数学排列的经典例题_百度知道
数学排列的经典例题
包括答案和解析
通项都告你了： h(n)=c(2n,n)/(n+1) Catalan数h(n)与h(n-1)之间的关系你写不出来？？？ h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) 是用生成函数解决的…… 生成函数（也有叫做“母函数”的，但是我觉得母函数不太好听）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。 生成函数最绝妙的是，某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。也就是说，不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。比如，这个函数f(n)=1 （n当然是属于自然数的），它的生成函数就应该是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...（每一项都是一，即使n=0时也有x^0系数为1，所以有常数项）。再仔细一看，这就是一个有无穷多项的等比数列求和嘛。如果-1&x&1，那么g(x)就等于1/(1-x)了。在研究生成函数时，我们都假设级数收敛，因为生成函数的x没有实际意义，我们可以任意取值。于是，我们就说，f(n)=1的生成函数是g(x)=1/(1-x)。 我们举一个例子说明，一些具有实际意义的组合问题也可以用像这样简单的一个函数全部表示出来。 考虑这个问题：从二班选n个MM出来有多少种选法。学过简单的排列与组合的同学都知道，答案就是C(4,n)。也就是说。从n=0开始，问题的答案分别是1,4,6,4,1,0,0,0,...（从4个MM中选出4个以上的人来方案数当然为0喽）。那么它的生成函数g(x)就应该是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。这不就是……二项式展开吗？于是，g(x)=(1+x)^4。 你或许应该知道，(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k；但你或许不知道，即使k为负数和小数的时候，也有类似的结论：(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2)+...（一直加到无穷；式子看着很别扭，自己写到草稿纸上吧，毕竟这里输入数学式子很麻烦）。其中，广义的组合数C(k,i)就等于k(k-1)(k-2)(k-i+1)/i!，比如C(4,6)=4*3*2*1*0*(-1)/6!=0，再比如C(-1.4,2)=(-1.4)*(-2.4)/2!=1.68。后面这个就叫做牛顿二项式定理。当k为整数时，所有i&k时的C(k,i)中分子都要“越过”0这一项，因此后面C(k,k+1),C(k,k+2)之类的都为0了，与我们的经典二项式定理结论相同；不同的是，牛顿二项式定理中的指数k可以是任意实数。 我们再举一个例子说明一些更复杂的生成函数。n=x1+x2+x3+...+xk有多少个非负整数解？这道题是学排列与组合的经典例题了。把每组解的每个数都加1，就变成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整数解的个数了。教材上或许会出现这么一个难听的名字叫“隔板法”：把n+k个东西排成一排，在n+k-1个空格中插入k-1个“隔板”。答案我们总是知道的，就是C(n+k-1,k-1)。它就等于C(n+k-1,n)。它关于n的生成函数是g(x)=1/(1-x)^k。这个生成函数是怎么来的呢？其实，它就是(1-x)的-k次方。把(1-x)^(-k)按照刚才的牛顿二项式展开，我们就得到了x^n的系数恰好是C(n+k-1,n)，因为C(-k,n)*(-x)^n=[(-1)^n*C(n+k-1,n)]*[(-1)^n*x^n]=C(n+k-1,n)x^n。这里看晕了不要紧，后文有另一种方法可以推导出一模一样的公式。事实上，我们有一个纯组合数学的更简单的解释方法。因为我们刚才的几何级数1+x+x^2+x^3+x^4+...=1/(1-x)，那么(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k就等于1/(1-x)^k。仔细想想k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘是什么意思。