线性代数 求特征值和特征向量特征向量 第二问中的那两个求特征值和特征向量是如何算出来的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-10-26 02:35 标签： 线性代数的特征值
第三章 特征值与特征向量_中华文本库
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§3.1 矩阵的特征值和特征向量
一、 矩阵的特征值、特征向量概念
定义3.1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在一个数 ?0, 相应地 n 有非零向量? ? R ,使得
A? ? ?0? , （3.1.1） 那么就称 ?0是矩阵 A的一个特征值,? 称为 A 的属于特征值
?0的一个特征向量.
注1) 矩阵的特征值、特征向量有两个前提条件: （1） 特征值?0是一个数； （2） 特征向量 ? 是非零向量, 且满足 A? ? ?0? ； （3） 对任何数 k ,有 A0 ? k 0, 但0不是 A 的特征向量,
也不能说 k 不是 A 的特征值.
二、特征值、特征向量的求法、特征多项式 设矩阵 A 有一个特征值 ?0, ? 是 A 的属于特征值 ?0的
特征向量，则 A? ? ?0? ,于是有
这表明 ? 是齐次线性方程组
(?0 E ? A)? ? 0 (? ? O) .
(?0 E ? A) X ? 0
于是 其系数矩阵的行列式det(?0 E ? A) ? 0 。
的一个非零解（向量）。 因而由齐次线性方程组理论，
命题 ?0 是矩阵 A 一个特征值充分必要 条件是 ?0 为以 ? 为变量的一元 n 次代数方程
det(?E ? A) ? 0
定义3.2 设 A ? ?aij ?为 n 阶矩阵,含有未知数 ? 的矩阵
?E ? A 称为A的特征矩阵，其行列式 ? ? a11 ? a12 ? det(?E ? A) ? ? a 21 ? ? a 22 ?
? ? a n1 ? ? an2 ?
? a1n ? a2n ?
? ? ? a nn 称为矩阵 A 的特征多项式,记作 f A (? ) .
det(?E ? A) ? 0
称为矩阵 A 的特征方程。 ? 定理3.1 设 A ? ?aij ? 为 n 阶矩阵, 则 ?0 是A的特征值， 是A的属于?0 特征值的特征向量的充分必要条件是 ?0
? 为 det(?E ? A) ? 0特征方程的根， 是齐次线性方程组
(?0 E ? A) X ? 0 的非零解（向量）。 （证明略）
注1) A 的特征多项式 det(?E ? A) 是一个 n 次 多项式,且首项系数是1； 注2) 如果 ?0是A的特征值，常常称为A的特征根；
注4) A的全部特征值、特征向量的求法
第一步 对给定下的矩阵 A ， 计算特征多项式 det(?E ? A) ; 第二步 求出特征方程 det(?E ? A) ? 0 中的全部根 ?1 , ?2 ,?, ?n (即 A 的全部特征值，其中可能有重根 或成对出现、重数相同的复数根); 第三步 对每一个特征值 ? i , 求出齐次线性方程组 (? i E ? A) X ? 0 的一个基础解系? i1 , ? i 2 ,?, ? is (它就是 A 的属于特征值
? i 的极大无关的特征向量组),由此可求出 A 的属于? i 的全部特征向量 c1? i1 ? c2? i 2 ? ? ? c s? is (? 0) ， 其中 c1 , c2 ,?, ck 为数值.
? 3 2 4? ? ? 解: 矩阵 A 的特征多项式为 A ? ? 2 0 2? ? 4 2 3? ? ?3 ?2 ?4 ? ? det(?E ? A) ? ? 2 ? ? 2 ? (? ? 1) 2 (? ? 7)
例4．求矩阵特征值和相应的特征向量.
?4 ?2 ? ?3 因此由 det(
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【考研】线性代数第五章
方阵的特征值和特征向量
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第五章特征值和特征向量.doc14页
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第五章 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量
1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征向量为，求A
【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量后，由公式
【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即，解得
2．（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值
【分析】本题从特征值、特征向量的定义进行推导即可
【详解】设，则
可见必有特征值
3．（99，填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是
【分析】因为r A
【详解】因为
故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）
因此本题应填
4．（99，十题，8分）设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值
【分析】利用，把转化为是本题的关键
【详解】根据题设有，
解此方程组，得
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵
【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。
经计算可得
故B＋2E的特征值为
当时，解，得线性无关的特征向量为
所以属于特征值的所有特征向量为
，其中是不全为零的任意常数
当时，解，得线性无关的特征向量为
所以属于特征值的所有特征向量为
，其中为非零的任意常数
设A的特征值为，对
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