高等数学试卷（一）。一．填空题： ﹍。??1?sinx?ctgx,x?01． 设 f(x)=?,..
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高等数学试卷
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大一高数期末考试题
导读：3、(本小题5分)?lnxx?lnxdx??lnx?lnxd(lnx)???lnxd(1?lnx)??d(1?lnx)?lnx?23(1?lnx)32?2?lnx?c.4、(本小题5分)令x?t原式??22t1t2(1?t)?2?2111(t?t?1)dt?2?lnt?ln(t?1)?21?2ln435、(本小题11分)dy?y?(x)dx?(2?x)tan3、(本小题5分)?lnxx?lnxdx??lnx?lnxd(lnx) ???lnxd(1?lnx)??d(1?lnx)?lnx?23(1?lnx)32?2?lnx?c.4、(本小题5分)令　x?t原式??22t1t2(1?t) ?2?2111(t?t?1)dt?2?lnt?ln(t?1)?2 1 ?2ln43 5、(本小题11分)dy?y?(x)dx　?(2?x)tan?2x????2sec2?x1?x?2ln(2?x)?2?xtan2??dx 五、解答下列各题(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)F(?t)??? ln(t2?2tcosx?1)dx令　x???uF(?t)???0?ln(t2?2tcosu?1)du? ??0lnt(2?2tcosx?1)dx ?F(t)2、(本小题7分)因为??3?2?(?4)?3?(?1)?(?6)?0，故?因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。 （6分）边长 2???1?2?32?(?4)2?(?1)2???122?32?(?621/2?2 ?1/2????2?)???3分 7分 10分4分 6分 8分 10分 2分10分2分6分 8分 10分 5 ?2（10分）六、解答下列各题(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为 d?3x?4x2?29?16?15(4x2?3x?2)d??15(8x?3)唯一驻点　x?38d???85?0故当x?38时,d最小即点??3?8，9?64?到直线3x?4y?2?0的距离最短 (注如用切线平行于已知直线解也可以)2、(本小题6分)?y???y??dx?3x2?c　　　　　　(1)又由2x?3y?6得y?23x?2?y?(0,?2)?23　　　代入(1)得y??3x2?23?y??(3x2?2)dx?x323?3x?c再将(0,?2)代入得c??2,?y?x3?23x?2. 3、(本小题8分)??p?x2?p?42x, 解出x?20. 均衡点p?840.消费者剩余?20 ?(x2)?840?dx　　　　?2133.33生产者剩余?200?840?42x?dx ?84004分8分 10分3分5分10分3分6分10分 七、解答下列各题(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)F(x)?f(x)?g(x)在x0处必不连续若F(x)在x0处连续，则g(x)?F(x)?f(x)在x0处也连续，矛盾！2、(本小题5分) 答：不一定．若A?0，lim1x?xx)?1g(x)?00f(?limx?xf(x)?g(x)??0但若A?0则等式可能不成立例如lim1x?1x?1??，xlim?x(x?1)2?0１ 但lim1?(x?1)2x?1x?1?0?? b1、极限limx?0(1?xa)x　　(a?0，b?0)的值为 b(A)1．　(B)lnba　(C)e．　(D)bea　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、 3lim(x?01?cosx)cosx?A．e3　　B．8　　C．1　　D．?　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、 　　设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导记(Ⅰ)f(a)?f(b)(Ⅱ)在(a,b)内f?(x)?0则：(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分条件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)(Ⅰ)与(Ⅱ)既非充分也非必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　)4、4分10分4分 6分10分 若?x0，f(x0)?为连续曲线,y?f(x)上的凹弧与凸弧分界点,则(　　)(A)　(x0，f(x0))必为曲线的拐点(B)　(x0，f(x0))必定为曲线的驻点(C)　x0为f(x)的极值点(D)　x0必定不是f(x)的极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答(　　)5、 一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动.杆的线密度??r为杆上一点到O点的距离,角速度为?,则总动能??1,r 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)1111(A)　?2L2　　(B)　?2L2　　(C)　?2L2　　(D)　?2L22345答(