(1+x+x^2+x^3+x^4+...)^k的展开式中，n次项的系数就是我们的答案，因为它的这个系数是由原式完全展开后k个指数加起来恰好等于n的项合并起来得到的。 现在我们引用《组合数学》上暴经典的一个例题。很多书上都会有这类题。 我们要从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来，要求苹果只能拿偶数个，香蕉的个数要是5的倍数，橘子最多拿4个，梨要么不拿，要么只能拿一个。问按这样的要求拿n个水果的方案数。 结合刚才的k个(1+x+x^2+x^3+x^4+...)相乘，我们也可以算出这个问题的生成函数。 引用内容 g(x)=(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x) =[1/(1-x^2)]*[1/(1-x^5)]*[(1-x^5)/(1-x)]*(1+x) （前两个分别是公比为2和5的几何级数， 第三个嘛，(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1-x)不就是1-x^5了吗） =1/(1-x)^2 （约分，把一大半都约掉了） =(1-x)^(-2)=C(1,0)+C(2,1)x+C(3,2)x^2+C(4,3)x^3... （参见刚才对1/(1-x)^k的展开） =1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+.... 于是，拿n个水果有n+1种方法。我们利用生成函数，完全使用代数手段得到了答案！ 如果你对1/(1-x)^k的展开还不熟悉，我们这里再介绍一个更加简单和精妙的手段来解释1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。 1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...是前面说过的。我们对这个式子等号两边同时求导数。于是，1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+....。一步就得到了我们所需要的东西！不断地再求导数，我们同样可以得到刚才用复杂的牛顿二项式定理得到的那个结论（自己试试吧）。生成函数还有很多其它的处理手段，比如等式两边同时乘以、除以常数（相当于等式右边每一项乘以、除以常数），等式两边同时乘以、除以一个x（相当于等式右边的系数“移一位”），以及求微分积分等。神奇的生成函数啊。 我们用两种方法得到了这样一个公式：1/(1-x)^n=1+C(n,1)x^1+C(n+1,2)x^2+C(n+2,3)x^3+...+C(n+k-1,k)x^k+...。这个公式非常有用，是把一个生成函数还原为数列的武器。而且还是核武器。 接下来我们要演示如何使用生成函数求出Fibonacci数列的通项公式。 Fibonacci数列是这样一个递推数列：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。现在我们需要求出它的生成函数g(x)。g(x)应该是一个这样的函数： g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+... 等式两边同时乘以x，我们得到： x*g(x)=x^2+x^3+2x^4+3x^5+5x^6+8x^7+... 就像我们前面说过的一样，这相当于等式右边的所有系数向右移动了一位。 现在我们把前面的式子和后面的式子相加，我们得到： g(x)+x*g(x)=x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+... 把这最后一个式子和第一个式子好好对比一下。如果第一个式子的系数往左边移动一位，然后把多余的“1”去掉，就变成了最后一个式子了。由于递推函数的性质，我们神奇地得到了：g(x)+x*g(x)=g(x)/x-1。也就是说，g(x)*x^2+g(x)*x-g(x)=-x。把左边的g(x)提出来，我们有：g(x)(x^2+x-1)=-x。于是，我们得到了g(x)=x/(1-x-x^2)。 现在的任务是要把x/(1-x-x^2)还原成通项公式。这不是我们刚才的1/(1-x)^n的形式，我们要把它变成这种形式。我们发现，1-x-x^2=[1-(1-√5)x/2]*[1-(1+√5)x/2] （(1-√5)/2和(1+√5)/2是怎么算出来的？显然它们应该是x^2-x-1=0的两个根）。