甘肃省永昌县第一中学高一数学 第三章《三角恒等变换》教案_数学教案_高考网
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甘肃省永昌县第一中学高一数学 第三章《三角恒等变换》教案
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甘肃省永昌县第一中学高一数学 第三章《三角恒等变换》教案
作者：未知
文章来源：
更新时间： 16:06:33
第三章《三角恒等变换》教学分析一、教学内容：本章学习的主要内容是两角和与差、倍角的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换；学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发导出其他的三角变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换；二、教学内容的地位与作用：变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。通过本章学习，使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，并体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。三、教材设计思想：本章内容安排按两条线进行，一条明线是建立公式，学习变换；一条暗线就是发展推理能力和运算能力，并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中，也体现在建立公式的过程之中。四、教学过程中应体现的数学思想：在推导两角差的余弦公式这一问题中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法……在教学过程中教师要引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，使学生能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角函数恒等变换不仅包括式子的结构形式变换
，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识。五、高考中的地位：两角和与差的正弦、余弦、正切公
式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热点”,在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用,考查对公式的熟练掌握程度和灵活运用能力, 近几年的高考中对三角部分的考查难度降低，其考查难度属低档,这就要求我们不要过分引导学生去挖掘一些特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上.六、教学时间约需11课时，具体的安排如下：节 次标 题课 时3.1.1两角差的余弦公式1课时3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式3课时3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式2课时3.2简单的三角恒等变换3课时 本章复习2课时3.1.1两角差的余弦公式教学目标：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用教学重点：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式及运用.教学难点：两角差的余弦公式的推导.教学方法：讲练结合教学过程：一、复习引入：向量的知识：数量积
;

我们在初中时就知道
，
，由此我们能否得到
大家可以猜想，是不是等于
呢？根据第一章所学的知识可知猜想是错误的！下面一起探讨两角差的余弦公式
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角
的终边与单位圆的交点为
，
等于角
与单位圆交点的横坐标，也可以用角
的余弦线来表示，大家思考：怎样构造
角
和角
？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？二、讲授新课：1.两角差的余弦
记忆：左端为两角差的余弦，右端为
的同名三角函数积的和。2.例题讲解：例1、利用余弦公式计算
的值.

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，要学会灵活运用.
变式训练:不查表求
的值不查表求
的值例2、已知
，
是第三象限角，求
的值.点评：注意角
、
的象限，也就是符号问题.变式训练:已知
，
是第三象限角，求
的值.例3.

的值.例4.已知
三.课堂练习：教材第127页第1、2、3、4四.课时小结：学习两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程，在解题过程中
注意角
、
的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.五．课后作业：教材第137页第2、3、4、5六 .教学感：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教学目标：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用教学过程：一、复习引入：1.
在
中讨论当
为
时呢？
再利用两角差的余弦公式得出两角和的余弦公式.二、讲授新课：1.两角和的余弦
2.两角和与差的正弦思考两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差的正弦、正切公式.


,
两角和与差的正切让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有
、
的形式呢？
(
)4.例题讲解：例1.已知
是第四象限角，求


的值.例2.求值：（1）
；（2）
．解：（1）




；（2）


例3.

例4.已知
，
，求
，
．解：

，
∴

，

．又

，∴

．三.课堂练习: 教材第131页第1,2,3,4题四.课时小结：本节我们复习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.五．课后作业：教材第137页第6、7、8、9六.教后感:3.1.3两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)
教学目标：熟记两角和与差的正弦、余弦和正切公式并会灵活运用,正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式解决问题；教学重点：两角和、差正弦和正切公式的运用教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用教学过程：一、复习回顾：





二、讲授新课：例1.利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）
；
（2）
；（3）
分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.例2.在
中，若
，求
的值。解：




．例3.求证：
．证明：左边



右边．例4.已知
，求
的值。解：
，∴


例5.已知
，求
的值。解：

得：
，
∴
．变式训练:已知
，且
，求
．例6：已知一元二次方程

的两个根为
，求
的值。解：由
和一元二次方程根与系数的关系，得
，
又
，所以，



．变式训练:已知
，且
是方程
的两个根，求
．三、课堂练习:教材第131页第5,7题四. 课时小结：1.求三角函数值时，要观察题中给出条件及所求结论的特征，特别是角的特征，寻找恰当的方法（切、割化弦；将式子化为一个角的一个三角函数式等），解决问题；2.证明三角恒等式时，首先观察等式两边的角之间的关系，再选用恰当的公式加以证明
.五．课后作业：教材第137页A组第10、11、12,B组第2题六.
教后感:3.1.4两角和与差的正弦、余弦、正切公式(3)教学目标： 1.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，选用恰当的公式解决问题；2.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。教学重点：根据具体问题选择恰当的三角公式并进行有益的变形。教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用教学过程：一.复习回顾：
公式





