第一章(2) A ∪ B ∪ C = A; (4) A ? BC.习题1. 若 A, B, C 是随机事件, 用文字说明下列关系式的意义： (1) ABC = A; (3) AB ? C;2. 在数学系学生中任选一名学生, 令事件 A 表示被选学生是男生, 事件 B 表示该生是 三年级学生, 事件 C 表示该
生是运动员. (1) 叙述事件 ABC 的意义; (2) 什么情况下 ABC = C 成立？ (3) 什么情况下关系式 C ? B 是正确的？ (4) 什么情况下 A = B 成立？ 3. 一个工人生产了 n 个零件, 以事件 Ai 表示“他生产的第 i 个零件是正品” ( 1 n ). 用 Ai ( 1 i n ) 表示下列事件: (1) 没有一个零件是次品; (2) 至少有一个零件是次品; (3) 仅仅有一个零件是次品; (4) 至少有两个零件不是次品. 4. 已知 P(A) = p, P(B) = q, P(AB) = r, 试求 (1) P(A ∪ B), (2) P(A ∩ B), (3) P(A ∪ B), (4) P(AB), (5) P(A B). i5. 设 P(A) = a, P(B) = b, P(A ∪ B) = c, 试求 P(AB), P(AB) 及 P(A B). 6. 设 P(A) = p, P(AB) = P(A B), 试求 P(B). 7. 设 P(A) 0.8, P(B) 0.7, 试证明 P(AB) 0.5. P(A)P(B). P(A).8. 对任意事件 A, B, 证明 P(AB)P(A ∪ B) 10. 对任意事件 A1 , ? ? ? , An , 证明 n (∪ ) P Aii=1 n (∩ ) P Ai i=19. 对任意事件 A, B, C, 试证 P(AB) + P(AC) ? P(BC)n ∑ i=1P(Ai ),n ∑ i=11? 1P(Ai ),2n (∩ ) P Ai i=1 n ∑ i=1第一章 P(Ai ) ? (n ? 1).习题11. 掷两颗均匀的骰子, 观察点数之和, 可能的试验结果是 2, 3, 4, ? ? ? , 12. “因为骰子是 均匀的, 所以每个结果出现的可能为 1/11”, 这个说法对不对? 12. 从 52 张扑克牌中随机地取 13 张, 求花色分布恰好为 5, 3, 3, 2 的概率. 13. 某城市的自行车分别以 00001 到 10000 编号共 10000 辆, 随机地遇到一辆自行车, 求其牌号中没有数字 8 的概率. 14. 有 k 个罐子, 每一个装有 n 个球, 分别编有自 1 至 n 的号码, 今从每一个罐子中随 机地取出一球, 问取得的球中最大号码恰好为 m 的概率. 15. 从数字 0, 1, 2, ? ? ? , 9 中任取一个数字，共取五次, 以抽取次序自左至右排列成一 数, 求该数为五位数（首位数字非0）且是偶数的概率, (1) 无放回的情形; (2) 有放回的情形. 16. 一批产品共 n 件, 其中有 m 件（m & n/2）次品. 若逐件随机地进行检查, 试求不 连续出现两件次品的概率. 17. 一架电梯从底层（1层）载有 7 位乘客, 在 10 层楼的每一层都停. 求事件 A： “没有 两位乘客在同一层楼离开”的概率 P(A). 请写明你所作的假定. 18. n 个人排队, 求指定甲, 乙两人之间恰有 r 个人的概率. 19. 7 个人坐在一张圆桌周围, 能有多少种坐法? 如果 (1) 他们可以随便坐; (2) 指定的两人不坐在一起. 20. 设有 n 个房间, 分给 n 个不同的人, 每个人都能以 1/n 的概率进入每一房间, 而且 房间里的人数没有限制, 试求不出现空房的概率. 21. 设有 n 个质点, 每点都以概率 1/N 落于 N ( n ) 个格子中的每一个, 试求事件 A： “某预先指定的 n 个格子中各含一点”的概率 p, (1) 假定 n 个质点是可辨别的, 且每个格子能容纳的质点数不受限制; (2) 质点不可辨别而每个格子容纳的质点数不受限制; (3) 质点不可辨, 每个格子至多只能容纳一个质点. 22. 将 n 只球随机放入 n 个盒子中. 设所有 nn 种可能分配法均等可能, 求仅第一只盒 子为空盒的概率. 23. 由盛有号码 1, 2, 3, ? ? ? , N 的球的箱子中有放回地摸 n 次球, 依次记下其号码, 试 求这些号码严格按上升次序排列的概率. 24. 上题中这些号码按上升次序（不一定严格）排列的概率.3 25. 将 2n 个球队按任意方式分成两组, 每组 n 个队, 求两个最强的队不在同一组的概率. 26. 上题中如果每组包含的队数不一定相等, 求两个最强的队不在同一组的概率. 27. 设 A1 , A2 , ? ? ? , An 是 n 个随机事件, 试用归纳法证明公式 n n (∪ ) ∑ ∑ Ai = P(Ai ) ? P(Ai Aj ) Pi=1 i=1+∑1 i&j nP(Ai Aj Ak ) ? ? ? ? + (?1)n?1 P(A1 A2 ? ? ? An )1 i&j&k n28. 某班有 N 个士兵, 每人只有一支枪, 这些枪外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中, 若每人随机地取走一支枪, 问至少有一人拿到自己的枪的概率. 29. 售出 n 张彩票, 其中 5 张有奖. 若你有 3 张彩票, 则你至少中一奖的概率有多大? 30. 甲有 n + 1 个硬币, 乙有 n 个硬币, 双方投掷之后进行比较, 求甲掷出的正面数比乙 掷出的正面数多的概率. 31. 假设甲、乙两人轮流掷硬币, 谁先掷出正面者为胜, 让甲先掷. 分别求出甲、乙获胜 的概率. 32. 一个口袋里有 3 个白球 5 个黑球, 甲、乙两人依次取出一球, 记录下颜色后放回,规 定谁先取得白球谁获胜, 今甲先取, 问甲、乙获胜的概率各为多大？ 33. 掷 1 颗骰子 3 次, 若已知“1”点至少出现 1 次, 求恰出现 1 次“1”点的概率. 34. 从 1 C 100 共 100 个整数中任取一数, 在已知该数为 3 的整数倍的条件下, 试求该数 能被 5 整除的概率. 35. 设 P(A) & 0, 试证 P( B | A ) 36. 设 0 & P(C) & 1, 若 P( A | C ) P( A | B ). 38. 证明：若事件 A, B, C 相互独立, 则 AB, A ∪ B, A ? B 与事件 C 相互独立. 39. 掷 3 枚相同的均匀硬币 1 次. 令 Ai 为第 i 个硬币出现正面的事件, 证明 A1 , A2 , A3 相互独立. 40. 设 A, B, C 相互独立, 且 P(AB) ?= 0, 证明 P( C | AB ) = P(C). 41. 若 0 & P(A) & 1, 且 P( B | A ) = P( B | A ), 证明事件 A 和事件 B 相互独立. 42. 对同一目标进行射击, 甲、乙、丙命中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 试求 (1) 在这三人中恰好有一人命中目标的概率; (2) 至少有一人命中目标的概率. 43. 下图是两个电路系统, 其中元件 Ai , Bi , i = 1, 2, ? ? ? , n 的可靠性都为 r, 0 & r & 1, 求这两个系统能正常工作的概率, 并判断哪一个系统为优. 1? P(B) . P(A) P( B | C ), 则 P(A) P(B).P( B | C ), P( A | C )37. 若 A, B, C 为 3 事件, P(ABC) ?= 0 且 P( C | AB ) = P( C | B ), 证明 P( A | BC ) =4 A1 B1 A1 B1 A2 B2 A2 B2 An Bn An Bn第一章习题44. 有四个口袋, 内装白球和黑球, 数目以“ （白球数, 黑球数） ”记之, 分别为：( 1, 2 ), ( 2, 1 ), ( 2, 2 ), ( 3, 1 ), 今从每个口袋中各取一球, 求恰有 2 个白球的概率. 45. 从 { 0, 1, 2, …, 9}中随机地取出两个数字, 求其和大于 10 的概率. 46. 安装在电视机内的某电子元件可能属于三批中的某一批, 其概率相应地为 p1 = p2 = 0.25, p3 = 0.5. 在这些批次中的电子元件能工作到规定时数的概率相应地为 0.8, 0.7, 0.9, 求电子元件能工作到规定时数的概率. 47. 装有 m( 3) 个白球和 n 个黑球的罐子中失去一球, 但不知其颜色, 今随机地再从罐 中取出两个球, 如果这两个球都是白球, 问失去的球是白球的概率. 48. 在生产螺丝钉的工厂里, 机器甲、乙、丙生产的螺丝钉各占总量的 25%, 35%, 40%, 并且在各自的产品里, 废品各占 5%, 4%, 2%. 随机地从全部产品中任取一只, 发现 恰好是废品, 问此废品为机器甲、乙、丙生产的概率是多少？ 49. 一学生参加选择题的测验. 每一题有 5 个答案, 其中只有一个答案是正确的. 如果此 学生明白如何解题, 则他必选择正确答案, 否则的话他随机地在 5 个可能答案中任 选 1 个. 假定该学生能明白无误地解出 70% 的试题, (1) 对某一指定的试题, 此学生答对的概率是多少? (2) 若此学生答对了某题, 则他明白该题如何解答的概率是多少? 50. 考虑如下图所示的通信网络 xq 1q2 3 6q q4q q57y每条线路以概率 p 发生故障, 一条线路的故障不影响其余线路的故障. 求 (1) 能在 x 和 y 间通讯的概率是多少？ (2) 如果我们不能通讯, 则线路“1”出故障的概率是多少？ “2”出故障的概率又是 多少？第二章X 表示取球的次数, 求 X 的分布列.习题1. 一口袋中装有 a 个白球, b 个黑球, 连续不返回地从袋中取球, 直到取得黑球为止. 以 2. 掷一个不均匀的硬币, 正面出现的概率为 p ( 0 & p & 1 ). 以 X 表示直至两个面都出 现时的试验次数, 求 X 的分布列. 3. 一口袋中装有 3 个白球, 2 个黑球, 采用有放回方式连续取球, 直至接连两次取到同 颜色的球为止, 以 X 表示所需的摸球次数, 求 (1) X 的分布列; (2) P{ X 10 }. 4. 一盒中有标号为 1, 2, ? ? ? , 12 的 12 只球, 从此盒中以下列两种方式随机地取两球. 令 X 表示抽中球上较大的一个号码, 求 X 的概率分布. (1) 有放回抽取; (2) 不放回抽取. 5. 某电子计算机有 20 个终端, 这些终端被各单位独立使用, 据统计, 每个终端被使用 的概率各为 0.7, 求有 10 个或更多个终端同时被使用的概率. 6. 假设某楼层有 8 件独立工作的家用电器设备, 启动时间是随机的. 每件电器平均每 小时使用 10 分钟. 目前电力系统只能保障 5 件电器同时正常使用, 否则将出现超负 荷现象. 求该楼层用电超负荷的概率 α, 问平均多少分钟出现一次超负荷现象. 7. 设随机变量 X 与 Y 的分布列分别为 ( ) 2 k P{ X = k } = p ( 1 ? p )2?k , k = 0, 1, 2, k ( ) 4 l P{ Y = l } = p ( 1 ? p )4?l , l = 0, 1, 2, 3, 4, l 5 , 求 P{ Y 1 }. 9 8. 由经验显示向某餐馆预订座位的顾客中会有 20% 的人到时不来. 若该餐馆有 100 张 已知 P{ X 1} = 座位, 且已接受 102 位顾客的预订, 问到时能满足每位来到的顾客的概率是多少? 9. 螺丝钉中废品率为 0.015, 问一盒应该装多少只才能保证每盒中有 100 只以上的好螺 丝钉的概率不少于 80%. 10. 