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自建房楼高3.9米。楼梯间长度4.5米。请问这楼梯的坡度是多少度。会不会很陡峭。
提问者：| 浏览次数：24次 |问题来自：青岛
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5.4利用锐角三角函数解决实际问题(2014年)
共享者：ivy&&&共享时间：&&&下载：次&&&资源类别：试题&&&资源属性：&&&适用地区：
关键字：.4利用锐角三角函数解决实际问题(2014年
1. (2014 广西桂林市) 中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米。某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°。
（1）沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由;
（2）由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2000米/时，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间。
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
答案：解：（1）过点C作CD⊥AB交AB于点D。
在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，则AD=
在Rt△BCD中，tan∠CBD= ，则BD= ，
由已知得AB=2000，
∵AD-BD=AB=2000
∴ - =2000
得CD=4731.86
蛟龙号下潜了=6531.86（米）
沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内；
（2）“蛟龙”号上浮回到海面的时间为=0.9（小时）。
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
2. (2014 广东省中山市) 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
答案：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10× =5 ≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．　
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
3. (2014 浙江省台州市)
如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿这俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．
解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m，
∴cos∠ADE=cos15°= ≈0.97，
∴ ≈0.97，
解得：DE=1552（m），
sin15°= ≈0.26，
∴ ≈0.26，
解得；AE=416（m），
∴DF=500﹣416=84（m），
∴tan∠BDF=tan15°= ≈0.27，
∴ ≈0.27，
解得：BF=22.68（m），
∴BC=CF+BF==75（m），
答：他飞行的水平距离为1575m．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
4. (2014 浙江省嘉兴市) 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为
米（用含α的代数式表示）.
答案：7tanα　
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
5. (2014 山东省烟台市) 小明坐于提边垂钓，如右图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为 米，钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3米，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
解：延长OA交直线BC于点D．
∵OA的倾斜角是60°，
∴∠ODB＝60°，
∠ACD＝30 °，
∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°．
在Rt△ACD中，AD＝AC?tan∠ACD＝ （米）
∴CD＝2AD＝3米
又∵∠O＝60°
∴△BOD为等边三角形．
∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋
∴BC＝BD－CD＝4．5－3＝1．5(米)
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1．5米．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
6. (2014 江苏省苏州市)
如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为
A. 4 km　　
B. 23 km　
　C. 22 km　
　D. 3＋1km
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
7. (2014 辽宁省营口市) 如图，王老师站在湖边度假村的景点 处，观察到一只水鸟由岸边 处飞向湖中小岛 处，点 到 所在水平面的距离 是15米，观测水 鸟在点 和点 处时的俯角分别为 和 ，求 、 两点之间距离．
（精确到 ．参考数据 ， ， ， ， ， ）
解：在Rt△ABD中，
∵AB=15米，∠ADB=53°，
∴ =tan53°≈1.33，
∴BD=11.25（米），
在Rt△ABC中，
∵AB=15米，∠ACD=11°，
∴ =tan11°≈0.19，
解得：BC≈78.94（米），
∴CD=BC﹣BD=78.94﹣11.25≈67.7（米）．
答：C、D两点之间距离为67.7米．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
8. (2014 辽宁省锦州市) 如图所示，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79, sin22°≈0.37，cos22°≈0.93, sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
答案：解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
由题意知∠NAC＝30°，∠NAB＝68°，AC＝20，
∴∠CAB＝38°，∠BAM＝90°—68°＝22°，
∵BC∥AM，∴∠CBA＝∠BAM＝22°．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°．
在Rt△BCD中，sin∠CBD＝ ，
∴t＝ ＝1.7(小时)．
答：救生船到达B处大约需要1.7小时.
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
9. (2014 云南省) 如图，小明在M处用高1米（DM＝1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请你求出旗杆AB的高度。（取 1.73，结果保留整数）　
答案：解：设:BE为x，
在Rt△BED中，tan∠BDE＝ ,即 ,∴
在Rt△BEC中，tan∠BCE＝ ,即 ,∴
∵CD＝ED－EC
∴ － ＝10, EB＝
∴AB＝BE＋AE＝ ＋1
∴旗杆AB的高度为 ＋1米
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
10. (2014 上海市) 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
11. (2014 湖南省张家界市) 如图:我国渔政船310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东 方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,渔船C离渔政310船的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值.）
答案：解：设该款空调补贴前的售价为每台Ｘ元，根据题意，得：
　　　 （1＋20％）＝
方程两边同乘以最简公分母 ，得
1 .2(x-500)=x
解得：x=3000
检验：把x=3000代入 中， ≠0，
因此x=3000是原方程的根．且符合题意．
答:该款空调补贴前的售价为每台3000元.
