如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．
（1）连CD，由条件得到点D为AB的中点，则CD=AD，∠4=∠A=45°，易证△CDF≌△ADE，△CED≌△BFD，得到CF=AE，CE=BF，而CE2+CF2=EF2，因此得到结论．（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，根据旋转的性质得到CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，易证△CGE≌△CFE，得到GE=EF，即可得到结论AE2+BF2=EF2仍然成立；（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，根据旋转的性质得到∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=CN，AF=AP，又△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，得到EF=BE+DF，则EF=EP，证得△AMQ≌△AMN，得到MN=QM，易证得∠QBN=90°，于是有BQ2+BM2=QM2，从而得到BM2+DN2=MN2．
证明：（1）连CD，如图4，∵两个等腰直角三角形的相似比为1：，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，∴点D为AB的中点，∴CD=AD，∠4=∠A=45°，又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1，∴△CDF≌△ADE，∴CF=AE，同理可得△CED≌△BFD，∴CE=BF，而CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2；（2）结论AE2+BF2=EF2仍然成立．理由如下：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，如图5∴CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，∴∠GAE=90°，而∠3=45°，∴∠2+∠4=90°-45°=45°，∴∠1+∠2=45°，∴△CGE≌△CFE，∴GE=EF，在Rt△AGE中，AE2+AG2=GE2，∴AE2+BF2=EF2；（3）线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长．理由如下：把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，如图∴∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=DN，AF=AP，∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，∴EF=BE+DF，∴EF=EP，∴△AEF≌△AEP，∴∠1=∠3+∠4，而AQ=AN，∴△AMQ≌△AMN，∴MN=QM，而∠ADN=∠QBA=45°，∠ABD=45°，∴∠QBN=90°，∴BQ2+BM2=QM2，∴BM2+DN2=MN2．直角三角形的小结与复习_百度文库
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直角三角形的小结与复习|
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你可能喜欢探究一:连接,根据已知条件得到是的中点,根据等腰直角三角形的性质可以证明,.根据等角的余角相等可以证明.即可得到全等三角形,从而证明结论;作,于,,根据两个角对应相等证明,发现,再根据等腰直角三角形的性质得到;根据中求解的过程,可以直接写出结果;要求的取值范围,根据交点的位置的限制进行分析.探究二:设,结合上述结论,用表示出三角形的面积,根据的最值求得面积的最值;首先求得和重合时的三角形的面积的值,再进一步分情况讨论.
探究一:连接,根据是的中点和等腰直角三角形的性质,得,,又,则,得;作,于,,根据两个角对应相等,得,;过点作于点,作于点,在四边形中,,(四边形的内角和是),又(平角是),(等量代换),,(两个相似三角形的对应边成比例);在,与满足的数量关系式为,;(当时,与不会相交).探究二:设,则,所以当时,面积最小,是;当时,面积最大,是.当时,,故当时,这样的三角形有个;当或时,这样的三角形有一个.
熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解.
3996@@3@@@@相似三角形的判定与性质@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3822@@3@@@@二次函数的最值@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3869@@3@@@@三角形的面积@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3978@@3@@@@旋转的性质@@@@@@265@@Math@@Junior@@$265@@2@@@@图形的旋转@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,角ABC=角DEF={{90}^{\circ }},角EDF={{30}^{\circ }}操作:将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.探究一:在旋转过程中,(1)如图2,当\frac{CE}{EA}=1时,EP与EQ满足怎样的数量关系,并给出证明.(2)如图3,当\frac{CE}{EA}=2时,EP与EQ满足怎样的数量关系,并说明理由.(3)根据你对(1),(2)的探究结果,试写出当\frac{CE}{EA}=m(6)时,EP与EQ满足的数量关系式为 ___,其中m的取值范围是 ___.(直接写出结论,不必证明)探究二:若,AC=30cm,连续PQ,设\Delta EPQ的面积为S(平方厘米),在旋转过程中:(1)S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.(2)随着S取不同的值,对应\Delta EPQ的个数有哪些变化,求出相应S值的取值范围.类似"友好矩形"的定义,即可写出"友好平行四边形"的定义:如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的"友好平行四边形";根据定义,则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边,过第三个顶点作它的对边,从而画出矩形.根据每个矩形和直角三角形的面积的关系,比较两个矩形的面积大小;分别以三角形的一边当矩形的另一边,过第三个顶点作矩形的对边,从而画出矩形,根据三角形和矩形的面积公式,可知三个矩形的面积相等,设矩形的面积是,三角形的三条边分别是,,.根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边,进一步求得其周长,运用求差法比较它们的周长的大小.
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的"友好平行四边形".
(分)此时共有个友好矩形,如图的,.
(分)易知,矩形,的面积都等于面积的倍,的"友好矩形"的面积相等.
(分)此时共有个友好矩形,如图的,及,其中的矩形的周长最小.
(分)证明如下:易知,这三个矩形的面积相等,令其为,设矩形,及的周长分别为,,,的边长,,,则:,,,(分),(分)而,,,即,(分)同理可得,,最小,即矩形的周长最小.
理解该题中的新定义,能够根据定义正确画出符合要求的图形,掌握三角形和矩形的面积公式,能够运用求差法比较数的大小.
3910@@3@@@@矩形的性质@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3904@@3@@@@平行四边形的性质@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 阅读以下短文,然后解决下列问题:如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的"友好矩形",如图\textcircled{1}所示,矩形ABEF即为\Delta ABC的"友好矩形",显然,当\Delta ABC是钝角三角形时,其"友好矩形"只有一个.(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的"友好平行四边形";(2)如图\textcircled{2},若\Delta ABC为直角三角形,且角C={{90}^{\circ }},在图\textcircled{2}中画出\Delta ABC的所有"友好矩形",并比较这些矩形面积的大小;(3)若\Delta ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图\textcircled{3}中画出\Delta ABC的所有"友好矩形",指出其中周长最小的矩形并加以证明.如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图a、图b、图c是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图a、图b、图c的方格纸上．
要求：（1）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
（2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
（1）可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；
（2）可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；
（3）以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可．
3种拼法．（2分）