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[教案精品]新课标高中数学人教a版必修一全册教案2.2.2对数函数及其性质(一
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官方公共微信一道关于数学对数函数的问题一直函数f(x)=㏒a (x+1)(a＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a的值是什么?可是从定义域和值域都是[0,1]不就可以很明显的看出0＜a＜1 为什么答案会是2?_百度作业帮
一道关于数学对数函数的问题一直函数f(x)=㏒a (x+1)(a＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a的值是什么?可是从定义域和值域都是[0,1]不就可以很明显的看出0＜a＜1 为什么答案会是2?
定义域是[0,1],x∈[0,1],x＋1∈[1,2]y=f(x)=㏒a (x+1)0≤a^y=x+1≤2因为a^y是单调函数根据定义域可知为单增函数因此a^0=1,a^1=2故a=2
定义域是0到1所以x+1的范围是1到2所以当x=0时y=0x=1时y=1
定义域是[0，1]那么x+1就是[1，2]啊，f(x)显然在定义域上单调所以 f(0)=0且f(1)=1且a>1或者f(0)=1且f(1)=0且a<1，楼主应该是把x+1看成x了
肯定不是0＜a＜1
如果那样。他的值域是会小于0的是这样解释。如果 0＜a＜1
函数单调递减 在X=0处取到最大值。那么其最大值应该是0 与题设不符合那么 应该是A＞1 此时 函数在X=1处取得最大值即
㏒a（2）=1 那么 a=2
已知函数f(x)满足f(（1）。令logaX=t，x＞0，所以t∈R.则x=a^t,带入得f(t)=a*(a^t函数的图像是关于原点为对称的！再看 f(x)=a*
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高中数学：关于对数函数的最小值问题
a＞1，0＜a＜1 对数函数y=log a X(a是底数？而当该函数有最大值的时候？请问如何根据函数图像来作此判断，X是真数)请问为什么当该函数有最小值的时候
谢谢，我问的范畴是高中数学请注意，请从高中生能理解的方面来回答。所以
提问者采纳
，它的取值范围为【-∞，并且在x=1时，y=log a X在0到∞上是个减函数，并且在x=1时，y=0，+∞】；根据上面的性质画出图像来就很明显了。y=log a X没有最大值和最小值；当0＜a＜1时，y=log a X在0到∞上是个增函数：当a＞1时，y=0
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当0＜a＜1时y=log a X是单调递减函数y=log a X最基本要求是a＞0，所以只有最小值，所以只有最大值，a≠1当a＞1时y=log a X是单调递增函数
对数函数有最大值最小值吗，我怎么不知道？当然如果定义域不是0到正无穷，那么有。
小同学，看来你数学基础太弱了，对数函数f(x)=log(a,x),在定义域内不存在极大值和极小值当a&1时，单调增，当0&a&1时，单调减，定义域为x&0, 值域为R。
对数函数的底数分两种情况：1、a&1时，y=log a X在（0，+无穷大）为增函数2、0&a&1时 y=log a X在（0，+无穷大）为减函数就这么简单，只有x的最小c时a&1时，y=log a X在[c，+无穷大）最小值为y=log a c,后面的同理了
这是不可能的，无论哪种情况，都不会有最值！因为定义域（0，+8）内，对数函数y=log a X都是单调的。a＞1时，从负无穷单调递增，所以没有最小值；0＜a＜1时从正无穷单调递减，所以没有最大值。
同学：你的问题是有误的。前面几位都说了。如果加上个条件：真数X&=t
。你的说法就是真确的。
解法一：上述对数函数图像与指数函数y=a^x图像关于x=y对称。函数y=a^x，当a&1时单调增加，且y=a^x&0，由图像可知y=a^x，存在最小值无最大值，当x越小y越小（y&0）,可知y=log&a&X（x&0）且单调增加x越接近0，y值越小。同理的0&a&1。.解法二：由对数函数y=log&a&X图像可知，a&1时x&0且单调增加，x对应函数值y随x同增同减，x越接近0，y值越小，x无最大值，y无最大值，x最小值时y最小。同理得0&a&1。
如果木有定义域的话，肯定是木有极值滴。要求值域有好多种方法，第一条就是画图像。关于对数函数的图像自己百度一下就可以了。之后，你就把x可以取的那一段范围往图像里一套就好了。其实，就像求y=x+1一样简单。
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出门在外也不愁高中数学对数问题_百度知道
高中数学对数问题
换底公式到底该怎么运用啊？LOG和LG有什么区别哦关于对数的有关知识谁能详尽的说下麽？换底公式最具体有哪些？麻烦都说下啦
其中。对数函数中b的定义域是b&gt： 　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)&#47,但不超过X=1，e称作自然对数的底] 　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　换底公式的推导;log(b)(a) ----取以b为底的对数 　　log(b)(b)=1 =1&#47,图象逐渐以(1对数的概念　　英语名词,采用方法依实际情况而定 　　又因为指数函数是单调函数：　　1、log(a^n)M=log(a)(M)&#47、log(a)(a^b)=b 　　3;&#47、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N),+∞)单增.0)点为轴逆时针转动，零和负数没有对数,y=ln(a^n) 　　得,当0&lt。例如lg10=1,0)点为轴顺时针转动. 　　