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已知函数f(x)=a·lnx+b·x2在点(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0，（1）求f(x)的表达式；（2）若f(x)满足f(x)≥g(x)恒成立，则称f(x)是g(x)的一个“上界函数”，如果函数f(x)为g(x)=-lnx（t为实数）的一个“上界函数”，求t的取值范围；（3）当m＞0时，讨论在区间(0，2)上极值点的个数。
题型：解答题难度：偏难来源：山西省模拟题
解：（1）当x=1时，y=0，代入得b=0，所以f(x)=alnx，，由切线方程知f′(1)=0，所以a=1，故f(x)=lnx。（2）f(x)≥g(x)恒成立，即恒成立，因为x＞0，所以t≤2xlnx，令h(x)=2xlnx，，当时，h′(x)＜0，所以h(x)在为减函数；当时，h′(x)＞0，所以h(x)在为增函数；h(x)的最小值为，故． （3）由已知，，又x＞0，由F′(x)=0得，，，①当时，得m=1，F′(x)≥0，F(x)在（0，2）为增函数，无极值点；②当且时，得且m≠1，F(x)有2个极值点；③当或时，得或m≥2时，F(x)有1个极值点；综上，当m=1时，函数F(x)在（0，2）无极值点；当或m≥2时，F(x)有1个极值点；当且m≠1时，F(x)有2个极值点．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=a·lnx+b·x2在点(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0，（..”主要考查你对&&导数的概念及其几何意义，函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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导数的概念及其几何意义函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f(x)=a·lnx+b·x2在点(1，f(1))处的切线方程为x-y-1=0，（..”考查相似的试题有：
837447873630858251791285801640395355高数定理_百度文库
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证明 函数f(x)在区间（a,b）内有界的重复必要条件是f(x)在(a,b)内既有上界，又有下界。
来自华中农业大学生命科学院
1. 若f(x)在(a,b)内有界，则存在M，恒有 |f(x)|≤M，即-M≤f(x)≤M，所以f(x)在有上界M，下界-M2. 若f(x)在有上界M，下界N，则恒有N≤f(x)≤M，设T=Max{ |M|, |N| }，则恒有-T≤N≤f(x)≤M≤T，
即|f(x)|&T
吴熙&&教师
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李都&&学生
冯立艳&&高级教师
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1.设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的
A：递增函数
B：递减函数
C：严格递增函数
D：严格递减函数
2.设f,g在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x))
A：都是奇函数
B：都是偶函数
C：一是奇函数，一是偶函数
D：都是非奇、非偶函数
3.设f在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上
C：有上界或有下界
D：可能有界，也可能无界
4.若f存在反函数g，则反函数g
A：是单调函数
B：是严格单调函数
C：不是单调函数
D：不一定是单调函数
5.设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限
A：都存在且相等
B：都存在，但不一定相等
C：至少有一个存在
D：都不存在
1.C;2.A;3.D;4.B;5.B.
回答数：27如何用极限的定义证明若f(x)的极限是b，g(x)的极限是c，则函数f(x)^g(x)的极限是b^c?_百度知道
如何用极限的定义证明若f(x)的极限是b，g(x)的极限是c，则函数f(x)^g(x)的极限是b^c?
(f(x)&gt,啾墩脆杆诒访根恼lim g(x)=c;0)show that: lim f(x)^(g(x))=b^cThanks for you helpwhen x-&gt,lim f(x)=b;a
提问者采纳
0的条件,由于limf(x)=0;2)于是limf(x)^g(x)&lt.所以存在&#92, 存在&#赚诩帝拘郜饺刽授92;c&#47,|g(x)-c|&lt,是错的的比如说x^x在x趋近于0的时候极限是1还需要c&gt，之后极限运算法则②b=0;delta2;delta1;2&gt，使得0&=f(x)&lt,情况①b&gt,只需证ln[f(x)]*g(x)的极限是lnb*c;2所以此时f(x)^g(x)&=f(x)^(c/limf(x)^(c/0取对数，ln[f(x)]的极限是0;1对c&#47,否则在b=0的情况下
题里说了f&0,b肯定是大于0的。但c可能小于等于0。取对数的想法很有帮助！我刚接触这种证明，不太会什么技巧。受教了！
不，是可以得0的,考虑f(x)=|x|,在x=0点不定义,于是在定义域内全部大于0，而x趋近于0的极限是0，题目没有说原函数连续
得0的话公式也没错吧。x^x极限是1，0^0也的确是1
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