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[编号:3415807]《三维设计》2015届高考数学（人教，理科）大一轮配套解答题增分系列讲座：“函数与导数”类题目的审题技巧与解题规范
资料年份：2014
资料版本：
资料类别：教案
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文件大小：330 KB
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“函数与导数”类题目的审题技巧与解题规范
[技法概述]
解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．有些问题的结论看似不明确或不利于解决，可以转换角度，达到解决问题的目的．
[适用题型]
高考中有以下几类解答题用到此种审题方法：
1．研究函数与导数中两函数图像交点、函数的零点、方程的根等问题；
2．一些不等式恒成立问题常转换求函数的最值；
3．圆锥曲线中的定点问题，常转换先求直线方程．
[典例]　2013?陕西高考，节选本题满分12分已知函数fx＝ex，x∈R
1求fx的反函数的图像上点1,0处的切线方程；
2证明：曲线y＝fx与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点．
1．2013?北京东城模拟已知函数：fx＝x－a＋1ln x－a∈R，gx＝x2＋ex－xex
1当x∈[1，e]时，求fx的最小值；
2当a1时，若存[来自e网通客户端]
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31高数(高等教育出版社)第一版,第一章 函数与极限习题详解
第一章函数与极限；习题1-1；1．求下列函数的自然定义域：（1；）y?；11?x；?；；?1?x2?0；解：依题意有?，则函数定义域D(x)??x|x?；?x?2?02x?1；arccos；（2；）y?；?2x?1；?1?；解：依题意有?3，则函数定义域D(x)??．；?2；?x?x?6?0；（3）y?ln(?x2?3x?2)；；解：依题意有?x2?3x?2
　第一章 函数与极限 习 题 1-1 1．求下列函数的自然定义域： （1）y?11?x2?；．?1?x2?0解：依题意有?，则函数定义域D(x)??x|x??2且x??1??x?2?02x?1arccos（2）y??2x?1?1?解：依题意有?3，则函数定义域D(x)??．?2?x?x?6?0（3）y?ln(?x2?3x?2)；解：依题意有?x2?3x?2?0，则函数定义域D(x)??x|1?x?2?．1（4）y?2x?x3；解：依题意有x3?x?0，则函数定义域D(x)??x|???x???且x?0,?1?．1?,　　x?1,?sin（5）y??
　x?1?2，　　　
x?1;?解：依题意有定义域D(x)??x|???x????． （6）y?arctan解：依题意有?1x??x?0?3?x?0，则函数定义域D(x)??x|x?3且x?0?．2．已知f(x)定义域为[0,1]，求f(x2), f(sinx), f(x?a), f(x?a)?f(x?a) (a?0)的定义域．解：因为f(x)定义域为[0,1]，所以当0?x2?1时，得函数f(x2)的定义域为[?1,1]； 当0?sinx?1时，得函数f(sinx)定义域为[2kπ,(2k?1)π]； 当0?x?a?1时，得函数f(x?a)定义域为[?a,?a?1]；当??0?x?a?1?0?x?a?112时，得函数f(x?a)?f(x?a)定义域为：（1）若a?1212，x??a,1?a?；（2）若a?，x?；（3）若a?12，x??．3．设f(x)?1?1?2?x??,其中a?0,求函数值f(2a),f(1)．?，则 1?a?11??21?a?1???0 ,a&1,?． ???2 ,0&a&1??解：因为f(x)?f(2a)?1?1?2?x?1??a?11???2?24a?a?2a，f(1)?|x|?1,?1?4．设f(x)??0|x|?1,??1|x|?1.?g(x)?2，求f(g(x))与g(f(x))，并做出函数图形．xx?12?1x?0?1??解：f(g(x))??02x?1，即f(g(x))??0x?0，??1 x?0?x???1 2?1?21?0g(f(x))??2??1?2??2?|x|?1，即g(f(x))??1?1|x|?1??2|x|?1|x|?1|x|?1 |x|?1，函数图形略．5．设f(x)???1?x,?1,x?0,x?0,试证：f[f(x)]???2?x,?1,?1,x??1,x??1. ，得证．