2，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代、与（3）类似处理 　　MN=M÷N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 　　又因为指数函数是单调函数.对数函数的图象都过(1;0，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁.随着a 的增大,e^y=a^n 　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x&#47、a^(log(a)(b))=b 　　2;a&lt、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　6,图象上函数显示为(0，常采用以10为底的对数。历史上.对于y=log(a)(n)函数，所以 　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 　　5： 　　设e^x=b^m、MN=M×N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 　　两种方法只是性质不同,称为常用对数;&#47，n叫做“以a为底b的对数”;log(b)(a)　　证明如下，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表;B&gt，代入则a^n=b,0)点，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性; 　　5, lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N). [编辑本段]其他性质性质一：　　若a^n=b(a& 　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a) 　　推导如下，并将对数记号简写为lgb，即a^(log(a)(b))=b： 　　N = a^[log(a)(N)] 　　a = b^[log(b)(a)] 　　综合两式可得 　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 　　又因为N=b^[log(b)(N)] 　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的} 　　所以log(a)(N)=log(b)(N) &#47. 　　②当a&gt,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称, 　　①;logarithms 　　如果a^n=b;n 推导　　1; 　　4，称为自然对数；a的定义域是a&gt。但随着电子技术的发展，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值,可见只要对某一范围的数编制出对数表: log(a)(b)×log(b)(a)=1 　　在实用上，并将记号 loge。简写为ln, lg100=lg10^2=2,随着a的减小;1时，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 　　3;y 　　x=ln(b^m)，那么log(a)(b)=n;log(b)(a) 还可变形得;n*[log(a)(b)] 　　推导如下、与（3）类似处理 　　M^n=M^n 　　由基本性质1(换掉M) 　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 　　又因为指数函数是单调函数、因为a^b=a^b 　　令t=a^b 　　所以a^b=t,但不超过X=1： 　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)。 　　2，a叫做“底数”：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　由基本性质4可得 　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 　　再由换底公式 　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完） 　1;0且a≠1) 　　则n=log(a)(b) 基本性质; log(b)(a) 公式二.与其他函数与反函数之间图象关系相同.7182818……为底的对数，所以 　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　基本性质4推广 　　log(a^n)(b^m)=m&#47. 　　3，b叫做“真数”，它适用于求十进伯制整数或小数的对数,图象上显示函数为(0：log(a)(b)=1&#47。 　　log(a)(b)函数叫做对数函数;1时、因为n=log(a)(b);B&0且a≠1，所以 　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 　　4。 ]对数的性质及推导定义：换底公式　　&lt,+∞)单减,图象逐渐以(1。在数学理论上一般都用以无理数e=2：&lt
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出门在外也不愁自然对数_百度百科
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以常数e为的对数叫做自然，记作lnN(N&0)。自然对数在物理学，等自然科学中有重要的意义。类&&&&别数学
自然对数的一般表示方法为。数学中也常见以表示自然对数。[1]若为了避免与基为10的混淆，可用“全写”。它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的值自然对数的底数e是由一个重要给出的。我们定义：当n趋于无限时， .
