北师大版2012高三数学理金版新学案一轮复习测试：选修4-1 第2课时　直线与圆的位置关系
北师大版2012高三数学理金版新学案一轮复习测试：选修4-1 第2课
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1．(2010?天津卷)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则的值为________．
解析：　P＝P，A＝PCB，
PCB∽△PAD.
2．(2010?湖南卷)如图所示，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到O的切线长PT＝4，则弦AB的长为______．
解析：　由切割线定理知
PT2＝PA?PB，
弦AB的长为PB－PA＝8－2＝6.
3．如图所示，已知PC、DA为O的切线，C、A分别为切点，AB为O的直径，若DA＝2，＝，则AB＝________.
解析：　由CD＝DA＝2，DP＝4.
在RtADP中，AP＝＝2.
由切割线定理：PC2＝PA?PB，
62＝2(2＋AB)，AB＝4.
4．(2010?陕西卷)如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
解析：　C＝90°，AC为圆的直径，
BC为圆的切线，AB为圆的割线．
BC2＝BD?BA，即16＝BD?5，
DA＝BA－BD＝5－＝.＝.
5．(2010?广东东莞)如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若ACB＝120°，则APB＝________.
解析：　连结OA、OB，PAO＝PBO＝90°，
ACB＝120°，AOB＝120°.
又P、A、O、B四点共圆，故APB＝60°.
答案：　60°
6．(2010?广东佛山)如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD＝________.
解析：　由切割线定理知，PC2＝PA?PB，
解得PC＝2.
故CD＝＝＝.
7．如图，AB为O的直径，AC切O于点A，且AC＝2 cm，过C的割线CMN交AB的延长线于点D，CM＝MN＝ND，则AD的长等于________cm.
解析：　由切割线定理知|CA|2＝|CM|?|CN|＝2|CM|2，因为|CA|＝2，
所以|CM|＝2，|CD|＝6，
所以|AD|＝＝2.
8．(2010?广东卷)如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，OAP＝30°，则CP＝______.
解析：　AP＝PB，OP⊥AB.
又OAP＝30°，AP＝a.
由相交弦定理得CP?PD＝AP2，
CP＝＝a2×＝a.
9．(2010?北京卷)如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A.
若BDAE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______，CE＝______.
解析：　由圆的割线定理知：
AB?AC＝AD?AE，
AE＝8，DE＝5.
连接EB，EDB＝90°，
EB为直径．ECB＝90°.
由勾股定理，得
EB2＝DB2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2＝16－9＋25＝32.
在RtECB中，EB2＝BC2＋CE2＝4＋CE2，
∴CE2＝28，CE＝2.
答案：　5　2
10．如图，PC切O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CDAB于点E，已知O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________.
解析：　因为PB＝PA＋AB＝8，
所以在O中，由切割线定理得：
PC2＝PA?PB＝2×8＝16，故PC＝4；
连结OC，则OCCP，
在RtOCP中，由射影定理得：
PC2＝PE?PO，
则PE＝＝.故OE＝PO－PE＝.
答案：　4　
11．如图，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，
M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点．
求证：MCP＝MPB.
证明：　PA与圆相切于A，
MA2＝MB?MC.
M为PA的中点，PM＝MA，
PM2＝MB?MC，＝.
BMP＝PMC，BMP∽△PMC，
12．如图，已知在ABC中，ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
解析：　由切割线定理得AD2＝AE?AB，
所以AB＝4，EB＝AB－AE＝3.
又OCD＝ADE＝90°－CDB，
ADE∽△ACO，
＝，即＝，CD＝3.
答：CD的长等于3.
13．(2010?江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
证明：　如图所示，连接OD，BD，
因为CD为O的切线，AB为直径，
所以ADB＝ODC＝90°.
所以ODA＝BDC.
又因为DA＝DC，
所以DAB＝DCB.
所以ADO≌△CDB.
所以OA＝BC，从而AB＝2BC.
14．已知弦AB与O半径相等，连接OB并延长使BC＝OB.
(1)问AC与O的位置关系是怎样的；
(2)试在O上找一点D，使AD＝AC.
解析：　(1)AB与O半径相等，
OAB为正三角形，
OAB＝60°＝OBA，
又BC＝OB＝AB，
C＝BAC＝30°，故OAC＝90°，
AC与O相切．
(2)延长BO交O于D，则必有AD＝AC.
BOA＝60°，
又C＝30°，
C＝D，得AD＝AC.
15．(2010?辽宁卷)如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：ABE∽△ADC；
(2)若ABC的面积S＝AD?AE，求BAC的大小．
解析：　(1)证明：由已知条件，可得BAE＝CAD.
因为AEB与ACB是同弧所对的圆周角，
所以AEB＝ACD.
故ABE∽△ADC.
(2)因为ABE∽△ADC，所以＝，
即AB?AC＝AD?AE.