二.例题讲解：例1.已知
，求
的值．变式训练:已知
，
，求
的值。解：



例2.已知
是偶函数，求
的值．解：∵
是偶函数，
∴
，即
，由两角和与差公式展开并化简，得
，上式对
恒成立的充要条件是
所以，
．例3.已知：
，求证：
．证明：因为
， 即




∴
，即：
．例4.求
值。解：原式




．变式训练:求值：
例5.化简
三.课堂练习:教材第132页第6题四．课时小结：和差角公式的考查方式主要有：1.利用公式化简与求值；2.利用公式证明三角恒等式；3.利用公式转化为一个角的三角函数的形式，再利用三角函数的有界性求最值4.关于和差角公式与其他公式的综合应用。此类问题灵活性强，对观察能力、运算能力和综合分析能力的要求都很高。五. 课后作业：教材第137页第13题六. 教后感:3.1.5二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)教学目标：1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.2.理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式.教学难点：二倍角的理解及其灵活运用教学过程：一、复习回顾：两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
；

；
．二、讲授新课：1. 二倍角公式的推导



说明：（1）“倍角”的意义是相对的，如：
是
的二倍角；（2）观察公式特征：“倍角”与“二次”的关系；（3可将余弦的倍角公式变形为：

，
，
统称为升幂公式。 2. 例题讲解：例1.已知
求
的值．例２.已知
求
的值．解：
，由此得
解得
或
例3..求
的值变式：化简
例4.教材第133页例6三.课堂练习：课本135页1,2,3,5题四. 课时小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发
现规律，学会灵活运用.五. 课后作业： 教材第138页第15,16,17,18,19题六. 教后感:3.1.6二倍角的正弦、余弦和正切公式(2)教学目标：1.能顺向、逆向、变形运用倍角公式进行求值、化简；2.结合三角函数值域求函数值域问题。
教学重点：公式的逆向运用及变式训练。教学难点：公式的逆向运用及变式训练。教学过程：一.复习回顾： 1．二倍角公式



2．基础练习：若
，求
的值。（解答：
二.新课讲解：例1：化简（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．解：（1）




；（2）

；（3）

；（4）
变式训练：1．化简
；2．已知
为第三象限角，且
，求
的值。例2.利用三角公式化简：
．解：原式



．例3.求函数
的值域。解：
，令
，则有
，
，∴
， 所以，函数
的值域为
．例4.已知
，且
，求
的值。（略解）原式

三、课堂练习：1.在△ABC中，已知
,
，求
的值.2.已知
，求
的值.3.已知
，求
的值.4．求
四.课时小结：1.解题的关键是公式的灵活运用，特别是二倍角余弦公式形式多样，在解题中应予以重视；2.结合三角函数求值域的常用方法。五. 课后作业：课本第151页17、18题六.教后感:3.2.1简单的三角恒等变换（1）
教学目标：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差，和差化积，半角公式
为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力
教学重点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法推导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法推导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。教学过程：复习回顾:1.提问：前面学过的倍角公式是什么？（学生说，老师板书）



2.讨论：
与
有什么关系？（学生回答）二.讲授新课 通过讨论知道，
是
的二倍角，在复习的倍角公式中，让学生以
代替
，以
代替
,将公式进行改写。（可以请两个学生板演，老师巡查整个教室，最后师生一起检查板演的作业）例1.以
表示
.老师将刚才的结果进行改写，即半角公式。3.讨论：代数式的变换与三角变换有什么不同？结论：代数式变换着眼于式子结构形式的变换；三角变换首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式
，这是三角式恒等变换的重要特点。例2..求
证:


讨论：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？（如果记
，则有

。只要解上述方程组，就可以求出
，即求出
）
结论：把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，并在建立它们之间的联系进而消除不同点上下功夫，这样不仅有利于深化对和（差）角公式的理解，而且还有利于这两题内在联系的认识。三. 课堂练习：1.求证

2.求证
（学生板演，老师讲解）3. 求值：


解：原式


4

已知
，求证：

四.课时小结：做证明题，要分析题意，明确思维起点；选择公式，把握思维方向；实施变换，运用数学思想方法五.课后作业：.教材P143页第1（2）（4）（6）（8）题六.教后感:3.2.2简单的三角恒等变换（2）教学目标：引导学生认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法推导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。教学重点：通过三角变换，我们把形如
的函数转化为形如
的函数.教学难点：三角恒等变换的的内容，思路和方法教学过程：一．复习回顾：1.
的周期？最大值？最小值？（学生回答，老师板书）2.两角和与差的正弦和余弦公式？（学生回答，老师板书）二.讲授新课 1.讨论函数
的周期，最大值，最小值？
（学生回答，老师点评）2.练习：
(学生板演，老师评讲)总结：对一般的
周期，最大值，最小值？（教师给出）3. （师生共练）: 求周期和最值：（1）