那么x/(1-x-x^2)一定能表示成?/[1-(1-√5)x/2]+?/[1-(1+√5)x/2]的形式（再次抱歉，输入数学公式很麻烦，将就看吧）。这是一定可以的，因为适当的?的取值可以让两个分式通分以后分子加起来恰好为一个x。?取值应该是多少呢？假设前面一个?是c1，后面那个是c2，那么通分以后分子为c1*[1-(1+√5)x/2]+c2*[1-(1-√5)x/2]，它恰好等于x。我们得到这样两个式子：常数项c1+c2=0，以及一次项-c1*(1+√5)/2-c2*(1-√5)/2=1。这两个式子足够我们解出c1和c2的准确值。你就不用解了，我用的Mathematica 5.0。解出来c1=-1/√5，c2=1/√5。你不信的话你去解吧。现在，我们把x/(1-x-x^2)变成了-(1/√5)/[1-(1-√5)x/2] + (1/√5)/[1-(1+√5)x/2]。我们已经知道了1/[1-(1-√5)x/2]的背后是以(1-√5)/2为公比的等比数列，1/[1-(1+√5)x/2]所表示的数列公比为(1+√5)/2。那么，各乘以一个常数，再相加，我们就得到了Fibonacci数列的通项公式：f(n)=-(1/√5)*[(1-√5)/2]^n + (1/√5)*[(1+√5)/2]^n。或许你会问，这么复杂的式子啊，还有根号，Fibonacci数列不都是整数吗？神奇的是，这个充满根号的式子对于任何一个自然数n得到的都是整数。熟悉用特征方程解线性递推方程的同学应该知道，以上过程实质上和找特征根求解没有区别。事实上，用上面所说的方法，我们可以求出任何一个线性齐次递推方程的通项公式。什么叫做线性齐次递推呢？就是这样的递推方程：f(n)等于多少个f(n-1)加上多少个f(n-2)加上多少个f(n-3)等等。Fibonacci数列的递推关系就是线性齐次递推关系。 我们最后看一个例子。我们介绍硬币兑换问题：我有1分、2分和5分面值的硬币。请问凑出n分钱有多少种方法。想一下刚才的水果，我们不难得到这个问题的生成函数：g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+...)(1+x^5+x^10+..)=1/[(1-x)(1-x^2)(1-x^5)]。现在，我们需要把它变成通项公式。我们的步骤同刚才的步骤完全相同。我们把(1-x)(1-x^2)(1-x^5)展开，得到1-x-x^2+x^3-x^5+x^6+x^7-x^8。我们求出-1+x+x^2-x^3+x^5-x^6-x^7+x^8=0的解，得到了以下8个解：-1,1,1,1,-(-1)^(1/5),(-1)^(2/5),-(-1)^(3/5),(-1)^(4/5)。这个不是我解出来的，我还是用的Mathematica 5.0。不是我不想解，而是我根本不会解这个8次方程。这也是为什么信息学会涉及这些东西的原因：次数稍微一高，只好交给计算机解决了。于是，(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=(1+x)(1-x)^3(1+(-1)^(1/5) x)()()() （省略不写了）。注意那个(1-x)^3。由于等根的出现，我们不得不把(1-x)^3所包含的(1-x)和(1-x)^2因子写进一会儿的分母里，不然会导致解不出合适的c来。你可以看到很多虚数。不过没关系，这些虚数同样参与运算，就像刚才的根式一样不会影响到最后结果的有理性。然后，我们像刚才一样求出常数满足1/(1-x)(1-x^2)(1-x^5)=c1/()+c2/(1-x)+c3/(1-x)^2+c4/(1-x)^3...+c8/()。这个解太复杂了，我用Mathematica解了几分钟，打印出了起码几十KB的式子。虽然复杂，但我确实是得到了通项公式。你有兴趣的话可以尝试用Mathematica解决一下1/[(1-x)(1-x^3)] （只有1分和3分的硬币）。解c的值时可以用SolveAlways[]函数。你可以亲眼见到，一个四五行的充满虚数的式子最后总是得到正确的整数答案。 生成函数还有很多东西，推导Catalan数列啊，指数生成函数啊，之类的。我有空再说吧，已经5000多个字了。 huyichen一直在问那道题。很显然，那道题目和上面的兑换硬币有些联系。事实上，很多与它类似的题目都和生成函数有关。但那个题却没有什么可以利用生成函数的地方（或许我没想到吧）。或许每个max的值有什么方法用生成函数解出来，但整个题目是不大可能用生成函数解决的。 近来有个帖子问一道“DP天牛”题目的。那个题目也是这样，很多与它类似的题目都和DP有关，但那道题却不大可能动规。我总觉得它可以归约到装箱问题（考虑体积关系，最少要几个箱子才能把物品放完），而后者貌似属于NPC。或许我错了吧，现在没事就在研究理论的东西，很久没有想过OI题了，这方面的能力已经开始退化了。
