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历史上的今天
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blogTitle:'点与椭圆、直线与椭圆的位置关系',
blogAbstract:'课题：椭圆几何性质的应用，主要是点与椭圆、直线与椭圆位置关系的判定及应用学习目标分析：这节课属于“性质课”，重在性质的发现及探索过程，同时在变式练习中加深对性质的掌握。学习起点能力分析：这节课借助“类比”思想，从学生熟知的圆的性质出发，引出所学内容，有力地降低了学习难点，同时降低了学习起点。前面已经分别学习了直线与椭圆的方程，同时对于解析几何的思想有了一定程度的理解。当然，今天的内容最大的难点就是计算量大，另外，第一次接触圆锥曲线与直线位置关系判定及应用题型，缺乏相应的解题经验，也没有熟知的解题方法。进而，教师的讲解及方法的归纳是相当重要的，当然，必须始终关注性质的形成过程，让学生在知识的形成过程中掌握性质及应用。教学程序：一、点与椭圆的位置关系类比点与圆的三种位置关系及判定，学生能够轻易说出相应的答案。',
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收藏 查看&椭圆[tuǒ yuán]
椭圆是平面内到两个固定点两的距离之和是常数(2a&2c)的点的[1]也可定义为到定点焦点距离和定直线间距离之比为一个小于1的常数的点的轨迹椭圆是的一种即圆锥与平面的截线椭圆在运行三定律中扮演了重要角色即是椭圆两焦点中的一个外文名ellipse适用领域范围解析几何学、轨道运行几何类别圆锥曲线
所著的八册(Conics)集其大成可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作今日大家熟知的 ellipseparabolahyperbola这些都是所发明的当时对于这种既简朴又完美的的研究乃是纯粹从的观点研讨和圆密切相关的这种曲线它们的几何乃是圆的几何的自然推广在当年这是一种纯理念的探索并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色
此事一直到十六十七世纪之交Kepler行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆乃是近代科学开天辟地的重大突破它不但开创了天文学的新纪元而且也是的根源所在由此可见不单单是所爱好的精简事物它们也是大自然的基本规律中所选用的精要之一平面内与两定点
的距离的和等于常数
的动点P的叫做椭圆
其中两定点
叫做椭圆的两的距离 叫做椭圆的 为椭圆的
椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴长为
椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴长为
可变为平面内到定点c,0的距离和定直线不在上的距离之比为常数即0&e&1的点的轨迹是椭圆
其中定点为椭圆的定直线称为椭圆的该定直线的方程是焦点在x轴上或焦点在y轴上根据椭圆的一条重要性质椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值定值为 可以得出
在坐标轴内动点 到两定点
的斜率乘积等于常数m-1&m&0
注意考虑到斜率为零时不满足乘积为常数所以 无法取到即该定义仅为去掉两个点的椭圆[2]
椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形高中课本在平面直角坐标系中用方程描述了椭圆椭圆的标准方程中的标准指的是中心在原点对称轴为坐标轴
椭圆的标准方程有两种取决于焦点所在的坐标轴
1焦点在X轴时标准方程为x?/a?+y?/b?=1 (a&b&0)
2焦点在Y轴时标准方程为y?/a?+x?/b?=1 (a&b&0)
椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2aF1,F2之间的距离为2c而公式中的b?=a?-c?b是为了书写方便设定的参数[3]
又及如果中心在原点但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时方程可设为mx?+ny?=1(m&0n&0m≠n即标准方程的统一形式
椭圆的面积是πab椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸它的参数方程是x=acosθ
标准形式的椭圆在x0y0点的就是 xx0/a?+yy0/b?=1椭圆切线的斜率是-b?x0/a?y0这个可以通过很复杂的代数计算得到圆Ax?+Bxy+Cy?+Dx+Ey+1=0A&0B&0且A≠Bx=acosθ
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解
x=a×cosβ y=b×sinβ a为长轴长的一半一个焦点在极坐标系原点另一个在θ=0的正方向上
r=a1-e?/1-ecosθ
e为椭圆的=c/a1范围焦点在 轴上
焦点在 轴上
2关于X轴对称Y轴对称关于原点中心对称
3a0-a00b0-b
4e=c/a 或 e=√1-b^2/a?