)(3?x1、?2、23)dx?x0_______________. 设f(x)??t(t?1)dt，则f(x)的单调减少的区间是__________3、对于?的值，讨论级数n?1（1）当??????时，级数收敛 （2）当??????时，级数发散 三、解答下列各题(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分) 2、(本小题4分)级数?(nn?1)?? 验证f(x)?x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性?n?n?1?2n?1是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题5分)???1n1010n??3??x???,??22?时，f?x??x。设f?x?是以2?为周期的函数，当又设S?x?是f?x?的以2?为周期的Fourier级数之和函数。试写出S?x?在???,??内的表达式。四、解答下列各题(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)2、(本小题2分) 3、(本小题4分)x3?12x?16求极限　lim3x?22x?9x2?12x?4 求?(ex?1)3exdx.包含总结汇报、办公文档、党团工作、专业文献、IT计算机、工作范文、教程攻略、应用文书、计划方案、文档下载、教学研究、人文社科以及大一高数期末考试题等内容。本文共12页
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高数公式总结
一、高中预备
k k ? ? x) 或 y ? cos( ? ? ? x ) ，化简口诀：奇变偶不变、符号 2 2 看象限。即若 k 为奇数，则 cos 变成 sin ，或者 sin 变成 cos ，若 k 为偶数则不变；将 x 看 k k 成第一象限角， 观察 sin( ? ? ? x ) 或 cos( ? ? ? x ) 的符号并将之加入化简后的公式前方。 2 2 ? ? 例如 sin( ? x ) ? cos x ，因为 k ? 1 所以 sin 变成 cos ，若 x 第一象限角， ? x 也为第一 2 2 象限角， sin 值为正，所以结果是正号。
（1）诱导公式： y ? sin( ? 例如 cos(? ? x) ? ? cos x ，因为 k ? 2 所以 cos 不变，若 x 第一象限角， ? ? x 则为第三象 限角， cos 值为负，所以结果是负号。 （2）和差化积
sin ? ? sin ? ? 2 sin
2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2
在高数中，一般很少用到。 （3）积化和差
1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2
一般地，在积分和求高阶导数需要使用积化和差公式。 （4）三角函数之间的关系：
（1）对角线关系是倒数关系 （2）相隔一个的两个三角函数之积等于中间 一个 （3）形如 上面两角的平方和等于下 面角的平方
1 1 1 ， cos x ? ， sin x ? tan x sec x csc x sin x tan x ? ， cos x
sin 2 x ? cos2 x ? 1 ， tan2 x ? 1 ? sec2 x ， cot2 x ? 1 ? csc2 x
在后面我们可以发现， (tan x, sec x) 和 (? cot x, csc x) 关系密不可分，有关导数、积分都有 联系。 （5）倍角公式和半角公式
sin 2 x ? 2 sin x cos x
cos2 x ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 1 ? sin 2 x
sin 2 x ? 1 ? cos 2 x 2 1 ? cos 2 x cos 2 x ? 2
其中，倍角公式和半角公式在积分中经常使用。 （6）指数与对数换底公式
? ? ? e ? ln?
sin x ? 1 ， lim(1 ? x ) x ? e （1）重要极限： lim x?0 x ?0 x
（2）等价无穷小：
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x 1 1 ? cos x ~ x 2 2
ln(1 ? x) ~ x ex ?1 ~ x
(1 ? x)? ?1 ~ ?x
三、一元导数 （1）基本初等函数的导数
( x? )? ? ?x? ?1
(sin x)? ? cos x (cos x)? ? ? sin x
(tanx)? ? sec2 x (cot x)? ? ? csc2 x
(sec x)? ? sec x tan x (csc x)? ? ? csc x cot x
(ln x )? ? 1 x
(e x )? ? e x
(arcsin x)? ? 1 1? x2 1 1? x2
(arccosx)? ? ?
(arctan x)? ?
1 1? x2 1 (arc cot x)? ? ? 1? x2
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