又S＝AB?ACsinBAC，
且S＝AD?AE，
故AB?ACsinBAC＝AD?AE.
则sinBAC＝1，
又BAC为ABC的内角，
所以BAC＝90°.
16．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BEAC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2.
(1)求AC的长；
(2)求证：EF＝BE.
解析：　(1)PA2＝PC?PD，PA＝2，PC＝1，PD＝4.
又PC＝ED＝1，CE＝2.
PAC＝CBA，PCA＝CAB，
PAC∽△CBA，
＝，AC2＝PC?AB＝2，
(2)证明：CE?ED＝BE?EF，
BE＝AC＝，
EF＝＝，EF＝BE.
17．如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：
(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB?EC.
【解析方法代码】
证明：　(1)AED＝EPC＋C，ADE＝APD＋PAB.因为PE是APC的角平分线，故EPC＝APD，
又PA是O的切线，故C＝PAB.
所以AED＝ADE.故AD＝AE.
(2)PCE∽△PAD?＝；
PAE∽△PBD?＝.
又PA是切线，PBC是割线PA2＝PB?PC＝.故＝，
又AD＝AE，故AD2＝DB?EC.
18．如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)求证：FB2＝FA?FD；
(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长.【解析方法代码】
解析：　(1)证明：AD平分EAC，
∵四边形AFBC内接于圆，
∵∠EAD＝FAB＝FCB，
FBC＝FCB，FB＝FC.
(2)证明：FAB＝FCB＝FBC，AFB＝BFD，
FBA∽△FDB.∴＝，
FB2＝FA?FD.
(3)AB是圆的直径，ACB＝90°.
EAC＝120°，
DAC＝EAC＝60°，
BAC＝BFC＝60°，FDB＝30°，
FBC为正三角形．
又BC＝6，在RtABC中，AC＝2，
在RtACD中，AD＝4.
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[b]资料语言:[/b] 简体中文
[b]资料类别:[/b] 教学资料
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1．(2010?天津卷)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则的值为________．
解析：　P＝P，A＝PCB，
PCB∽△PAD.
2．(2010?湖南卷)如图所示，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到O的切线长PT＝4，则弦AB的长为______．
解析：　由切割线定理知
PT2＝PA?PB，
弦AB的长为PB－PA＝8－2＝6.
3．如图所示，已知PC、DA为O的切线，C、A分别为切点，AB为O的直径，若DA＝2，＝，则AB＝________.
解析：　由CD＝DA＝2，DP＝4.
在RtADP中，AP＝＝2.
由切割线定理：PC2＝PA?PB，
62＝2(2＋AB)，AB＝4.
4．(2010?陕西卷)如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
解析：　C＝90°，AC为圆的直径，
BC为圆的切线，AB为圆的割线．
BC2＝BD?BA，即16＝BD?5，
DA＝BA－BD＝5－＝.＝.
5．(2010?广东东莞)如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若ACB＝120°，则APB＝________.
解析：　连结OA、OB，PAO＝PBO＝90°，
ACB＝120°，AOB＝120°.
又P、A、O、B四点共圆，故APB＝60°.
答案：　60°
6．(2010?广东佛山)如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CDAB于D点，则CD＝________.
解析：　由切割线定理知，PC2＝PA?PB，
解得PC＝2.
故CD＝＝＝.
7．如图，AB为O的直径，AC切O于点A，且AC＝2 cm，过C的割线CMN交AB的延长线于点D，CM＝MN＝ND，则AD的长等于________cm.
解析：　由切割线定理知|CA|2＝|CM|?|CN|＝2|CM|2，因为|CA|＝2，
所以|CM|＝2，|CD|＝6，
所以|AD|＝＝2.
8．(2010?广东卷)如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，OAP＝30°，则CP＝______.
解析：　AP＝PB，OP⊥AB.
又OAP＝30°，AP＝a.
由相交弦定理得CP?PD＝AP2，
CP＝＝a2×＝a.
9．(2010?北京卷)如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A.
若BDAE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______，CE＝______.
解析：　由圆的割线定理知：
AB?AC＝AD?AE，
AE＝8，DE＝5.
连接EB，EDB＝90°，
EB为直径．ECB＝90°.
由勾股定理，得
EB2＝DB2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2＝16－9＋25＝32.
在RtECB中，EB2＝BC2＋CE2＝4＋CE2，
∴CE2＝28，CE＝2.
答案：　5　2
10．如图，PC切O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CDAB于点E，已知O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________.
解析：　因为PB＝PA＋AB＝8，
所以在O中，由切割线定理得：
PC2＝PA?PB＝2×8＝16，故PC＝4；
连结OC，则OCCP，
在RtOCP中，由射影定理得：
PC2＝PE?PO，
则PE＝＝.故OE＝PO－PE＝.