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
12. (2014 黑龙江省农垦牡丹江管理局) 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为　
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
13. (2014 广西南宁市)
如图6，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
14. (2014 福建省漳州市)
将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据： ≈1.73， ≈1.41）
解：过点P作PN⊥AB于点N，
由题意可得：∠ABP=30°，AB=8cm，
则AP=4cm，BP=AB?cos30°=4 cm，
∴NP×AB=AP×BP，
∴NP= = =2 （cm），
∴9﹣2 ≈5.5（cm），
答：容器中牛奶的高度为：5.5cm．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
15. (2014 江西省抚州市)
如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2.晾衣架伸缩时，点 在射线
上滑动，∠ 的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ,且
⑴ 当∠ =60°时，求
两点间的距离；
⑵ 当∠ 由60°变为120°时，点 向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm)
⑶ 设 cm ,当∠ 的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时，求 的取值范围 .(结果精确到0.1cm)
，可使用科学计算器)
答案：解：(1)如图1，∵每个菱形的边长都是20㎝，
且DE=20㎝,
∵∠CED=60°，
∴⊿CED是等边三角形，
∴CD=20cm,
∴C、D两点之间的距离是20cm.
(2)如图2，作EH⊥CD于H,
在⊿CED中，CE=DE，
∠CED=120°
∴∠ECD=30°,∴EH= CE=10,
∴点C向左移动了(20 －20),
∴点A向左移动了(20 －20)×3≈43.9cm .
(3)如图1，当∠CED=60°时， ∵ED=EG, ∠CGD=30°，
在Rt⊿CGD中，
，∵CG=40,
∴DG=20 ≈34.6；
如图2，当∠CED=120°时， ∠CGD=60°,
∴DG= CG=20,
∴20≤ ≤34.6.
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
16. (2014 山西省) 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
答案：解：过点A作AE⊥CC于点E，交BB于点F，过点B作BD⊥CC于点D，
则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AABF，BBCD和BFED都是矩形，
∴BF=BB﹣BF=BB﹣AA=310﹣110=200，
CD=CC﹣CD=CC﹣BB=710﹣310=400，
∵i1=1：2，i2=1：1，
∴AF=2BF=400，BD=CD=400 ，
又∵EF=BD=400，DE=BF=200，
∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，
∴在Rt△AEC中，AC= = =1000（米）．
答：钢缆AC的长度是1000米．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
17. (2014 江西省) 图象中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2所示．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．
(1)连接CE，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；
(2)求A，B两点之间的距离(结果取整数，可以使用计算器)．
参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45)
答案：解：(1)CD∥EB．
证明：连接AC，DE．
∵四边形AGCH是菱形，且∠GCH＝60°，
∴∠1＝ ∠GCH＝30°．
同理∠2＝30°．
∴∠ACD＝90°． 2分
同理可得∠CDE＝∠DEB＝90°．
∴CD∥EB． 3分
(2)方法一：
如图5，连接AD，BD．
由(1)知∠ACD＝90°．
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝45°．
同理∠EDB＝∠EBD＝45°，又由(1)知∠CDE＝90°．
∴∠CDA＋∠CDE＋∠EDB＝180°，
即点A，D，B在同一直线上． 4分
连接GH交AC于点M．
由菱形的性质可知∠CMH＝90°，CM＝ AC．
在Rt△CMH中，CM＝CH?cos∠1＝10?cos30°＝5 ，
∴CD＝AC＝2CM＝10 ． 6分
∴在Rt△ACD中，AD＝ ＝10 ． 7分
同理BD＝10 ．
∴AB＝AD＋DB＝20 ≈20×2.45＝49．
答：A，B两点之间的距离约为49cm． 8分
方法二：如图6，连接AB，延长AC交BE的延长线于点F．
由(1)知∠ACD＝∠CDE＝∠DEB＝90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∵四个菱形全等，
∴AC＝CD＝DE＝EB．
∴四边形CDEF是正方形． 4分
∴CF＝FE＝CD且∠F＝90°．
∴AF＝BF＝2AC． 5分
在菱形AGCH中，连接GH交AC于点M，
∴AC⊥GH．
在Rt△CMH中，CM＝CH?cos∠1＝10?cos30°＝5 ， 6分
∴AC＝2CM＝10 ，AF＝BF＝2AC＝20 ． 7分
∴在Rt△AFB中，AB＝ ＝20 ≈20×2.45＝49．
答：A，B两点之间的距离约为49cm． 8分
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
18. (2014 吉林省) 某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合时间活动，如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角级记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为CB，四个小组测量和计算数据如下表所示：
（1）利用第四组学生测量的数据，求旗杆AB的高度（精确到0.1m）；
（2）四组学生测量旗杆高度的平均值为
m（精确到0.1m）.
答案：解：（1）由题意，得
………………..（4分）
………………..（5分）
答：第四组学生测量旗杆AB的高为9.6 ．
………………..（7分）
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19. (2014 安徽省)
如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．
在Rt△ABE中，BE=AB?sin30°=20× =10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷ = km，
CF=BF?sin30°= × = km，
DF=CD﹣CF=（30﹣ ）km，
在Rt△DFG中，FG=DF?sin30°=（30﹣ ）× =（15﹣ ）km，
∴EG=BE+BF+FG=（25+5 ）km．
故两高速公路间的距离为（25+5 ）km．
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20. (2014 四川省自贡市) 如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为 ，看塑像底部C的仰角为 ，求塑像CD的高度。（最后结果精确到0.1米，参考数据： ）
答案：过B点作BE⊥DC于E点。因BA⊥AF，DF⊥AF，故四边形ABEF为矩形， 。在Rt△BEC中，∠CBE＝ ，根据 ；同理可求得 ， 。
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21. (2014 四川省资阳市) 如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．
答案：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度即是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD= x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD= ，即tan60°= ，所以BD= ，又BC=4，即BD+CD=4，所以 x+x=4，解得x=6-2 ．所以小岛上标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离为(6-2 )公里．
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22. (2014 四川省泸州市) 海中有两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离.(计算结果用根号表示，不取近似值)
答案：解：作CE⊥AB于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AFC=∠AEC =90°.
