已知,如图,在三角形ABC中,AD是中线,AE是三角形ABD的中线,BA=BD。求证:AC=2AE_百度知道
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由于D是BC中点，所以BD=DC=BC/2由E是BD中点所以BE=ED=BD/2=BC/4因为BA=BD=BC/2所以有AB:BC=BE:AB=1:2三角形BAE和BCA中有公共角B，对应线段成比例所以三角形BAE和BCA相似所以AE:AC=AB:BC=1:2
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因为 ab和ae 分别是三角形abc和abd的中线所以 bd=dc=1/2bc
be=ed=1/2bd=1/4bc 又因为bd=ba 那么ab:be=2:1 有公共角B
有ab:bc=be:ab=1:2所以三角形bae bca 相似 所以ae:ac=ab:bc=1:2
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出门在外也不愁（2011o珠海）已知：如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=45°；点D是上的一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连接AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：S△DAF＞S△BAE．
（1）利用切线的性质和垂径定理得到相等的弧，从而证得∠BDA=∠DEA，进而可以证得两个三角形相似；（2）利用上题证明的相似三角形得到等积式AD2=ABoAE，表示出两个三角形的面积，比较即可．
证明：（1）连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵DE∥BC，∴OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠BAD=∠EAD∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC，∴∠BDA=∠DEA，∵∠BAD=∠EAD，∴△ABD∽△ADE；（2）由（1）得，即AD2=ABoAE，设在△ABE中，AE边上的高为h，则S△ABE=hoAE，∵三角形ABC为锐角△，∴h＜AB，由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形，∴S△ADF=×AD×AF=AD2∴AD2=AE×AB．∵h＜AB．∴S△DAF＞S△BAE．如图，已知，D为△ABC中BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证 AC=2AE！！ 我已经用倍_百度知道
如图，已知，D为△ABC中BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证 AC=2AE！！ 我已经用倍
如图，已知，D为△ABC中BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证
AC=2AE！！我已经用倍长把AE延到了F，又连接了FB！下面该咋做呀？？？好心人帮帮忙....不要用中位线和平行四边形之类的，因为我还没学……角互相倒来倒去是不是就能到出来呢？不知道……总之过程请写清楚些，拜托了……
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延长AE到F，使EF=AE，连接DF∵AE是△ABD的中线∴BE=ED在△ABE与△FDE中BE=DE∠AEB=∠DEF（对顶角相等）AE=EF∴△ABE≌△FDE（SAS）∴AB=DF,∠BAE=∠EFD∵∠ADB是△ADC的外角∴∠DAC=∠ACD=∠ADB=∠BAD∴∠BAE+∠EAD=∠BAD∠BAE=∠EFD∴∠EFD+∠EAD=∠DAC=∠ACD∴∠ADF=∠ADC在△ADF与△ADC中AD=AD∠ADF=∠ADCFD=DC∴△ADF≌△ADC（SAS）∴AF=AC∵AF=AE+EFAE=EF∴AC=2AE一定是对的！
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终于找到我能懂的了！！！！
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证明：延长AE到F，使EF=AE，连结BF，
下面就证三角形BEF全等于三角形DEA，可得BF=AD，角F=角EAD，
接着再证三角形ABF全等于三角形ADC，这样可得：AF=AC，
问题得到了解决。
如何证明出∠ABF=∠ADC？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
角ABF=角ABD+角FBD=角ABD+角BDA=角ABD+角BAD=角ADC。
因为 ∠BDA=∠BAD
所以 BA=BD因为 CD=AB
所以 AB=CD，所以AB=1/2BC因为AE是△ABD的中线，所以BE=1/2AB所以AB/BC=BE/AB=1/2因为△ABE与△ABC共用一个角∠ABD
所以AE/AC=BE/AB=1/2所以AC=2AE
因为△ABE与△ABC共用一个角∠ABD
所以AE/AC=BE/AB=1/2这一步请解释解释，我不太懂……
在做这类题时要学会画图，可惜图片无法插上，以下答案可参考因为 ∠BDA=∠BAD
所以 BA=BD因为 CD=AB
所以 AB=CD，所以AB=1/2BC因为AE是△ABD的中线，所以BE=1/2AB所以AB/BC=BE/AB=1/2因为△ABE与△ABC共用一个角∠ABD
所以AE/AC=BE/AB=1/2所以AC=2AE
因为△ABE与△ABC共用一个角∠ABD
所以AE/AC=BE/AB=1/2这一步请解释解释，我不太懂……
这个是相似三角形的原理因为AB/BC=BE/AB=1/2，又因为∠ABE=∠CBA所以△ABE与△CBA相似所以AB/BC=BE/AB=AE/AC=1/2所以AC=2AE
参考资料：
相似三角形的原理
延长AE到F，使EF=AE，连接DF∵AE是△ABD的中线∴BE=ED在△ABE与△FDE中BE=DE∠AEB=∠DEF（对顶角相等）AE=EF∴△ABE≌△FDE（SAS）∴AB=DF,∠BAE=∠EFD∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠B+∠BAD∵∠ADF=∠BDF+∠ADB
∠BAD=∠ADB∴∠ADF=∠ADC在△ADF与△ADC中AD=AD∠ADF=∠ADCFD=DC∴△ADF≌△ADC（SAS）∴AF=AC∵AF=AE+EFAE=EF∴AC=2AE
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全等三角形精华试题汇编.doc(4.57MB)
类别 : 试卷
备战 2012中考：全等三角形精华试题汇编（500套）
一、选择题
1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知 ABC△ 中， 45ABC∠ = o， F 是高 AD和
BE的交点， 4CD = ，则线段DF的长度为（
C．3 2 D．4 2
2. （2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边 AB、AC的中点，
点 F在 BC边上，连接 DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与
△EDF全等（
A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE
3. （2011浙江衢州，1,3分）如图，OP平分 ,MON PA ON∠ ⊥ 于点 A，点Q是射线
OM 上的一个动点，若 2PA = ，则PQ的最小值为（
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（第 6题）
4. （2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD △≌ ACD的是（
A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C，BD=DC
5. （2011江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件
C．∠B＝∠C
D．∠ BDA＝∠CDA
6. （2011江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD △≌ ACD的是（
A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD
D.∠B=∠C，BD=DC
7. （2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（
(A)周长相等的锐角三角形都全等；
(B) 周长相等的直角三角形都全等；
(C)周长相等的钝角三角形都全等；
(D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．
8. （2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知 ABC△ 中， 45ABC∠ = o， F 是高 AD和 BE
的交点， 4CD = ，则线段DF的长度为（
C．3 2 D．4 2
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二、填空题
1. （2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含 30°角的直角三角形叠放在一起，
且∠DAB=30°。有以下四个结论：① AF⊥BC ；②△ADG △≌ ACF； ③O为 BC的中点； ④
AG：DE= 3：4，其中正确结论的序号是
.（错填得 0分，少填酌情给分）
【答案】①②③
2. （2011广东湛江 19,4分）如图，点 , , ,B C F E 在同一直线上, 1 2∠ = ∠ ,BC FE= , 1∠
（填“是”或“不是”） 2∠ 的对顶角，要使 ABC DEF? ? ? ，还需添加一个条件，这
个条件可以是
（只需写出一个）．
【答案】 AC DF=
三、解答题
1. （2011广东东莞，13，6分）已知：如图，E,F在 AC上，AD∥CB且 AD=CB，∠D＝
求证：AE=CF.
