待定系数法求的是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-23 01:55 标签： 待定系数法求的是什么
§2.6 待定系数法Methods of Undetermined Coefficients微分方程 \[A\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + B\frac{{dy}}{{dt}} + Cy = f(t)\] 本讲是关于求解微分方程的快速解法，所能求解的还是常系数二阶常微分方程。并且要求输入函数需要是“好的函数”。例如，指数函数 e^{st} 就是一种好的函数，其响应函数应为 Ye^{st} 。求解过程就是将解函数回代，求得Y。例如： \[y'' + y' + y = {e^{st}}\] ，代入解函数可得方程 \[({s^2} + s + 1)Y{e^{st}} = {e^{st}}\] ，可得 \[Y = \frac{1}{{{s^2} + s + 1}}\] 。函数t也是一种好函数，很容易求得 \[y'' + y' + y = t\] 的解，将试函数 \[{y_p} = a + bt\] 代入原方程可以求得 \[{y_p} = t - 1\] 。对于输入函数是多项式的情况，都可以用这种策略求解。三角函数也是一种好函数，例如 \[y'' + y' + y = \sin t\] ，将 \[{y_p} = {c_1}\cos t + {c_2}\sin t\] 代入原方程可求得方程的特解。“好函数”还可以是以上函数的某些乘积组合，例如 \[y'' + y' + y = t\sin t\] 。则将两种响应函数的乘积组合 \[{y_p} = (a + bt)\sin t + (c + dt)\cos t\] 作为试函数回代求解。所谓好的函数实际上是求导后仍旧为同一类的函数，例如指数函数和多项式都是这种类型，并且后面的课程会看到它们更容易进行拉普拉斯变换。所谓“待定系数法”就是当输入函数是特殊的“好函数”时，预判解函数的结构列出其解析式，待定解析式中的参数。然后将该解函数回代入微分方程求解参数。§2.6b 待定系数法举例An Example of Method of Undetermined Coefficients简单谈一下常微分方程的整体图像：对于非线性方程，只能用数值解法进行处理，Cleve Moler开设了一门平行课程，讨论应用MATLAB来进行微分方程的数值求解。当方程是线性方程，并且是常系数的条件下，总能求得方程的解析式，但有时解析式中会包含积分。当微分方程等号右侧的输入函数为几种特殊的函数时，解函数的形式也非常简单明了，例如等式右侧为 t,e^{at} 等。例如方程 \[y'' - 3y' + 2y = 4t\] ，首先可以轻松得到其“零解”，即齐次解 e^{t} 和 e^{2t} ，然后求其特解。我们了解特解函数的基本结构
\[{y_p} = a + bt\] ，将其回代入方程，可以得到
\[ - 3b + 2(a + bt) = 4t\] ，求得
\[a = 3,b = 2\] ，即 \[{y_p} = 3 + 2t\] 。如果方程为
\[y'' - 3y' + 2y = {e^{st}}\] ，则特解形式为\[{y_p} = Y{e^{st}}\]，将其回代入方程，可得
\[({s^2} - 3s + 2)Y{e^{st}} = {e^{st}}\] ，求得 \[Y = \frac{1}{{{s^2} - 3s + 2}}\] 。需要强调的两点是：其一，如果s为虚数，则根据欧拉公式可知输入函数可以变为余弦和正弦函数，它们同样也是容易处理的函数；其二，如果s的值使得Y的分母为0，则该表达式失效，本例中齐次解的指数1和2就会出现这种情况，这就是所谓的“共振”现象，此时需要改变特解的表达式为 \[{y_p} = \frac{{t{e^{st}}}}{{2s - 3}}\] ，它是应用洛必达法则所求得的结果。容易处理的“好输入函数”只有很少量的几种，但是在实际应用中其出现的概率却很大，现在对“好函数”做一个总结。§2.6c 常数变易法Variations of Parameters本讲以二阶常微分方程为例介绍求解微分方程的一种特殊解法：常数变易法。应用这种方法会在解函数的解析式中引入积分的形式，该积分通常包含微分方程等号右侧的输入函数或称源函数。二阶常微分方程\[y'' + B(t)y' + C(t)y = f(t)\] 。求解的关键是求出方程的特解，而在此之前需要知道两个“零解” \[{y_1}(t)\]