5离心率范围 0&e&1
6离心率越大椭圆就越扁越小则越接近于圆
7焦点(当中心为原点时)-c0c0或0c0-c
8x?/a?+y?/b?=1 (a&b&0)与x?/ma)?+y?/(mb)?=1 (a&b&0,m为实数)为离心率相同的椭圆
9P为椭圆上的一点PF1或PF2)&a+c定理1设F1F2为椭圆C的两个P为C上任意一点若直线AB切椭圆C于点P且A和B在直线上位于P的两侧则∠APF1=∠BPF2
定理2设F1F2为椭圆C的两个焦点P为C上任意一点若直线AB为C在P点的法线则AB平分∠F1PF2
上述两定理的证明可以查看参考资料[4]椭圆的面镜以椭圆的长轴为轴把椭圆转动180度形成的立体图形其内表面全部做成反射面中空可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处椭圆的某些截面为椭圆有汇聚光线的作用也叫凸透镜老花和远视眼镜都是这种镜片这些光学性质可以通过反证法证明 其中分别是椭圆的长半轴短半轴的长或 其中分别是椭圆的长轴短轴的长没有公式有积分式或无限项展开式
周长为或者
椭圆周长L的精确计算要用到积分或无穷级数的求和的定义为椭圆上焦距与长轴的比值范围0&X&1
e=c/a(0&e&1因为2a&2c离心率越大椭圆越扁平离心率越小椭圆越接近于圆形
椭圆的椭圆的与其相应准线如焦点c,0与准线x=+a^2/c) 的距离为b^2/c
离心率与 的关系焦点在x轴上|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
焦点在y轴上|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey(F2,F1分别为上下焦点
椭圆的过焦点的垂直于x轴或y轴的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离即|AB|=2*b^2/a过椭圆上x?/a?+y?/b?=1上一点xy的切线斜率为 -b?X/a?y若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上且第三个顶点在椭圆上
那么若∠F1PF2=θ则S=b?tanθ/2K=ab/[(b?-a?cosθ2+a?]3/2 焦点在x轴上
焦点在y轴上准圆为
从准圆上任一点向椭圆引两条切线这两条切线垂直l=2b^2/a
除圆外中过并垂直于轴的弦
中的通径是通过焦点最短的弦点Mx0y0 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1
点在圆内x02/a2+y02/b2&1
点在圆上x02/a2+y02/b2=1
点在圆外x02/a2+y02/b2&1
跟圆与直线的位置关系一样的
相交 相离 相切y=kx+m ①
x2/a2+y2/b2=1 ②
由①②可推出x2a2+kx+m)2/b2=1
相离△&0无交点
相交△&0 可利用设A(x1,y1 B(x2,y2
求中点坐标
根据韦达定理 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
带入直线方程可求出 (y1+y2)/2=可求出中点坐标
|AB|=d = √1+k2[(x1+x22-4x1*x2] = √1+1/k2[(y1+y22-4y1y2]例如有一个圆柱被截得到一个截面下面证明它是一个椭圆用上面的第一定义
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压它们碰到截面的时候停止那么会得到两个公共点显然他们是截面与球的切点
设两点为F1F2
对于截面上任意一点P过P做圆柱的母线Q1Q2与球圆柱相切的大圆分别交于Q1Q2
则PF1=PQ1PF2=PQ2所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知截面是一个椭圆且以F1F2为焦点
用同样的方法也可以证明圆锥的斜截面不通过底面为一个椭圆
例已知椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1a&b&0的离心率为√6/3短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
1求椭圆C的方程.
2直线ly=x+1与椭圆交于AB两点P为椭圆上一点求△PAB面积的最大值.
3在⑵的基础上求△AOB的面积.
