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表面积体积练习题
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表面积体积练习题
官方公共微信人教版五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总一、长方体和正方体的认识 【知识点 1】 要素 立体图形 长方体 数量 12 棱 特征 互相平行的 棱长度相等 垂直于正方 形面的棱长 度相等 所有的棱长 度都相等 数量 6 面 特征 相对的面完全相同 两个面是正方形， 其余四个面是完全 相同的长方形 所有面都是正方形 且完全相同 数量 8 同一个顶点引出的三条 棱分别叫做
长、宽、高 顶点 特征特殊长方体1268正方体1268一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有 6 各面是正方形，但不会存在 3 个、4 个、5 个面是正方形！ 练习： （1）判断并改正： 长方体的六个面一定是长方形； ( ) 正方体的六个面面积一定相等； ( ) 一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； ( ) 相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 一个长方体中，可能有 4 个面是正方形。 （ ） 正方体是特殊的长方体。 （ ） 长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 有三个面是正方形的长方体一定是正方体。 （ ） 正方体的相邻三条棱的交点叫做顶点。 （ ） 有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。（ ） 长方体和正方体最多可以看到 3 个面。 （ ） 长方体的 12 条棱中，长、宽、高各有 4 条。（ ） 正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ） 长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（ ） 一个长方体中最少有 4 条棱长度相等，最多有 8 条棱长度相等。（ ） （2）一个长方体最多有（ ）个面是正方形，最多有（ ）条棱长度相等。 （3）一个长方体的底面是一个正方形，则它的 4 个侧面是（ ）形。 （4）正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（ ），它的六个面都是相等的（ ）形。 （5）把长方体放在桌面上，最多可以看到（ ）个面。最少可以看到（ ）个面。 【知识点 2】 棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4 长方体棱长和=下面周长×2+高×4 长方体棱长和=右面周长×2+长×4 长方体棱长和=前面周长×2+宽×4 正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12 棱长和的变形： 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要 10 厘米彩带，一共需要多长的彩带？ 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱 20cm 长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度； 20cm 30 M 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高×4+长×2+打结部分长度20×4+30×2+10=150cm 练习： （1）分别说出下面长方体长、宽、高。（2）看图 2-6，并填空单位：厘米 这个长方体长 ( ) 厘米，宽 ( ) 厘米，高 ( ) 厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是 ( )厘米。棱长总和是( )厘米。上下两个面是( )形。 （3）看图 2-7 并填空单位：厘米 这是一个( )体，正方体的棱长是( )厘米，棱长之和是( )厘米，每个面的 面积是( )平方厘米。 （6）有一个长方体的鱼缸，长 50 厘米，宽 30 厘米，高 30 厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连 接处，需要（ ）米的铝合金。 （7）一个长方体的棱长总和是 80 厘米，其中长是 10 厘米，宽是 7 厘米，高是（ ）厘 米。 （8）把两个棱长 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。 （9）至少需要（ ）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是 18 厘米，高 3 厘米的长方体框架。 （6） 一个长方体长 12 厘米宽 8 厘米高 7 厘米， 把它切成一个尽可能大的正方体， 这个正方体的棱长是 （ （7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长 2m，一共需要多少串彩灯？ 50m 6m 30m （10）一个长方体棱长和 164cm，已知长方体的底面周长为 （11）一个长方体棱长和 164cm，已知长方体的左面周长为 72cm，长方体的高是多少 cm？ 40cm，长方体的长是多少 cm？） 。（12）一个长方体棱长和 164cm，已知长方体的正面周长为 56cm，长方体的宽是多少 cm？ （13）一只鱼缸，棱长和为 280cm，其中，底面周长为 50cm，右面周长为 40cm，前面周长为 50cm，鱼缸的长、宽、 高各是多少？ 【知识点 3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。 长方体一共有（ ）个面， （ ）面完全相同，如：前面和（ ）完全相同， （ 完全相同， （ ）和（ ）完全相同。 根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。根据这一习惯我们 我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。 例如：如图下列长方体的后面是（ ）形状，长是（ ）宽是 （ ） ； 它的右面是 （ ） 形状， 长是 （ ） 宽是 （ ） ； 上 下面是（ ）形状，长是（ ）宽是（ ） 。 