e是一个，其值约等于2.…，它是一个。当自然对数 中为连续时，称为函数，记作 （x为，y为）.易证明：展开为x的级数(Maclaurin级数)是
特别地，当x=1时就得到了e的展开式
在连锁交换定律中，重组率或重组值是指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，即重组率=重组配字数/总配子数（亲组合+重组和）×100%，重组是交换的结果，所以重组率（recombination fraction）通常也称作交换率（crossing over percentage）或交换值。可是仔细推敲起来，这两个数值是不尽相同。
如果我们假定，沿染色体纵长的各点上交换的发生大体上是随确定机的。那么可以这样认为，如果两个基因座相距很近，由交换而分开较少，重组率就低；如果两基因座离开很远，交换发生的次数较多，重组率就高。所以可以根据重组率的大小计算有关基因间的相对距离，把基因顺序地排列在染色体上，绘制出基因图。生物学家就是这样做的。
如果有关的两个基因座在染色体上分开较远，举例说重组率在12%-15%以上，那么进行杂交试验时，其间可能发生双交换或四交换等更高数目的偶数交换，形成的配子却仍然是非重组型的。这时如简单地把重组率看作数交换率，那么交换率就要被低估了。因为遗传图是以1%交换率作为图距单位的，所以如交换率低估了，图距自然也随之缩小了，这就需要校正。校正的公式较多，可根据自己得出的连锁与交换试验的结果，提出单是适用于某一生物的校正公式。一般来说，一个合适的校正公式应该满足下列两个条件：①最大的重组率不超过0.5或50%，因为这数值说明两个基因之间遵循自由组合定律；②较小的重组率应该大致上是加性的。常用的的较简单的公式是Haldane推导的作图函数R=[1-e^(-2x)]/2，式中R代表重组率，x代表交换率。这公式表示重组率与图距的关系，而图距的单位是1%交换率。
说明一下Haldane曲线的几点性质：①曲线的起始一小段基本上是直线，斜率接近于1，重组率可以直接看作是图距，所以重组率是加性的。②在曲线的曲度较大的区域，重组率就不是加性的了。当图距比较大，两端的基因的重组率就要小于相邻两个重组率之和，即Rab+Rbc&Rac，例如abc是三个连锁基因，两两间的重组率R值是非加性的，0.23+0.32&0.40。吧Haldane公式加以改写：x=-ln(1-2R)/2，把上面R值代入公式，求得x值如下：在0.31+0.51，稍大于0.81，x值大致上成为加性的了。③标记基因间的图距很大时，重组率与图距无关，接近或等于1/2。
所以重组率大致代表交换率，但当重组率逐渐增大时，重组率往往小于交换率，需要加以校正。在实际应用时，要看研究的生物而定。像黑腹果蝇那样，各染色体上定位的基因已经很多，标记的区域已划分得很细，就无需用作图函数来校正了。但对一种新的生物开始进行连锁研究，可供利用的标记基因很少，这是最好用作图函数来加以校正，以得到更接近实际的图距。在1614年以及Jost Bürgi（：Jost Bürgi）在6年后，分别发表了独立编制的，当时通过对接近1的底数的大量乘运算，来找到指定范围和精度的和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，1742年William Jones（：William Jones (mathematician)）才发表了幂指数概念。按后来人的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而的底数0.相当接近1/e。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了表的编制。
形如f(x) = x的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况p = -1对应于双曲线的弓形面积（：Quadrature (mathematics)），即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式（：Cavalieri&#39;s quadrature formula）给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的完成（抛物线的弓形面积（：The Quadrature of the Parabola）），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年Grégoire de Saint-Vincent（：Grégoire de Saint-Vincent）将对数联系于双曲线xy=1的弓形面积，他发现x轴上[a,b]两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同[c,d]对应的扇形，在a/b=c/d时面积相同，这指出了双曲线从x = 1到x = t的积分f(t)满足：
1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（：Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，推广了，他将1/(1+x)展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。大约1730年，定义互为逆函数的和自然对数为：
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：(ab) = loga + logb。
但是能够这么做的前提是，我要有一张，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个取多少作为底数最？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：
1．所有乘数/都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用就行了。
2．那么只考虑做一个0-1之间的数的了，那么我们自然用一个0-1之间的数做（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是，不好看）。
3．这个0-1间的底数不能太小，0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1。换句话说，像0.5和0.55这种不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到到以后很多位才能看出他们对数的差别。
4．为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ，X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算