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出门在外也不愁已知nk皆为自然数,且1&k&n,若1+2+3+4+5+.. .. ...+n-k除以n-1=10， n+k=a，求a的值_百度知道
已知nk皆为自然数,且1&k&n,若1+2+3+4+5+.. .. ...+n-k除以n-1=10， n+k=a，求a的值
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解答过程见下图：
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a=n+k=29该题实际是：在前n个连续自然数中去除其中一个数k(由1&k&n,k是非两头的两个数)，使剩余的数其平均数等于10，求n和k之和。首先需研究一下前n个连续自然数和的性质,设前n个连续自然数和S=1+2+...+n=n(n+1)/2, ,对任意0&k&n,前n个连续自然数去掉k,其平均值是 (S-k)/(n-1)=(n+1)/2+1/2-(k-1)/(n-1),由此不难看出, 如果n为偶数,当且仅当k=1或k=n时,前n个连续自然数去掉k后其平均值是整数.前者的平均值为(n+2)/2,后者的平均值为n/2.如果n为奇数,当且仅当(k-1)/(n-1)=1/2,即k=(n+1)/2时,前n个连续自然数去掉k后其平均值(n+1)/2是整数。显然n为偶数不符题意，故n为奇数,此时(n+1)/2=10.n=19,k=10，此时a=n+k=29。
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1、实现一个函数，对一个正整数n，算得到1需要的最少操作次数。操作规则为：如果n为偶数，将其除以2；如果n为奇数，可以加1或减1；一直处理下去。
func(7) = 4，可以证明最少需要4次运算
要求：实现函数(实现尽可能高效) int func(unsign int n)；n为输入，返回最小的运算次数。给出思路(文字描述)，完成代码，并分析你算法的时间复杂度。
int func(unsigned int n)
if(n == 1)
if(n % 2 == 0)
return 1 + func(n/2);
int x = func(n + 1);
int y = func(n - 1);
return y+1;
return x+1;
假设n表示成二进制有x bit，可以看出计算复杂度为O(2^x)，也就是O(n)。
将n转换到二进制空间来看（比如7为111，6为110）：
- 如果最后一位是0，则对应于偶数，直接进行除2操作。
- 如果最后一位是1，情况则有些复杂。
**如果最后几位是???01，则有可能为???001，???1111101。在第一种情况下，显然应该-1；在第二种情况下-1和+1最终需要的步数相同。所以在???01的情况下，应该选择-1操作。
**如果最后几位是???011，则有可能为???0011，???。在第一种情况下，+1和-1最终需要的步数相同；在第二种情况下+1步数更少些。所以在???011的情况下，应该选择+1操作。
**如果最后有更多的连续1，也应该选择+1操作。
如果最后剩下的各位都是1，则有11时应该选择-1；111时+1和-1相同；1111时应选择+1；大于四个1时也应该选择+1；
int func(unsigned int n)
if(n == 1)
if(n % 2 == 0)
return 1 + func(n/2);
if(n == 3)
return 1 + func(n+1);
return 1 + func(n-1);
由以上的分析可知，奇数的时候加1或减1，完全取决于二进制的后两位，如果后两位是10、00那么肯定是偶数，选择除以2，如果后两位是01、11，那么选择结果会不一样的，如果是*****01，那么选择减1，如果是*****11，那么选择加1，特殊情况是就是n是3的时候，选择减1操作。
非递归代码如下：
// 非递归写法
int func(int n)
int count = 0;
while(n & 1)
if(n % 2 == 0)