练习：）和（）左（1）长方体展开后每个面都是什么形状？ 展开后哪俩个面是相对的面？面积相等吗？面 后 下 面 面 前右 面面上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？ （2）一个长方体的长是 25 厘米， 宽是 20 厘米， 高是 18 厘米， 最大的面的长是 （ ） 厘米， 宽是 （ ） 厘米，它的面积是（ ）平方厘米；最小的面长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，它的面积 是（ ）平方厘米。 （3）一个长方体的长、宽、高分别是 8、6、4 米，它的前后的面的面积是（ ） ，左右的面的面积是 （ ） ，上下的面的面积是（ ） 。 【知识点 4】折叠可以组合成正方体:经过折叠可以组合成长方体：练习： 下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ）①②③【知识点 5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响 （1）切割 将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加 4 条长和 4 条宽； （棱长增加的最长） 将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加 4 条宽和 4 条高； （棱长增加的最短） 将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加 4 条棱。 （2）组合 将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少 4 条长和 4 条宽； （棱长减少的最多） 将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少 4 条长和 4 条高； 将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少 4 条宽和 4 条高； （棱长减少的最少） 将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少 8 条棱； 一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后， 棱长比原来三个正方体时减少 16 条棱， 四个组合减少 24 条棱， 五个组合减少 32 条……（公式：8×（N―1） ）例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为 140 厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？ 分析：五个正方体棱长共有 12×5=60 条； 将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少 32 条，还剩 60-32=28 条； 即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：140÷28=5cm； 所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm。 【知识点 6】小正方体拼大正方体的规律 由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相 等的，因此要拼出最小的正方体至少需要 2×2×2=23=8 个（也就是说每条棱上放 2 个小正方体） ，接着再往大了拼 3 3 正方体，就是每条棱上放 3 个小正方体即 3×3×3=3 =27 个，依次类推接下来是 4×4×4=4 =64 个；5×5× 5=53=125 个…… 从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我 们能够熟记一些数的立方： 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律 规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的 a 倍，宽是 小正方体棱长的 b 倍，高是小正方体棱长的 c 倍，则，大长方体就是由 a×b×c 个小正方体组成的。 练习： （1）用棱长为 1 厘米的小正方体拼一个棱长为 6 厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。 （2）用棱长为 3 厘米的小正方体拼棱长为 9 厘米的大正方体需要（ ）个小正方体。 A、8 个 B、27 个 C、26 个 D、64 个 （3）用棱长为 2 厘米的小正方体拼一个稍大一些的正方体至少需要（ ）个小正方体。 A、4 个 B、8 个 C、16 个 D、27 个 （4）下列有一些数量的棱长为 1 厘米的小正方体，哪些数量可以拼成较大的正方体。 （ ） A、27 个 B 、4 个 C、1 个 D、8 个 E、32 个 F、125 个 （5）一个长方体的长宽高分别是 18、12、9，如果用棱长为 3 的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（ ） 块这样的小正方体。 （6）用（ ）个棱长为 4cm 的小正方体可以拼出一个长为 16cm，宽和高均为 8cm 的长方体。 （7）一个长方体的盒子里面长 5 分米，宽 4 分米，深 3 分米，放棱长为 5 厘米的正方体小木块共可以放（ ）块。 （8）两个棱长 1 厘米的正方体木块，拼成一个长方体，这具长方体表面积是（ ）平方厘米。 二、长方体和正方体的表面积 【知识点 1】 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 =（a×b+a×c+b×c）×2 =（前面面积+上面面积+右面面积）×2 2 正方体表面积=棱长×棱长×6=a×a×6=6a =任意一个面的面积×6 前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！ 表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！ 练习： （1）一个正方体的棱长总和是 48 分米，它的棱长是（ ） ，表面积是（ ） 。 （2）一个长方体长 6 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（ ）平方厘米，前后两个 面的面积各是（ ）平方厘米，左右两个面的面积各是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米。 （3）判断题：长方体的表面积一定比正方体的表面积大。 ( ) 如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的 4 倍． （ ） （4）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）O。 （5）长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是 （ ）厘米，六个面中最大的面积 是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米。 （6）用字母表示正方体（或长方体）的表面积＝（ ）；用字母表示长方体的体积公式是（ ）。 （7）下面哪些问题跟长方体表面积有关。 （ ）A：在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？ C： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？ （8）一个长方体的长是 5 分米，宽和高都是 4 分米，在这个长方体中，长度为 4 分米的棱有（ ）条，面积是 20 平方分米的面有（ ）个。 （9）一个长方体的金鱼缸，长是 8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的 玻璃的面积是（ ）。 （10）一个正方体的底面积是 64 平方厘米，它的表面积是（ ） 。 （11）一个正方体的底面周长是 8 厘米，它的表面积是（ ） 。 （12）一个长方体侧面积是 360 平方厘米，高是 9 厘米，长是宽的 1.5 倍，求它的表面积。 【知识点 2】长方体表面求法的变形： ① 贴商标类型：只求四周面积。 例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为 8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？ ② 游泳池类型：只求四周和底面。 例如：一座游泳池，长宽高分别为 10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为 1dm 的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？ ③ 抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是 20cm，12cm，5cm，上面有长 14cm，宽 3cm 的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬 纸片？ ④ 占地面积问题：只求底面面积。 例如：一个长方体蓄水池，长 12m，宽 8m，深 3m，这个水池占地面积多少平方米？ 练习： （1）一盒饼干长 20 厘米，宽 15 厘米，高 30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是 4 厘米， 这张商标纸的面积是多少平方厘米？ （2）一种长方体硬纸盒，长 10 厘米，宽 6 厘米，高 5 厘米，有 2 平方米的硬纸板 210 张，可以做这样的硬纸盒多 少个？（不计接口） （3）一个通风管的横截面是边长是 0.5 米的正方形,长 2.5 米.如果用铁皮做这样的通风管 50 只,需要多少平方米 的铁皮? （4）一个房间的长 6 米，宽 3.5 米，高 3 米，门窗面积是 8 平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥， 粉刷水泥的面积是多少平方米？如果每平方米需要水泥 4 千克，一共要水泥多少千克？（5）在一节长 120 厘米，宽和高都是 10 厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？做 12 节这样的通风管呢？ （6）做一个正方体无盖纸盒，棱长是 21 厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？ （7）一个抽屉，长 50 厘米，宽 30 厘米，高 10 厘米，做这样的 2 个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？ （8）长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是 200 平方厘米，这个长方体的表面积是多 少平方厘米？ （9）一只鱼缸，棱长和为 280cm，其中，底面周长为 50cm，右面周长为 40cm，前面周长为 50cm，这只鱼缸的占地 面积是多少平方厘米？ （10）一块长方形铁皮长 60 厘米，宽 40 厘米，如 图， 从四个角上剪去边长是 10 厘 米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？ （11）一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（ ）个面. 【知识点 3】棱长变化对表面积的影响：? 正方体 正方体的棱长扩大 2 倍，其棱长和也扩大 2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍； 正方体的棱长扩大 3 倍，其棱长和也扩大 3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27 倍； 正方体的棱长扩大 n 倍，其棱长和也扩大 n 倍，表面积扩大 n2 倍，体积扩大 n3 倍。 ? 长方体 长方体的长宽高同时扩大 2 倍，其棱长和也扩大 2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍； 长方体的长宽高同时扩大 3 倍，其棱长和也扩大 3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27 倍； 长方体的长宽高同时扩大 n 倍，其棱长和也扩大 n 倍，表面积扩大 n2 倍，体积扩大 n3 倍。 长方体的长扩大 a 倍，宽扩大 b 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大 a×b×c 倍。 