（1-1/X）1 = P1 ，
（1-1/X）2 = P2 ，
那么上就可以写上P1的对数值是1，P2的对数值是2……（以1-1/X作为）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的。
5．最后他再调整了一下，用（1- 1/X）X作为底，这样P1的对数值就是1/X，P2的对数值就是2/ X，……PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。
6．让更精确，那么X就要更大，算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1 - 1/X）X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了--- 这个大数学家就是著名的(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。
当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……螺线表达自然律。螺线特别是的美学意义可以用的形式来表达：φkρ=αe。其中，α和k为常数，φ是，ρ是，e是。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环数。“自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是：(1+1/x)x
当X趋近无穷时的。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、的衰变时，都要研究(1+1/x)x，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。1.宇宙与生命
现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，，即相吻合。指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到所说的那种动力因，那么，可以把看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出的过程。
的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。
“”一方面体现了朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了只有通过一种过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“”才在美学上有重要价值。
如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。
e=2.71828……是“”的一种量的表达。“”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）回旋螺线。在中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过我们仍未找到螺线的通式。是1638年经引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数画在自己的墓碑上。
4.螺线的哲学
英国著名画家和艺术理论家深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？
我们知道，作为生命现象的基础物质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——结构也是螺旋状的。
古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。
有人说是“一”的光辉，它具有尽可能多的作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬的刚劲、明朗和坦率，欣赏的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！
有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。
“”是形式因与动力因的统一，是事物的显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值得人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的》）问题：求复数a+bi的自然对数
解答：把复数a+bi写成指数形式，也就是re^(iθ)。
（r为复数a+bi的模，即r=√(a^2+b^2)，θ为复数a+bi的辐角主值）
a+bi=re^(iθ)
我们注意到：r=e^ln(r)。如：2=e^ln(2)等。
所以re^(iθ)=e^ln(r)·e^(iθ)=e^(ln(r)+iθ)
即a+bi=e^(ln(r)+iθ)
而根据自然对数的定义，若x=e^n，那么ln(x)=n
所以ln(a+bi)=ln(r)+iθ
例：求ln(-1)
这里r=1（实数的模就是实数的绝对值，|-1|=1），θ=π（-1的辐角主值是180°，即π弧度）。
代入，ln(-1)=ln(1)+πi=πi
实际上，ln(-1)=πi，可根据自然对数的定义推出e^(πi)=-1，移项，得e^(πi)+1=0。这就是最美的公式。数学讲求规律和美学，可是π和自然对数e那样基本的常量却那么混乱，就如同两个“数学幽灵”。人们找不到π和e的数字变化的规律，可能的原因：例如：人们用的是十进制，古人掰指头数数，因为是十根指头，所以定下了十进制，而二进制才是宇宙最朴素的进制，也符合理论，1为阳，0为阴。再例如：人们把π和e与那些规整的数字比较，所以觉得e和π很乱，因此涉及“参照物”的问题。那么，如果把π和e都换算成最朴素的二进制，并且把π和e这两个混乱的数字相互比较，就会发现一部分数字规律，e的小数部分的前17位与π的小数部分的第5-21位正好是倒序关系，这么长的倒序，或许不是巧合。
说明[ ]符号内为17位倒序区。
二进制π取部分值为11.0010[01101]011
二进制e取部分值为10.[00010]
17位倒序区的意义：或许暗示e和π的发展初期可能按照某种彼此相反的规律发展，之后e和π都脱离了这个规律。但是，由于2进制只用0和1来表示数，因而出现相同，倒序相同，栅栏重排相同的情况不足为奇，虽然这种情况不一定是巧合，但思辨性结论不是科学结论，不应该作为科学证据使用。
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