else if(n == 3)
// 二进制是******11时
// 二进制是******01时
}另外一种写法如下：
// 非递归写法
int func(int n)
int count = 0;
while(n & 1)
if(n % 2 == 0)
// n % 4等于0或2
else if(n == 3)
n += (n % 4 - 2);
// n % 4等于1或3
}2、找到满足条件的数组
给定函数d(n)=n+n的各位之和，n为正整数，如d(78)=78+7+8=93。这样这个函数可以看成一个生成器，如93可以看成由78生成。
定义数A：数A找不到一个数B可以由d(B)=A，即A不能由其他数生成。现在要写程序，找出1至10000里的所有符合数A定义的数。
申请一个长度为10000的bool数组，每个元素代表对应的值是否可以有其它数生成。开始时将数组中的值都初始化为false。
由于大于10000的数的生成数必定大于10000，所以我们只需遍历1到10000中的数，计算生成数，并将bool数组中对应的值设置为true，表示这个数可以有其它数生成。
最后bool数组中值为false的位置对应的整数就是不能由其它数生成的。
3、一个大的含有50M个URL的记录，一个小的含有500个URL的记录，找出两个记录里相同的URL。
首先使用包含500个url的文件创建一个hash_set。
然后遍历50M的url记录，如果url在hash_set中，则输出此url并从hash_set中删除这个url。
所有输出的url就是两个记录里相同的url。
4、海量日志数据，提取出某日访问百度次数最多的那个IP。
如果日志文件足够的大，大到不能完全加载到内存中的话。
那么可以考虑分而治之的策略，按照IP地址的hash(IP)%;，将海量日志存储到1024个小文件中。每个小文件最多包含4M个IP地址。
对于每个小文件，可以构建一个IP作为key，出现次数作为value的hash_map，并记录当前出现次数最多的1个IP地址。
有了1024个小文件中的出现次数最多的IP，我们就可以轻松得到总体上出现次数最多的IP。
5、有10个文件，每个文件1G，每个文件的每一行都存放的是用户的query，每个文件的query都可能重复。如何按照query的频度排序？
　1）读取10个文件，按照hash(query)%10的结果将query写到对应的文件中。这样我们就有了10个大小约为1G的文件。任意一个query只会出现在某个文件中。
　2）对于1）中获得的10个文件，分别进行如下操作
　　-利用hash_map（query，query_count）来统计每个query出现的次数。
　　-利用堆排序算法对query按照出现次数进行排序。
　　-将排序好的query输出的文件中。
　　这样我们就获得了10个文件，每个文件中都是按频率排序好的query。
　3）对2）中获得的10个文件进行归并排序，并将最终结果输出到文件中。
6、蚂蚁爬杆问题
　有一根27厘米长的细木杆，在第3厘米，7厘米，11厘米，17厘米，23厘米这五个位置上各有一只蚂蚁，木杆很细，不能同时通过两只蚂蚁，开始时，蚂蚁的头朝向左还是右是任意的，他们只会朝前走或掉头，但不会后退，当两只蚂蚁相遇后，蚂蚁会同时掉头朝反方向走，假设蚂蚁们每秒钟可以走1厘米的距离。求所有蚂蚁都离开木杆的最小时间和最大时间。
　两只蚂蚁相遇后，各自掉头朝相反方向走。如果我们不考虑每个蚂蚁的具体身份，这和两只蚂蚁相遇后，打个招呼继续向前走没有什么区别。
　所有蚂蚁都离开木杆的最小时间为
　max(min(3,27-3),min(7,27-7), min(11,27-11), min(17,27-17),min(23,27-23))=11
　所有蚂蚁都离开木杆的最大时间为
　max(max(3,27-3),max(7,27-7), max(11,27-11), max(17,27-17),max(23,27-23))=24
7、当在浏览器中输入一个url后回车，后台发生了什么？比如输入url后，你看到了百度的首页，那么这一切是如何发生的呢？
　　简单来说有以下步骤：
　　1、查找域名对应的IP地址。这一步会依次查找浏览器缓存，系统缓存，路由器缓存，ISPDNS缓存，根域名服务器。
　　2、向IP对应的服务器发送请求。
　　3、服务器响应请求，发回网页内容。
　　4、浏览器解析网页内容。
当然，由于网页可能有重定向，或者嵌入了图片，AJAX，其它子网页等等，这4个步骤可能反复进行多次才能将最终页面展示给用户。