证明：f[f(x)]????1?f(x),f(x)?01,f(x)?0，即f[f(x)]???2?x,x??1,x??16．下列各组函数中，f(x)与g(x)是否是同一函数？为什么？ （1）f(x)?lnx,g(x)??ln?3? ；不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）f(x)?g(x)? 是．（3）f(x)?2,g(x)?sec2x?tan2x； 不是，因为对应法则不同． （4）f(x)?2lgx,g(x)?lgx2； 不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）y?3x?lnx，x?(0,??)；解：当x?(0,??)时，函数y1?3x单调递增，y2?lnx也是单调递增，则y?y1?y2在(0,??)内也是递增的．（2）y?解：y2?1y1?，x?(??,1)． 1?x?x(1?x)?11，当x?(??,1)时，函数y1?x?1y???1?1?x1?xx?11?x单调递增，则x?1是单调递减的，故原函数y??x1?x是单调递减的．8. 判定下列函数的奇偶性． （1）y?lg(x?；解：因为f(?x)?lg(?x??lg(x??1??lg(x???f(x)，所以y?lg(x?是奇函数．（2）y?0；解：因为f(?x)?0?f(x)，所以y?0是偶函数． （3）y?x2?2cosx?sinx?1；
解：因为f(?x)?2x?2coxs?y?2sx，i?nf(?1x)?f(x)且f(?x)??f(x)，所以x?2cosx?sxi既非奇函数，又非偶函数．?n1x?x（4）y?a?a2.a?x解：因为f(x)??f(x)，所以函数y?229．设f(x)是定义在[?l,l]上的任意函数，证明：?axa?ax?x是偶函数．（1）f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数； （2）f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令g(x)?f(x)?f(?x),h(x)?f(x)?f(?x)，则所以f(x)?f(?x)是偶函数，g(?x)?f(?x)?f(x)?g(x),h(?x)?f(?x)?f(x)??h(x)，f(x)?f(?x)是奇函数．（2）任意函数f(x)?数，f(x)?f(?x)2f(x)?f(?x)2?f(x)?f(?x)2，由（1）可知f(x)?f(?x)2是偶函是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间I上有界的充分与必要条件是：函数在I上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数f(x)在区间I上有界，则存在正数M，使得x?I，都有f(x)?M成立，显然?M?f(x)?M，即证得函数f(x)在区间I上既有上界又有下界（充分性）设函数f(x)在区间I上既有上界M2，又有下界M1，即有f(x)?M1且f(x)?M2，取M?max{M1,M2，则有f(x)?M，即函数f(x)在区间I上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）y?|sinx|；周期函数，周期为π． （2）y?1?sinπx； 周期函数，周期为2． （3）y?xtanx；
不是周期函数． （4）y?cos2x.周期函数，周期为π．12．求下列函数的反函数： （1）y?3xx3?1；yy?1解：依题意，3x?f?1，则x?log3．yy?1，所以反函数为(x)?log3（2）,x?(??,0)?(1,??)x?1ax?by?(ad?bc)；cx?db?dycy?ax解：依题意，x?（3）y?lgx?解：依题意，x?，则反函数f?1(x)?b?dxcx?a(ad?bc)．?；?y12(10?10??π4y)，所以反函数f?1(x)?12(10?10x?x),x?R．（4）y?3cos2x,???x?π??．
4?arccosy3arccosx,x?[0,3]．解：依题意，x?2，所以反函数f?1(x)?213．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值：（1）y?eu,u?x2＋1,x1?0,x2?2；（2）y?u2?1,u?ev?1,v?x?1,x1?1,x2??1． 解：（1）y?f(x)?ex2?1,f(0)?e,f(2)?e5 （2）y?f(x)?(ex?1?1)2?1，f(0)?e4?2e2?2，f(?1)?1．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为H．当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为V．