有一枚均匀钱币, 需掷多少次才能保证使得正面出现的频率在 0.4 至 0.6 之间的概 率不少于 90%. 56第二章习题11. 设随机变量 X 服从普阿松分布, 且 P{ X = 4 } = P{ X = 3 }, 求 P{ X & 1 }. 12. 假设一天内到某大型超市的顾客人数服从参数为 λ 的普阿松分布, 而进入超市的顾 客购买商品的概率为 p. 以 X 记进入超市并且购货的顾客人数，求 X 的概率分布. 13. 假设昆虫产卵的个数服从参数为 λ 的普阿松分布, 而每个卵孵化成幼虫的概率为 p. 试求一昆虫产生 m 个后代的概率. 14. 在 (?10, 10) 中随机地取一点, 即每一点被取到的机会相等. 令 X 为一随机变量, 若 所取的点在 [?5, 5] 中, 则 X 取其坐标值, 若所取的点在 (?10, ?5) 中, 则 X = ?5, 若所取的点在 (5, 10) 中, 则 X = 5. 求 X 的分布函数. 15. 确定下列函数中的常数 c, 使之成为密度函数. (1) f (x) = c e?|x| , ?∞ & x & ∞; ? ?c x( 1 ? x ), 0 & x & 1, (2) f (x) = ? 0, 其它; ? ?c cos2 x, |x| ? 0, 其它. π , 2(3) f (x) =16. 设 X 为一连续型随机变量, 密度函数为 f (x) = 求 P(1 |X| 2). c , x2 + 1 1 ?|x| e , 2 ?∞ & x & +∞,17. 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) = (1) 求常数 c 的值; (2) 求 X 2 位于 1/3 与 1 之间的概率; (3) 求 X 的分布函数. 18. 若男性成人的身高服从正态分布 N( ?, σ 2 ), 其中 ? = 168, σ = 6, 求身高 X 在下列 区间中的概率： (1) P{ X & 150 }; (3) P{ 168 X & 180 }; (2) P{ 150 (4) P{ X X & 168 }; 180 }. ?∞ & x & +∞19. 设随机变量 X 服从正态分布 N( 3, 4 ) 求 α 使 (1) P{ X & α } = 0.90; (2) P{ | X ? 3 | & α } = 0.0120. 设连续型随机变量 X 的密度函数是 ? ?4x(9 ? x2 )/81, 0 x f (x) = ? 0, 其他,3,7 (1) 求中位数; (2) 求 10 百分位数值; (3) 求 25 百分位数值; (4) 求 75 百分位数值. 21. 分子运动速度的绝对值 X 是服从马克斯威尔分布的随机变量, 其密度函数为 ? 2 ? 4x ? √ e?x2 /α2 , x & 0, 3 π f (x) = α α & 0. ? ? 0, x 0, 求分子动能 Y = 1 m X 2 （m 为质量）的密度函数. 222. 设 X 有密度函数 f (x), 求 Y = |X| 的密度函数. 特别地, 若 X ? N(0, 1), 那么 Y 的 密度函数是什么？ 23. 设 X 为取正值的连续型随机变量, 有密度函数 f (x), 求 Y = 1 的密度函数. X +1[ π π] 24. 令 Θ 是在 ? , 上的均匀分布的随机变量, X = a tan Θ, a & 0. 证明 X 的密 2 2 度函数为 a 1 . f (x) = ? 2 π x + a2 （称 X 服从柯西分布）. 25. 设 X 是 (a, b) 上均匀分布的随机变量, 试求一线性函数 φ, 使 Y = φ(X) 服从 (0, 1) 上的均匀分布. 26. 假设一装置启动后,无故障工作时间 X（小时）服从参数为 1的指数分布. 现假定该 装置每次启动后在无故障情形下工作满半小时或遇故障时自行关机. 试求该装置每 次启动后无故障工作时间 Y 的分布函数. 27. 设 X 的密度函数 f (x) 为偶函数, 且 X 2 服从参数为 λ 的指数分布, 求 f (x). 28. 设 X 服从参数为 λ 的指数分布, Y 为取非负整数值的随机变量, 若 m 则 Y = m, m 为一非负整数, 求 Y 的概率分布. X & m + 1,第三章习题1. 设随机向量 ( X, Y ) 的分布函数为 F ( x, y ), 用它来表示下列概率： (1) P{ a X b, Y & y }; (2) P{ X = a, Y & y }; (4) P{X x, a Y & b }. (3) P{ X & x, Y & y };2. 设离散型随机向量 ( X, Y ) 的联合分布列为 λn pm ( 1 ? p )n?m ?λ P{ X = n, Y = m } = e , m! ( n ? m )! m = 0, 1, ? ? ? , n = 0, 1, 2, ? ? ? ( λ & 0, 0 & p & 1 ), 求边际分布列. 3. 若 ( X, Y ) 的密度函数为 ? ?1, 0 & x & 1, 0 & y & 2x, f ( x, y ) = ?0, 其他,试求： (1) X, Y 的边际密度; 4. 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 ? ?λ2 e?λy , 0 x f ( x, y ) = ? 0, 其他, y, (2) f ( x | y ) 及 f ( y | x ).求 (X, Y ) 的边缘密度 fX (x) 和 fY (y), 并求 (X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y). 5. 设随机向量 (X, Y ) 的联合概率分布为 ? ?c(2m + n), m = 0, 1, 2, n = 0, 1, 2, 3, P(X = m, Y = n) = ? 0, 其他. (1) 求常数 c 的值; (2) 求 P(X = 2, Y = 1); (3) 求 P(X 1, Y 2);(4) 求 X 的概率分布, Y 的概率分布; (5) 验证 X, Y 不独立; (6) 求条件概率 P(Y = 1|X = 2). 89 6. 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 ? ? 1 , 0 & x & y, 0 & y & 1, ? f (x, y) = y ? ?0, 其他,( 1) (1) 求 P X & ; 2 ( 1 1) ; (2) 求 P X & , Y & 2 3 ( 1) (3) 求 P X + Y & ; 2 (4) X 和 Y 是否独立? 7. 将 2r 个球随机分入 r 个盒子中, 令 Xi 表示第 i 个盒子中的球个数, (1) 求 X1 , X2 ? ? ? , Xr 的联合概率分布; (2) 求每一盒子恰有 2 球的概率. 8. 一实验有 A1 , A2 , A3 三种结果, 其发生的概率分别为 p1 , p2 , p3 , p1 + p2 + p3 = 1, 独立做这样的实验 n 次, 令 Xi 为 Ai 出现的次数, (1) 求 X1 + X2 的概率分布; (2) 求 P(X2 = y|X1 + X2 = z), y = 0, 1, ? ? ? , z. 9. 若 X1 与 X2 是相互独立的随机变量, 均服从普阿松分布, 参数分别为 λ1 和 λ2 , 试证 ( )( n λ1 )k ( λ2 )n?k P{ X1 = k | X1 + X2 = n } = . k λ1 + λ2 λ1 + λ2 10. 对二元正态密度函数 p ( x, y ) = { 1( )} 1 exp ? 2x2 + y 2 + 2xy ? 22x ? 14y + 65 , 2π 22 2 (2) 指出 ?1 , ?2 , σ1 , σ2 , ρ;(1) 把它化为标准的形式; (3) 求 p1 (x);(4) 求 p ( x | y ).11. 设 X, Y 相互独立, 且服从同一分布 P(X = k) = P(Y = k) = 求 (1) P(X Y ); (2) P(X = Y ); (3) min(X, Y ) 的概率分布; (5) |Y ? X| 的概率分布. 1 , N +1 1 , N +1 k = 0, 1, 2, ? ? ? , N, k = 0, 1, 2, ? ? ? , N.(4) max(X, Y ) 的概率分布;10 12. 设 X, Y 相互独立, 且服从同一分布 P(X = k) = p(1 ? p)k , P(Y = k) = p(1 ? p) ,k第三章习题k = 0, 1, 2, ? ? ? , k = 0, 1, 2, ? ? ? ,（称为几何分布） .令 Z = Y ? X, M = min(X, Y ), (1) 证明对整数 z 和 m ? ?P(X = m ? z)P(Y = m), P(M = m, Z = z) = ?P(X = m)P(Y = m + z), 0, 0,z & 0, z 0;(2) 由 (1) 对整数 z 和 mP(M = m, Z = z) = p2 (1 ? p)2m (1 ? p)|z| ; (3) 证明 M 和 Z 独立. 13. 设 X, Y 相互独立, 均服从 (0, 1) 上的均匀分布, 求 ( X ) (1) P(|X ? Y | 0.5); (2) P ?1 0.5 ; Y(3) P(YX|Y1/2).14. 设 f ( x, y ) 是 ( X, Y ) 的密度函数, 证明：X 与 Y 独立的充要条件是 f ( x, y ) 可分 离变量, 即 f ( x, y ) = g(x)h(y). 又 g(x), h(y) 与边际密度函数有什么关系? 15. 设化疗前, 病体内的癌细胞数为一随机变量 N . 每个癌细胞经一次化疗后存活率为 p. 若第 i 个细胞存活, 记 Xi = 1, 否则 Xi = 0. SN = X1 + X2 + ? ? ? + XN 则为一次 化疗后病体中癌细胞存活数. 再设 X1 , X2 , ? ? ? , XN , N 相互独立, N ? P(λ). 试写出 SN 的概率分布. 16. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 且都服从 [ 0, 1 ] 上的均匀分布, 试求方程 t2 + 2Xt + Y = 0 有实根的概率. 17. 设二学生解问题的时间独立地服从参数为 λ 的指数分布, 求第一位学生所花的时间 至少是第二位学生所花时间两倍的概率. 18. 设 X, Y 相互独立, 均服从于 N(0, σ 2 ), 求 P(X 2 + Y 2 1).19. 设 X1 , X2 , X3 相互独立, 均服从 (0, 1) 上的均匀分布. 求 Y = X1 + X2 + X3 的密度. 20. 设 X, Y 相互独立, 同服从参数为 λ 的指数分布, 求 Z = X 的密度函数. Y21. 设方程 t2 + 2Xt + Y = 0 的两个根相互独立, 且都服从于 [ 0, 1 ] 上的均匀分布, 试 求 X 与 Y 的联合分布密度. 22. 设随机变量 X 与 Y 独立同分布, 其密度函数同为 ? ?e?x , x & 0, f (x) = ? 0, x 0,11 证明：X + Y 与 X 相互独立. Y23. 设 (X, Y ) 的联合密度为 f (x, y), 试导出 Z = XY 的密度. 24. X1 , X2 , ? ? ? , Xn 独立有相同概率密度 f (x), 记 Y = min(X1 , X2 , ? ? ? , Xn ), Z = max(X1 , X2 , ? ? ? , Xn ). 试求 Y, Z 的概率密度. 25. 设 X 服从 (0, 1) 上的均匀分布, Y 服从参数为 λ 的指数分布且相互独立. 