答案：　4　
11．如图，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，
M为PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点．
求证：MCP＝MPB.
证明：　PA与圆相切于A，
MA2＝MB?MC.
M为PA的中点，PM＝MA，
PM2＝MB?MC，＝.
BMP＝PMC，BMP∽△PMC，
12．如图，已知在ABC中，ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
解析：　由切割线定理得AD2＝AE?AB，
所以AB＝4，EB＝AB－AE＝3.
又OCD＝ADE＝90°－CDB，
ADE∽△ACO，
＝，即＝，CD＝3.
答：CD的长等于3.
13．(2010?江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
证明：　如图所示，连接OD，BD，
因为CD为O的切线，AB为直径，
所以ADB＝ODC＝90°.
所以ODA＝BDC.
又因为DA＝DC，
所以DAB＝DCB.
所以ADO≌△CDB.
所以OA＝BC，从而AB＝2BC.
14．已知弦AB与O半径相等，连接OB并延长使BC＝OB.
(1)问AC与O的位置关系是怎样的；
(2)试在O上找一点D，使AD＝AC.
解析：　(1)AB与O半径相等，
OAB为正三角形，
OAB＝60°＝OBA，
又BC＝OB＝AB，
C＝BAC＝30°，故OAC＝90°，
AC与O相切．
(2)延长BO交O于D，则必有AD＝AC.
BOA＝60°，
又C＝30°，
C＝D，得AD＝AC.
15．(2010?辽宁卷)如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：ABE∽△ADC；
(2)若ABC的面积S＝AD?AE，求BAC的大小．
解析：　(1)证明：由已知条件，可得BAE＝CAD.
因为AEB与ACB是同弧所对的圆周角，
所以AEB＝ACD.
故ABE∽△ADC.
(2)因为ABE∽△ADC，所以＝，
即AB?AC＝AD?AE.
又S＝AB?ACsinBAC，
且S＝AD?AE，
故AB?ACsinBAC＝AD?AE.
则sinBAC＝1，
又BAC为ABC的内角，
所以BAC＝90°.
16．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BEAC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2.
(1)求AC的长；
(2)求证：EF＝BE.
解析：　(1)PA2＝PC?PD，PA＝2，PC＝1，PD＝4.
又PC＝ED＝1，CE＝2.
PAC＝CBA，PCA＝CAB，
PAC∽△CBA，
＝，AC2＝PC?AB＝2，
(2)证明：CE?ED＝BE?EF，
BE＝AC＝，
EF＝＝，EF＝BE.
17．如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：
(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB?EC.
【解析方法代码】
证明：　(1)AED＝EPC＋C，ADE＝APD＋PAB.因为PE是APC的角平分线，故EPC＝APD，
又PA是O的切线，故C＝PAB.
所以AED＝ADE.故AD＝AE.
(2)PCE∽△PAD?＝；
PAE∽△PBD?＝.
又PA是切线，PBC是割线PA2＝PB?PC＝.故＝，
又AD＝AE，故AD2＝DB?EC.
18．如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)求证：FB2＝FA?FD；
(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长.【解析方法代码】
解析：　(1)证明：AD平分EAC，
∵四边形AFBC内接于圆，
∵∠EAD＝FAB＝FCB，
FBC＝FCB，FB＝FC.
(2)证明：FAB＝FCB＝FBC，AFB＝BFD，
FBA∽△FDB.∴＝，
FB2＝FA?FD.
(3)AB是圆的直径，ACB＝90°.
EAC＝120°，
DAC＝EAC＝60°，
BAC＝BFC＝60°，FDB＝30°，
FBC为正三角形．
又BC＝6，在RtABC中，AC＝2，
在RtACD中，AD＝4.