8、判断两棵树是否相等，请实现两棵树是否相等的比较，相等返回1，否则返回其他值，并说明算法复杂度。
数据结构为：
typedef struct TreeNode
TreeNode *
TreeNode *
}TreeN函数接口为：int CompTree(TreeNode* tree1,TreeNode* tree2);
注：A、B两棵树相等当且仅当RootA-&c==RootB--&c,而且A和B的左右子树相等或者左右互换相等。
递归方法：
bool CompTree(TreeNode *tree1, TreeNode *tree2)
if(tree1 == NULL && tree2 == NULL)
if(tree1 == NULL || tree2 == NULL)
if(tree1-&c != tree2-&c)
if( (CompTree(tree1-&leftchild, tree2-&leftchild) && CompTree(tree1-&rightchild, tree2-&rightchild)) || CompTree(tree1-&leftchild, tree2-&rightchild) && CompTree(tree1-&rightchild, tree2-&leftchild))
时间复杂度：
&在树的第0层，有1个节点，我们会进行1次函数调用；
&在树的第1层，有2个节点，我们可能会进行4次函数调用；
&在树的第2层，有4个节点，我们可能会进行16次函数调用；
&在树的第x层，有2^x个节点，我们可能会进行(2^x)^2次函数调用；
&所以假设总节点数为n，则算法的复杂度为O(n^2)。
腾讯面试题：求一个论坛的在线人数，假设有一个论坛，其注册ID有两亿个，每个ID从登陆到退出会向一个日志文件中记下登陆时间和退出时间，要求写一个算法统计一天中论坛的用户在线分布，取样粒度为秒。
　　一天总共有00秒。
　　定义一个长度为86400的整数数组intdelta[86400]，每个整数对应这一秒的人数变化值，可能为正也可能为负。开始时将数组元素都初始化为0。
　　然后依次读入每个用户的登录时间和退出时间，将与登录时间对应的整数值加1，将与退出时间对应的整数值减1。
　　这样处理一遍后数组中存储了每秒中的人数变化情况。
　　定义另外一个长度为86400的整数数组intonline_num[86400]，每个整数对应这一秒的论坛在线人数。
　　假设一天开始时论坛在线人数为0，则第1秒的人数online_num[0]=delta[0]。第n+1秒的人数online_num[n]=online_num[n-1]+delta[n]。
　　这样我们就获得了一天中任意时间的在线人数。
9、三个警察和三个囚徒的过河问题
　　三个警察和三个囚徒共同旅行。一条河挡住了去路，河边有一条船，但是每次只能载2人。存在如下的危险：无论在河的哪边，当囚徒人数多于警察的人数时，将有警察被囚徒杀死。问题：请问如何确定渡河方案，才能保证6人安全无损的过河。
答案：第一次：两囚徒同过，回一囚徒
第二次：两囚徒同过，回一囚徒
第三次：两警察同过，回一囚徒一警察（此时对岸还剩下一囚徒一警察，是安全状态）
第四次：两警察同过，回一囚徒（此时对岸有3个警察，是安全状态）
第五次：两囚徒同过，回一囚徒
第六次：两囚徒同过；over
10、从300万字符串中找到最热门的10条
搜索的输入信息是一个字符串，统计300万输入信息中的最热门的前10条，我们每次输入的一个字符串为不超过255byte，内存使用只有1G。请描述思想，写出算法（c语言），空间和时间复杂度。
　　300万个字符串最多（假设没有重复，都是最大长度）占用内存3M*1K/4=0.75G。所以可以将所有字符串都存放在内存中进行处理。
　　可以使用key为字符串（事实上是字符串的hash值），值为字符串出现次数的hash来统计每个每个字符串出现的次数。并用一个长度为10的数组/链表来存储目前出现次数最多的10个字符串。
　　这样空间和时间的复杂度都是O(n)。
11、如何找出字典中的兄弟单词。给定一个单词a，如果通过交换单词中字母的顺序可以得到另外的单词b，那么定义b是a的兄弟单词。现在给定一个字典，用户输入一个单词，如何根据字典找出这个单词有多少个兄弟单词？
　　使用hash_map和链表。
　　首先定义一个key，使得兄弟单词有相同的key，不是兄弟的单词有不同的key。例如，将单词按字母从小到大重新排序后作为其key，比如bad的key为abd，good的key为dgoo。