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【答案】∵AD∥CB
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF+EF=CE+EF
2. （2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是
∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC
证明：在△ABC与△DCB中
∠ = ∠?? ∠ = ∠??
（公共边）
（∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC）
∴△ABC≌△DCB
3. （2011浙江省，19，8分）如图，点D，E分别在 AC，AB上．
(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；
(2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，
以②为结论构成命题 1，添加条件②、③以①为结论构成命题 2．命题1是命题2的
题，命题2是
命题．（选择“真”或“假”填入空格）．
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【答案】(1) 连结 BC，∵ BD=CE，CD=BE，BC=CB．
∴ △DBC≌△ECB （SSS）
∴ ∠DBC =∠ECB
4. （2011 浙江台州，19,8 分）如图，在□ABCD 中，分别延长 BA，DC 到点 E，使得
AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF △≌ CHG.
【答案】证明：
∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD
∴ ∠EAF=∠HCG
AE=AB，CH=CD
∴ △AEF △≌ CHG.
5. （2011四川重庆，19，6分）如图，点 A、F、C、D在同一直线上，点 B和点 E分别在直
线 AD的两侧，且 AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ，
AB＝DE， △∴ ABC DEF△≌ ，
∴∠ACB＝∠DFE，∴BC EF∥ ．
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6. （2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板 ABC和 DEF，按如图所示
的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点 O为边 AC和 DF的交点.不重叠的两部分
△AOF与△DOC是否全等？为什么？
【 答 案 】 解 ： 全 等
. 理 由 如 下 ： ∵ 两 三 角 形 纸 板 完 全 相 同 ，
∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即 AF=DC.在△AOF和△DOC
中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS） .
7. （2011广东汕头，13，6分）已知：如图，E,F在 AC上，AD∥CB且 AD=CB，∠D＝
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF+EF=CE+EF
8. （ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90?,F为 AB延长线上一
点,点E在BC上,且 AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30?,求∠ACF度数.
【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在 Rt△ABE和 Rt△CBF中,
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∵AE=CF, AB=BC,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)
(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°,
∠CAB=∠ACB=45°.
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
9. （2011福建福州，17（1），8分）如图 6, AB BD⊥ 于点 B , ED BD⊥ 于点 D , AE交
BD于点C ,且 BC DC= .
求证 AB ED= .
【答案】(1)证明:∵ AB BD⊥ , ED BD⊥
∴ 90ABC D∠ = ∠ = o
在 ABC? 和 EDC? 中
=??∠ = ∠?
∴ ABC? ≌ EDC?
10．（2011四川内江，18，9分）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点 D
是 AC的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与
A、D重合，连结 BE、EC．
试猜想线段 BE和 EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【答案】BE=EC，BE⊥EC
∵AC=2AB，点D是 AC的中点
∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45°
∴∠EAB=∠EDC=135°
∴△EAB≌△EDC
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC
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∴∠BEC=∠AED=90°
∴BE=EC，BE⊥EC
11. （2011广东省，13，6分）已知：如图，E,F在 AC上，AD∥CB且 AD=CB，∠D＝
求证：AE=CF.
【答案】∵AD∥CB
又∵AD=CB，∠D=∠B
∴△ADF≌△CBE
∴AF+EF=CE+EF
12. （2011湖北武汉市，19，6分）（本题满分 6分）如图，D，E，分 别 是 AB，AC
上 的 点 ，且 AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．
【答案】证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD
13. （2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点 B、C作 AD
及其延长线的垂线 BE、CF，垂足分别为点 E、F．求证：BE=CF．
【证明】∵在△ABC中，AD是中线，
∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90° ，在△BED与△CFD中，∵
∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．
14. (20011江苏镇江,22,5分)已知:如图,在△ABC中,D为 BC上的一点,AD平分∠EDC,且
∠E=∠B,ED=DC.
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求证:AB=AC
【答案】证明∵AD平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又 DE=DC,AD=AD,
∴△ADE≌△ADC, ∴∠E=∠C,
又∠E=∠B, ∴∠B =∠C, ∴AB=AC.
15. （2011湖北宜昌，18，7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC 中点，AE的延
长线与DC的延长线相交于点F.
(1)证明：∠DFA = ∠FAB；
(2)证明: △ABE≌△FCE.
（第18题图）
【答案】证明：（1）∵AB与 CD是平行四边形 ABCD的对边，∴AB∥CD，（1分）∴
∠ F=∠FAB．（ 3 分）（ 2）在△ ABE 和△ FCE 中，
∠ FAB=∠F
（ 4 分）∵
∠AEB=∠FEC （5分）BE=CE （6分）∴ △ABE≌△FCE．（7分）
一、选择题
1 ． （ 2010 四 川 凉 山 ） 如图所示， 90E F∠ = ∠ = o， B C∠ = ∠ ， AE AF= ，结论：① EM FN= ；② CD DN= ；③
FAN EAM∠ = ∠ ；④ ACN ABM△≌△ ．其中正确的有
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　　D．4个
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2．（2010四川 巴中）如图2 所示，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条
不能是（ )
A．∠B ＝∠C B. AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB D. DC = BE
3.（2010广西南宁）如图 2所示，在 ABCRt? 中， °=∠ 90A ,BD平分 ABC∠ ，
交 AC 于点D ,且 5,4 == BDAB ,则点D 到BC的距离是：
4．（2010广西柳州）如图 3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交 AC于
D，若CD=3cm，则点D到 AB的距离DE是
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5．（2010贵州铜仁）如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（
二、填空题
1．（2010 天津）如图，已知 AC FE= ， BC DE= ，点 A、D、B、F在一
条直线上，要使△ ABC≌△ FDE，还需添加一个条件，
这个条件可以是
【答案】 C E∠ = ∠ （答案不惟一，也可以是 AB FD= 或 AD FB= ）2．（2010 广西钦州
市）如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，
使△ABC≌△BAD．你补充的条件是_
_ （只填一个）．
【答案】AC =BD或∠CBA＝∠DAB
三、解答题
1．(2010 江苏苏州) (本题满分 6分)如图，C是线段 AB的中点，CD平分∠ACE，CE
平分∠BCD，CD=CE．
(1)求证：△ACD≌ BCE△ ；
(2)若∠D=50°，求∠B的度数．
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第（ 13 ）
2．（2010江苏南通）（本小题满分 8分）
如图，已知：点 B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．
能否由上面的已知条件证明 AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三
个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使 AB∥ED成立，并给出证明．
供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
③∠ACB=∠DFE．
【答案】解：由上面两条件不能证明 AB//ED.有两种添加方法.