求 Z = X + Y 的密度. 26. 设随机变量 X, Y 相互独立, 同服从正态分布 N( 0, σ 2 ), 求 R = 函数. 27. 设 X ? N(0, σ 2 ), Y ? N(0, σ 2 ), 且相互独立. 求 Z 的密度. (1) Z = Y ; X (2) Z = Y ; |X| (3) Z = |Y | . |X| √ X 2 + Y 2 的密度28. 设 X, Y 相互独立, 同服从正态分布 N( 0, 1 ), 试求 U = X + Y , V = X ? Y 的联合 密度函数. 29. 假设 X1 , X2 , X3 独立同服从 N(0, 1), ? ? ? 1 1 Y1 ? √2 ? √2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? √ ? Y2 ? = ? √6 6 ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? √ √ 3 3 Y3 试证明 Y1 , Y2 , Y3 相互独立, 且都服从 N(0, 1). ?? ??? ? ?? ? ? 2 ?? ?? ?√ ? ? X ? 6 ?? 2 ? ? ?? ? 1 ?? ? √ ? 3 X30X1第四章1. 设离散型随机变量 X 的概率分布为 P(X = k) = 试求 (1) E(X); (2) X 的中位数. 2. 设随机变量 X 具有分布列 P{X = k} = 求 E(X)、E(X 2 ) 及 E(X + 2)2 . 1 , 6 1 , 2k习题k = 1, 2, ? ? ? ,k = 1, 2, 3, 4, 5, 6,3. 某人有 n 把同类型的钥匙, 其中只有一把能开自己的门, 他随意地使用这些钥匙开 门, 直到把门打开为止, 求使用次数的数学期望与方差. (1) 把每次使用过的钥匙拿开; (2) 把每次使用过的钥匙又混杂进去. 4. 设袋中有 3 只白球、2 只黑球, 有放回地从中摸球, 直至第二次摸到白球时为止, 记 所摸的次数为 X, 求 E(X) 与 Var(X). 5. 设 X 的概率分布为 P(X = k) = p(1 ? p)k , k = 0, 1, 2, ? ? ? ,且 M & 0 为一整数, Z = min(X, M ), Y = max(X, M ), 求 E(Z), E(Y ). 6. 设随机变量 X 具有密度函数 ? ?x, ? ? ?0x & 1,f (x) =2 ? x, 1 x & 2, ? ? ? ?0, 其它,求 E(X), Var(X). 7. 随机地投掷 n 颗均匀的骰子, 试求所出现的点数之和的数学期望与方差. 8. 假设一批 40 件产品, 其中 5 件优质品. 现在不放回地一件一件检验直到发现一件优 质品为止, 此时总检验的产品件数 X 为随机变量,试求 E(X), 即平均要抽检多少件? 9. 若 X1 , X2 , ? ? ? , Xn 为正的独立随机变量, 服从相同分布, 密度函数为 f (x), 试证 ) ( k X1 + X2 + ? ? ? + Xk = , (k n). E X1 + X2 + ? ? ? + Xn n 1213 10. 设 X 为取非负整数值的随机变量, 则当∞ ∑ k=1 ∞ ∑ k=1P(Xk) 收敛时, 有E(X) =P(Xk).11. 设 X 是事件 A 在 n 次独立试验中出现的次数, 在每次试验中 P(A) = p, 再设 ? ?1, 若 X 为奇数, Y = ?0, 若 X 为偶数, 求 E(Y ) 与 Var(Y ). 12. 设随机变量 X 服从普阿松分布 P(λ) , 试求 X 的各阶矩 EX n , n = 1, 2, 3, 4. 13. 在长为 l 的线段上随机地选取两点, 求两点间距离的均值和方差. 14. 设随机变量 X 服从指数分布, 密度函数为 ? ?λ e?λx , x & 0, p(x) = ?0, x 0, 求 X 的各阶矩 EX n , n = 1, 2, . . . . 15. 设随机变量 X 服从 N(?, σ 2 ), 证明 E X ?? = √λ & 0,2 σ. π16. 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 且都服从 N(?, σ 2 ), 随机变量 Z1 = min(X, Y ), Z2 = max(X, Y ). 求 E(Z1 ), E(Z2 ). 17. 证明协方差的性质: (1) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X); (2) Cov (∑ mi=1ai Xi ,n ∑ j=1) ∑∑ m n bj Yj = ai bj Cov(Xi , Yj ).i=1 j=118. 设随机变量 X1 , X2 , ? ? ? , Xm+n (n & m) 是相互独立的, 有相同的分布且有有限方差, 试求 S = X1 + ? ? ? + Xn 与 T = Xm+1 + ? ? ? + Xm+n 之间的相关系数. 19. 设 X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是独立同分布且方差有限的随机变量, n 1 ∑ X= Xi , n i=1 证明 Xi ? X与 Xj ? X(i ?= j) 的相关系数为 ? 1 . n?120. 若 U = aX + b, V = cY + d, ac & 0, 试证 U, V 的相关系数等于 X, Y 的相关系数.14 21. 设 (X, Y ) 联合概率分布为HH HH Y 1 HH X H第四章习题2 0.1 0 0.13 0 0.3 0.1?1 0 10.2 0.1 0.1试求 (1) X, Y 的边缘概率分布; (2) E(X), E(Y ), Var(X), Var(Y ); (3) Cov(X, Y ); (4) X, Y 是否独立? (5) 设 Z = X + Y , 求 Z 的概率分布及 E(Z), Var(Z). 22. 设 (X, Y ) 的联合密度函数是 ? ?x + y, 0 x f (x, y) = ? 0, 其他.1, 0y1,试求 (1) E(X), E(Y ), Var(X), Var(Y ); (2) 协方差 Cov(X, Y ); (3) 相关系数 ρXY . 23. 记二元联合正态分布 N(0, 0, 1, 1, ?1/2) 的概率密度函数为 φ1 (x, y), 二元联合正态 分布 N(0, 0, 1, 1, 1/2) 的概率密度函数为 φ2 (x, y), 又设 (X, Y ) 的联合概率密度函 数为 f (x, y) = 证明: (1) X ? N(0, 1), Y ? N(0, 1); (2) X 与 Y 不相关; (3) X 与 Y 不独立. ] 1[ φ1 (x, y) + φ2 (x, y) 2第五章习题1. 设 X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是 n 个具有相同密度函数 ? ? 1 , ?1 x f (x) = 2 ?0, 其他 的独立随机变量, 若 Sn = X1 + X2 + ? ? ? + Xn , 证明 ( S ) 1 n P ε n 3nε21,2. 某计算机系统有 120 个终端, 每个终端有 5% 的时间在使用, 若各个终端之间使用与 否是相互独立的, 试求有 10 个或更多个终端在使用的概率. 3. 某设备需要用 A 型元件 100 只, 但该 A 型元件的次品率为 0.02, 试问需要购买多少 只 A 型元件才能使其中含有 100 只正品的概率不低于 0.99. 4. 一个工厂出产的产品中废品率为 0.005, 任意取出 1000 件, 试计算下面的概率： (1) 其中至少有两件废品; (2) 其中不超过 5 件废品; (3) 能以 90% 的概率希望废品数不超过多少？ 5. 设某产品的次品率为 0.02, 任取 5000 件, 问次品数不超过 150 件的概率是多少？ 6. 一大批产品中有 1% 是特优的. 试问应至少取出多少件, 才能保证至少有一件特优品 的概率不少于 0.95. 7. 现有一大批种子, 其中良种占 1/6, 今在其中任选 6000 粒, 试问在这些种子中良种所 占的比例与 1/6 之差小于 1% 的概率是多少？ 8. 种子中良种占 1/6, 我们有 99% 的把握断定在 6000 粒种子中良种所占的比例与 1/6 之差是多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围内？ 9. 利用中心极限定理, 求 limn ∑ nk ?n e . n→∞ k=0 k!15第六章习题1. 某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收 视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查。 （1）该项目研究的总体是什么？ （2）该项目研究的样本是什么？ 2. 试确定下列问题的总体及分布族： （1）研究某种型号玻璃瓶的质量。 假设瓶上的气泡数是衡量瓶质量的指标， 它服从Poisson分布。 （2）研究某工厂生产的标值为2.5?的电阻值。假设阻值服从正态分布。 3. 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p未知，每m 件产品包装为一盒。 为了检 查产品的质量，任意抽取n盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是 样本，并指出样本的分布。 4. 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了解其平均寿命，从中抽出n个产 品测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布。 5. 投掷一枚质地均匀的硬币15次，出现正面的次数为6次。回答下列问题： （1）样本容量为多少？ （2）总体是什么？总体的数量为多少？ （3）在投掷硬币前，你认为出现多少次正面的可能性最大。 6. 结合以下所列情况讨论哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查，并说明理由： （1）研究居住在某城市所有居民的食品消费结构； （2）调查一个县各村的粮食播种面积和全县生猪的存栏数； （3）为进行治疗，调查一地区小学生中患砂眼的人数； （4）调查一地区结合病的发病率； （5）估计一个水库中草鱼的数量； （6）某企业想了解其产品在市场的占有率； （7）调查一个县中小学教师月平均工资。 7. 结合上题的讨论，你能否概括在什么场合适合做全面调查，什么场合适合做抽样调 查。 1617 8. 已知灯泡的寿命服从指数分布，即F (x) = 1 ? e?x/θ , 0 x & ∞, θ 0。 在一批灯泡中随机抽出10个。抽样通常是无放回的，但若这批灯泡的数量远远大于抽样的数 目，则近似可以看成是有放回抽样。求样本的联合密度函数。 9. 上题中如果灯泡的总数N 不是远远大于10，即认为进行的是有放回抽样，求这种情 况下的样本的联合密度函数。 10. 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156试由这批数据构造经验分布函数并作图。 11. 设某厂用自动瓶装机灌装汽水，从生产线上随机抽取20瓶汽水，并测量它们的实际 装瓶量（以ml为单位） ，得到如下的一组数据： 985，940，975，，975，，920，980，920，990，， 935， 945，980，960，955，960 （1）构造经验分布函数。 （2）画出茎叶图。 。 12. 以下数据为泊金升华所需的热量单位（kcal/mol） 136.3 148.8 135.0 136.6 134.8 133.7 135.8 135.2 134.4 135.4 134.9 134.9 134.7 146.5 134.8 135.0 141.2 134.5 134.1 135.4 134.3 143.3 134.8 135.2 147.8 135.8 136.3（1）构造该批数据的频率分布表（分6组） 。 （2）画出直方图。 13. 40种刊物的发行量如下（单位：册） 77 714 3
