证明环面与射影定理平面的连通和等价于三个射影定理平面的连通和

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-14 05:33 标签： 超环面
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射影平面的。
只有一条边，将相对开边反向黏合起来便成为闭合的射影平面。
对照，是莫比乌斯带相对开边同向黏合。
在中，实（real projective plane）是R3中所有过直线组成的空间，通常记作，无歧义时也记为。这是一个、、二维流形（即一个），它在中有基本的应用，但不能无自交地我们通常的三维。它的是1，故也为1。
实射影平面有时描述为基于的构造：如果能把莫比乌斯带的（一条）边以恰当的方向黏合，将得到射影平面。等价地，沿着莫比乌斯带的边界黏合一个给出射影平面。
由于莫比乌斯带可构造为将的一组对边反向黏合，从而实射影平面可以表示为单位正方形（[0,1]
[0,1]）将它的边界通过如下等同：
(0, y) ~ (1, 1 - y)  对0 ≤ y ≤ 1 ,
(x, 0) ~ (1 - x, 1)  对0 ≤ x ≤ 1,
即如右图所示。因为正方形同构于圆盘，故这也等价于将圆盘边界的对径点黏合。
考虑一个，设球面的（假设地球是一个球星，那么赤道就是大圆）是“直线”，对是“点”（一对对径点是通过大圆圆心的直线与大圆相交的两个点）。容易验证它们满足所需的公理：
任何两个不同的大圆交于一对对径点；
任何两个不同的对径点对位于惟一一个大圆上。
这就是实射影平面。
如果我们将球面上每个点与其对径点等同，则我们得到了实射影平面的一个表示，其中射影空间的“点”确实是点。
射影平面是球面在等价关系~下的商空间，这个等价关系~就是对径关系，即 x ~ y当且仅当y = -x。这个球面的商空间同构于R3中所有通过原点的直线的集合。
所得的曲面是一个2维流形，有一点难以想象，因为它不能无自交地嵌入三维中。
从球面到实射影平面的商映射事实上是一个（2对1）。从而实射影平面的是二阶循环群，即整数模2群。可以取上图中的环路AB作为。
罗马曲面动画示意图
射影平面不能（这要求没有自交）三维空间，不过可以（局部邻域没有自交点）。（）是浸入的一个实例。
（）是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射，包含一个（）。同样对具有一个交叉套的球面也成立。
射影平面不能嵌入三维欧几里得空间，可作如下证明：假设可以嵌入，由它将在三维欧几里得空间中围出一个紧区域。向外的单位场将给出边界流形的一个，但边界流形就是射影平面，它是不可定向的。这是一个矛盾，从而我们所假设的嵌入必定是错误的。
实射影平面的一个表示是（）。
从相反的方向来看，（）、（）以及（）、（），都可以构造成射影平面中的正则图形。
平面中的直线集合可以用表示。直线ax+by+c=0可以表示为[a:b:c]。这些坐标有，对所有非零d，[a:b:c] = [da:db:dc]。从而相同直线的不同表示dax+dby+dc=0有同样的坐标。坐标集合[a:b:1]给出了通常，而坐标集合[a:b:0]定义了一个。
射影平面可嵌入一个4维。考虑是2维球面由对径关系得到的。考虑由给出的函数。将这个映射限制在区域上，因为它是一个二次多项式，故可分解，给出一个映射，并且这个映射是嵌入。注意到这个嵌入有一个到的投影，即。
一文提供了高阶实射影平面的一个描述。
的资料，作者：。
尤承业, 基础拓扑学讲义, 北京大学出版社, 2004年, /O·376
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