第一种：FB=CE，AC=DF添加 ① AB=ED
证明：因为 FB=CE，所以 BC=EF，又 AC=EF，AB=ED，所以VABC?VDEF
所以∠ABC=∠DEF
所以 AB//ED
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（第 25题）
第二种：FB=CE，AC=DF添加 ③∠ACB=∠DFE
证明：因为 FB=CE，所以 BC=EF，又∠ACB=∠DFE
AC=EF，所以VABC?VDEF
所以∠ABC=∠DEF
所以 AB//ED
3．（2010 浙江金华）如图，在△ABC中，D是 BC边上的点（不与 B，C重合），F，E
分别是 AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加
其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．
（1）你添加的条件是： ▲
（2）证明：
【答案】解：（1） DCBD = (或点D是线段 BC的中点)， EDFD = ， BECF = 中
任选一个即可﹒
（2）以 DCBD = 为例进行证明：
∵CF∥BE，
∴∠FCD﹦∠EBD．
又∵ DCBD = ，∠FDC﹦∠EDB，
∴△BDE≌△CDF．
4．（2010福建福州）(每小题 7分，共 14分)
（1）如图，点 B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：△ABC≌△DEF．
(第17(1)题)
【答案】证明：∵ AB∥DE． ∴ ∠B＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
∠ = ∠??∠ = ∠??
∴ △ABC≌△DEF．
5．（2010四川宜宾，13(3)，5分）如图，分别过点C、B作△ABC的 BC边上的中线 AD
及其延长线的垂线，垂足分
别为 E、F．求证：BF=CE．
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( 第 18 题
【答案】∵CE⊥AF，FB⊥AF，∴∠DEC ＝∠DFB＝90°
又∵AD为 BC边上的中线，∴BD＝CD， 且∠EDC ＝∠FDB（对顶角相等）
∴所以△BFD≌△CDE（AAS），∴BF=CE．
6．（2010福建宁德）如图，已知 AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前
提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.
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【答案】解法一：添加条件：AE＝AF，
证明：在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（SAS）.
解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
证明：在△AED与△AFD中，
∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA
∴△AED≌△AFD（ASA）.
7．（2010湖北武汉）如图，B，F，C，E在同一条直线上，点 A，D在直线 BE的两侧，
AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF
【答案】证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF
∵AC∥DF，
∴∠ABC=∠DEF
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∵BF=CE，∴BC=EF
∴△ABC≌△DEF
8．（2010江苏淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,
求证：AE=BD．
【答案】证明：
∵点C是线段AB的中点，
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中，
? =?∠ = ∠??
∴△ACE≌△BCD（SAS），
9 ． （ 2010 北 京 ） 已 知 ： 如 图 ， 点 A 、 B 、 C 、 D 在 同 一 条 直 线 上 ，
EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．
求证：∠ACE=∠DBF．
【答案】证明：∵AB=DC
∵EA⊥AD，FD⊥AD
∴∠A=∠D=90°
在△EAC与△FDB中
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∴△EAC≌△FDB
∴∠ACE=∠DBF．
10．（ 2010云南楚雄）如图，点 A、E、B、D在同一条直线上，AE＝DB，AC＝
DF，AC∥DF.
请探索 BC与 EF有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】解：BC∥EF．理由如下：∵AE＝DB ，∴AE＋BE＝DB＋BE，∴AD＝
DE.∵AC∥DF ，
∴ ∠ A ＝ ∠ D ， ∵ AC ＝ DF ，
△∴ ACB △≌ DFE ， ∴ ∠ FED ＝
∠CBA，∴BC∥EF．
11．（2010云南昆明）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且 BC = FD，AB = EF.
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是
（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD.
【答案】（1）∠B = F∠ 　或　AB∥EF　或　AC = ED.
（2）证明：当∠B = F∠ 时
在△ABC和△EFD中
=??∠ = ∠??
△∴ ABC △≌ EFD
12．（2010四川
泸州）如图 4，已知 AC∥DF，且 BE=CF.
（1）请你只添加一个条件，使△ABC △≌ DEF，你添加的条件是
（2）添加条件后，证明△ABC △≌ DEF.
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【答案】（１）添加的条件是AC＝DF（或 AB DE∥ 、∠B＝∠DEF、∠A＝∠D）（有一个
（２）证明：∵AC DF∥ ，∴∠ACB＝∠F，∵BE=CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，
∠∠ 　， △∴ ABC DEF.△≌
13．（2010 甘甘）（8分）如图， BAC ABD∠ = ∠ .
（1）要使OC OD= ，可以添加的条件为：
；（写出2个符
合题意的条件即可）
（2）请选择(1)中你所添加的一个条件，证明OC OD= .
【答案】解：（1）答案不唯一. 如
C D∠ = ∠ ，或 ABC BAD∠ = ∠ ，或 OAD OBC∠ = ∠ ，或 AC BD= . ……4分
说明：2空全填对者，给 4分；只填 1空且对者，给 2分.
（2）答案不唯一. 如选 AC BD= 证明 OC=OD.
证明: ∵ BAC ABD∠ = ∠ ，
……………………6分
又 AC BD= ，
∴ AC-OA=BD-OB，或AO+OC=BO+OD.
∴ OC OD= .
……………………8分
14．（2010 重庆江津）已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC
求证：⑴　△ABC≌△DEF；
⑵　BE＝CF．
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【答案】证明：(1)∵AC∥DF
∴∠ACB＝∠F……………………………………………………………………2分
在△ABC与△DEF中
∠ = ∠??∠ = ∠??
∴△ABC≌△DEF……………………………………………………………………6分
(2) ∵△ABC≌△DEF
∴BC–EC=EF–EC
即 BE=CF……………………………………………………………………………10分
15．（2010 福建泉州南安）如图，已知点 E C， 在线段 BF 上， CFBE = ，请在下列
四个等式中，
①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④ AC＝DF．选出两个作为条件，推出
ABC DEF△≌△ ．并予以证明．（写出一种即可）
求证： ABC DEF△≌△ ．
【答案】解：已知：①④（或②③、或②④）……………3分
证明：若选①④
∴ EFBCECCFECBE =+=+ 即, ．…………………………………………5分
在△ABC和△DEF中
AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．……………………………8分
∴ ABC DEF△≌△ ．……………………………………9分
16．（2010 青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设
计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点 P介于射线 OA、OB之间，移动角尺使角尺两
边相同的刻度与 M、N重合，即 PM=PN，过角尺顶点 P的射线 OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON，将角尺的直角顶点 P介于射线
OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N重合，即 PM=PN，过角尺顶点 P的射线
OP就是∠AOB的平分线.
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（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使 PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否
可行？请说明理由.
