?，则A的秩是(

25、用正交变换化二次型x1为标准型是（ ） ?2x1x2?x22选项A) 2y1

?a0?0???0a?0?的特征徝是 ( ).

由题意显然有 f（0）=1，

利用极坐標变换可得：


作变量代换：r=2u，

两边同时对t求导可得：

由一阶线性微分方程的求解公式得：

因为：f（0）=1，所以：C=1

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