618 70 78 26 08 80 8612353
（1）建立该批数据的频数分布表，取组距为1700册。 （2）画出直方图。18 14. 一组工人完成某一装配工序所需的时间（分）分别如下： 35 38 45 32 35 41 36 46 38 43 44 42 45 32 34 33 39 46 36 38 44 49 34 37 47 43 37 30 37 35 48 45 43 45 29 40 37 37 36 41 45 36 44 46 40 30 42 49 42 41第六章习题（1）作茎叶图，取茎的单位为10，叶的单位为1。 （2）将上述数据整理成组距为3的频数表，第一组以27为起点。 （3）绘制样本直方图。 （4）写出经验分布函数。 15. 设X1 , . . . , X5 是取自二点分布B(1, p)的一个样本，其中0 & p & 1。 （1）写出样本的联合分布列。 （2）指出下列一些样本的函数中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？ T1 = (X1 + ? ? ? + X5 )/5 T3 = X5 ? p T2 = X5 ? E(X1 ) T4 = max(X1 , . . . , X5 )16. 设a(a ?= 0)和b皆为常数，Yi = a ? Xi + b，i = 1, . . . , n。 试证明：Y1 , . . . , Yn 的样本2 2 均值Y 、样本方差SY 和X1 , . . . , Xn 的样均值X、样本方差SX 之间存在关系：Y = a ? X + b,2 2 SY = a2 ? SX根据这个结果，利用适当的线性变换，求下列一组数据的均值与方差： 480 , 550 , 510 , 590 , 510 , 610 , 490 , 600 , 580. 1 ∑n ni=117. 记xn =xi ，s2 = n1 n?1∑ni=1 (xi? xn )2 ，n = 1, 2, . . . ，证明： (xn+1 ? xn )xn+1 = xn + s2 = n+11 n+1n?1 2 1 sn + (xn+1 ? xn )2 n n+118. 设总体X服从均值为 λ的泊松分布，X1 , . . . , Xn 为来自该总体的简单随机样本，求 样本均值X的分布列。19 19. 设总体X服从指数分布，密度函数为： f (x) = λe?λx , x & 0. 求样本均值X的密度函数。 20. 设X1 , X2 , . . . , Xn 是来自N (?, σ 2 )的一个样本，S 2 为样本方差，试求E(S 2 )和V ar(S 2 )。 21. 设X1 , X2 , . . . , X25 是从均匀分布U (0, 10)中抽取的样本，试求样本均值X的渐近分 布。 22. 设X1 , X2 , . . . , X20 是从二点分布B(1, p)中抽取的样本，试求样本均值X的渐近分 布。 23. 设X1 , X2 , . . . , X100 是取自总体X ? N (?, 1)的样本，试确定常数C，使得任意的? & 0，P (|X| & C)都不超过0.05。 24. 设X1 , X2 , . . . , X82 是取自总体B(1, p)的样本，试确定整数C，使得对任意的0 p & ∑82 1，P ( i=1 Xi & C)都不超过0.05。 √ 2 2 25. 设X1 , X2 为取自正态总体X ? N (0, σ 2 )的一个样本，试证：统计量X1 /X2 和 X1 + X2 是 相互独立的。2 26. 设X1 , . . . , X10 为取自正态总体N (?, 1)的一个样本，试确定常数C，使得P (S10 &C) = 0.02。 n(X ? p) 27. 若X1 , . . . , Xn 为 取 自 总 体X ? b(1, p)的 样 本。 试 证 明： √ 的渐近分布 X(1 ? X) 为N (0, 1)。 28. 设总体二阶矩存在，X1 , . . . , Xn 是样本，证明：Xi ? X与Xj ? X(i ?= j)的相关系数 为?(n ? 1)?1。 29. 设从总体中抽得的样本观测值为x1 , . . . , xn ，频数分别为f1 , . . . , fn （1）写出样本的一阶、二阶、三阶和四阶中心矩，?1 ，?2 ，?3 ，?4。 （2）写出样本的一阶、二阶、三阶和四阶原点矩，υ1 ，υ2 ，υ3 ，υ4。 （3）证明下列等式： ?1 = 0,2 ?2 = υ2 ? υ1 , 3 ?3 = υ3 ? 3υ1 υ2 + 2υ1 , 4 2 ?4 = υ4 ? 4υ1 υ3 + 6υ1 υ2 ? 3υ1 .√20第六章习题30. 设总体的四阶矩存在，X1 , . . . , Xn 是取自该总体的一个样本。试证明： E(X ? ?)2 = ?3 /n2 E(X ? ?)4 = 3σ 4 /n2 + (?4 ? 3σ 4 )/n3 其中X为样本均值，? = E(X)，σ 2 = V ar(X)，?k = E(X ? ?)k ，k = 3, 4。 31. X1 , . . . , Xn 是取自该总体的一个样本，试证： 1 ∑ (Xi ? Xj )2 = S 2n(n ? 1) i&j32. 切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍 去，而用剩下的当中的值为计算样本均值，其计算公式是Xa =X([nα]+1) + X([nα]+2) + ? ? ? + X(n?[nα]) n ? 2[nα] ???其中0 & α & 1/2是切尾系数，X(1)X(2)X(n) 是有序样本。现在我们在某高校采访了16名大学生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间：15 141292041726151861016558取α = 1/16，试计算其切尾均值。 33. 设总体有密度函数f (x)和分布函数F (x)，Xn1 对任意给定的k和1 函数。 34. 证明： ∫1 ∫y (y ? x)n dxdy =0 0Xn2???Xnn 为顺序统计量。i1 & i2 & ? ? ? & ikn，求(Xni1 , Xni2 , . . . , Xnik )的联合密度1 (n + 1)(n + 2)35. 设随机变量U1 , . . . , Un , V 相互独立，且都服从均匀分布。求： （1）P (V U(n) ).（2）P (U(1) & V & U(n) ). 36. 设总体密度函数为p(x) = 6x(1 ? x)，0 & x & 1。 X1 , . . . , X9 是来自该总体的样本， 试求样本中位数的分布。21 37. 测试一批蜂蜡中碳氢化合物的含量，得数据如下： 14.27 14.80 12.28 17.09 15.10 13.98 14.90 15.91 14.52 15.63 14.65 14.73 15.18 14.49 14.56 14.41 14.19 15.21 14.75 14.41 13.64 14.77 14.30 14.62 14.10 14.01 14.92 15.47 13.75 14.87 15.49 15.13 14.23 14.44 14.57 （1）画出经验分布函数、直方图，找出这批数据中的第一四分位数和第三四分位 数并作出箱线图。 （2）计算这批数据的偏度以及峰度。 （3）现在已知微晶蜡（一种商业上的合成蜡）中碳氢化合物的含量为85％，假设 上述这批蜂蜡中如果掺上1％的微晶蜡，我们能否将其检验出来？如果掺3％或5％ 呢？ 38. 在总体N (7.6, 4)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在(5.6, 9.6)内的概率 不小于0.95，则n至少为多少？ 39. 设总体X和Y 都服从正态分布N (30, 32 )，X1 , X2 , . . . , X20 和Y1 , Y2 , . . . , Y25 分别是来 自X和Y 的样本，相互独立，求|X ? Y | & 0.4的概率。 40. 设总体X ? N (?, σ 2 )，抽取容量为20的样本X1 , . . . , X20 ，求概率： ∑20 2 i=1 (Xi ? ?) (1)P {10.9 37.6}; σ2 ∑20 2 i=1 (Xi ? X) (2)P {11.7 38.6}; σ2 41. 设在总体N (?, σ 2 )中抽取一容量为16的样本，求： （1）P { S2 σ2 1.6664}； 12.92 13.83 15.03 14.04 15.47 15.28 15.56 13.66 15.40 13.68 13.73 14.43 15.38 13.98 14.68 15.31 13.65 13.96 15.15 14.47 13.33 14.32 15.02 14.57（2）V ar(S 2 )。 42. 设总体X ? N (?, σ 2 )，σ 2 & 0，从该总体中抽取简单随机样本X1 , . . . , X2n (n ≥ 1)， 其样本均值为X = 望。 1 ∑2n ∑n 2 i=1 Xi ，求统计量Y = i=1 (Xi + Xn+i ? 2X) 的数学期 2n22 43. 证明F 分布的密度函数为： f (x) = Γ[(m + n)/2] m m/2 m/2?1 m ( ) x (1 + x)?(m+n)/2 , Γ(m/2)Γ(n/2) n n X1 + X2 X1 ? X2 )2 的分布。第六章习题x≥044. 设X1 , X2 是来自N (0, σ 2 )的样本，试求Y = ( 45. 设T ? tn ，证明：T 2 ? F1,n。46. 设总体X和Y 独立且都服从E(1)分布，证明：X/Y 服从F 分布并写出其自由度。 47. 试证：当(X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn )为正态总体(X, Y )的独立同分布样本时，则有 √ 其中 (X ? Y ) ? (?1 ? ?2 ) n ? 1√ 2 ? t(n ? 1), 2 S1 + S2 ? 2RS1 S2 ) ?N (( ) ( ,2 σ1(X Y?1 ?2ρσ1 σ22 σ2)) ,ρσ1 σ22 2 X，Y ，S1 ，S2 分别是样本均值与样本方差，1 ∑n R= n 是样本相关系数。i=1 (Xi? X)(Yi ? Y ) = ?S12 S1 ? S2S1 ? S2第七章习题1. 用一种新的仪器测试某座山的高度，得到一组数据（单位：米） , , ,