长方体的长扩大 a 倍，宽扩大 b 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 a×b 倍 。 长方体的宽扩大 b 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 b×c 倍 。 长方体的长扩大 a 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 a×c 倍 。 练习： （1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的 2 倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍。 （2）正方体的棱长缩小 5 倍，它的体积就缩小（ ）倍． （3）一个长方体的长、宽、高都扩大 4 倍，它的表面积就（ ）。 （4）正方体的棱长扩大 6 倍，表面积扩大（ ）倍。 （5）一个正方体的棱长为 4 厘米扩大为 2 倍后，其棱长和为（ ）厘米，表面积为（ ）平方厘米比原来 扩大了（ ）。 （6）一个长方体长扩大 2 倍，高扩大 4 倍，体积扩大（ ）倍。 （7）大正方体的表面积是小正方体的 4 倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（ ） ；大正方体棱长之和是小正 方体的（ ） A.2 倍 B.4 倍 C.6 倍 D.8 倍 （8）把一个正方体切成大小相等的 8 个小正方体，8 个小正方体的表面积之和（ ） 。 A.等于大正方体的表面积 B.等于大正方体表面积的 2 倍 C.等于大正方体表面积的 3 倍 （9）判断：一个长方体的长扩大 2 倍，宽扩大 3 倍，高扩大 4 倍，这个长方体的表面积扩大 24 倍。（ ） 正方体的棱长扩大 1.2 倍，它的棱长也扩大 1.2 倍，它的表面积就扩大 14.4 倍。（ ） 有棱长为 1 厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了 4 倍。（ ） 棱长为 16 厘米的正方体，将棱长缩小 2 倍后，其棱长为 4 厘米，其表面积也缩小了 4 倍。（ ） 【知识点 4】 ? 立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题） ? 长方体 沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。 沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。 而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。 ? 正方体 2 无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为 2a 不存在增加最多最少的问题。 例如：两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？ 要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减 少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。 练习： （1）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）O。 （2）用两个长 4 厘米、宽 4 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（ ）平 方厘米，最小是（ ）平方厘米。 （3）把一根长 80 厘米，宽 5 厘米，高 3 厘米的长方体木料锯成长都是 40 厘米的两段，表面积比原来增加了（ ） 平方厘米。 （4）用两个长、宽、高分别是 3 厘米，2 厘米，1 厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是 （ ）平方厘米。 （5）棱长是 a 的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（ ）。 （6）一根长方体木料，长 1.5 米，宽和厚都是 2 分米，把它锯成 4 段，表面积最少增加（ ）平方分米．（7）一个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加 多少平方厘米？ （8）把一根长 2 米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加 5.76 平方分米，原来这根方木的底面积是多少 平方分米？ （9）一根 1.8m 长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？ （10）一个长方体长为 1.5 分米，宽为 0.5 分米，高位 1 分米，锯三刀之后之后可以锯成 6 个完全相同的正方体， 每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原来增加多少？ （11）把一个长 18 厘米，宽 12 厘米，高 6 厘米的长方体木块截成两个表面积相等的长方体，表面积最小的长方体 的表面积是多少？表面积最大的长方体的表面积是多少？? 从一个长方体中切出一个最大的正方体问题 应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方 体。 例如： 在一个长是 4 厘米， 宽为 3 厘米， 高为 2 厘米的长方体中切出一个最大的正方体， 该正方体的棱长和是多少？ 剩余部分的表面积是多少？ 分析：以最短的棱为正方体的棱长，即以高为 2cm 的棱为正 方体的棱长，那么正方体的棱长和为：2×12=24cm。 切去正方体后所剩部分的长为 4-2=2cm，宽为 3-2=1cm，高仍 为 2cm ，因此所剩部分表面积为： （ 2 × 1+2 × 2+1 × 2 ）× 2 2=16cm 。 ? 立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题） ? 长方体 将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。 将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。 而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。 ? 