【答案】解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. …………………………
（2）方案（Ⅱ）可行. ……………………………3分
证明：在△OPM和△OPN中
∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ……………………………5分
（3）当∠AOB是直角时，此方案可行. ……………………………6分
∵四边形内角和为 360°，又若 PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°
∵若 PM⊥OA,PN⊥OB,
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)
当∠AOB不为直角时，此方案不可行. …………8分
17．（2010 广西梧州）如图，AB是∠DAC的平分线，且 AD=AC。
求证：BD=BC
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【答案】证明：∵AB是∠DAC的平分线
∴∠DAB=∠BAC
在△DAB=∠CAB中
∴△DAB≌△CAB
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18 ． （ 2010 广 西 南 宁 ） 如 图 10 ， 已 知 ADERtABCRt ??? ，
°=∠=∠ 90ADEABC ,
BC与DE 相交于点F ，连接 EBCD, ．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证： EFCF = ．
【答案】（1） ABEADC ??? , EBFCDF ???
（2）证法一：连接CE
∵ ADERtABCRt ???
∴ AECACE ∠=∠
又∵ ADERtABCRt ???
∴ AEDACB ∠=∠
∴ AEDAECACBACE ∠-∠=∠-∠
即 DECBCE ∠=∠
证法二：∵ ADERtABCRt ???
∴ EADCABABADAEAC ∠=∠== ,, ,
∴ DABEADDABCAB ∠-∠=∠-∠
即 EABCAD ∠=∠
∴ )(SASAEBACD ???
∴ ABEADCEBCD ∠=∠= ,
又∵ ABCADE ∠=∠
∴ EBFCDF ∠=∠
又∵ BFEDFC ∠=∠
∴ )(AADEBFCDF ∠?∠
证法三：连接 AF
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∵ ADERtABCRt ???
∴ °=∠=∠== 90,, ADEABCDEBCADAB
又∵ AFAF =
∴ )(HLADFRtABFRt ???
又∵ DEBC =
∴ DFDEBFBC -=-
19 ． （ 2010 辽 宁 大 连 ） 如 图 7 ， 点 A 、 B 、 C 、 D 在 同 一 条 直 线 上 ，
AB=DC，AE//DF，AE=DF，求证：EC=FB
20．（2010广西柳州）如图 9，在 8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段 EF
的端点都在边长为 1的小正方形的顶点上．
（1）填空:∠ABC=___________，BC=___________；
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（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC
全等，并加以证明．
21．（2010 吉林）如图，在△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC，CE⊥BE，CE 与 AB 相交于点
F，AD⊥CF于点 D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证
22．（2010湖南娄底）如图 10，在四边形 ABCD中，AD∥BC，E为 CD的中点，
连结 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE交 BC的延长线于点 F.
求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD
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【答案】解：（ 1）因为 E 是 CD 的中点，所以 DE=CE.因为 AB//CD，所以
∠ ADE=∠FCE ， ∠ DAE=∠CFE. 所 以 △ ADE≌△FCE. 所 以 FC=AD. （ 2 ） 因 为
△ADE≌△FCE，所以AE=FE.又因为BE⊥AE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB=FB.
因为FB=BC+FC=BC+AD.所以AB==BC+AD.
23 ． （ 2010 内 蒙 呼 和 浩 特 ） 如 图 ， 点 A 、 E 、 F 、 C 在 同 一 条 直 线
上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF，求证：BE=DF.
【答案】18．证明：∵AD∥BC
∴∠A＝∠C
……………………………………………………………………………1分
………………………………………………………………………………2分
在△ADF和△CBE中
=??∠ = ∠??
∴△ADF≌△CBE
………………………………………………………………………5分
………………………………………………………………………………6分
（1）∠ABC=135°，BC=2 2 ， ………………………………………………………2分
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（2）（说明：D的位置有四处，分别是图中的
D1、D2、D3、D4．此处画出D在D1处的位置及证明，D
在其余位置的画法及证明参照此法给分）
解：△EFD的位置如图所示． …………………3分
证明：∵ FD=BC= 2222 22 =+ …………4分
∠EFD=∠ABC=90°+45°=135°
∴ △EFD≌△ABC
…………………6分
2009年中考试题专题之 16-三角形与全等三角形试题及答案
一、选择题
1．（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件：
① AB DE BC EF AC DF= = =，， ；
② AB DE B E BC EF= ∠ = ∠ =，， ；
③ B E BC EF C F∠ = ∠ = ∠ = ∠，， ；
④ AB DE AC DF B E= = ∠ = ∠，， ．
其中，能使 ABC DEF△≌△ 的条件共有（
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2.（2009年浙江省绍兴市）如图， D E， 分别为 ABC△ 的 AC， BC边的中点，将此三
角形沿 DE折叠，使点C落在 AB边上的点 P处．若 48CDE∠ = °，则 APD∠ 等于（
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3. (2009 年义乌 ) 如图，在 ABCV 中， 90C∠ = 。， EF//AB,
1 50∠ = 。,则 B∠ 的度数为
【关键词】三角形内角度数
4.（2009年济宁市）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在 BC的延长线上，则
5、（2009年衡阳市）如图 2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600
米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文 化 活
动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与 AB的交点
6、（2009年海南省中考卷第 5题）已知图 2中的两个三角形全等，则∠α 度数是（
7、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，为估计池塘岸边 A、B 两点的距离，小方在池塘的一
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侧选取一点O，测得 15=OA 米， 10=OB 米， A、B 间的距离不可能是
A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米
8、（2009年崇左）一个等腰三角形的两边长分别为 2和 5，则它的周长为（
9、（2009年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角和等于 360°
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
10、（09湖南怀化）如图，在Rt ABC△ 中， o90=∠B
， ED是 AC的
垂直平分线，交 AC于点 D，交 BC于点 E．已知 o10=∠BAE ，则
C∠ 的度数为（
11、（2009年清远）如图， AB CD∥ ，EF AB⊥ 于E EF， 交CD于F ，已知 1 60∠ = °，
则 2∠ =（
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12、（2009年广西钦州）如图，在等腰梯形 ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图
中全等三角形共有（
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
13 、 (2009 年 甘 肃 定 西 ) 如 图 4 ， 四 边 形 ABCD 中 ，
AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点 E，且四边形 ABCD的面积为 8，则 BE=（
A．2 B．3 C．2 2 D．2 3
14、（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分 AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
15、（2009肇庆）如图，Rt
ABC△ 中，
90ACB∠ = °，DE 过点C，且DE AB∥ ，若
55ACD∠ = °，则∠B的度数是（
16、（2009年邵阳市）如图，将 Rt△ABC(其中∠B＝34 0，∠C＝90 0）绕 A点按顺时针
方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1　在同一条直线上，那么旋转角最小等于（
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　　　A.56 0
　 D.180 0
17、（2009年湘西自治州）一个角是 80°，它的余角是（　　）
A．10° B．100° C．80° D．120°
18、（2009河池）如图，在Rt△ABC中， 90∠ = oA ，AB=AC＝8 6，点 E
为 AC的中点，点 F在底边 BC上，且 ⊥FE BE ，则△CEF
的面积是（
19、（2009柳州）如图所示，图中三角形的个数共有
20、（2009年牡丹江）如图， ABC△ 中，CD AB⊥
于 D，一定能确定 ABC△ 为直角三角形的条件的个数
① 1 A∠ = ∠ ，② CD DBAD CD= ，③ 2 90B∠ + ∠ = °，④ 3 4 5BC AC AB =∶∶∶∶，
⑤ AC BD AC CD=··