∵∠FCE=90°，∠ACE=45°，
∴四边形AFCE是正方形.
设AF=FC=CE=AE=x，则FD=x+30，
∵ ，∠AFD=90°，∠D=30°，
∴ ，解得x= ，
∴AE=CE= .
∵ ，∠CEB=90°，∠BCE=30°，
∴ ，解得BE= .
∴AB=AE+BE= + = .
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23. (2014 四川省凉山州) 拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1： ，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（
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24. (2014 四川省巴中市) 如图9，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1:2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度（精确到0.1米，参考数据： ， ，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比。）
答案：解：如图，分别过点B、C作BE⊥AD、CF⊥AD垂足分别为E、F，
由题意可知：BE=CF=20，BC=EF=6，∠D=30°，
在Rt△ABE中，i= ，即 ，∴AE=50
在Rt△CDF中，tan30°= ，即 ，∴DF=
∴AD=AE+EF+FD=50+6+11.5=67.5
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25. (2014 四川省内江市) “马航事件”的发生引起了我国政府的离度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海坡进行搜寻．如图10，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机现测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止)．为了便于现察，飞机继续向前飞行了800米到达B点．此时测得点F在点B俯箱为45°的方向上．请你计算当飞机飞机F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直离度CF约为多少米？（结果保留整数，料数值： ≈1.7)
答案：解：
如图：∠CBF＝45°∠BCF＝90°
∵∠A＝30°
∴tan30°＝
∴CF＝400( )≈1080．
答：竖直离度CF约为1080米．
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26. (2014 四川省绵阳市) 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（　　）
　 A． 40 海里 B． 40 海里 C． 80海里 D． 40 海里
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27. (2014 四川省成都市) 如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，求树的高度AB.
（参考数据： ， ， ）
答案：解：由题意，知∠B=90°
则AB=BC?tanC
∵BC=20m，∠C=37°，
∴AB=20×tan37°=20×0.75=15（m）
答：树高AB大约为15m.
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
28. (2014 浙江省舟山市)
如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为　7tanα　 米（用含α的代数式表示）．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
29. (2014 浙江省绍兴市) 九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．
（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数；
（2）如图2，第二小组用皮尺量得EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点距地面FB的高度为1．9米，请你求出E点离地面FB的高度；
（3）如图3，第三小组利用第一、二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度．在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0．1米）．
备用数据： ， ， ， ．
答案：解：（1）α＝76°．
（2）过点E作EG⊥FB，垂足为G，过EF的中点O作OH⊥FB，垂足为H，如图1，
∵OH＝1．9，∴EG＝2OH＝3．8，
∴E点的高度为3．8米．
（3）延长AE交直线PB于G，如图2，设AG＝ ，
在Rt△QAG中， ，得QG＝ ，
在Rt△PAG中， ，得PG＝ ．
∵PQ+QG＝PG，
∴4+ ＝ ，解得 ≈9．46．
∴AE≈5．7．
∴旗杆AE的高度是5．7米．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
30. (2014 浙江省宁波市) 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°.因才城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路.
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91,sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
答案：解：（1）作CH⊥AB于点H，在RT△ACH中，
CH=AC?sin∠CAB= AC?sin25°=10×0.42=4.2，.…………………………2分
AH=AC?cos∠CAB= AC?cos25°=10×0.91=9.1, .…………………………3分
在RT△BCH中，
BH=CH÷tan37°=4.2÷0.75=5.6,
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）；.…………………………5分
（2）BC=CH÷sin37°=4.2÷0.6=7.0，.…………………………7分
∴AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3（千米）.
答：公路改直后比原来缩短了2.3.千米.…………………………8分
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
31. (2014 浙江省丽水市) 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比 （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（
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32. (2014 四川省南充市) 马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处。（参考数据：sin36.5≈0.6,cos36.5≈0.8,tan36.5≈0.75）.
(1)求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；
（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处。
答案：解：（1）如图，过点P作PH⊥AB于点H，则PH的长是P到A、B两船所在直线的距离.
根据题意，得∠PAH=90°－53.50°=36.5°，∠PBH=45°，AB=140海里.
设PH=x海里
在Rt△PHB中，tan45°=xBH，∴BH=x；
在Rt△PHA中，tan36.5°=xAH，∴AH=xtan36.5°=43x.∵AB=140，∴43x +x=140，解得x=60，即PH=60，因此可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里.
（2）在Rt△PHA中，AH=43×60=80， PA=602+802=100，救助船A到达P处的时间tA=100÷40=2.5小时；在Rt△PHB中，PB=602+602=602，救助船B到达P处的时间tB=602÷30=22小时.
∵2.5<22，∴救助船A先到达P处.