　　使用链表将所有兄弟单词串在一起，hash_map的key为单词的key，value为链表的起始地址。
　　开始时，先遍历字典，将每个单词都按照key加入到对应的链表当中。当需要找兄弟单词时，只需求取这个单词的key，然后到hash_map中找到对应的链表即可。
　　这样创建hash_map时时间复杂度为O(n)，查找兄弟单词时时间复杂度是O(1)。
12、找出数组中出现次数超过一半的数，现在有一个数组，已知一个数出现的次数超过了一半，请用O(n)的复杂度的算法找出这个数。
　　创建一个hash_map，key为数组中的数，value为此数出现的次数。遍历一遍数组，用hash_map统计每个数出现的次数，并用两个值存储目前出现次数最多的数和对应出现的次数。
　　这样可以做到O(n)的时间复杂度和O(n)的空间复杂度，满足题目的要求。
　　但是没有利用“一个数出现的次数超过了一半”这个特点。也许算法还有提高的空间。
　　使用两个变量A和B，其中A存储某个数组中的数，B用来计数。开始时将B初始化为0。
　　遍历数组，如果B=0，则令A等于当前数，令B等于1；如果当前数与A相同，则B=B+1；如果当前数与A不同，则令B=B-1。遍历结束时，A中的数就是要找的数。
　　这个算法的时间复杂度是O(n)，空间复杂度为O(1)。
13、找出被修改过的数字
&&&&& n个空间（其中n&1M），存放a到a+n-1的数，位置随机且数字不重复，a为正且未知。现在第一个空间的数被误设置为-1。已经知道被修改的数不是最小的。请找出被修改的数字是多少。
　　例如：n=6，a=2，原始的串为5,3,7,6,2,4。现在被别人修改为-1,3,7,6,2,4。现在希望找到5。
　　由于修改的数不是最小的，所以遍历第二个空间到最后一个空间可以得到a的值。
　　a到a+n-1这n个数的和是total=na+(n-1)n/2。
　　将第二个至最后一个空间的数累加获得sub_total。
　　那么被修改的数就是total-sub_total。
14、设计DNS服务器中cache的数据结构。
　　要求设计一个DNS的Cache结构，要求能够满足每秒5000以上的查询，满足IP数据的快速插入，查询的速度要快。（题目还给出了一系列的数据，比如：站点数总共为5000万，IP地址有1000万，等等）
　　DNS服务器实现域名到IP地址的转换。
　　每个域名的平均长度为25个字节（估计值），每个IP为4个字节，所以Cache的每个条目需要大概30个字节。
　　总共50M个条目，所以需要1.5G个字节的空间。可以放置在内存中。（考虑到每秒5000次操作的限制，也只能放在内存中。）
　　可以考虑的数据结构包括hash_map，字典树，红黑树等等。
15、找出给定字符串对应的序号。
　　序列Seq=[a,b,…z,aa,ab…az,ba,bb,…bz,…,za,zb,…zz,aaa,…]类似与excel的排列，任意给出一个字符串s=[a-z]+(由a-z字符组成的任意长度字符串），请问s是序列Seq的第几个。
　　注意到每满26个就会向前进一位，类似一个26进制的问题。
　　比如ab，则位置为26*1+2；
　　比如za，则位置为26*26+1；
　　比如abc，则位置为26*26*1+26*2+3；
16、找出第k大的数字所在的位置。写一段程序，找出数组中第k大小的数，输出数所在的位置。例如{2，4，3，4，7}中，第一大的数是7，位置在4。第二大、第三大的数都是4，位置在1、3随便输出哪一个均可。
&& 先找到第k大的数字，然后再遍历一遍数组找到它的位置。所以题目的难点在于如何最高效的找到第k大的数。
　我们可以通过快速排序，堆排序等高效的排序算法对数组进行排序，然后找到第k大的数字。这样总体复杂度为O(NlogN)。
　我们还可以通过二分的思想，找到第k大的数字，而不必对整个数组排序。从数组中随机选一个数t，通过让这个数和其它数比较，我们可以将整个数组分成了两部分并且满足，{x,xx,...,t}&{y,yy,...}。
　在将数组分成两个数组的过程中，我们还可以记录每个子数组的大小。这样我们就可以确定第k大的数字在哪个子数组中。
　然后我们继续对包含第k大数字的子数组进行同样的划分，直到找到第k大的数字为止。
　平均来说，由于每次划分都会使子数组缩小到原来1/2，所以整个过程的复杂度为O(N)。
17、给40亿个不重复的unsigned int的整数，没排过序的，然后再给几个数，如何快速判断这几个数是否在那40亿个数当中?