21、（2009桂林百色）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，
将△ABO绕点O按顺时针方向旋转 90°，
得 A B O′ ′△
，则点 A′的坐标为（
A．（3，1）
B．（3，2）C．（2，3）
D．（1，3）
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22、（2009年长沙）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能
A．4cm B．5cm C．6cm
23、（2009年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为 3cm和 8cm，则此三角形的第三边的
长可能是（
A．4cm B．5cm C．6cm
24、（2009陕西省太原市）如图， ACB A C B′ ′ ′△≌△ ， BCB∠ ′=30°，则 ACA′∠ 的度数
B．30° C．35°
25、 （2009陕西省太原市）如果三角形的两边分别为 3和 5，那么连接这个三角形三边中
点，所得的三角形的周长可能是（
C．5 D．5.5
26、（2009年牡丹江）尺规作图作 AOB∠ 的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半
径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于 12CD长为半径画弧，两
弧交于点P，作射线OP，由作法得 OCP ODP△≌△ 的根据是（
C．AAS　　D．SSS
27 、 （ 2009 年 新 疆 ） 如 图 ， 将 三 角 尺 的 直 角 顶 点 放 在 直 尺 的 一 边 上 ，
1 30 2 50∠ = ∠ =°，° ，则 3∠ 的度数等于（
A．50° B．30° C．20° D．15°
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28、(2009年牡丹江市)尺规作图作 AOB∠ 的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径
画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于 12CD长为半径画弧，两弧
交于点P，作射线OP，由作法得 OCP ODP△≌△ 的根据是（
C．AAS　　D．SSS
29、（2009年包头）已知在Rt ABC△ 中， 390 sin 5C A∠ = =°， ，则 tan B的值为（
A． 43 B．
30、（2009年齐齐哈尔市）如图，为估计池塘岸边 A B、 的距离，小方在池塘的一侧选
取一点O，测得 15OA = 米，OB =10米， A B、 间的距离不可能是（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．5米
31、（2009年台湾）图(三)、图(四)、图(五)分别表示甲、乙、丙三人由 A地到 B地的路线图。
甲的路线为：A→C→B。
乙的路线为：A→D→E→F→B，其中 E为 AB的中点。
丙的路线为：A→I→J→K→B，其中 J在 AB上，且 AJ & JB。
若符号「?」表示「直线前进」，则根据图(三)、图(四)、图(五)的数据，判断三人行进路线
长度的大小关系为何？
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圖 ( 圖 ) 圖 ( 圖 ) 圖 ( 圖 )
(A) 甲=乙=丙 (B) 甲&乙&丙 (C) 乙&丙&甲 (D )丙&乙&甲 。
32、（2009年娄底）如图 1，已知 AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是
A．63° B．83° C．73° D．53°?
33、（2009烟台市）如图，等边 ABC△ 的边长为 3，P为BC上一点，且 1BP = ，D为
AC上一点，若 60APD∠ = °，则CD的长为（
A． 32 B．
34、(2009武汉)在直角梯形 ABCD中， AD BC∥ ， 90ABC AB BC E∠ = =°，， 为
AB边上一点， 15BCE∠ = °，且 AE AD= ．连接DE交对角线 AC于H ，连接 BH ．
下列结论：
① ACD ACE△≌△ ；
② CDE△ 为 等 边 三 角 形 ；
③ 2EHBE = ；
其中结论正确的是（
A．只有①② B．只有①②④
C．只有③④ D．①②③④
35、（2009年台湾）
若?ABC中，?B为钝角，且 AB =8， BC =6，则下列何者可能为
AC之长度？
(A) 5 (B) 8 (C) 11 (D) 14 。
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36、（2009年重庆）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（
A．2 2n + B．4 4n + C．4 4n - D．4n
37、（2009年重庆）如图，在等腰Rt ABC△ 中， 90 8C AC∠ = =°， ，F是 AB边上的中
点，点D、E分别在 AC、BC边上运动，且保持 AD CE= ．连接DE、DF、EF．在此运动变
化的过程中，下列结论：
① DFE△ 是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为 4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为 8．
其中正确的结论是（
A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤
38、（2009江西）如图，已知 AB AD= ，那么添加下列一个条件后，
仍无法判定 ABC ADC△≌△ 的是（
A．CB CD= 　　　　　　　 B． BAC DAC=∠∠
C． BCA DCA=∠∠ D． 90B D= = °∠∠
39、(2009年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是(
9cmC．5cm，8cm，
15cm D．6cm，8cm，
40、如图，OP平分 AOB∠ ，PA OA⊥ ，PB OB⊥ ，垂足分别为 A，B．下列结论中不一
定成立的是（
B．PO平分 APB∠
D． AB垂直平分OP
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第 1个 第 2个 第 3个
（第 7题）
二、填空题
1 、 （ 2009 年 遂 宁 ） 如 图 ， 已 知 △ ABC 中 ，
AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为
2、（2009年遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全
等的三角形，这样的三角形一共能作出
3.（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5个大
三角形中白色三角形有
4. (2009 年四川省内江市 )如图所示，将△ABC沿着 DE翻折，若∠1+∠2=80O，则
∠B=_____________。
5、（2009年厦门市）如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,若
BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。
6、（2009恩施市）如图 1，已知 AB ED∥ ， 58B∠ = °， 35C∠ = °，则 D∠ 的度数为_
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第 1 个 第 2 个 第 3 个
7、（2009年吉林省）将一个含有 60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，
O为圆心，则 ACO∠ =
8、（2009年包头）如图，已知 ACB△ 与 DFE△ 是两个全等的直角三角形，量得它们的
斜边长为 10cm，较小锐角为 30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点
B C F D、、、 在同一条直线上，且点C与点 F 重合，将图（1）中的 ACB△ 绕点C顺时
针方向旋转到图（2）的位置，点 E在 AB边上， AC交DE于点G，则线段 FG的长为
cm（保留根号）．
9、（2009年长沙）如图， AB是 O⊙ 的直径，C是 O⊙ 上一点， 44BOC∠ = °，则 A∠
10、（2009年甘肃白银）如图 5，Rt△ACB中，∠ACB=90°，DE∥AB，若∠BCE=30°，
则∠A=　　　　．
11、（2009河池）如图 2， ABC△ 的顶点坐标分别为 (3 6) (1 3)A B，，，， (4 2)C ， ．若将
ABC△ 绕C点顺时针旋转90o，得到 A B C′ ′ ′△ ，则点 A的对应点 A′的坐标为
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12、（2009河池）某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m，
面积为 2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，
则需要栅栏的长度为　　　
13、（2009白银市）．如图 5，Rt△ACB中，∠ACB=90°，DE∥AB，若∠BCE=30°，则
∠A=　　　　．（缺图）
14、 (2009宁夏)如图， ABC△ 的周长为 32，且 AB AC AD BC= ⊥， 于D， ACD△ 的
周长为 24，那么 AD的长为　　　　　　．
15、（2009年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角
顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移
1? 与 2? 的和总是保持不变，那么 1? 与 2? 的和是_______度．
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
16、（2009年常德市）已知△ABC中，BC=6cm，E、F分别是 AB、AC的中点，那么 EF
17、（2009年广西梧州）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，延长 CB到 D ，则
∠ABD＝ ★
18、（2009年清远）如图，若 1 1 1ABC ABC△≌△ ，且 110 40A B∠ = ∠ =°，° ，则 1C∠ =
19、（09湖南邵阳）如图（四），点 E是菱形 ABCD的对角线 BD上的任意一点，连结
AE CE、 ．请找出图中一对全等三角形为___________．
20、（09湖南怀化）如图，已知 ADAB = ， DACBAE ∠=∠ ，
ABC△ ≌ ADE△ ，可补充的条件是
（写出一个即
21、(2009年咸宁市 )如图，在 ABC△ 中， ABC∠ 和 ACB∠ 的平分线相交于点O，过点
O作 EF BC∥ 交 AB于 E， 交 AC于 F ， 过 点 O作
OD AC⊥ 于D．下列四个结论：
190 2BOC A∠ = ∠①°+ ；
②以E为圆心、BE为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆
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③设OD m AE AF n= + =，， 则 AEFS mn=△ ；