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33. (2014 四川省广安市) 为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改．如图8，已知斜坡AB长60 米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）．
（1）若修建的斜坡BE的坡比为 ∶1，求休闲平台DE的长是多少米？
（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG＝33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点 C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑GH高为多少米？
答案：解：解：（1）∵BC⊥AC，∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∵DE∥AC，
∴△BDF为等腰直角三角形．
∵AB＝60 ，
∴AC＝BC＝60．
∵D这AB的中点，
∴BD＝30 ．
∴BF＝DF＝30．
∵BE的坡比为 ∶1，
∴∠BEF＝60°．
∴EF＝ ＝ ＝10 ．
∴DE＝30－EF＝30－10 ．
答：休闲平台DE的长为（30－10 ）米．
（2）过D作DP⊥AC于P，DM⊥GH于M，则四边形GPDM为矩形．
∵D为AB的中点，
∴AD＝ AB＝30 ．
∴AP＝DP＝GM＝30．
∴MD＝GP＝33＋30＝＝63．
∵ ，即 ，
∴ ＝ ＝ ．
∴GH＝GM＋HM＝（30＋ ）（米）．
答：建筑物GH高为（30＋ ）米．
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34. (2014 四川省达州市) 达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°。己知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm，如图（1）请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD，如图（2）所示，要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡。
（1）在图（3）中画出设计草图；
（2）求BC、CD的长度（结果精确到个位）
(参考数据：
sin35.5°≈0.58,
cos35.5°≈0.81,
tan35.5°≈0.71,
sin82.5°≈0.99,cos82.5°≈0.13,tan82.5°≈7.60)
答案：解：
在Rt△BCD中，tan∠CDB=
，∠CDB=35.5°，
∴BC=CD?tan∠CDB=CD?tan35.5°，…………………………………………3分
在Rt△ACD中，tan∠CDA= ，∠CDA=82.5°，
∴AC=CD?tan∠CDA=CD?tanβ，…………………………………………5分
∵AB=AC-BC=CD?tanβ-CD?tanα=CD（tan82.5°-tan35.5°），
∴CD= = ≈30.04cm，…………………………… 6分
∴BC=CD?tan35.5°≈0.57×0.456≈21.33cm．…………………………………………7分
答：BC的长约为21.33cm，CD的长约为30.04cm．………………8分
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35. (2014 山东省枣庄市) 如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转350到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为250，点D到点O的距离为30cm.
（1）求B点到OP的距离.
（2）求滑动支架的长.
答案：（1）设B点到OP的距离为x，可列方程得： ，
解得：x= ≈11（cm）．
（2）BD= （cm）．
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36. (2014 山东省潍坊市) 如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB．
答案：解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD，交CD延长线于点F，
则四边形ABFE为矩形，所以AB=EF，AE=BF，
由题意可知AE=BF=0，CD=19900，
∴在Rt△AEC中，∠C=45°，AE=900，
∴CE= = =900
在Rt△BFD中，∠BDF=60°，BF=900，
∴DF= = = ，
AB=EF=CD+DF－CE=19900+ －900=19000+
答：两海岛间的距离AB是(9000+ )米．
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37. (2014 山东省青岛市) 如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31°
≈ ，sin31°
≈ ，tan39°
≈ ，sin39°
答案：解：（1）过点A作AD⊥BE于D，
设山AD的高度为x m，
在Rt△ABD中,∠ADB＝90°，
tan31°＝ ，
在Rt△ACD中,∠ADC＝90°，
tan39°＝ ，
解这个方程，得 .
即山的高度为180米.
（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，
sin39°＝ ，
∴ （米）．
答：索道AC长约为282.9米. ．
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38. (2014 山东省临沂市) 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(
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39. (2014 山东省聊城市) 如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西案滨河大道一段 上的 ， 两点处，利用测角仪分别对东岸的景观台 进行了测量，分别测得 ， ，又已知 米，求观景台 到徒骇河西岸 的距离约为多少米（精确到1米）．（ ， ）
答案：解：
作 ，则 的长即为观景台 到徒骇河西岸 的距离．
在 、 中， ， ，
答：观景台 到徒骇河西岸 的距离约为333米．
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40. (2014 山东省莱芜市) 如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度AB＝25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）
（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47,tan50°≈1.20）
答案：解：过点A作BC的垂线交BC于点E . 在Rt△ABE中，AB＝25,∠ABC＝62°，
∴AE＝25sin63°＝25×0.88＝22.
BE＝25cos62°＝25×0.47＝11.75.
在Rt△ADE中，AE＝22,tan50°＝1.20
∴DB=DE-BE=18.33-11.75=6.58米
答：应将坝底向外拓宽6.58米
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41. (2014 山东省东营市) 热气球的探侧器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m。这栋高楼有多高( ,结果保留小数点后一位)？
答案：解：如图，过点A作 ，垂足为D
根据题意，可得 ， ，
在Rt△ADB中，由 得：
在Rt△ADC中，由 得：
答：这栋楼高约为 m．
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42. (2014 山东省德州市) 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为
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43. (2014 辽宁省丹东市) 禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行.我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截.求该可疑船只航行的速度.