试把h表示为V的函数，并指出其定义区间．解：依题意有V?πr2h，则h?Vπr2,V?[0,πrH]．215．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．解：依题意有f(x)???0.64x,?4.5?0.64?(x?4.5)?3.2,0?x?4.5x?4.5，所以f(3.5)?2.24元，f(4.5)?2.88元，f(5.5)?6.08元． 习 题 1-21．设an?2n?13n?1(n?1,2,3,?)|,|a10?23，23|的值；2323|?10|??2|?|?4（1） 求|a1?23|,|a100?（2） 求N，使当n?N时，不等式|an?（3） 求N，使当n?N时，不等式|an?解：(1)
|a1?23|?||?1,成立；成立．21?23|?193,12331221|a100?|?|． ?|?211（2） 要使 |an?|?10?4,
即 ?433（3n+1）10|a10?，
则只要n?99979,取N＝?9997??9??1110,??故当n&1110时，不等式|an?23|??23|?10?4成立．2（3）要使|an?成立，n?1?3?9?,取N??那么当n?N时， |an?|?? ?，3?9???1?3??成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）lim1n!n???0；
（2）lim1n!?0|＝1n!?1nnn???1．?1?解：（1）???0， 要使|??， 只要取N???， 所以，对任意??0，???存在N???，当n?N时，总有|?0|??，则lim?0.n??n!n!???(2) ???0,要使|N??1?11n?1?2???22n),即n?n,只要取,所以,对任意的&0,存在N??, 当n?N,总有1|??,则limnn???1.3．若limxn?a，证明lim|xn|?|a|．并举例说明：如果数列?|xn|?有极限，但数列?xn?n??n??未必有极限．证明: 因为limxn?a, 所以???0, ?N1, 当n?N1时, 有|xn?a|??.不妨假设a&0,n??由收敛数列的保号性可知:?N2,
取N?max?N1,N2?, 则对???0,
有||xn|?|a||?|xn?a|??.故lim|xn|?|a|.
同理可证a?0n??时, lim|xn|?|a|成立.n??反之,如果数列?|xn|?有极限, 但数列?|xn|?未必有极限.如：数列xn???1?,
|xn?， |1显然lim|xn|?1, 但limxn不存在．n??n??n4．设数列?xn?有界，又limyn?0．证明：limxnyn?0．n??n??证明: 依题意,存在M&0, 对一切n都有|xn|?M， 又limyn?0, 对???0,
存在N,n??当n?N时, |yn?0|??, 因为对上述N, 当n?N时, |xnyn?0|?|xnyn|?M|yn|?M?,由?的任意性, 则limxnyn?0．n??5．设数列?xn?的一般项xn?解:因为lim?0, |cos(n?3)π2，求limxn．n??(n?3)π2x??|?1,
所以limx??(n?3)π2?0.6．对于数列?xn?，若x2k?1?A(k??)，x2k?A(k??)，证明：xn?A(n??)． 证明: 由于limx2k?1?A, 所以, ???0, ?N1?0, 当k&N1时，有|x2k?1?A|??, 同理,k?????0,?N2?0, 当k?N2时, 有|x2k?A|??．取N=max?N1,N2?, ???0, 当n?N时,|xn?A|??成立, 故xn?A(n??)． 习 题 1-31．当x?1时，y?x2?3?4．问?等于多少，使当|x?1|??时，|y?4|?0.01？ 解：令 |x?1|?12，则322?|x?1|?522，要使52|x?1|?0.01，|y?4|?|x?3?4|?|x?1|?|x?1||x?1|?只要|x?1|?0.004，所以取??0.004，使当 |x?1|?? 时，|y?4|?0.01成立． 2．当x??时，y?22x?1x?322?2．问X等于多少，使当|x|?X时，|y?2|?0.001？7|x?3|2解：要使|y?2|?|2x?1x?32?2|?&0.001,
只要|x2?3|?7000, 即x2?3?7000. 因包含各类专业文献、外语学习资料、中学教育、行业资料、应用写作文书、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、高等教育、31高数(高等教育出版社)第一版,第一章 函数与极限习题详解等内容。　
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