④EF 不能成为 ABC△ 的中位线．
其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
22、(2009年达州 )如图 5，△ABC中，AB＝AC，与∠BAC相邻的外角为 80°，则∠B＝
____________.
23、(2009年达州)长度为 2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四条线段，从中任取三条线段能组成三角形
的概率是______________.
【关键词】三角形三边关系,概率
【答案】 34
三、解答题
1、（2009年浙江省绍兴市）如图，在 ABC△ 中， 40AB AC BAC= ∠ =，° ，分别以
AB AC， 为边作两个等腰直角三角形 ABD和 ACE，使 90BAD CAE∠ = ∠ = °．
（1）求 DBC∠ 的度数；
（2）求证：BD CE= ．
2、（2009年宁波市）如图 1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A的坐标为
( 8 0)- ， ，直线 BC经过点 ( 8 6)B - ， ， (0 6)C ， ，将四边形 OABC绕点 O按顺时针方向旋转
α 度得到四边形OA B C′ ′ ′，此时直线OA′、直线B C′ ′分别与直线 BC相交于点 P、Q．
（1）四边形OABC的形状是
当 90α = °时， BPBQ的值是
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（2）①如图 2，当四边形OA B C′ ′ ′的顶点B′落在 y轴正半轴时，求 BPBQ的值；
②如图 3，当四边形OA B C′ ′ ′的顶点B′落在直线BC上时，求 OPB′△ 的面积．
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0 180α& ≤° 时，是否存在这样的点 P和点Q，使
2BP BQ= ？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（2009年福州）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD
4、（2009年宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD。
求证：∠C=∠A.
5、(2009年安顺)如图，在△ABC中，D是 BC边上的一点，E是 AD的中点，过 A点作 BC
的平行线交CE的延长线于点 F，且 AF=BD，连结 BF。
（1） 求证：BD=CD；
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圖 13圖 3圖 圖
（备用图）
（第 26题）
（2） 如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论。
6、(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点 G是 BC上的任意一点， DE AG⊥ 于 E，
BF DE∥ ，交 AG于 F．
求证： AF BF EF= + ．
7、(2009年湖州)如图：已知在 ABC△ 中，
AB AC= ，D为BC边的中点，过点D作DE AB DF AC⊥，⊥ ，
垂足分别为E F， .
（1） 求证： BED CFD△≌△ ；
（2）若 90A∠ = °，求证：四边形DFAE是正方形.
，为正方形．
8、(2009年湖州)若 P为 ABC△ 所在平面上一点，且 120APB BPC CPA∠ = ∠ = ∠ = °，
则点P叫做 ABC△ 的费马点.
（1）若点 P为锐角 ABC△ 的费马点，且 60ABC PA PC∠ = = =°，3，4 ，则 PB的值
为________；
（2）如图，在锐角 ABC△ 外侧作等边 ACB△ ′连结BB′.
求证：BB′过 ABC△ 的费马点P，且BB′=PA PB PC+ + .
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9、（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E是
边 BC的中点． 90AEF∠ = o，且 EF交正方形外角 DCG∠ 的平行线 CF于点 F，求证：
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则
AM=EC，易证 AME ECF△≌△ ，所以 AE EF= ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E是边 BC的中点”改为“点 E是边 BC上（除
B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的
观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图 3，点 E是 BC的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不
变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如
果不正确，请说明理由．
10、（2009年娄底）如图 10，在△ABC中，AB=AC，D是 BC的中点，连结 AD，在 AD
的延长线上取一点 E，连结 BE，CE.?
（1）求证：△ABE≌△ACE?
（2）当 AE与 AD满足什么数量关系时，四边形 ABEC是
菱形？并说明理由.?
11、（ 2009 丽水市）已知命题：如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，且
AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真
命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
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12、（ 2009 烟台市）如图，直角梯形 ABCD 中， BCAD∥ ， 90BCD∠ = °，且
2 tan 2CD AD ABC= ∠ =， ，过点 D 作 ABDE∥ ，交 BCD∠ 的平分线于点 E，连接
（1）求证：BC CD= ；
（2）将 BCE△ 绕点 C，顺时针旋转 90°得到 DCG△ ，连接 EG.．求证：CD垂直平
（3）延长 BE交CD于点 P．求证：P是CD的中点．
即BC CD= ．
13、（2009恩施市）两个完全相同的矩形纸片 ABCD、BFDE如图 7放置， AB BF= ，
求证：四边形BNDM 为菱形．
14、(2009年上海市)已知线段 AC与BD相交于点O，联结 AB DC、 ，E为OB的中
点，F 为OC的中点，联结EF （如图所示）．
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（1）添加条件∠A=∠D， OEF OFE∠ = ∠ ，求证：AB=DC．
（2）分别将“ A D∠ = ∠ ”记为①，“ OEF OFE∠ = ∠ ”记为②，“ AB DC= ”
记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题
2．命题1是
命题，命题2是
命题（选择“真”或“假”填入空格）．
15、(2009武汉)如图，已知点E C， 在线段BF 上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．
求证： ABC DEF△≌△ ．
16、(2009年陕西省)如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的
延长线于点F．
求证：FA＝AB．
17、（2009年泸州）如图，已知△ABC 为等边三角形，点 D、E分别在 BC、AC 边上，且
AD与 BE相交于点F．
(1)求证： ABE? ≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
(2009 年四川省内江市 )如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE. AE 得
∠ADE=∠AED
∴∠ADB=∠AEC
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∴△ABD≌△ACE
19、 (2009年四川省内江市)如图，四边形 ABCD内接于圆，对角线 AC与 BD相交于点
E、F在 AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC
求证：（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD
20、（2009年重庆市江津区）如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交
求证：(1) △ABC≌△AED；
(2) OB＝OE .