（参考数据：sin27°≈ ，cos27°≈ ，tan27°≈ ，sin53°≈ ， cos53°≈ ，tan53°≈ ）
答案：解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB=99海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，过点C作CD⊥AB，垂足为点Ｄ. ……………………………１分
设BD=x海里，则AD=（99-x）海里，在Rt△BCD中，
则CD=x?tan53°≈ 海里. ………………………………３分
在Rt△ACD中，　　　　　，则
= ………………………………………………5分
解得，x=27，即BD=27. 　……………………………………７分
在Rt△BCD中， ，则
BC=　　　　　　　45
45÷2=22.5（海里/时）　………………………………………９分
∴该可疑船只的航行速度为22.5海里/时. 　………………………１０分
（其它解法参考此标准赋分）
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44. (2014 辽宁省大连市) 如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为　
　m（精确到1m）．
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
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45. (2014 江苏省盐城市) 盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，没得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°．求电视塔的高度AB．( 取1.73，结果精确到0.1m)
答案：解：∵∠CAF＝∠AFG－∠ACG＝60°－30°，又∵∠ACF＝30°，
∴∠CAF＝∠ACF．∴AF＝CF＝DE＝224．
在Rt△AFG中，AG＝AF?sin60°＝224× ＝112 ．
∴AB＝AG＋GB＝112 ＋1.5≈195.3．
答：电视塔的高度AB约为195.3m．
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46. (2014 江苏省徐州市) 如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的南偏东75°且与点B相距200km的点C处.
求点C与点A的距离（精确到1km）
确定点C相对于点A的方向
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
答案：解法1:（1）如答图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D.???????????????????????1分
由图得，∠ABC= .???????????????????????????????2在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD= ????????????????????3分
∵BC=200，∴CD=BC-BD=150.?????????????????????????????????4分
∴在Rt△ABD中，AC= = ≈173（km）.
答：点C与点A的距离约为173km.?（2）在△ABC中，∵ =40 000， =40 000.
∴ ，∴ .?
答：点C位于点A的南偏东75°方向.??????????????????8分
解法2:（1）如答图3，取BC的中点D，连接AD.???????????? 1分
由图得，∠ABC= ???????????????????2分
∵D为BC的中点，BC=200，∴CD=BD=100.
在△ABD中，∵BD=100，AB=100，∠ABC=60°，
∴△ADB为等边三角形，?
∴AD=BD=CD，∠ADB=60°，
∴∠DAC=∠DCA=30°.
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，???????????????????4分
答：点C与点A的距离约为173km.???????????????????????5分
（2）由图得，
答：点C位于点A的南偏东75°方向.??????????????????????????????8分
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47. (2014 江苏省宿迁市) 如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM// BC∥DE， AB=CD=EF，∠AMF=90°，∠BAM=30°，AB=6m．
(1)求FM的长；
(2)连接AF，若sin∠FAM= ，求AM的长．
答案：解：(1)延长BC、DE交FM于点G、H，过B、D作BJ⊥AM，DK⊥CG．∵∠BAM=30°，AB=6m，∴BM=3m；同理：DK=FH=3m，∴FM=FH+HG+GM=9m；
(2)∵在Rt△AMF中，sin∠FAM= ，∴ = ，∴AF=27，∴AM= m．
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48. (2014 江苏省泰州市) 图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1.6m,CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m,∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1）.
（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
答案：解：如图：过点C作CM平行于AB,过点A作AF⊥CM于点F，过点C作
CG⊥ED于点G，
∵CM∥AB, ∴ CM∥ED,
∵∠CDE=12°，∴∠DCM=12°，
∵∠ACD=80°，∴∠ACF=68°，
∵在Rt△CDG中，CD=1.6m,∠CDE=12°，
∴sin∠CDE= ，即sin12°= ，
∴CG=sin12°×1.6=0.21×1.6=0.336（m），
∵在Rt△ACF中，AC=0.8，∠ACF=68°，
∴sin∠ACF= ，即sin68°= ，
∴AF=sin68°×0.8=0.93×0.8=0.744（m），
∴h=0.336＋0.744=1.080≈1.1（m）.
答：跑步机手柄的一端A的高度h约为1.1m.
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49. (2014 江苏省南通市) 如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
答案：解：过P作PD⊥AB．
AB=18× =12海里．
∵∠PAB=30°，∠PBD=60°
∴∠PAB=∠APB
∴AB=BP=12海里．
在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=12× =6 海里．
∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．
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50. (2014 江苏省南京市) 如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD＝1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）
答案：解：设梯子的长为xm．
在Rt△ABO中，cos∠ABO＝ ，∴OB＝AB?cos∠ABO＝x?cos60°＝ x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO＝ ，∴OD＝CD?cos∠CDO＝x?cos51°18′≈0.625x．
∵BD＝OD－OB，∴0.625x－ x＝1．
解得x＝8．
答：梯子的长约为8m．
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51. (2014 江苏省连云港市) 在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验，如图，表盘是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在A处有束红外线AP，从AB开始，绕A逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同的转速返回AB，达后立即以相同的转速重复上述过程．小明实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC于点M，BM的长为（20 -20）
(2)从AB处旋转开始计时， 若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转201秒，交点又在什么位置？说明理由．
答案：解：（1）过A作AD BC
AB=AC， ∠BAC=120°
∠ABC=∠ACB=30
∵∠BAM=15
则设AD=MD=x，在△ABD中， ，解得 x=20．则AD=20
（2）旋转6秒时，设交点为N，
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52. (2014 江苏省淮安市) 为了一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度.(结果取整数)
参考数据：
答案：解：作BD⊥AC于D
由∠ACB=45°知，△BDC为等腰直角三角形
设CD=x，则BD=x，AD=(54-x)m
在Rt△ABD中，
解得x=37.6,
答：这棵古杉树AB=41m.
