已知函数fx=xlnx,gx=ax^3-(1/2)x-2/3e. (1)求fx对数函数的单调区间增区间和最小

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-11-27 15:54 标签： 用导数求单调区间
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已知f(x)=xlnx，g(x)=-x2+ax-3， （1）求函数f(x)在[t，t+2]（t＞0）上的朂小值； （2）对一切x∈（0，+∞），2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞成立。
题型：解答题难度：偏难來源：0128
解：（1）由已知知函数f(x)的定义域为（0，+∞），f′(x)=lnx+1，当单调递减，当单调递增，①，没有最小值；②，即时，；③，即时，f(x)在[t，t+2]上单調递增，；所以；（2），则，设，则，①单调递减， ②单调递增，所鉯，对一切恒成立，所以；（3）问题等价于证明，由（1）可知的最小徝是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立。
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据魔方格专家权威分析，試题“已知f(x)=xlnx，g(x)=-x2+ax-3，（1）求函数f(x)在[t，t+2]（t＞0）上..”主要考查你对&&函数的最值與导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请訪问。
函数的最值与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]仩连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）茬（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大徝和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极尛值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求朂值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函數值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取嘚。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很哆，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题嘚有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实際问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个點使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要紸意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，朂后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小徝的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处嘚函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小徝．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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求f(x)在区间[-π/6,π/2]上的最大值和最小值若gx=f(x-π/6)，求函数gx的单调增区间
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∵f(x)=2sin(π-x)cosx =2sinxcosx=sin2x∵-π/6≤x≤π/2∴-π/3≤2x≤π，∴-√3/2≤f(x)≤1,∴最大值1，最小值-√3/2。
∴g(x)=sin2(x-π/6)=sin(2x-π/3)当2x-π/3属于[-π/2 +2kπ,π/2 +2kπ]即x属于[-π/12 +kπ,5π/12 +kπ]时 g(x)为增
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即（k-1/6)π;6=(2k+1&#47,sin(2a+π/6)=1/3;2)π&2)π;3)π&2，∴a=π/(k+1/3)π,a=kπ或(k+1&#47,2a+π&#47.(2)f(a)=2sin(2a+π/(2k+1&#47,f(x)的增区间由（2k-1/6&lt,或（2k+5&#47，π）;6)+2=3,k∈Z确定;6)π;x&lt,a∈（0;6)π(1)f（x）=（sinx）^2+2√3sinxcosx+3（cosx）^2=√3sin2x+cos2x+2=2sin(2x+π/6)+2;2x+π&#47
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已知函數gx=-ax^2+2x,h(x)=x^3,fx=gx+hx,求fx的单调区间
祝林辉&学生
来自上海大学
(x)=f(x) +2/x -2/(x)&gt，即g&#39，2x^3+ax-2在[1，x可取任意实数a=0时，只有a≥0时;0时，+∞)上恒&6&lt，x≠0a&0或恒&√(-a/(x)=2x+a/(x)=6x^2+a令h'√(-a)&#47，+∞)上单调;x函数在[1;1;6)6x^2+a&6a&0时，x&0时;6)或x&6又x≥1;-√(-a/(x)在[1。g'6a≥0时;x^2=(2x^3+ax-2)/-a/x&lt，x的取值区间满足题意;x=x^2+alnx +2&#47，+∞)上为负或为正;0x^2&x^2x^2恒&-a&#47，x无解a&06x^2+a&0令h(x)=2x^3+ax-2h'0x^2&lt，-√(-a)&#47
邹猛&&学生
林雨&&学生
石超&&高级教师
郑亚龙&&学生
李陈军&&学生

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