21、（2009 年北京市）已知：如图，在△ABC 中，
∠ ACB=90o， CD AB⊥ 于 点 D, 点 E
在 AC 上 ，
CE=BC,过 E点作 AC的垂线，交 CD的延长线于点 F .
求证：AB=FC
22 、 （ 2009 年 吉 林 省 ） 如 图 ，
,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F= ⊥ = ∠于点，，平分交于点 ，请你写出图中三
对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
23．（2009年深圳市）如图，四边形 ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与 BC交
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（1）求证：△ABE △≌ CBF；
（2）若∠ABE=50?，求∠EGC的大小。
25、（2009年长沙）如图， E F、 是平行四边形 ABCD对角线 AC上两点，BE DF∥ ，
求证： AF CE= ．
26、（2009年莆田）已知：如图在 ABCDY 中，过对角线BD的中点O作直线EF 分别交
DA的延长线、 AB DC BC、、 的延长线于点E M N F、、、．
（1）观察图形并找出一对全等三角形：△ ________≌△ ____________，请加以证明；
（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样
的变换得到？
27、（2009年莆田）（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图）
①以已知线段 AB（图 1）为直径画半圆O；
②在半圆O上取不同于点 A B、 的一点C，连接 AC BC、 ；
③过点O画OD BC∥ 交半圆O于点D．
（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）
已知： AOB∠ （图 2）．
求作： AOB∠ 的平分线．
③作射线OE
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28、（2009年漳州）如图，在等腰梯形 ABCD中， E为底 BC的中点，
连结 AE、DE．求证： ABE DCE△≌△ ．
29、（2009年哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的
点，且 AD＝BE．
点C为弧 AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．
求证：CD＝CE．
30、（2009年牡丹江）已知 Rt ABC△ 中， 90AC BC C D= = °，∠， 为 AB
边的中点， 90EDF∠ = °，
EDF∠ 绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
当 EDF∠ 绕 D点 旋 转 到 DE AC⊥ 于 E时 （ 如 图 1 ） ， 易 证
2DEF CEF ABCS S S+ =△△△ ．
当 EDF∠ 绕D点旋转到DE AC和 不垂直时，在图 2和图 3这两种情况下，上述结论是否
成立？若成立，请给予证明；若不成立， DEFS△ 、 CEFS△ 、 ABCS△ 又有怎样的数量关系？请
写出你的猜想，不需证明．
32、（ 2009 年甘肃白银）如图，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠ECD=90°，D为 AB边上一点，求证：
（1） ACE BCD△≌△ ；（2） 2 2 2AD DB DE+ = ．
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33、（2009桂林百色）如图：在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，对角线 AC、BD相交于
（1）图中共有
对全等三角形；
（2）写出你认为全等的一对三角形，并证明．
34 、 （ 2009 白 银 市 ） 如 图 ， △ ACB 和 △ ECD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，
∠ACB=∠ECD=90°，D为 AB边上一点，求证：
（1） ACE BCD△≌△ ；（2） 2 2 2AD DB DE+ = ．
35、 (2009 宁夏 ) 如图：在 Rt ABC△ 中， 90ACB∠ = °， CD是 AB边上的中线，将
ADC△ 沿 AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形 ABCE．
求证：EC AB∥ ．
36、（2009 东营）已知正方形 ABCD 中，E为对角线 BD上一点，过 E点作 EF⊥BD交 BC于
F，连接DF，G为 DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45?，如图②所示，取 DF 中点 G，连接
EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问
（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
37、（眉山）在直角梯形 ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝
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2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。。
⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。
⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。
38、（2009年山西省）在 ABC△ 中， 2 120AB BC ABC= = ∠ =，°， 将 ABC△ 绕点B顺
时 针 旋 转 角 α (0 &° α 90 )& ° 得 A BC A B1 1 1△， 交 AC于 点 E， 1 1AC 分 别 交
AC BC、 于D F、 两点．
（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 1EA 与FC有怎样的数量关系？并证明
你的结论；
（2）如图 2，当α 30= °时，试判断四边形 1BC DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．
39、（2009年黄石市）如图，C F、 在BE上， A D AC DF BF EC∠ = ∠ =，∥， ．
求证： AB DE= ．
40、（2009年郴州市）如图 6，在下面的方格图中，将△ABC先向右平移四个单位得到
△A 1B1C1，再将△A 1B1C1绕点 A1逆时针旋转 90o得到D A 1B2C2，请依次作出△A 1
B1C1和△A 1B2C2。
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【答案】正确作出图形即可，图略．平移（4分）旋转（2分）
41、（2009 年常德市）如图 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别 EB，CD
的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕 A点旋转到图 10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，
若不成立请说明理由；（4分）
（2）当△ADE绕 A点旋转到图 11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给
出证明，并求出当 AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明
理由．（6分）
42、（2009年广西钦州）（1）已知：如图 1，在矩形 ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝
43、（2009年广西梧州）如图（7），△ABC中，AC的垂直平分线MN交 AB于
点D，交 AC于点O，CE∥AB交MN于 E，连结 AE、CD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）填空：四边形 ADCE的形状是
44、 (2009 年甘肃定西 )如图 13，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠ECD=90°，D为 AB边上一点，求证：
（1） ACE BCD△≌△ ；（2） 2 2 2AD DB DE+ = ．
45、（2009年清远）如图，已知正方形 ABCD，点E是 AB上的一点，连结CE，以CE
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为一边，在CE的上方作正方形CEFG，连结DG．
求证： CBE CDG△≌△
46、（2009年衢州）如图，四边形 ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且
点 P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．
47、（2009年舟山）如图，四边形 ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且
点 P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．
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48、（2009河池）如图 7，在△ ABC中，∠ACB=2 B∠ ．
（1）根据要求作图：
① 作 ACB∠ 的平分线交 AB于D；
② 过D点作DE⊥BC，垂足为 E．
（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形
和一对相似比不为 1的相似三角形：
请选择其中一对加以证明．
（2）△BDE≌△CDE ；
49、（09湖南怀化）如图 9，P是∠BAC内的一点，PE AB PF AC⊥ ⊥， ，垂足分别为
点E F，， AFAE = ．求证：（1） PFPE = ；
（2）点 P在∠BAC的角平分线上．
50、（ 09 湖北宜昌）已知：如图 2，在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB 为斜边，
AC=BD，BC，AD相交于点 E．
(1) 求证：AE=BE；
(2) 若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．
51、（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为 E，点D与点 A关于
点 E 对称，PB 分别与线段 CF，
(1)求证：AB=CD；
(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD
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的数量关系，并说明理由．