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53. (2014 湖南省株洲市) 孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为__________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）
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54. (2014 湖南省益阳市) “中国 益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图7，新大桥的两端位于 两点，小张为了测量 之间的河宽，在垂直于新大桥 的直线型道路 上测得如下数据： ， , 米．求 的长（精确到 米）．
参考数据：
答案：解：设 米，则 米.
在Rt 中， ，∴ .…………２分
在Rt 中， ,∴ .……………………４分
∴ ，∴ .………………………………………………………６分
答： 的长约为 米. …………………………………………………………８分
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55. (2014 湖南省娄底市) 如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈2.45）
答案：解：过点C作CP⊥AB于P，
∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，
∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，
∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，
∵BC2=BP2+CP2，
∴BP=CP=45 ，
∵∠CAP=60°，
∴tan60°= = ，
∴AP=15 ，
∴AB=AP+PB=15 +45 =15×2.45+45×1.41≈100（km）．
答：小岛A与小岛B之间的距离是100km．
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56. (2014 湖南省衡阳市) 如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ，坝顶宽 米，坝高 米，
斜坡 的坡度 ，则坝底 的长度为
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57. (2014 湖南省常德市) 如图9，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆.已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1，分别为160米，400米，1000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度.（结果精确到1米）
答案：解：在Rt△ABD中, BD=400－160=240, ∠BAD=30° ……………………………1分
则AB=2BD=480 m.
　　　　　　 ……………………………3分
在Rt△BCB2中, CB2=0,∠CBB2=45° ……………………………4分
则CB=600 m.
……………………………6分
所以AB+BC=480+600
≈1328 (米)
答：钢缆AB和BC的总长度约为1328米.
……………………………7分
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
58. (2014 湖南省怀化市) 如图，小明爬一土坡，他从A处到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他距离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A=______°.
答案：30．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
59. (2014 湖南省郴州市) 某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援。当飞机到达距离海面3000米的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°。请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
答案：解：
作CD⊥AB,垂足为D
在Rt△BCD中
∵∠B=30°，CD=3000
在Rt△ACD中
∵∠CAD=60°，CD=3000
∴AB= BD- AB= =2000
答：此时渔政船和渔船相距2000 米。
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
60. (2014 湖南省邵阳市) 一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号.一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
答案：解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.
由题意，得∠CAD＝30°, ∠CBD＝53°,AC＝80海里，
∴CD＝40海里.
在Rt△CBD中，
sin53°＝ ，
CB＝ ≈ ＝50海里.
行驶时间： ＝1.25小时，
答：海警船到达C处需1.25小时.
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61. (2014 湖北省襄阳市) 如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为
m（结果保留根号）.
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62. (2014 湖北省仙桃潜江天门江汉油田) 如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
答案：解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF=30°，sin∠DBF= = ，cos∠DBF= = ，
∴DF=3，BF=3 ，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF=CE=3 ，CF=BE=CD﹣DF=1，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=3 ，
∴AB=3 +1．
答：铁塔AB的高为（3 +1）m．
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63. (2014 湖北省十堰市) 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是
海里（结果精确到个位，参考数据： ， ， ）
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64. (2014 湖北省鄂州市) 小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1=75°．
（1）（5分）求AD的长；（2）（4分）求树长AB．
答案：解：（1）如图，过A作AH⊥CB于H，设AH=x，CH= x，DH=x．
∵CH―DH=CD，
∴ x―x=10，∴x= ．
∵∠ADH=45°，∴AD= x= ．
（2）如图，过B作BM ⊥AD于M．
∵∠1=75°，∠ADB=45°，∴∠DAB=30°．
设MB=m，∴AB=2m，AM= m，DM=m．
∵AD=AM＋DM，∴ = m＋m．
∴m= ．∴AB=2m= ．
第21题答图
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65. (2014 湖北省荆门市) 钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．
(参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72)
答案：解：过C作CD⊥AB于D，设CD＝h(海里)，两船从A，B到C的时间分别是t甲、t乙(小时)，
则∠ACD＝59°，∠CBD＝90°－44°＝46°．
在Rt△ACD中，cos59°＝ ＝ ＝0.52，则AC＝ ．
在Rt△BCD中，sin46°＝ ＝ ＝0.72，则BC＝ ．
∴t甲＝ ＝ ＝ ，t乙＝ ＝ ＝ ．
∵12.96＞10.4，
∴t甲＞t乙，即乙船先到达C处．
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66. (2014 湖北省荆州市) 钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．
（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）
答案：解：如图，作CD⊥AB于点D，
由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，
设CD的长为a海里，
∵在Rt△ACD中， =cos∠ACD，
∴AC= = ≈1.92a；
∵在Rt△BCD中， =cos∠BCD，
∴BC= = ≈1.39a；
∵其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，
∴1.92a÷20=0.096a.1.39a÷18=0.077a，
∴0.096a＞0.077a，
∴乙先到达．
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67. (2014 湖北省随州市)
如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（　　）
　 A． 100米 B． 50 米 C．
米 D． 50米
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68. (2014 湖北省黄冈市) 如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A、B两船相距100（ ＋1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
答案：解：如图，过C作CE⊥AB于E.设AE=a海里，则DE=AB－AE=100（ +1）－a（海里）.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠EAC=60°，
∴AC= 海里，CE=Aetan60°= a海里.