一 分析短轴的到左右的和为2a端点到左右焦点的距离相等椭圆的定义可知a=√3又c/a=√6/3代入得c=√2b=√a^2-c^2=1方程是x^2/3+y^2/1=1
二 要求显然以ab作为三角形的底边联立x^2/3+y^2/1=1y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√1+k^2[x2-x1]中括号表示绝对值弦长=3√2/2对于p点面积最大它到弦的距离应最大假设已经找到p到弦的距离最大过p做弦的可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=设y=x+m利用判别式等于0求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p1.5,-0.5
三 直线方程x-y+1=0利用点到直线的距离公式求得√2/2面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4,画长轴AB短轴CDAB和CD互垂平分于O点⑵连接AC⑶以O为圆心OA为半径作圆弧交OC延长线于E点⑷以C为圆心CE为半径作圆弧与AC交于F点⑸作AF的垂直平分线交CD延长线于G点交AB于H点⑹截取HG对于O点的对称点HG ⑺HH为长轴圆心分别以HAHB为半径作圆GG为短轴原心分别以GCGD为半径作圆
用一根线或者细铜丝铅笔2个图钉或大头针画椭圆的方法先画好长短轴的十字线在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住另一个点的线先不要固定用笔带住线去找长短轴的4个顶点此步骤需要多次定位直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点用笔带住线直接画出椭圆使用细铜丝最好因为线的弹性较大画出来不一定准确椭圆的│FF&#39;│Z定义为已知椭圆所构成的长轴X(ab与短轴Y(cd则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距求证公式为2√{(Z/2^2+(Y/2^2}+Z=X+Z平面内与两定点FF&#39;的距离的和等于常数2a2a&|FF&#39;|的动点P的轨迹叫做椭圆可演变为z=√x^2-y^2(x&y&0<img title="已知长轴与短轴尺寸两焦点焦距尺规作图法" style="FLOAT: right" picsrc="fcbbbc5430bb" data-layout="right" width="742" height="609" url="http://e./baike/s%3D220/sign=0b131bbe1a4c510faac4e/7dd98dad6848487bec54e736d1965a.jpg" compressw="220" compressh="180" useredit="1" />Z两端点FF&#39;为定点取有韧性切伸缩系数越小越好的线环绕线段AF&#39;或者FB线段任意一组为长度以该长度为固定三角形以FF&#39;　为定点取构成该三角形上的第三点为动点画弧则构成该椭圆环线长 根据椭圆的图形特征采用环线表示动点与焦点间的距离关系形成统一的圆形环线作图法具体方法简介1作图工具为笔大头针直尺和环形线环形线制作取一段长度3050cm和粗细适中弹性小的软线一段8mm长细电线空塑料管软线从塑料管中相向窜过塑料管将软线夹紧但用力可以抽动形成能收缩和放长的环形线2在作图平面上作出各种圆形的定点和动点3将大头针分别直立固定在定点上4将符合长度的环形线套在大头针外画笔由内向外拉直环线通过调整环线的长度使笔尖刚好落在动点上5将画笔移动一周即可作出各种圆的图形
环线作图方法的最大特点就是把圆形的动点与焦点间的距离关系以环线的方式联系起来而不受焦点数目的影响环线内可以容纳任意焦点数目为探讨3个及其3个以上焦点数目的提供有效方法环线作图方法属于连续移动作图法适合不同大小的圆椭圆和等作图函数功能
该函数用于画一个椭圆椭圆的中心是限定矩形的中心使用当前画笔画椭圆用当前的画刷填充椭圆
BOOL Ellipse(HDC hdc,int nLeftRect,int nTopRect,nRightRect,int nBottomRect).
hdc设备环境句柄
nLeftRect指定限定椭圆左上角的X坐标
nTopRect指定椭圆左上角的Y坐标
nRightRect指定限定椭圆右下角的X坐标
nBottomRect指定限定椭圆右下角的Y坐标
如果函数调用返回值非零如果函数调用返回值是0椭圆必须一条直径与x轴另一条直径y轴不满足此条件的椭圆在上视作一般
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看一个长方形 知道长为4米 宽为2米 在里面取个最大的椭圆 求焦点的位置和计算公式_百度知道
一个长方形 知道长为4米 宽为2米 在里面取个最大的椭圆 求焦点的位置和计算公式
一定要有公式
提问者采纳
取个最大的椭圆则2a=4,a=22b=2,b=1c^2=a2-b2=3c=根号3焦点在两宽中点的馓份遁股墚噶蛾拴阀茎连线上，距中心左右根号3最大椭圆面积=πab=2π希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！
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长为4米，则椭牛荭奋肺莪镀烽僧甫吉圆长轴长4米； 宽为2米，则椭圆短轴长2米，焦距=√﹙16－4﹚＝2√3，焦点在长方形短边中点的连线上
在实际中怎样知道焦点在哪
椭圆的通用方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
a代表长轴的一半 b代表短轴的一半
所以椭圆方程是
x^2/4+y^2=1
计算公式的相关知识
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基于信息熵的空间数据位置不确定性模型的研究
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