正方体 2 无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为 2a 不存在增加最多最少的问题。 练习： （1）把三个棱长是 1 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ） ，比原来 3 个正方体表面积之 和减少了（ ） 。 （2）把三个棱长是 2 分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（ ） ，体积是（ ） 。 （3）用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（ ） （4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 350 平方米。这个正方形的表面积是多少 平方米？ （5）一个长方体的长 8 厘米，宽 6 厘米，高 5.5 厘米。将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多 少？体积是多少？ （6）一种长方体积木，长 3 厘米，宽 2.5 厘米，高 2 厘米。将两块这样的长方体拼成一个新的长方体，表面积最 小是多少？ （7）用 3 个棱长 5 分米的正方体粘合成一个长方体，表面积减少多少平方分米？表面积是多少平方厘米？ （8）有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少 32 平方厘米。求所拼长方体的表面积。 （9）用两个同样的长、宽、高分别为 4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大 长方体的表面积是多少平方厘米？（10）用两个长 6 厘米，宽 3 厘米，高 1 厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？ （11）用 3 个棱长 4 分米的正方体粘合成一个长方体，长方体的表面积比 3 个正方体的表面积少多少平方分米？表 面积是多少平方厘米？ （12）用两个同样的长、宽、高分别为 4 厘米、3 厘米和 2 厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个 大长方体的表面积是多少平方厘米？ 【知识点 5】小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题 大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所 含小正方体的总数； 在顶点位置的小正方体露在外面的面有 3 个； 在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有 2 个； 在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有 1 个； 用总数―3 个面的―2 个面的―1 个面得=没有露在外面的小正方体的个数。 例如： 在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？ 有两个面图上漆的小正方体有几个？ 有一个面涂上漆的小正方体有几个？ 没有涂上漆的小正方体有几个？练习：图中，长方体共有（ ）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有 （ ）个；没有露在外面的小正方体共有（ ）个。 图二中三个图一次有（ ） 、 （ ） 、 （ ）小正方体组成。第二个长 方体中有三个面在外面得正方体有（ ）个，两个面在外面的正方体有 （ ）个，一个面在外面的有（ ）个，没有露在外面的小正方体 （ ） 。 挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为 原来在顶点位置小正方体露在外面的面为 3 个，挖去后露出来的面 也是 3 个，所以表面积不变。 挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为 原来在棱上的小正方体露在外面的面有 2 个，挖去后会露出 4 个面， 所以表面积会增大。 挖去的小正方体在面上，则大正方体的表面积也会增加，因为 原来在面上的小正方体只有 1 个面露在外面，挖去后会露出 5 个面， 所以表面积会增大。 小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化 练习： （1）图一是由棱长是 2 厘米的小正方体拼成的立体图形，求这个立体图形的表面积。图一图二（2）图二用 12 个小正方体拼成的长方体中，如果拿掉带 阴影部分的 2 个小正方体，它的表面比原来（ ）。【知识点 7】单位换算 长度单位：mm、cm、dm、m 相邻两个单位进率为 10 2 2 2 2 面积单位：mm 、cm 、dm 、m 相邻两个单位进率为 100 3 3 3 3 体积单位：mm 、cm 、dm 、m 相邻两个单位进率为 1000 容积单位：ml、l 相邻两个单位进率为
特别的：1ml=cm 1l=1dm 1 方=1m? 不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。 大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。 进率×高级单位的数 数 低级单位的数÷进率 例如：手指尖约占了 1 立方厘米的空间，即它的体积约为 1 立方厘米。 一个粉笔盒的体积约为 1 dm ? 。 率 建一游泳池，约要挖土 6000 方。 1.36 dm? =1360 cm? 4.573m? =4573 dm? 一个烧杯约能装水 500ml。 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm? =5670cm? 练习： (1)3.2 立方分米=（ ）立方厘米 500 立方分米=（ ）立方米 9 立方米 500 立方分米=（ ）立方米=（ ）立方分米 3.6 升=（ ）毫升=（ ）立方厘米 1700 平方厘米=（ ）平方分米=（ ）平方米 3 升=（ ）毫升 2700 毫升=（ ）升 2.57 升=（ ）毫升 640 毫升=（ ）升 2.8 立方分米=( )立方厘米 0.8 升=( )毫升 720 立方分米=( )立方米 51000 毫升= ( )升 32 立方厘米=( )立方分米 4.25 立方米=( )立方分米=( )升 2.7 立方米=( )升 1200 毫升=( )立方厘米 1.24 立方米=( )升=( )毫升 3.06 升=（ ）升（ ）毫升 40 立方米＝（ 30 立方分米＝（ ）立方分米 ）立方米 4 立方分米 5 立方厘米＝（ 0.85 升＝（ ）毫升 ）立方分米高级单位低级单位2100 毫升＝（ ）立方厘米＝（ ）立方分米 0.3 升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米 (2)一个水池能装水 400 立方米，这是指（ ），占地 2 公顷指的是（ ）。 