在Rt△BCE中，BE=CE.
∴100（ +1）－a= a.
∴a=100海里.∴AC=2a=200海里.
在△ACD和△ABC中，∠ACB=180°－45°－60°=75°=∠ADC，
∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC.∴
∴AD=200（ -1）
答：A与C间距离为200海里，A与D间距离为200（ -1）
（2）如图，过D作DF⊥AC于F.
在Rt△ADF中，∠DAF=60°.
∴DF=ADsin60°=200（ -1）× =100（3－ ）≈127＞100
∴船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.
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69. (2014 黑龙江省哈尔滨市) 如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．
（1）求两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度；
（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
答案：解：（1）根据题意得BD∥AE，
∴∠ADB＝∠EAD＝45°．…………1分
∵∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°．…………1分
∴BD＝AD＝60（米）．
∴两建筑物两底部之间的水平距离BD的长度为60米．………1分
（2）延长AE、DC交于点F，根据题意可知四边形ABDF是正方形，
∴AF＝BD＝DF＝60．…………1分
在Rt△AFC中，∠FAC＝30°，由tan∠CAF＝ ，得
CF＝AFtan∠CAF＝60tan30°＝60× ＝20 ．…………1分
又∵DF＝60，
∴CD＝60－20 ．
∴建筑物CD的高度为（60－20 ）米．…………1分
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70. (2014 贵州省六盘水市)
为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动，如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．
活动中测得的数据如下：
①小明的身高DC=1.5m
②小明的影长CE=1.7cm
③小明的脚到旗杆底部的距离BC=9cm
④旗杆的影长BF=7.6m
⑤从D点看A点的仰角为30°
请选择你需要的数据，求出旗杆的高度．（计算结果保留到0.1，参考数据 ≈1.414. ≈1.732）
解：情况一，选用①②④，
∵AB⊥FC，CD⊥FC，
∴∠ABF=∠DCE=90°，
又∵AF∥DE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴△ABF∽△DCE，
又∵DC=1.5m，FB=7.6m，EC=1.7m，
∴AB=6.7m．
即旗杆高度是6.7m；
情况二，选①③⑤．
过点D作DG⊥AB于点G．
∵AB⊥FC，DC⊥FC，
∴四边形BCDG是矩形，
∴CD=BG=1.5m，DG=BC=9m，
在直角△AGD中，∠ADG=30°，
∴tan30°= ，
又∵AB=AG+GB，
∴AB=3 +1.5≈6.7m．
即旗杆高度是6.7m．
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71. (2014 贵州省遵义市)
如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵i= = =tan∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴EF= CE=10米，CF=10 米，
∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（25+10 ）米，
∴AB=AH+HB=（35+10 ）米．
答：楼房AB的高为（35+10 ）米．
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72. (2014 贵州省贵阳市) 如图，为了知道空中一静止的广告气球A的高度，小宇在B处测得气球A的仰角为
18°，他向前走了20m到达C处后，再次测得气球A的仰角为45°，已知小宇的眼睛距地面1.6m，求此时气球A距地面的高度（结果精确到0.1）．
答案：解：
作AG⊥EF交EF的延长线于点G，交BC于点H，
在Rt△AGF中，∠AGF =90°，∠AFG =45°，∴ △AGF是等腰直角三角形，∴ FG =AG
在Rt△AGE中，∠AGE =90°，∠AEG =18°，∴
∵ EF =20，即： ，得：AG≈9.626
易得四边形FGHC是矩形，∴ GH =FC =1.6
∴ AH =AG + GH =9.626 + 1.6≈11.2
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73. (2014 贵州省黔东南州)
黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到0.1，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，
∴MN=0.25m，
∵∠EAM=45°，
设AM=ME=xm，
则CN=（x+6）m，EN=（x﹣0.25）m，
∵∠ECN=30°，
∴tan∠ECN= = = ，
解得：x≈8.8，
则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3（m）．
答：旗杆的高EF为10.3m．
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74. (2014 广西钦州市) 如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）．
答案： 解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH= ，
∴CH=AH?tan∠CAH，
∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6× （米），
∵DH=1.5，∴CD=2 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED= ，
∴CE= =4+ ≈5.7（米），
答：拉线CE的长约为5.7米．
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75. (2014 广西贺州市) 如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；
（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）
答案：解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，
根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，
设CD的长为x海里，
在Rt△ACD中，tan42°= ，则AD=x?tan42°，
在Rt△BCD中，tan55°= ，则BD=x?tan55°，
∴AD+BD=80，
∴x?tan42°+x?tan55°=80，
解得：x≈34.4，
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；
（2）在Rt△BCD中，cos55°= ，
∴BC= ≈60海里，
答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．
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76. (2014 广东省深圳市)
小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（　　）
A． 600﹣250
B． 600 ﹣250 C． 350+350
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77. (2014 广东省珠海市) 如图,一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处,渔船从A处沿正南方向航行一段距离后,到达位于小岛南偏东60°方向的B处.