（2）
（3）
；
（答案：
）（4）
；
（答案：
）三. 课堂练习：1.已知函数
（1）求它的递减区间；（2）求它的最大值和最小值2.已知函数
（1）求它的最小正周期
（2）当
时，求它的最小值以及取得最小值时自变量的集合。3

（1）当
时，求
的单调递增区间；（2）当
且
时，
的值域是
求
的值

解：
（1）

为所求

四. 课时小结:通过三角变换，我们把形如
的函数转化为形如
的函数，从而使问题得到简化，这个过程中蕴涵了化归思想。五. 课后作业：.教材P143页A组第5题B组第2，3，6题六. 教后感:3.2.3简单的三角恒等变换（3）
教学目标：引导学生更进一步认识三角变换的特点，不断提高从整体上把握变换过程的能力。教学重点：更进一步理解三角恒等变换的内容，思路和方法。教学难点：三角恒等变换的应用教学过程：复习回顾怎样把
的函数转化为形如
的函数，(需借助辅助角公式).二.讲授新课 例1．P141例4：学生讲思路，老师点评，然后师生一起写过程
对于例4 ，还可以去掉“记
”，结论改写成“求矩形
的最大面积”这时，在建立函数模型时，对自变量可多一种选择，如设
，则
例2．求
的值域。解：





（其中
）∵
，所以，
的值域为
．
例3．已知函数
(1)写出函数的单调递减区间；(2)设
，
的最小值是
，最大值是
，求实数
的值

（2）
三. 课堂练习：
1．
的三个内角为
、
、
，当
为
时，
取得最大值，且这个最大值为
当
，即
时，得
2

已知函数
的定义域为
，（1）当
时，求
的单调区间；（2
）若
，且
，当
为何值时，
为偶函数

解：（1）当
时，



为递增；

为递增区间为
；

为递减区间为


（2）
为偶函数，则


四. 课时小结：
高考中，对三角变换的考查仍以基本公式为主，突出对求值的考查，特别是对平方关系和角、倍角公式的考查应引起重视，重点考查角的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数公式的变换能力。五．课后作业： 教材第146页复习参考题A组10.11.12题六．教后感：第三章小结（1）
教学目标：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系；同时引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差，和差化积 ，半角公式作为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理和运算能力。教学重点：两角差的余弦公式的探索和证明；认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。教学难点：两角差的余弦公式的探索和证明；认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。教学过程：一. 本章知识结构框图
二. 例题讲解1.已知
，求
值。
2.已知
，
，求
值。
3.若函数
在区间
上的最大值是6，求常数
的值及此函数当
时的最小值，并求相应的
的取值集合4.如图，正方形ABCD的边长为1 ，P，Q分别为边AB，DA上的点。当
的周长为2时，求
的大小。三.课堂练习1． 在△ABC中，
，则△ABC为（ C
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
无法判定2．
设
，
，
，则
大小关系（ D
函数
是（ C
周期为
的奇函数
周期为
的偶函数C

周期为
的奇函数
周期为
的偶函4．
函数
的最小正周期是__________.
6.已知
，求
值。7.已知
，
，求
值四．课后作业：教材第146页复习参考题A组1、2、5、7题五．教后感：第三章小结（2）
教学目标：以两角和与差的三角函数的十一个公式为依据，学习三角变换的内容，思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理和运算能力。教学重点：运用数学思想方法指导变换过程的设计教学难点：运用数学思想方法指导变换过程的设计教学过程：选择题1

函数
的图象的一个对称中心是（
△ABC中，
，则函数
的值的情况（ D
有最大值，无最小值
无最
大值，有最小值C

有最大值且有最小值
无最大值且无最小值4


的值是( C
当
时,函数
的最小值是（A

二、填空题1

给出下列命题：①存在实数
，使
；②若
是第一象限角，且
，则

；③函数
是偶函数；④函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象

其中正确命题的序号是____③________

（把正确命题的序号都填上）2

函数
的最小正周期是
。3

已知

，

，则
=__
________

函数
在区间
上的最小值为
函数
有最大值
，最小值
，则实数
____，
___

三、解答题
若
求
的取值范围

解：令
，则


2

已知△ABC的内角
满足
，若
，
且
满足：
，
，
为
的夹角

已知
求
的值

四．课后作业：教材第146页复习参考题B组1、3、6、7题
五．教后感：教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记教学札记[来源:学科网ZXXK]
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