试求这座山的高度的矩估计以及这个新的仪器的测量误差的标准差的矩估计。 2. 设 X1 , X2 , . . . , Xn 是取自分布 Γ(α, λ) 的一个样本，试求未知参数 α 和 λ 的矩估 计。 3. 某手机生产厂商，要估计其某一批产品的不合格率 p，随机抽取一个容量为100的 样本 X1 , X2 , . . . , X100 ，记 ? ?1 Xi = ?0 求不合格率 p的矩估计。 4. 设 X1 , X2 , . . . , Xn 是来自正态总体X ? N (?, σ 2 )的样本，求P (X & 1)的矩估计。 5. 设总体X的分布列为 p(X = k) =1 , N第i个产品不合格, 第i个产品合格,i = 1, 2, . . . , 100.k = 0, 1, . . . , N ? 1，其中 N 为未知参数。 X1 , X2 , . . . , Xn 是一个样本，试求未知参数 N 的矩估计。 6. 设总体X服从二项分布 B(k, p), 7. 设总体X的概率密度为 其中 k 是正整数, 0 & p & 1， k ，p 是未知参 数。X1 , . . . , Xn 是X的一个样本，试求 k 和 p 的矩估计。 ? ?(θ + 1)xθ , 0 & x & 1, f (x; θ) = ?0, 其他,其中，θ & ?1。X1 , . . . , Xn 是来自总体 X 的一组样本，试求参数 θ 的矩估计。 8. 记n个系统出故障的时间为X1 , . . . , Xn （单位：月） ，它们独立同分布服从指数分 布Exp(λ)。 (1)求参数λ的一个矩估计； (2)求一个不同于(1)的λ的矩估计； (3)记一个系统至少持续一个月不出故障的概率为η = P (X1 ≥ 1)，求η的矩估计。 2324第七章习题9. 某手机生产厂商要估计某一批产品的不合格率p，要从该批产品中随机抽取n个产品 进行测试，记 ? ?0 第i个产品合格, Xi = ?1 第i个产品不合格,i = 1, . . . , n.试求不合格率 p 的MLE。 10. 设总体X服从指数分布 E(λ), λ & 0, 未知，从中抽取一个容量为n的简单随机样本， 求参数 λ 的MLE。 11. 设东方商厦每月销售某品牌的香水的数量服从 POISSON 分布 P (λ) 。 过去四年的 销售记录如下： 月销售量 月数 10 6 11 12 12 13 13 10 14 4 15 2 16 1求参数 λ 的MLE。 12. 设 X1 , X2 , . . . , Xn 是来自密度函数为 pσ (x) = 的总体，试求 σ 的MLE。 13. 设 X1 , X2 , . . . , Xn 是从总体 N (?, σ 2 ) 中获得的一组样本， (1)求使 P (X & A) = 0.05 的点 A 的MLE。 (2)求 θ = P (X ≥ 2) 的 MLE。 14. 设某种品牌手机的电池的使用寿命为X，密度函数为 f (x; θ) = 1 ?x e θ , x & 0, θ 1 ?|x|/σ e , 2σ ?∞ & x & +∞, σ & 0其中θ & 0为未知参数。 现随机抽取一个样本，得到样本观测值为252，108，212， 168， 130，169，143，174，198（单位：百小时） 试求这种电池使用寿命大于18000小时 的概率的极大似然估计。 15. 设总体X服从对数正态分布，其概率密度为 f (x; ?, σ 2 ) = √ 1 (log x ? ?)2 exp ? , x & 0, 2σ 2 2πσx其中?、 σ 2 是未知参数，X1 , . . . , Xn 是来自总体X的样本。 求?和σ 2 的极大似然估 计。 16. 假设某市每月死于交通事故的人数X服从参数为λ的泊松分布，λ & 0为未知参数。 现有以下样本观测值 3，2，0，5，4，3，1，0，7，2，0，2. 试求某月无死亡的概 率的极大似然估计值。25 17. 设 X1 , X2 , . . . , Xn 是取自正态总体 N (?, σ 2 ) 的一个样本，试选择常数 C，使得 S2 = C 为σ 2 的无偏估计。 18. 设样本 X1 , X2 , . . . , Xn 取自参数为 λ 的泊松分布， (1)试证样本均值 X 与样本方差 S 2 =1 n?1 n ∑ n?1 ∑ (Xi+1 ? Xi )2 i=1(Xi ? X)2 都是 λ 的无偏估计，且对i=1任意 a (0 ≤ a ≤ 1)， aX + (1 ? a)S 2 也是 λ 的无偏估计； (2)求 λ2 的无偏估计。 19. 设 X1 , X2 , . . . , Xn 是取自 N (?, σ 2 ) 的一个样本，在下列三个估计量中哪一个是 σ 2 的无偏估计？另外，请比较这三个估计的均方误差 1 ∑ (Xi ? X)2 , n ? 1 i=1n2 S1 =2 S2 =1∑ (Xi ? X)2 , n i=1n n2 S31 ∑ (Xi ? X)2 . = n + 1 i=120. 设 X1 , X2 , . . . , Xn 是取自下列指数分布的一个样本。 ? ? 1 e?x/θ , x & 0, p(x; θ) = θ ?0, x 0. (1)试证 X 和 X(1) = n ? min{X1 , X2 , . . . , Xn } 都是 θ 的无偏估计，并比较它们的有 效性； (2)证 X 是 θ 的相合估计，并求出 X 的方差。 ? ? ? 21. 设θ是参数θ的无偏估计，且有V ar(θ) & 0，试证(θ)2 不是θ2 的无偏估计。 22. 设总体X在区间[θ, θ + 1]上服从均匀分布，X1 , . . . , Xn 是来自总体X的样本，试证 明： 1 ? θ1 = X ? , 2 ? θ2 = max {Xi } ?1≤i≤nn , n+126 1 , n+1第七章习题? θ3 = min {Xi } ?1≤i≤n都是θ的无偏估计。 23. 设 X1 , X2 , . . . , Xn 是来自密度函数为 ? ? θ , 0 & θ & x & ∞, p(x; θ) = x2 ? 0 其他. 的总体的样本. 求 θ 的置信水平为 1 ? α 的置信区间。 24. 设某制造厂商的利润率服从正态分布，均值为 ?，方差为 σ 2 ，长期以来 σ 2 一直稳 定在0.4，现随机抽取五天的利润率：?0.2, 0.2, 0.8, ?0.6, 0.9， (1)试求 ?的置信水平为0.95的置信区间； (2)为使 ?的置信水平为0.95的置信区间长度不超过0.4，则至少应随机抽取多少天的 利润率才能达到？ 25. 已知某种木材的横纹抗压力服从 N (?, σ 2 )，现对十个试件作横纹抗压力试验，测试 结果为482，493，457，471，510，446，435，418，394，469 (1)求 ? 的置信水平为0.95的置信区间； (2)试求 σ 2 的置信水平为0.90的置信区间。2 2 26. 设从总体 X ? N (?1 , σ1 ) 和总体 Y ? N (?2 , σ2 ) 中分别抽取容量为 n1 = 10 和 2 2 n2 = 15 的独立样本，可计算得 X = 82, SX = 56.5, Y = 76, SX = 52.4。 2 2 (1)若已知 σ1 = 64, σ2 = 49，求 ?1 ? ?2 的95%的置信区间； 2 2 (2)若已知 σ1 = σ2 ，求 ?1 ? ?2 的95%的置信区间； 2 2 (3)若对 σ1 ， σ2 一无所知，求 ?1 ? ?2 的95%的近似置信区间； 2 2 (4)求 σ1 /σ2 的95%的置信区间。27. 某快递公司声称它投递到该城市任何一个地方的投递时间不足3小时。 为了评价其 说法，质量控制员随机选取了50件快递业务，计算得到其平均投递时间为2.8小时， 样本标准差为0.6小时。 (1)用95%的置信区间估计平均投递时间。 (2)根据95%的置信区间判断该公司的说法是否合理。 (3)如果利用99%的置信区间，在(2)中的判断会发生改变吗?(统计学方法与数据分 析引论，张忠占，科学出版社) 28. 某农场有5000棵树待砍伐，从中随机选择100棵树并记录下它们的高度，以英尺为 单位，测量结果见下表：27 表 7.1 56 70 53 71 73 50 46 54 44 48 61 61 48 53 62 57 61 73 59 49 52 65 55 78 80 72 52 71 56 70 62 51 67 59 53 55 46 70 54 60 63 65 60 56 64 56 72 66 63 67 34 72 60 62 44 62 56 67 43 47 47 55 73 48 67 72 46 58 68 49 35 71 74 65 45 57 48 71 69 69 44 57 43 68 58 49 57 75 55 66 59 75 74 51 48 62 52 50 63 73试求5000棵树平均高度的95%置信区间。如果每英尺树可卖2.40美元，请给出5000棵 树价格的上界和下界。第八章1. 请写出下列问题的原假设与备择假设。习题(1)机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取n1 = 20，n2 = 25 的2 2 两个样本。设两总体的均值分别为?1、?2 ，方差分别为σ1、σ2。问两台机床的加工精度是否相同？ (2)某青年以往的记录是：平均每加工100个零件，有60件是一等品。 今年考核他， 在他加工的零件中随机抽取100件，发现有70件是一等品。 设p表示一等品的概率， 问今年这个成绩是否证明该青年的技术水平有了显著提高？ (3)某药厂研制出一种新型安眠药，据说在一定剂量下与一般的安眠药相比，可以 延长睡眠时间。为验证这一说法，现随机抽取10个失眠患者，让他们分别服用这种 新型安眠药和一般的安眠药，并记录下他们服用相应药物之后的睡眠时间。现将服 用新型安眠药与一般安眠药后的睡眠时间分别记为?1、?2。问这种新型安眠药是否 可以延长睡眠时间？ 2. 假设随机变量X服从正态分布N (?, 1)，X1 , ? ? ? , X10 是来自X的一个简单随机样本， 要检验H0 : ? = 0，H1 : ? ?= 0。 (1)以X为检验统计量，请写出拒绝域的形式。 (2)在α = 0.05的水平下，检验的临界值应为多少？若已知X = 1，是否可以据此样 本推断? = 0？ (3)若在α1 = 0.05和α2 = 0.10两个显著性水平下均拒绝原假设，那么在哪个显著性 水平下作出该判断的把握更大？ { } (4)如果以R = |X| ≥ 1.15 作为该检验的拒绝域，试求犯第Ⅰ类错误的概率。 3. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是来自N (?, 1)的简单随机样本，考虑如下假设检验问题 H0 : ? = 2，H1 : ? = 3 若取检验的拒绝域为{X ≥ 2.6}。 (1)当n = 20时，求犯第Ⅱ类错误的概率； (2)如果要使检验犯第Ⅱ类错误的概率β ≤ 0.01，n最小应取多少？ (3)证明：当n → ∞时，α → 0，β → 0。 4. 设正态总体的方差σ 2 为已知值，均值?只取?0 或?1 (& ?0 ) 两值之一，X为总体的容 量为n的样本平均值，在给定的水平α 下，检验假设H0 : ? = ?0 , H1 : ? = ?1 的规则 2829 为：当X ?0 + k时拒绝H0。该检验犯第Ⅱ类错误的概率为： β = P?=?1 (X ? ?0 & k). (1)试验证： ?1 ? ?0 √ β = Φ Uα ? σ/ n 也即： n = (Uα + Uβ )2 ? 其中Uα ，Uβ 为N (0, 1)的上侧分为点。 (2)若n固定，当α减小时β怎样变化？ (3)若n固定，当β减小时α怎样变化？并写出σ = 0.12, ?1 ? ?0 = 0.02, α = 0.05, β = 0.025时，样本容量n至少等于多少？ 5. 设X1 , X2 , ? ? ? , X12 是来自泊松分布P (θ), θ & 0的简单随机样本，对于检验问题 H0 : θ = 0.5，H1 : θ & 0.5. 若以X为检验统计量， (1)请写出拒绝域的形式。 (2)若以{X1 + X2 + ? ? ? + X12 ≤ 2}为检验的拒绝域，犯第Ⅰ类错误的概率是多少？ 当θ = 1 时，犯第Ⅱ类错误的概率是多少？ 3 6. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是来自均匀分布{U (0, θ) : θ & 0}的简单随机样本，对于假设检验 问题 H0 : θ ≤ 0.5，H1 : θ & 0.5. 采用检验统计量X(n) = max{X1 , X2 , ? ? ? , Xn }。 (1)请写出拒绝域的形式。 (2)要使犯第Ⅰ类错误的概率最大为0.05，临界值应取什么值？ 7. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是来自二项分布B(1, p)的简单随机样本，对于假设检验问题： H0 : p ≤ 0.01，H1 : p & 0.01. ∑n 拒绝域形式采用{ i=1 Xi & C}。 证明：当p = 0.01时，犯第Ⅰ类错误的概率达 ( ) k ∫1 ∑ n Γ(n+1) 到最大。 (提示： pi (1 ? p)n?i = Γ(k+1)Γ(n?k) p uk ? (1 ? u)n?k?1 du, k = i i=0 0, 1, ? ? ? , n ? 1) 8. 设总体为均匀分布U (0, θ)，X1 , . . . , Xn 是样本，考虑检验问题 H0 : θ ≤ 3 vs H1 : θ & 3 σ2 , (?1 ? ?0 )2 { } ,30第八章习题拒绝域取为W = {X(n) ≥ 2.99}，求检验犯第一类错误概率的最大值α，若要使得该 最大值α不超过0.05，n应取多大？ 9. 在关于?的统计检验中，拒绝了原假设。基于这一结论，下面哪些命题是正确的？ (1)犯了第一类错误。 (2)犯了第二类错误。 (3)可能犯了第一类错误。 (4)可能犯了第二类错误。 (5)不可能同时犯第一类错误和第二类错误。 (6)不可能既不犯第一类错误，也不犯第二类错误。 (7)不知道是否犯了错误，但如果犯了错误，那一定是第一类错误。 (8)不知道是否犯了错误，但如果犯了错误，那一定是第二类错误。 10. 某厂生产的钢筋断裂强度X ? N (?, σ 2 )，σ = 35(kg/cm2 )。今从现在生产的一批钢 筋中抽测9个样品，测得的平均值X较以往的均值?0 大了17(kg/cm2 )。 设总体方差 不变，问能否认为这批钢筋的强度有明显提高？(取α = 0.05)2 11. 设某异常区磁场强度服从正态分布N (?0 , σ0 )，由以前观测知道?0 = 56，σ0 = 20。现 有 一 台 新 型 号 的 仪 器，用 它 对 该 区 进 行 磁 测，抽 测 了41个 点，得? = 61.1， x s = 20。问用此仪器测出的结果是否符合要求？(取α = 0.05) 12. 某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情形时服从正态分布N (4.55, σ 2 )。 为了 解设备维修后产品含硫量的质量分数?是否改变，测试了5个产品，测得它们含硫 量(质量分数, %)为 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 试 在 下 列 两 种 情 形 下 分 别 检 验H0 : ? = 4.55, H1 : ? ?= 4.55。 假 定 方 差 不 变， α = 0.05。 (1)σ 2 = 0.01；(2)σ 2 未知。 13. 欲决定是否可以通过某种特殊的训练增加智商，对25名儿童进行调查，并记录了 他们参加训练前后的智商，记录下它们的差。发现25名儿童的智商平均增加了3点， 标准差是9点，并设智商差服从正态分布，试用这一结果在α = 0.05水平下检验“智 商无增加”这个假设。 14. 在显著性水平α = 0.05下进行t检验：H0 : ? = 80，H1 : ? & 80 (1)要求在H1 中? ≥ ?1 = 80 + σ时，犯第Ⅱ类错误的概率β ≤ 0.01，所需样本容 量n是多少？ (2)若样本容量n = 33，问在H1 中? = ?1 = 80 + σ时，犯第Ⅱ类错误的概率为多 少？31 15. 假定香烟中焦油的含量服从均值为10mg，方差为2.4mg的正态分布。现开发了一种 新的香烟制造技术以减少焦油的含量。随机抽取16根利用新技术生产的香烟，得平 均焦油含量为8.8mg。给定α = 0.05。 (1)试利用以下要点，制定一假设检验以检验新技术是否明显地减少了焦油含量。 原假设 备择假设 拒绝域 检验统计量和计算 用统计语言给出结论 用简单直观的语言给出结论 (2)基于你的结论，你是可能犯第一类错误？还是可能犯了第二类错误？还是两类 错误都没犯？还是同时可能犯两类错误？ 16. 过去几年，都市的某大医院对孕妇预产期进行预测，效果相当差。医生参加了一项 在职培训计划以提高技术，改进她们的预测效果。 在最近一次调查中，随机选取 了100名母亲，她们都是在培训计划之后在这家医院分娩的。 由样本数据得，超过 预测的预产期的平均天数为9.2天，标准差为12.4天。如果在培训前，超过预产期的 平均天数是13天，那么，在显著性水平为α = 0.05时，是否有充分的证据表明平均 天数减少了？ 17. 某自动控制装置的厂商声称该装置将能使房间的平均湿度保持在80%。记录了30天 装有该控制装置的房间的湿度。 均值和标准差分别为78.3%和2.9%。 数据是否提供 了充分的证据足以反对厂商的声称？已知α = 0.05。 18. 从某学院学生的经常参加锻炼和不经常参加锻炼的男生中各随机抽取50名，测得 平均身高x = 174.34厘米，y = 172.42厘米。 设身高服从正态分布，且已知σ1 = 5.35,σ2 = 6.11。 问：经 常 参 加 锻 炼 的 男 生 是 否 高 于 不 经 常 参 加 锻 炼 的 男 生？ (α = 0.05) 19. 下表分别给出两个文学家马克?吐温(Mark Twaiain)的8篇小品文以及斯诺特格拉 斯(Snodgrass)的10篇小品文中由3个字母组成的词的比例：马克?吐温 斯诺特格拉斯0.225 0.2090.262 0.2050.217 0.1960.240 0.2100.230 0.2020.229 0.2070.235 0.2240.217 0.223 0.220 0.201设两组数据分别来自正态总体，且两总体方差相等。两样本相互独立。问两个作家 所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例是否有显著的差异（取α = 0.05） ？32′ ′′第八章习题20. 据现在的推测，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些。 下表给出了美国31个 自然死亡的总统的寿命。 他们分别归属于矮个子(& 5 8 ，即身高小于5英尺8英 寸(172.72厘米))和高个子(≥ 5 8 ) 两个类型。 设两个寿命总体均为正态且方差相等，试问这些数据是否符合上述推测？(α = 0.05) 矮个子总统 总统 Madison Van Buren B.Harrison J.Adams J.Q.Adams 身高 54 56 56 57 57′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′高个子总统 寿命 85 79 67 90 80 总统 W.Hawison Polk Tayler Grant Hayes Truman Fillmore Pierce A.Johson T.Roosevelt Coolidge Eisenhowr Cleveland Wilson Hoover Monroe Tyler Buchanan Taft Handing Jackson Washington Arthur F.Roosevelt L.Johnson Je?erson 身高 5‘ 8“ 58′ ′ ′ ′′ ′′ ′′寿命 68 53 65 63 70 88 74 64 66 60 60 78 71 60 90 73 71 77 72 5758′5 8.5 5 8.5 59 59′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′′′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 11 5 11′ ′′′ ′′5 11 6 6 6′ ′ ′ ′ ′ ′ ′6′ ′6′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′61 62 62 62 62′78 67 56 63 64 836 2.521. 在70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲 胺(NDMA)，80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程，下面为老、新两种过程中33 形成的NDMA含量（以10亿份中的份数计） ：老过程 6, 4, 5, 5, 6, 5, 5, 6, 4, 6, 7, 4 新过程 2, 1, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 3 设两样本分别来自正态总体，两总体方差相等，两样本独立，分别以?1、 ?2 表示 老、新过程的总体的均值，试检验：H0 : ?1 ? ?2 ≤ 2，H1 : ?1 ??2 & 2。(α = 0.05) 22. 设 总 体X ? N (?1 , σ 2 )， 总 体Y ? N (?2 , σ 2 )， 其 中σ 2 未 知。 从 总 体X抽 取 样 本X1 , X2 , ? ? ? , Xn1 ，从总体Y抽取样本Y1 , Y2 , ? ? ? , Yn2 ，两样本独立。 对于假设检 验：H0 : c?1 + d?2 = δ, H1 : c?1 + d?2 ?= δ (δ已知)，求检验统计量与拒绝域。 23. 一个环境控制检验员怀疑一个河边社区往河里排放半处理的污水，这会导致河水中 被溶解的氧气的变化，为了证实这一怀疑，他分别在这个城镇的上下游抽取了12个 水样，下表给出了这24处水样中被溶解的氧气（单位：ppm）的数据。 上游 下游 5.2 4.2 4.8 4.4 5.1 4.7 5.0 4.9 4.9 4.6 4.8 5.1 5.0 4.3 4.7 5.5 4.7 4.7 5.0 4.9 4.7 4.8 5.1 4.724. 一个工程师猜测，成功和不成功公司的一个很大的不同就在于它们所加工的产品因 缺陷而被退回的百分比。为了验证这个猜测，该工程师调查了50个成功和50个不成 功的公司（以年利润为标准） ，成功的公司被退回的产品的比例的均值为5.40，标 准差为2.88，不成功的公司被退回的产品的比例的均值为9.08，标准差为1.97。 这 些公司生产的产品性能和成本类似。这些数据是否能够充分证明成功公司的产品退 回率比较低？α = 0.05 25. 一家公司的低层管理人员年终奖金制度很复杂。关键是对“公司目标的贡献”的主 观评定。一个人事部门的官员随机抽取24个女性和36个男性管理人员来判定奖金之 间是否存在差异，用占年收入的百分比表示。得到女性奖金占年收入的百分比的均 值为8.53，标准差为1.19，而男性的分别为9.68和1.00。 问在α = 0.05和α = 0.01水 平下，检验均值不等的假设，结论是否一样？ 26. 无线电厂生产某型号的高频管，其中一项指标服从正态分布N (?, σ 2 )。 现从该厂生 产的一批高频管中任取9个，测得该项指标的数据如下： 58，72，68，70，65，55，46，56，64 请在下列两种情况下分别检验假设(取α = 0.05)： H0 : σ 2 = 48, H1 : σ 2 & 48。 (1)? = 60 (2)?未知34第八章习题27. 