(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；
(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶,求渔船从B到达小岛M的
航行时间(结果精确到0.1小时).(参考数据: )
答案：解:(1)过 作 于点 ,在 中
小岛M与渔船AB最小距离为 海里
渔船到达小岛M的航行时间约 小时
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78. (2014 甘肃省兰州市) 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
答案：解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH= ，
∴CH=AH?tan∠CAH，
∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6× （米），
∵DH=1.5，∴CD=2 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED= ，
∴CE= =（4+ ）（米），
答：拉线CE的长为（4+ ）米．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
79. (2014 甘肃省天水市) 根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时.已知测速站点M距离羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）.现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°.
(1)计算AB的长.
(2)通过计算判断此车是否超速.
答案：解(1)在Rt△BMN和Rt△AMN中，
∵∠AMN=60°，∠BMN=45°
∴AN= ，BN=MN，
∴AB=AN+BN=
而60千米/小时= 米/秒
所以没有超速.
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80. (2014 甘肃省陇南市) 为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．
答案：解：（1）∵在Rt△ACD中，AC=45cm，DC=60cm
∴AD= =75（cm），
∴车架档AD的长是75cm；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AE=AC+CE=（45+20）cm，
∴EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm．
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81. (2014 云南省昆明市)
如图，在教学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC=22米，求旗杆CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
解：由题意得AC=22米，AB=1.5米，
过点B做BE⊥CD，交CD于点E，
∵∠DBE=32°，
∴DE=BEtan32°≈22×0.62=13.64米，
∴CD=DE+CE=DE+AB=13.64+1.5≈15.1米．
答：旗杆CD的高度约15.1米．
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82. (2014 天津市)
解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．
（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为　_________　m；
（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．
解：（I）∵点C是AB的中点，
∴AC= AB=23.5m．
（II）设PQ=x，
在Rt△PMQ中，tan∠PMQ= =1.4，
在Rt△PNQ中，tan∠PNQ= =3.3，
∵MN=MQ﹣NQ=40，即 ﹣ =40，
解得：x≈97．
答：解放桥的全长约为97m．　
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83. (2014 青海省西宁市) 如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（　　）
10.8米 B．
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84. (2014 内蒙古呼和浩特市) 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45 方向 上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
答案：解：过点P作PD⊥AB于D 1分
由题意知∠DPB = 45°
在RtΔPBD中，sin 45° = PDPB
∴ PB=2PD 2分
∵ 点A在P的北偏东65°方向上
∴ ∠APD = 25°
在RtΔPAD中
cos 25° = PDPA
∴ PD = PA cos 25° = 80 cos 25° 5分
∴ PB = 802 cos 25°
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85. (2014 内蒙古赤峰市)
位于赤峰市宁城的“大明塔”是我国辽代的佛塔，距今已有1千多年的历史.如图（11），王强同学为测量大明塔的高度，在地面的点E处测得塔基BC上端C的仰角为30°，他又沿BE方向走了26米，到达点F处，测得塔顶端A的仰角为52°，已知塔基是以OB为半径的圆内接正八边形，B点在正八边形的一 个顶点上，塔基半径OB=18米，塔基高BC=11米，求大明塔的高OA（结果保留到整数，
答案：在Rt△CBE中，∠CEB=30°，BC=11
………………（2分）
由勾股定理
…………（4分）
在Rt△AOF中，∠AFO=52°，
OF=18+19+26=63
…………（6分）
…………（8分）
≈81（米）………………（10分）
评分阈值：1分
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86. (2014 吉林省长春市) 如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）
答案：解：过D作DE⊥AB于点E，
∴四边形BCDE为矩形，
DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=39°，
∴tan∠ADE= =tan39°=0.81，
∴AE=DE?tan39°=24×0.81=19.44（米），
∴AB=E+EB=19.44+1.5=20.94≈20.9（米）．
答：建筑物的高度AB约为20.9米．
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87. (2014 海南省) 如图6，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.236）．
答案：解：作CE⊥AB于E，
依题意，AB=1464，∠EAC=30°，∠CBE=45°，
设CE=x，则BE=x，
Rt△ACE中，tan30°= = = ，
整理得出：3x=146 4 + x，
解得：x=732（ +1）≈2000米，
即黑匣子C离海面约2600米．
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
88. (2014 河南省) 在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.
（结果保留整数。参考数据:sin680≈0.9,cos680≈0.4,,tan680≈2.5.
答案：解：过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.则AD即为潜艇C的下潜深度．
根据题意得 ∠ACD=300，∠BCD= 680．
设AD=x.则BD＝BA十AD=1000＋x.
在Rt△ACD中，CD= …………………………………4分
在Rt△BCD中，BD=CD?tan688
∴1000+x= x? tan688 ………………………………………………………………7分
∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米。………………………………………9分
.4 利用锐角三角函数解决实际问题
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