一块橡皮擦的体积约是 8( )。 一本书的封面约是 2( )。 运货集装箱的体积约是 40( )。 一支钢笔长 18( )。 一台录音机的体积约是 20( )。 三、长方体和正方体的体积 【知识点 1】容积与体积基本概念 体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。 当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积&容积。 比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。 （容器壁忽略不计） 体积计算方法： 长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 长方体和正方体的体积=底面积×高=右面面积×长=前面面积×宽 体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。 体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。 体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。 练习：（1）判断： 体积单位比面积单位大，面积单位比长度单位大． （ ） 正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算．（ ） 表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等． （ ） 长方体的体积就是长方体的容积． （ ） （2）一个正方体的棱长和是 12 分米，它的体积是（ ）立方分米． （3）一个长方体的体积是 30 立方厘米，长是 5 厘米，高是 3 厘米，宽是（ ）厘米． （4）表面积是 54 平方厘米的正方体，它的体积是（ ）立方厘米． （5） 一个长方体框架长 8 厘米， 宽 6 厘米， 高 4 厘米， 做这个框架共要 （ ） 厘米铁丝， 是求长方体 （ ） ， 在表面贴上塑料板， 共 要 （ ） 塑料板是求 （ ） ， 在里面能盛 （ ） 升水是 求 （ ） ， 这个盒子有（ ）立方米是求（ ）． （6）长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米，它的棱长总和是 （ ）厘米，六个面中最大的面积 是（ ）平方厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米． （7） 一个正方体棱长 2 厘米， 体积是 （ ） 立方厘米， 如果这个正方体的棱长扩大 2 倍， 它的体积是 （ ） 立方厘米。 （8）一个菜窖能容纳 6 立方米白菜，这个菜窖的（ ）是 6 立方米． （9）表面积相等的长方体和正方体的体积相比，（ ）． ①正方体体积大 ②长方体体积大 ③相等 （10）将一个正方体钢坯锻造成长方体，正方体和长方体（ ）． ①体积相等，表面积不相等 ②体积和表面积都不相等． ③表面积相等，体积不相等． （11）要制作 140 个棱长 5 厘米的正方体木块，至少需要木料多少立方分米？ （12）某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长 40 厘米，它的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？ （12）长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，阴影部分的两个面的面积和是 200 平方厘米，这个 长方体的体积是多少立方厘米？ （13）一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长 3 米，宽 1.5 米，深 2 米，每立方米沙子重 1400 千克，这个沙坑 里共装沙子多少吨？ （14）有一块面积为 36 平方分米的铁皮，将其制作成可以容纳最多物体的形状，其棱长是多少？可以容纳多少立 方分米的物体？ （15）一个长方形的底面是一个周长为 16 分米的正方形，它的表面积是 96 平方分米，这个长方体的体积是多少？ （16）用一根 12 分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是（ ）立方分米。 （17）一个长方体，其中三个面的面积分别是 15 平方厘米，20 平方厘米，12 平方厘米，这个长方体的体积是多少 立方厘米？【知识点 2】体积大小的比较 对于液体可以直接比较体积的大小，如果液体体积小于容器既可以装得下，如果大于容器体积则装不下。 对于固体而言，在体积小于容器体积的前提下，还需要比较物体的长宽高于容器的长宽高，只有物体的长宽高都小 于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器。 例如：有一个长为 8 分米，高位 5 分米，体积为 240 平方分米的硬纸盒，有一件陶瓷长为 7.4 分米，高位 4 分米， 宽为 6.5 分米，是否可以放入该容器？ 分析：单纯计算容器和陶瓷的体积我们可以发现：陶瓷体积&硬纸盒体积。但这并不意味着瓷器就可以装进盒子。 我们还需要观察陶瓷长宽高于容器长宽高的大小。 通过计算硬纸盒的长=8 分米 宽=240÷（8×5）=6 分米 高=5 分米 陶瓷的长=7.4 分米 宽=6.5 分米 高=4 分米由此可以发现陶瓷的宽比盒子的宽大，所以即使在体积小于盒子的前提下，仍然是装不进去的。 练习： （1）有一个长方形玻璃鱼缸长为 5 分米，宽为 3 分米，高为 3 分米里面装有 2.5 分米高的水，现在需要将该该鱼 缸内的水倒入一个棱长为 3.5 分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水 有多高？ （2）有一个长方体的硬纸盒，长为 11 分米，宽为 15 分米，高为 6 分米，现将一个长为 12 分米，宽为 10 分米， 高为 5 分米长方体的礼品放入该盒子中，是否可以装的进去？ 【知识点 3】 ? 