和 \[{y_2}(t)\]。当系数为随时间变化的函数时，齐次解即零解并不容易得到，但是前面课程已经解决了当系数B、C等为常系数时如何求解“零解”，这已经是很重要的结果。当求出“零解”时，通过\[{y_1}(t)\]和 \[{y_2}(t)\]的线性组合 \[y = {c_1}{y_1}(t) + {c_2}{y_2}(t)\] 得到的也是方程的零解，而常数变易法的思想就是用函数来替代常数参数来构造特解函数的表达式 \[y = {c_1}(t){y_1}(t) + {c_2}(t){y_2}(t)\] 。将这一解函数回代入原方程可以得到关于 \[{c_1}(t)\] 和 \[{c_2}(t)\] 导函数的方程组：\[{c_1}^\prime {y_1} + {c_2}^\prime {y_2} = 0\] \[{c_1}^\prime {y_1}^\prime
+ {c_2}^\prime {y_2}^\prime
= f(t)\] 从而可以求出\[{c_1}(t)\] 和 \[{c_2}(t)\]，将二者代入解函数的表达式则有：\[y(t) = {y_1}(t)\int {\frac{{ - {y_2}f(t)dt}}{{W(t)}}}
+ {y_1}(t)\int {\frac{{{y_1}(t)f(t)dt}}{{W(t)}}} \] 其中\[W(t) = \left
{\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{y_2}}\\ {{y_1}^\prime }&{{y_2}^\prime } \end{array}} \right
= {y_1}{y_2}^\prime
- {y_2}{y_1}^\prime \]被称为Wronskian行列式。以常系数微分方程 \[y'' + By' + Cy = f(t)\] 为例。该方程的零解为 \[{y_1} = {e^{{s_1}t}},{y_2} = {e^{{s_2}t}}\] ，其中 \[{s_1}\] 和 \[{s_2}\] 为方程 \[{s^2} + Bs + C = 0\] 的解。则
\[W = {y_1}{y'_2} - {y_2}{y'_1} = ({s_2} - {s_1}){e^{{s_1}t}}{e^{{s_2}t}}\] ，则有：\[\begin{array}{*{20}{l}} {y(t)}&{ = {e^{{s_1}t}}\int_0^t {\frac{{ - {e^{{s_2}T}}f(T)dT}}{{({s_2} - {s_1}){e^{{s_1}T}}{e^{{s_2}T}}}}}
+ {e^{{s_2}t}}\int_0^t {\frac{{{e^{{s_1}T}}f(T)dT}}{{({s_2} - {s_1}){e^{{s_1}T}}{e^{{s_2}T}}}}} }\\ {}&{ = \frac{{ - 1}}{{{s_2} - {s_1}}}\int_0^t {{e^{{s_1}(t - T)}}f(T)dT}
+ \frac{1}{{{s_2} - {s_1}}}\int_0^t {{e^{{s_2}(t - T)}}f(T)dT} }\\ {}&{ = \int_0^t {g(t - T)f(T)dT} } \end{array}\] 应用常数变易法求解常系数微分方程的结果告诉我们，响应函数实际上是输入函数 \[f(t)\] 和一个增长因子乘积的积分，而增长因子部分 \[g(t - T) = \frac{{{e^{{s_2}(t - T)}} - {e^{{s_1}(t - T)}}}}{{{s_2} - {s_1}}}\] 实际上就是脉冲响应。（参见2.3c）这相当于在T时刻输入一个大小为
的脉冲函数\[f(t)\]，这个函数造成的结果就是\[f(t)\] 在t-T的时间内按照脉冲响应的模式增长，将所有时刻的脉冲响应累积起来就是这个积分 \[\int_0^t {g(t - T)f(T)dT} \] ，这也就是得到的解函数的最终表达式。其实在一阶常微分方程中已经有过相同的情况，一阶常微分方程的脉冲响应为
\[y(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{t < T}\\ {{e^{a(t - T)}}}&{t \ge T} \end{array}} \right.\] ，而一阶微分方程对任意函数的相应为
\[y(t) = \int\limits_0^t {{e^{a(t - s)}}q(s)ds} \] 。

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