[url=]下载地址[/url]如图,圆O是RT三角形的外接圆，AB为直径角ABC=30度CD是元O的切线ED垂直AB与F判断三_百度知道
解：（1）∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC，∴△AOC是正三角形．又∵CD是切线，∴∠OCD=90°．∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形．（2）证明：在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC= = ．∵OF= ，∴AF=AO+OF= ．又∵∠AEF=30°，∴AE=2AF= +1，∴CE=AE-AC= =BC，而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC；故△CDE≌△COB．
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（;荆门）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF= 3-12，求证△DCE≌△OCB．考点：切线的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定．专题：证明题；探究型．分析：（1）易得△AOC是正三角形，故有∠E=30°，由∠OCD=90°和平角的概念可得∠DCE=30°=∠E，所以DE=CD；进而可知此三角形为等腰三角形．（2）由勾股定理求得BC= 3，然后由直角三角形的性质，求得CE= 3，即可证得△DCE≌△OCB．解答：解：（1）∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC，∴△AOC是正三角形．又∵CD是切线，∴∠OCD=90°．∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形．（2）证明：在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC= 22-12= 3．∵OF= 3-12，∴AF=AO+OF= 3+12．又∵∠AEF=30°，∴AE=2AF= 3+1，∴CE=AE-AC= 3=BC，而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC；故△CDE≌△COB．点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质求解．
∵CD是圆O的切线
∴∠DCB=90-∠OCB=∠OCA=60=∠OAC∴∠DCE=90-∠DCB=90-∠OAC=∠E三角形DCE是等腰三角形
（1）解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，又∵OA=OC，∴△AOC是正三角形，又∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°，又∵ED⊥AB于F，∴∠DEC=90°-∠BAC=30°，∴∠DCE=∠DEC，故△CDE为等腰三角形；（2）证明：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=AO=2，∴ ，BC=√4²-√ 2²=2 √ 3而 ，CE=，2（√ 3＋1)-2=2√ 3∴BC=CE，又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，∴△OBC≌△DCE（ASA）．
设圆O的半径为1，切OF=2分之 根3减1，求证三角形DCE全等于三角形OCB 因为角B=30度，OB=OC 所以角OCB=30度因为CD是切线，所以角OCD=90度所以
（1）解：∵AB是⊙O的直径.
∴∠ACB＝90°
又∠A＝30°
∴∠ABC＝60°
连接OC，因CD切⊙O于C，则∠OCD＝90°
∵OB＝OC，∠ABC＝60°
∴∠OCB＝60°
∴∠BCD＝30°
又∠OBC＝∠BCD＋∠D
∴∠D＝30°
∴AC＝CD＝3
在Rt△ABC中，cosA＝
∴AB＝＝＝6（cm）
（2）△BMN中，①当∠BNM＝90°时，cos∠MBC＝
即cos60°＝
∴S△BMN＝BN·MN＝ （cm2）
②当∠NMB＝90°时，cos∠MBC＝
即cos60°＝
此时BM＝ BN＝
∴S△BMN＝ BM·MN＝××＝（cm2）
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＞＞＞如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连结AB.现在⊙O上找一点C，使OA..
如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连结AB. 现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2=BC2，则∠OAC的度数为（　　）A．15°或75°&&&&B．20°或70°&&&&C．20°&&&&D．30°
题型：单选题难度：中档来源：不详
A.试题分析：如图，延长BO交圆于D，延长AO交圆于E，若C在BO延长线的右边，连接CD，BD，BE，∵BD是⊙O直径，∴∠BCE=90°.设⊙O的半径为r，则OA="OB=" r.∵OA2+AB2=BC2， ∴.∴∠DBC=30°.∴.若C在BO延长线的左边，作找C关于BD的对称点C′，连接C′A，C′B，则.综上所述，∠OAC的度数为15°或75°&& .故选A.
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连结AB.现在⊙O上找一点C，使OA..”主要考查你对&&圆的认识，正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算），弧长的计算 ，扇形面积的计算 &&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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圆的认识正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）弧长的计算 扇形面积的计算
圆的定义：圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。相关定义:1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.……在实际应用中，一般取π≈3.14。11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。圆的字母表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。圆—⊙ ； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒ ； 直径—d ；扇形弧长—L ；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&周长—C ；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 面积—S。圆的性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。（2）有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式：　θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。（3）有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。点、线、圆与圆的位置关系：点和圆位置关系①P在圆O外，则 PO&r。②P在圆O上，则 PO=r。③P在圆O内，则 0≤PO&r。反过来也是如此。直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d&r。②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d&r。③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）圆和圆位置关系①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P&R+r；外切P=R+r；内含P&R-r；内切P=R-r；相交R-r&P&R+r。圆的计算公式:1.圆的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr23.扇形弧长L=圆心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径 d=2r6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）圆的方程:1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。特别地，以原点为圆心，半径为r（r&0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：①当D2+E2-4F&0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D2+E2-4F）/2为半径的圆；②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；③当D2+E2-4F&0时，方程不表示任何图形。3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ为参数）圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。经过圆x2+y2=r2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r2在圆（x2+y2=r2）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。圆的历史:&&&&& 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。&&&&&& 约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。&&&&& 会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。&&&&&& 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一"，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3..1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。 在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形和圆的关系：把一个圆分成n等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。 与正多边形有关的概念： （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。圆的计算公式：1.圆的边长即的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr23.扇形弧长L=圆心角（弧度制）· r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径 d=2r6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）8.圆心角所对的弧的度数等于弧所对的圆心角的度数;9.圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;10.圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半；11.扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。弧长：在圆周长上的任意一段弧的长弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为。（n是圆心角度数，r是半径，l是圆心角弧长。）扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。扇形面积公式：(其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。)设半径R,1.已知圆心角弧度α（或者角度n）面积S=α/(2π)·πR2=αR2/2 S=(n/360)·πR22.已知弧长L：面积S=LR/2
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