切割组合对体积的影响 将一个长方体或正方体任意的切割，切开后各部分的体积之和都等于原来长方体的体积。 将几个长方体或正方体随机的组合，组合起来后的立体图形的体积都等于原来各部分的体积之和。 也即切割和组合不会改变原来各部分的体积，只是各部分体积的相加。 例如：将一块体积为 30 立方米的石头，切割成相同大小的石块刚好可以切出 10 块，每块石头的体积是多少？ 分析：根据切出的每块石头大小相同，可以知道每块石头的体积是相等的，而大石头的体积 30 立方米，一共贴出 10 块，所以每块石头的体积为：30÷10=3（立方米） 练习： （1）将棱长为 5 厘米的 20 块小正方体拼成一个长方体，其体积最大是多少？表面积最大是多少？ ? 根据切割组合对表面的影响来确定体积的变化 例如：把一个正方体木块截成两个相同的长方体后，表面积增加了 32 平方分米，原来正方体的表面积是（96）平 方分米，体积是（64）立方分米。 分析：根据正方体无论怎么切其都将增加两个完全相同的正方形面，而且每个面的大小都等于原来正方体一个面的 面积。因此，正方体一个面的面积为 32÷2=16（平方分米） ，原来正方体的表面积为 16×6=96（平方分米） ， 根据原来正方体一个面的面积=棱长×棱长=棱长的平方=16，可知 4 的平方=16 所以原来正方体的棱长为 4 分米，所 以，原来正方体的体积为 4×4×4=64（立方分米） 练习： （1）一个长方体，如果高增加 3 厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了 96 平方厘米。原来的长方体 的体积是多少立方厘米？ （2）一个长方体，把它的高增加 3 厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来增加了１２０平方厘米，求原 来的体积是多少？ （3）一个长方体，把它的高减少５厘米，它就变成一个正方体，并且表面积比原来减少了２００平方厘米，求原 来的体积是多少？ （4）一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体，如果切割下一个正方体，剩下的表面积比原来少了８０平 方厘米，求原来长方体的表面积是多少？ （5）一个棱长为１分米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可 以排多少米？ （6）把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１分米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可 以排多少米？ （7）把一个棱长为１米的正方体木块切割成棱长是１厘米的小正方体，把切成的所有正方体紧挨着排成一排，可 以排多少米？ （8）一个长方体木箱，从里面量长 0.6 米，宽 0.4 米，高 0.2 米，这个长方体木箱内能装（ 正方体物体。 ）个棱长 2 分米的（9）一个长 40 厘米的长方体，它的横截面是正方形，如果长增加 5 厘米，表面积就增加 80 平方厘米，原长方体 的体积是多少？ 【知识点 4】砌墙类问题 例如：养殖场需要砌一堵长为 30 米，宽为 24 厘米，高位 2.5 米得墙，需要用长为 30 厘米，宽为 15 厘米，厚为 5 厘米的砖大约多少块？ 分析：首先我们需要将墙的体积算出=3000 厘米×24 厘米×250 厘米= 平方厘米 其次我们需要将每块砖的体积算出=30 厘米×15 厘米×5 厘米=2250 立方厘米 我们只需要计算这堵墙的体积相当于每块砖体积的多少倍即为所需要砖的数量=50=8000（块） 练习： （1）一块长 1.2 米,宽 6 分米,厚 3 分米的长方体木块,可以截出多少块棱长为 3 分米的正方体？ （2）一段围墙长为 15 米，宽为 38 厘米，高为 2.2 米，砌这样的墙每平米大约需要 385 块砖，修这段围墙一共需 要多少块砖？ （3）一块钢材体积为 2.7 立方米，现在将其融化后重新铸成长为 1 米，底面积为 225 平方厘米的钢锭，一共可以 铸多少块？ 【知识点 5】填土抬高地面类问题 例如：如图，已知 A 部分面积为 25 平方米，B 部分面积为 36 平方米，A 处比 B 处高 2 米，如果将 A 处推到与 B 处 同样高，B 处大约可以被抬高多少米？A 处大约下降多少米？ A 分析：要使 A、B 两处地面高度相等，就相当于将 A 处部分体积分摊至 AB 两 B 处，但分摊前后 A 部分体积并没有改变只是占地面积由原来 A 处面积变为 AB 两处的面积。 A 部分体积=25×2=50 立方米； 分摊到 AB 两处后体积不变仍为 50 平方米=AB 处面积和×B 处抬高的高度，因此 50=（25+36）×H 解得 H≈0.82 米， 所以 B 处可以被抬高大约 0.82 米，A 处大约下降 2－0.82=1.18 米。练习： （1）一支修路队用 90 立方米的石子铺一段路，路宽为 10 米，铺 3 厘米厚，可以铺多长？（2）一个棱长是 20 分米的正方体玻璃容器装满水，然后把水倒入一个长 25 分米，宽 16 分米的长方体水箱内，求 这时水深多少分米？ （3）把一个棱长 6 分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭，这个长方体长 9 分米，宽 4 分米，求这个长方体钢 锭高多少分米？ 【知识点 6】 ? 不规则物体体积计算方法 不规则物体的体积由于无法确定其长、宽、高因此无法直接使用体积计算公式来计算其体积。一般不规则物体体积 的测定方法采用排水法，也就是将物体放入盛满水的容器中，其排开水的体积就等于该物体的体积。 例如：一个长方体的水槽长 18 厘米，宽 12 厘米，高 10 厘米，里面水深 6 厘米，将一个不规则的土豆放入后，水 面上升到 8 厘米处，这个土豆的体积是多少？ 分析：根据物体排开水的体积等于物体的体积，可知在放入土豆前后水面高度分别为 6 厘米和 8 厘米，可见土豆排 开水的高度为 2 厘米，因此土豆的体积就等于这部分水的体积=18×12×（8－6）=432 平方厘米。 练习： （1） 水面高度为 1.5 厘米，底面积为 30 平方分米 水面高度为 5 厘米 求每颗大球的体积是多少？每颗小球的体积是多少？ 水面高度为 6.5 厘米(2)每粒玻璃球的体积是多少立方厘米？80 立方厘米160 立方厘米? 