　　unsigned int的取值范围是0到2^32-1。我们可以申请连续的2^32/8=512M的内存，用每一个bit对应一个unsigned int数字。首先将512M内存都初始化为0，然后每处理一个数字就将其对应的bit设置为1。当需要查询时，直接找到对应bit，看其值是0还是1即可。
18、在一个文件中有10G个整数，乱序排列，要求找出中位数。内存限制为2G。
　　不妨假设10G个整数是64bit的。
　　2G内存可以存放256M个64bit整数。
　　我们可以将64bit的整数空间平均分成256M个取值范围，用2G的内存对每个取值范围内出现整数个数进行统计。这样遍历一边10G整数后，我们便知道中数在那个范围内出现，以及这个范围内总共出现了多少个整数。
　　如果中数所在范围出现的整数比较少，我们就可以对这个范围内的整数进行排序，找到中数。如果这个范围内出现的整数比较多，我们还可以采用同样的方法将此范围再次分成多个更小的范围（256M=2^28，所以最多需要3次就可以将此范围缩小到1，也就找到了中数）。
19、时分秒针在一天之类重合多少次？（24小时）
而时针和分针重合了22次。
20、将多个集合合并成没有交集的集合。
　　给定一个字符串的集合，格式如：{aaabbbccc}，{bbbddd}，{eeefff}，{ggg}，{dddhhh}要求将其中交集不为空的集合合并，要求合并完成后的集合之间无交集，例如上例应输出{aaabbbcccdddhhh}，{eeefff}，{ggg}。
　　（1）请描述你解决这个问题的思路；
　　（2）请给出主要的处理流程，算法，以及算法的复杂度
　　（3）请描述可能的改进。
　　集合使用hash_set来表示，这样合并时间复杂度比较低。
　　1、给每个集合编号为0，1，2，3...
　　2、创建一个hash_map，key为字符串，value为一个链表，链表节点为字符串所在集合的编号。遍历所有的集合，将字符串和对应的集合编号插入到hash_map中去。
　　3、创建一个长度等于集合个数的int数组，表示集合间的合并关系。例如，下标为5的元素值为3，表示将下标为5的集合合并到下标为3的集合中去。开始时将所有值都初始化为-1，表示集合间没有互相合并。在集合合并的过程中，我们将所有的字符串都合并到编号较小的集合中去。
　& 遍历第二步中生成的hash_map，对于每个value中的链表，首先找到最小的集合编号（有些集合已经被合并过，需要顺着合并关系数组找到合并后的集合编号），然后将链表中所有编号的集合都合并到编号最小的集合中（通过更改合并关系数组）。
　　4、现在合并关系数组中值为-1的集合即为最终的集合，它的元素来源于所有直接或间接指向它的集合。
　　算法的复杂度为O(n)，其中n为所有集合中的元素个数。
　　题目中的例子：
　　0:{aaabbbccc}
　　1:{bbbddd}
　　2:{eeefff}
　　3:{ggg}
　　4:{dddhhh}
　　生成的hash_map，和处理完每个值后的合并关系数组分别为
　　aaa:0。[-1,-1,-1,-1,-1]
　　bbb:0,1。[-1,0,-1,-1,-1]
　　ccc:0。[-1,0,-1,-1,-1]
　　ddd:1,4。[-1,0,-1,-1,0]
　　eee:2。[-1,0,-1,-1,0]
　　fff:2。[-1,0,-1,-1,0]
　　ggg:3。[-1,0,-1,-1,0]
　　hhh:4。[-1,0,-1,-1,0]
　　所以合并完后有三个集合，第0，1，4个集合合并到了一起，
　21、平面内有11个点，由它们连成48条不同的直，由这些点可连成多少个三角形？
首先你要分析，平面中有11个点，如果这些点中任意三点都没有共线的，那么一共应该有C(11，2)=55，& 可是，题目中说可以连接成48条直线，那么这11个点中必定有多点共线的情况。& 55-48=7，从7来分析：
假设有一组三个点共线，那么可以组成的直线在55的基础上应该减去C(3，2)-1=2&&&& 2*3=6≠7，因此，可以断定不仅有三点共线的，也可能有四个点共线的可能。
假设有一组四个点共线，那么可以组成的直线在55的基础上应该减去C(4，2)-1=5
（备注，五个点共线的可能不存在，因为，C(5，2)-1=9&7，故不可能有五条直线共线。）
因此，三点共线少2条，4点共线少5条，只有一个4点共线，一个3点共线才能满足条件，其余情况不能满足少了7条直线。
那么，这11个点能组成的三角形的个数为，C(11，3)-C(3，3)-C(4，3)=165-1-4=160& （备注，三个点共线不能组成三角形）
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