已知某厂生产的灯泡的寿命服从N (?, σ 2 )，?、 σ均未知。 现在从该厂生产的产 品中随机地抽取20只进行测试，测得它们的平均寿命x = 1700小时，样本标准 √ 20 ∑ 1 差s = 19 (xi ? x)2 = 490 小时，试问：i=1(1)在显著性水平α = 0.01下，能否认为这批灯泡的平均寿命为2000小时？ (2)在显著性水平α = 0.05下，能否认为灯泡寿命的方差不大于3502 ？ 28. 某厂生产的汽车蓄电池使用寿命服从正态分布，其说明书上写明其标准差不超 过0.9年。 现随机抽取10只，得样本标准差为1.2年，试在α = 0.05水平上检验厂方 说明书上所写的标准差是否可信。 29. 设有A种药随机地给8个病人服用，经过一个固定时间后，测得病人身体细胞内药 的浓度，其结果为： 1.40，1.42，1.41，1.62，1.55，1.81，1.60，1.52 又有B种药给6个病人服用，并在同样固定时间后，测得病人身体细胞内药的浓度， 得数据如下： 1.76，1.41，1.81，1.49，1.67，1.81 并设两种药在病人身体细胞内的浓度都服从正态分布。试问A种药在病人身体细胞2 内的浓度的方差是否为B种药在病人身体细胞内浓度方差的 3 ？(取α = 0.10)30. 棒球之间的反弹系数往往有所差别。当用同样的力作用于棒球时，反弹系数较大的 棒球比反弹系数较小的棒球飞的远。为了获得一场比赛，其中每一个击球手都有同 样的机会击中本垒打，球应该具有同样的反弹系数。现已设计出一种标准检测来测 量棒球的反弹系数。一买主欲购买很多棒球，他要求平均反弹系数为85单位且标准 差小于2单位。 从批量较大的一批棒球中随机选取81个球进行检测，得到的样本标 准差为1.771，问是否有充分的证据表明该批棒球反弹系数的标准差小于2？ 31. 为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从某年12月和6月出生的女婴中分别随机 抽取6名，测其体重如下： （单位：g）12月 , ,
6月 , , , , 假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否冬季的比夏季的小？ (α = 0.05)35 32. 为了考察感觉剥夺(sensory deprivation)对人的脑电波的影响，加拿大某监狱随机地将囚犯分成两组，每组10人，其中一组中每人被单独地关禁闭，另一组的人不关 禁闭。几天后，测得这两组人脑电波中的α波的频率如下： 没关禁闭 关禁闭 10.7 9.6 10.7 10.4 10.4 9.7 10.9 10.3 10.5 9.2 10.3 9.3 9.6 9.9 11.1 9.5 11.2 9.0 10.4 10.92 2 33. 若总体X ? N (?1 , σ1 )，Y ? N (?2 , σ2 )，它们相互独立，X1 , X2 , ? ? ? , Xn 及Y1 , Y2 , 2 2 2 2 ? ? ? , Ym 分别为两总体的简单随机样本。如果知道σ2 = 4σ1 ，但σ1 及σ2 的具体数值未知，试给出检验假设H0 : ?1 = ?2 , H1 : ?1 ?= ?2 的检验法。2 2 34. 设X ? N (?1 , σ1 )，Y ? N (?2 , σ2 )。检验：H0 : ?1 ? ?2 = 0，H0 : ?1 ? ?2 & 0。如果以前从两总体中各抽取过一个样本，得到均值和标准差分别为x、y、s1、s2。若 现在要重新抽样，抽取的样本量满足：n1 = n2 = n。 要求犯第Ⅰ类错误的概率不 大于α，并且当?1 ? ?2 ≥ k(k & 0) 时，犯第Ⅱ类错误的概率不大于β。那么根据以 前的数据，n应在什么条件下才能满足要求？ 35. 要比较两种品牌的同种商品的某种指标，得数据如下： A品牌 B品牌 81 76 84 74 79 78 76 79 82 80 83 79 84 82 80 76 79 81 82 79 81 82 79 78该指标的值越高商品质量越好，现在B牌的商品比A牌的便宜，当然，如果他们的 这种指标相同的话，则使用B牌的商品，但该指标的均值差?A ? ?B ≥ 5 时，则使 用A牌的这种商品。设两总体的分布均为正态分布，且两个样本独立，问应采用哪 一品牌？(取α = β = 0.05) （提示：采用上题的结论，检验样本量是否达到对两类错误的要求；若满足要求， 再进行检验。 ）2 2 36. 设X ? N (?1 , σ1 )，Y ? N (?2 , σ2 )。 从总体X与总体Y各取容量为7与容量为5的样本，设两样本独立，样本观测值如下：X Y81, 102,165, 97, 134, 92, 87, 114 86, 98, 109, 92,作下列假设检验：(α = 0.05)2 2 2 2 (1)H0 : σ1 = 10σ2 , H1 : σ1 ?= 10σ2 ；(2)利用(1)的结论，检验H0 : ?1 ? ?2 = 10, H1 : ?1 ? ?2 ?= 10；36第八章习题37. 有人想改变某种考试的考试方式，让学生在计算机上进行考试。考试题目由学生按 下面的方式进行选择。对于给定的一部分试题，如果学生把最初的问题答对了，后 面的题会更难；如果学生把最初的问题答错了，后面的题目难度不会增加。根据每 个考试的难度水平给出考试的最终标准分数。 考试机构欲比较采用新方法和当前 使用的旧方法之间考试分数的差异。 随机选择了182名学生参与研究，其中随机安 排91名采用新方法参加考试。另91名学生采用旧方法参加考试。数学考试的分数如 下表： 考试方式 计算机 传统 样本容量 91 91 均值 484.45 487.38 标准差 53.77 36.9438. 在美国市场上减肥药品的销售给许多生产这些药品的公司带来了可观的收入。一种 减肥方法对一个人的减肥效果既受这个人身体条件的影响又受心理条件的影响。比 较两种减肥药品A和B。 特别的，考虑人们持续使用一种治疗方法的时间长度。 随 机将总共26名身体条件相当的超重男子分成两组。第一组服用药品A，第二组服用 药品B。数据如下（以天为单位） 。 药品A 药品B 42 35 47 38 12 35 17 36 26 37 27 35 28 29 26 37 34 31 19 31 20 30 27 33 34 44服用这两种药的持续治疗时间的波动是否有显著差异？α = 0.05 39. 已知某种电子元件的使用寿命X(单位：小时)服从指数分布E(θ)。 抽查100个元件， 得样本均值x = 950(小时)。能否认为参数θ = 1000(α = 0.05)？ 40. 从一批服从指数分布的产品中随机抽取10个进行寿命试验，观测值如下(单位：小 时)： 6 132 9
根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100小时(α = 0.05)？ 41. 放射性物质在某固定长度的时间内放射的α粒子数X 服从P oisson分布。 现设每次 观测时间长度为90分钟，共观测15次，记录观测到的α粒子数如下： 粒子数ai 频数ni 0 4 1 7 2 2 3 1 4 1 合计 15试在α = 0.1水平上检验该P oisson分布参数λ是否为0.6？ 42. 电话总机在单位时间内接到的呼唤次数服从泊松分布，现观察40个单位时间内接到 的呼唤次数，结果如下：37 接到的呼唤次数ai 观察到的频数ni 0 5 1 10 2 12 3 8 4 3 5 2 6 0 7 0试问能否认为单位时间内平均呼唤次数不超过1.8次(α = 0.05)？ 43. 通常某种布上每平方米的疵点数服从P oisson分布，现观测该种布100平方米，发现 有126个疵点，在显著性水平为0.05下，能否认为该种布每平方米上平均疵点数不 超过1个？ 44. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是来自泊松分布P (λ) : λ & 0的简单随机样本，对于检验问题 H0 : λ ≥ λ0 ，H1 : λ & λ0 (1)请写出检验的拒绝域的形式。 (2)请写出检验犯第Ⅰ类错误概率的极大值的表达式。 45. 保险学中一般假定非寿险保单持有者在保单固定的有效期内，因事故要求索赔次数 服从Poisson分布，保险公司为合理的厘定保险费，需要对未知参数λ作统计推断。 下面是随机抽取的同一非寿险险种的4000张保单的索赔情况，假定每张保单具有相 同的有效期。 索赔次数 保单数 运用大样本检验方法检验假设 H0 : λ = 0.2 vs 46. 若X ? f (x; α) =1 xα?1 e?x ，x Γ(α)0 32881 6422 663 4H1 : λ ?= 0.2& 0，α & 0，那么(1)X的分布属于指数型分布吗？ (2)从该分布族中抽取一个容量为n的独立同分布样本，检验 H0 : α = 2，H1 : α ?= 2 请写出检验的拒绝域的形式。 47. 若X ? f (x; θ) = θ(1 ? θ)x , x = 0, 1, ? ? ? , 0 & θ & 1，那么 (1)X的分布属于指数型分布吗？ (2)从该分布族中抽取n个独立同分布样本，检验 1 1 H0 : θ ≤ ，H1 : θ & 4 4 请写出检验的拒绝域的形式。 (3)请写出检验犯第Ⅰ类错误概率的极大值的表达式。38第八章习题48. 某人声称其投篮命中率高于90%，现观察其投10次篮，共投中9次。问在α = 0.05水 平下，他的说法是否正确？并给出检验的p值。 49. 为调查某种产品的客户满意率，随机抽取12位该产品的客户，结果由8位客户表示 满意，4位表示不满意。问该产品的客户满意率是否低于80%(α = 0.05)？并给出检 验的p值。 50. 某厂有一批产品共5万件，须经检验后方可出厂，按规定标准，次品率不得超 过10%，今从中随机抽取100件产品进行检验，发现有14件次品，问这批产品能否 出厂？(α = 0.05) 51. 某企业的人力资源部门估计该企业80%的员工是有潜力可挖的，为检验这一说法是 否可靠，随机抽取了150名员工，经过严格的考评，结果显示大约70%的员工存在 不同程度的潜力，问当α = 0.05时， “80%的员工尚存潜力”的假设是否成立？ 52. 在某综艺电视节目的收视率调查中，甲市抽取2000户，其中有541户收看，乙市 抽取1000户，其中有285户收看。 若以p1、 p2 分别记两市对该节目的收视率，试 在α = 0.05水平下，检验H0 : p1 = p2 , H1 : p1 ?= p2。 53. 某次抽样调查中，100人的政府官员样本有54%的人预计下一年的经济形势会好 转，200人的市民样本做同样估计的比例为48%，问政府官员是否比市民乐观？ (α = 0.05) 54. 用计算机程序模拟n = 20, p = 0.5的二项分布。 为此，需要获得y值，其中y为当 样本来自p = 0.5的二项分布时，20次试验成功的次数。 重复该模拟40次，得到总 共40个模拟样本，均值为6.05，标准差为2.56。 有样本得到的均值是否与真实的均 值有显著差异？ 55. 某厂生产的化纤纤度服从正态分布N (?, 0.042 )。 某天测得25根化纤的纤度的均 值x = 1.39。检验H0 :化纤的纤度与原设计的标准值1.40无显著差异。 (1)检验的拒绝域是什么？当α = 0.05时，应如何判断？ (2)检验的p值是多少？判断准则是什么？ (3)根据检验的p值，当α = 0.05时，应如何判断？ (4)前面(1)与(3)的结论一致吗？ 56. 设X1 , X2 , ? ? ? , X10 是来自N (?, 1)的简单随机样本，对于检验问题 H0 : ? ≥ ?0 ，H1 : ? & ?0 取拒绝域为{X ≤ c}。 (1)在显著性水平α下，c应取什么值？ (2)若已知检验的p值(记为p)，那么X是多少？ (3)利用(1)和(2)，证明：当p ≤ α时，X ≤ c。39 57. 在排放的工业废水中，按环保条例规定，某种有害物质的含量不能超过0.5‰, 现欲 检查一企业的废水排放是否达标，抽测了5份水样，得到的数据分别为： 0.530‰, 0.542‰, 0.510‰, 0.495‰, 0.515‰ 假设这种有害物质的含量服从正态分布。若要检验H0 :这个企业的废水排放符合规 定，请问检验的p值是多少？判断准则是什么？ 58. 某电工器材厂生产一种保险丝。测量其熔化时间(假定熔化时间服从正态分布)，依 通常情况方差为400，今从某天产品种抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计 算得x = 62.24，s2 = 404.77。检验H0 :这天保险丝熔化时间分散度与通常无显著差 异，请问检验的p值是多少？判断准则是什么？ 59. 某苗圃采用两种育苗方案作杨树的育苗试验。 在两组育苗试验中，已知苗高的 标准差分别为σ1 = 20，σ2 = 18。 各抽取60株苗作为样本，得苗高的样本平均数 为?1 = 59.34，?2 = 49.16。 检验H0 :第一组苗高大于第二组苗高，请问检验的p值 x x 是多少？若取α = 0.05，应如何判断？ 60. 用老工艺生产机械零件的方差比较大，抽查25个零件得s2 = 6.37，现改用新工艺生 1 产，抽查25个零件得s2 = 3.19，假设两种生产过程均服从正态分布，欲检验H0 :新 2 工艺的精度比老工艺更好， (1)请计算检验的p值。 (2)在α = 0.05下，应作出什么判断？ 61. 某人称某城镇成年人中大学毕业人数达30%，为检验这一假设，随机抽取了15名成 年人，调查结果有3名大学毕业生。 (1)请写出原假设、备择假设以及拒绝域的形式。 (2)请计算检验的p值。 (3)若取显著性水平α = 0.1，应作出何种判断？α = 0.05呢？ 62. 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他 共作了10次预测，报对8次。 (1)在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ (2)当显著性水平为何值时，可相信他具有这种能力？ 63. 设f (x; θ) = (1 + θ)xθ ，θ & 0，0 ≤ x ≤ 1。 为检验H0 : θ = 1，H1 : θ & 1，现抽 取1个容量为1的样本，并取拒绝域{x : x & 0.5}。 (1)请写出检验的p值的表达式。 (2)若抽取的一个样本值为0.2，检验的p值是多少？当α = 0.05时，应如何判断？ 64. 设X服从P areto分布： f (x; θ) = kθk x?(k+1) , x & θ, θ & 0, k & 2已知。40 对于检验问题 H0 : θ = 2，H1 : θ & 2第八章习题仅抽取1个样本，取拒绝域为{x : x & c}，其中c是一个常数。请写出检验的p值的表 达式。 65. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是来自泊松分布P (λ) : λ & 0的简单随机样本，对于检验问题 H0 : λ ≥ 0.3，H1 : λ & 0.3 若取拒绝域为{n ∑Xi & c}，其中c是一个常数。i=1(1)请写出检验的p值的表达式。 (2)若n = 20，n ∑ i=1Xi = 3，检验的p值是多少？判断准则是什么？66. 总体X和Y 分别服从正态分布N (a, σ 2 )和N (b, σ 2 )，其中a、b和σ 2 是未知参数。 X1 , X2 , ? ? ? , Xm 和Y1 , Y2 , ? ? ? , Yn 分别是来自总体X和Y 的简单随机样本，X和Y 分2 2 别是总体X和Y 的样本均值，Sx 和Sy 分别是总体X和Y 的样本方差。 关于参数a、b有两个假设： H0 : a = b，H1 : a ?= b。 试证明区分假设H0 和H1 的似然比检验就是t检验，检验的统计量为： √ 2 2 (m ? 1)Sx + (n ? 1)Sy X ?Y mn 2 t= ，其中Sxy = 。 Sxy m+n m+n?12 2 67. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 和Y1 , Y2 , ? ? ? , Ym 是独立地来自N (?1 , σ1 )和N (?2 , σ2 ) 的简单随机样本，试证对于检验问题：2 2 2 2 H0 : ?1 = ?2 且σ1 = σ2 ，H1 : ?1 ?= ?2 或σ1 ?= σ2 [n ∑ ? (Xi ?X)2 /n ?U )2 + ]n [m 2 ∑1的似然比检验统计量为： {[ n1∑1]m 2 ? (Yj ?Y )2 /m(Xim ∑ 1] } m+n 2 (Yj ?U )2 /(m+n)68. 设总体密度函数 p(x; θ) = 2 (θ ? x), 0 & x & θ θ2从中获得样本X1 , X2 , ? ? ? , Xn ，试给出下列检验问题 H0 : θ = θ0 ，H1 : θ ?= θ0 的似然比检验统计量。 69. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是来自指数分布的总体，其密度函数为： p(x; a, b) = x?b 1 exp{? }, x ≥ b a a41 其中a, b均为未知参数，a & 0, b ≥ 0。试对下列检验问题 H0 : b = 0，H1 : b & 0 给出似然比检验统计量。 70. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是来自同一总体的简单随机样本，在显著性水平α(0 & α & 1 )， 4 求下列问题的似然比检验： (1)总体分布为二项分布b(1, p)，0 & p & 1，p0 ∈ (0, 1)已知。检验： H0 : p = p0 ，H1 : p ?= p0 (2)总体分布为Poisson0分布P (λ)，λ & 0，λ0 & 0已知。检验： H0 : λ = λ0 ，H1 : λ ?= λ0 71. 设X1 , X2 , ? ? ? , Xn 是来自指数分布E(λ)，λ & 0的简单随机样本，求检验问题： H0 : λ = λ0 ，H1 : λ ?= λ0 的水平为α的似然比检验。 72. 某种配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是：10，53，46。按照某种遗 传模型其频率之比应为p2 : 2p(1 ? p) : (1 ? p)2 ，问数据与模型是否相符？(α = 0.05) 73. 65、 将实验室的一种药品和一种有助于高血压病人稳定高血压的标准药品进行比 较。为此，在很多地点作了多次临床试验，他们让可比较的高血压病人服用该标准 药品。实验室将这些病人对治疗的反应分成四类。下表列出了各个类以及每一类中 服用标准药品病人所占的比例。 使用标准药品的临床结果类别 血压明显下降 血压中等程度下降 血压略微下降 平稳或略微升高百分比 50 25 10 1574. 实验室随机抽取了200位高血压病人进行临床试验。正如对标准药品进行研究一样， 根据分类标准，将所有并染进行同样的分类。利用下表检验：与试验药品相关的单 元概率等于与标准药品相关的单元概率，给定α = 0.05。 样本数据42 类别 1 2 3 4 观察单元数 120 60 10 10第八章习题其中类别1,2,3,4分别对应于血压明显下降、血压中等程度下降、血压略微下降和血 压平稳或略微升高。 75. 过去5年，某保险公司承接的保险单中40%为终身人寿保险，20%为普通人寿保险， 25%为年度更新(ART)保险，15%为其他类型保险。 要改变保险单的这种结构，需 要经过长期努力，在佣金结构，储备金和甚至可能需要在投资方面作出调整。从最 近几个月承接的保险单中随机抽取1000份保单，由样本数据算得结果如下。根据这 些数据评价现在的比例和历史的比例是否发生了变化。 试给出检验的p值。 如果有 的话，哪一种保险更受欢迎？ 类别 终身 普通 ART 其他 总和 观察单元数 320 280 240 160 100076. 以前，关于减轻抑郁症药品的试验都是针对没有抑郁症迹象的正常成年人进行的。 我们假定通过对正常人的研究得到一个大型的数据库，且为了实用，数据库能够 提供正常人中对药品有不同反应的人数。 参加试验的每一位成年人都要求对药品 的疗效作出评价，是无效，中等有效还是有效。 这些类中，被调查者的比例分别 为60%, 30%和10%。在一项新的针对抑郁症人进行的研究中，随机抽取85位患有抑 郁症的成年人，结果如下： 无效 中等有效 有效 30 35 20是否有充分的证据表明对药品有不同反应的患抑郁症成年人的比例不同于无抑郁症 的成年人的比例。给出检验的p值，作出结论。 77. 昆虫学家要研究农业区昆虫的分布情况。他们将草原分成50平方米的小块，然后统 计每块草原上发光蚁丘的数量，以便研究草原上发光蚁丘的分布情况。如果原假设43 “草原上发光蚁丘的分布是Poisson分布“成立，就是说蚁丘数量在草原上是随机分 布的。导致拒绝这一随机性假设有两种情况。一种可能是蚁丘的分布是均匀的，即 每块50平方米的草原上有同样多的蚁丘，另一种可能是蚁丘的分布是聚群的。如果 蚁丘数量是随机分布的，那么方差等于均值，σ 2 = ?。如果蚁丘数量分布比随机分 布更均匀，那么称分布是过度分散的，σ 2 & ?。 如果分布比随机分布聚群性更强， 那么称该分布是分散不足的，σ 2 & ?。 记录了草原上100块50平方米的地块。 在数 据中，yi 表示每块草原上发光蚁丘的数量，ni 表示有yi 只发光蚁丘的草原块数。 yi ni 0 2 1 6 2 8 3 10 4 12 5 15 6 13 7 12 8 10 9 6 12 3 15 2 20 1a.估计每50平方米草原上发光蚁丘的数量的均值和方差。 b.草原上发光蚁丘的分布是随机的吗？给定α = 0.05，利用Poisson分布的卡方检验 拟合数据。 c.如果你拒绝了用Poisson分布作为发光蚁丘分布模型，那么草原上发光蚁丘的分布 是更聚群还是更均匀？ 78. 三种不同的电视广告正在为同一产品做广告。将这些广告分别播放给消费者现场讨 论小组；每名消费者只能看其中一种广告，然后陈述对该产品的观点。 观点1（很 喜欢）到5（很不喜欢） 。数据如下： 观点 广告 A B C 总和 1 32 53 41 126 2 87 141 93 321 3 91 76 67 234 4 46 20 36 102 5 44 10 63 117 总和 300 300 300 900a.计算在独立性成立的原假设下的期望频数。 b.检验该假设时的自由度为多少？ c.是否有证据表明对于不同的广告，其观点分布也不同？给定α = 0.01。 79. 一项致癌性研究旨在考察一种准备试用于人身上的药物是否有可能导致肿瘤。 为 此，总共用300只（150只雄性，150只雌性）老鼠进行为期6个月的试验。 开始时， 随机的将100只（50只雄性，50只雌性）分配到控制组，100只分配到低剂量药物 组，剩下的100只（50只雄性，50只雌性）分配到高剂量组。在6个月期间，每天给 控制组注射一次惰性溶液，而给药物组注射一次掺有药物的溶液。样本数据如下。44 肿瘤数目 一个或一个以上 控制组 低剂量 高剂量 10 14 19 无 90 86 81第八章习题问，在显著性水平α = 0.05时，该药物是否存在与肿瘤有关的药物问题？也就是说， 随着药物剂量的增加，患有肿瘤的老鼠的比例是否增加？
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