液面上升或下降类问题 练习： （1）一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块长３０厘米，宽２４厘米，高１６厘米的 铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米? （2）在一个长６０厘米，宽５４厘米，深４５厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长１２厘米， 宽１８厘米，高１５厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？ （3）一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块长３０厘米，宽２４厘米，铁块浸入在水 中，水面上升９厘米,求铁块的高。 （4）在一个长６０厘米，宽５４厘米，深４５厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长１２厘米， 宽１８厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降５厘米，求铁块的高。 （5）一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块底面边长为２０厘米，高为１２０厘米的 铁块直立在水中，水面上升多少厘米？ （6）一个长方体玻璃容器，从里面量长 2 分米，宽 1.5 分米，高 1.8 分米，里面盛了一半水，现在将体积为 0.6 立方分米的玻璃球全部浸入水中，这时水面高度多少分米？【知识点 7】展开图形拼长方体或正方体例如：用一张长 60 厘米，宽 40 厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子， 做成盒子的容积是多少？ 思路一：从四个角上分别剪去一个边长为１０厘米的正方形后，观察思考做成的 长方体长是（ ） ，宽是（ ） ，高是多少？求出它的容积。 思路二：从左边剪下两个边长为１０厘米的正方形，然后把这两个正方形焊接到 右边，做成一个无盖的长方体，观察思考做成的长方体长是（ ） ，宽是 （ ） ，高是多少？求出它的容积。 思路三：从这个长方体上先剪下一个连长为４０厘米的正方形做底面，然后把剩 下的长方体平均分成四个长方形做前后左右面这样做成一个无盖长方体，观察思 考做成的长方体长是（ ） ，宽是（ ） ，高是多少？求出它的容积。 【知识点 9】棱长变化对体积的影响 ? 正方体 正方体的棱长扩大 2 倍，其棱长和也扩大 2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍； 正方体的棱长扩大 3 倍，其棱长和也扩大 3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27 倍； 正方体的棱长扩大 n 倍，其棱长和也扩大 n 倍，表面积扩大 n2 倍，体积扩大 n3 倍。 ? 长方体 长方体的长宽高同时扩大 2 倍，其棱长和也扩大 2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍； 长方体的长宽高同时扩大 3 倍，其棱长和也扩大 3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27 倍； 长方体的长宽高同时扩大 n 倍，其棱长和也扩大 n 倍，表面积扩大 n2 倍，体积扩大 n3 倍。 长方体的长扩大 a 倍，宽扩大 b 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大 a×b×c 倍。 长方体的长扩大 a 倍，宽扩大 b 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 a×b 倍 。 长方体的宽扩大 b 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 b×c 倍 。 长方体的长扩大 a 倍，高扩大 c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大 a×c 倍 。练习： （1）正方体棱长扩大 2 倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍 （2）长方体的长扩大 2 倍，宽扩大 3 倍，高扩大 4 倍，体积扩大（ ）倍。 5、一个棱长 1 米的大正方体能分 成（ ）个棱长是 1 厘米的小正方体，如果把这些小正方体排成一排能排（ ）米。 （3）一个表面积为 36 平方厘米的正方体木块，切成两个长方体，表面积增加了（ ）平方厘米。 （4）一个正方体棱长缩小 2 倍，表面积缩小（ ）倍，体积缩小（ ）倍。 （5）长方体的长、宽、高各缩小为原来的一半，它的体积会缩小为原来的（ ）倍。 （6）长方体的长扩大为原来的 2 倍，宽不变，高缩小为原来的一半，体积（ ）。 （7）一个长方体的底面积为 14 立方分米，如果它的高增加 5 分米，体积增加（ ）。 （8）一个长方体的长是 a 米，宽是 b 米，高是 h 米，如果把它的高增加 2 米，新的长方体的体积比原来长方体的 体积增加（ ）立方米。 四、容积与体积的异同 【知识点 1】容积和体积的差异相同点 容积计算公式相同不同点从容器内部测量 容积指容器内部体积 计量单位通常为 L、ml 从容器外部测量V=sh体积V=abh体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积 计量单位通常为 m、dm、cm、mm练习： （1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为 5 分米、2.5 分米、3 分米， ，从里面量长宽高分别为 4.9 分米、2.4 分 米、2.9 分米，这个鱼缸的容积是（ ） ，体积是（ ） ，如果鱼缸中装满水，水的体积是（ ） 。 （2）一个仓库能容纳 150 立方米的大米，这个仓库的（ ） ，是 150 立方米。 【知识点 2】容积和体积的大小关系 一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。 也就是说容积≤体积 在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。 练习： （1）一个长方体水箱，从外面量长 5 分 2 米，宽 1.5 米，高 1 米，水箱厚度为 5 厘米，将水箱内装满水，水的体 积是多少？水箱的容积是多少？ （2）一个长方体的水池，从里面量长是 7.5 米，比高长 2.1 米，宽比高多 1.4 米，若水池里的水面距水池底 0.82 米，水池里蓄了多少升水？
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