52、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形 ABCD在直线MN的上方，BC在直线
MN上，E是 BC上一点，以 AE为边在直线MN的上方作正方形 AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接 FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形 ABCD改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a、b为
常数），E是线段 BC上一动点（不含端点 B、C），以 AE为边在直线MN的上方作矩形
AEFG，使顶点G恰好落在射线 CD上．判断当点 E由 B向C运动时，∠FCN的大小是否
总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含 a、b的代数式表示 tan∠FCN的值；若∠FCN
的大小发生改变，请举例说明．
54、（2009年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ ABC△ ）空地上修建一个面积最大的圆形
花坛，请在图中画出这个圆形花坛．
55、（2009年山东青岛市）已知：如图，在 ABCDY 中，AE是
BC边上的高，将 ABE△ 沿 BC方向平移，使点 E与点 C重合，
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得 GFC△ ．
（1）求证：BE DG= ；
（2）若 60B∠ = °，当 AB与 BC满足什么数量关系时，四边形 ABFG是菱形？证明你的
57、（2009年湖北荆州）如图，D是等边△ABC的边 AB上的一动点，以CD为一边向上
作等边△EDC，连接 AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
58、（2009湖北荆州年）把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可
以分成能相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四
个三角形吗？请分别画出示意图。
59、（2009 年茂名市）如图，方格中有一个 ABC△， 请你在方格内，画出满足条件
1 1 1 1A B AB BC BC= =，，
1A A∠ = ∠ 的 1 1 1AB C△， 并判断 1 1 1AB C△ 与 ABC△ 是否一定全等？
60、(2009年肇庆市)如图 8，在 ABC△ 中， 36AB AC A= ∠ =，° ，线段 AB 的垂直平分
线交 AB于 D，交 AC
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于 E，连接 BE．
（1）求证：∠CBE=36°；
（2）求证： 2AE AC EC= g ．
61 、 （ 2009 年 崇 左 ） 如 图 ， 在 等 腰 梯 形 ABCD中 ， 已 知 AD BC∥ ，
2 4AB DC AD BC= = =，， ，延长BC到E，使CE AD= ．
（1）证明： BAD DCE△≌△ ；
（2）如果 AC BD⊥ ，求等腰梯形 ABCD的高DF的值．
62、（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，
AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于 G，PH⊥EC于 H，试求 PG+PH的
值，并说明理由.
63、（2009 年赤峰市）如图，在四边形 ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，
AF∥DC，连接 AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线。
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64、(2009年云南省)如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点
（1）求证：△ABC △≌ DCB ；
（2）过点C作CN∥BD，过点 B作 BN∥AC，CN与 BN交于点N，试判断线段 BN与
CN的数量关系，并证明你的结论．
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（第 2题）
（第 3 题）
三角形全等
1、 选择题
1. （2011深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条 'AA 、 'BB 的中点O连在一起，使
'AA 、 'BB 可以绕着点 0自由转动，就做成了一个测量工件，则 ' 'A B 的长等于内槽宽
AB，那么判定△AOB?△ ' 'A OB 的理由是
(A)边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边
二、填空题
1、（2011北京四中模拟 8）如图，∠ACB=∠ADB，要使△ACB≌△BDA，请写出一个符合要
∠CAB=∠DBA或∠CBA=DAB
2、（2011年北京四中模拟 28）
如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃
最省事的办法是带编号为
的碎片去．
3．（2011年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为 4的正方
形塑料摸板 ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶
点落在 A点，两条直角边分别与CD交于点 F ，与CB延长
线交于点E．则四边形 AECF 的面积是　　　　　　　．
三、解答题
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1、（浙江省杭州市 2011年中考数学模拟）如图，在△ABC中，D是 BC边上的点（不与
B，C重合），F，E分别是 AD及其延长线上的点，CF∥BE． 请你添加一个条件，使
△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
【根据习题改编】
（1）你添加的条件是：
（2）证明：
答案： 解：（1） DCBD = (或点D是线段 BC的中点)， EDFD = ， BECF = 中任选
一个即可圖
（2）以 DCBD = 为例进行证明：
∵ CF∥BE，
∴ ∠FCD圖∠EBD．
又∵ DCBD = ，∠FDC圖∠EDB，
∴ △BDE≌△CDF．
2、（2011年北京四中三模）
如图，正方形 ABCD中，E、F分别是 AB和 AD上的点，已知 CE⊥BF，垂足为M，请
找出和 BE相等的线段，并证明你的结论。
答案：和 BE相等的线段是：AF
通过证明△ABF≌△BCE得证 BE=AF
3、（2011年如皋市九年级期末考）如图，已知 AD是△ABC的角平分线，在不添加任何
辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：
，并给予证
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E ( 第 1 题 )
答案：答案不惟一．添加条件为 AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD．
以添加条件 AE＝AF为例证明．
证明：在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
△∴ AED △≌ AFD（SAS）．
4、（北京四中模拟）
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线
交DC于点E．
求证：（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
2、（2011杭州模拟 26） 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的两边分别在 x轴和 y轴
上，OA=10cm，OC=6cm。P是线段 OA上的动点，从点 O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀
速运动，点 Q在线段AB上。已知A、Q两点间的距离是 O、P两点间距离的 a倍。若用（a，t）
表示经过时间 t(s)时，△OCP、△PAQ 、△CBQ中有两个三角形全等。请写出（a，t）的所有
3、（北京四中模拟）如图，已知 AB DC AC DB= =， ．求证： 1 2∠ = ∠ ．
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（第 3题）
ABC DCB∴△≌△ ．
A D∴∠ = ∠ ．
又 AOB DOC∠ = ∠Q ，
1 2∴∠ = ∠ ．
4、（2011年北京四中模拟 26）已知：如图，D是 AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分
别交 BD、BC于点 F、G，∠1=∠2。
（1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论；
答案：解：（1）△FAB FAD? ? 。证明： , 1AD BE E∴∠ = ∠Q P 。
又 , ,EFB AFD BE AD FEB FAD∠ = ∠ = ∴? ? ?
5、（2011年北京四中模拟 28）
如图，点 F是CD 的中点，且 AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．
（1）求证：AB=AE；
（2）连接 BE，请指出 BE与 AF、BE与CD分别有怎样的关系？
（只需写出结论，不必证明）．
（1） 证明：联结 AC、AD----------------------------------------------------------------1分
∵点F是CD 的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD---------------1分
∴∠ACD=∠ADC------------------------------------------------------1分
∵∠BCD＝∠EDC,
∴∠ACB＝∠ADE-------------------------1分
∵BC=DE，AC=AD
∴△ABC≌△AED, -------------------------------------------------------1分
∴AB=AE-------------------------------------------------------------------1分
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（2） BE⊥AF,BE//CD,AF平分 BE--------------------------------------1分，1分，2分
（注：写出一个得 1分，写出两个得 2分，写出三个得 4分）
6、（2011年北京四中中考模拟 20）(本题8分)如图，AB∥CD
(1)用直尺和圆规作 C∠ 的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么
条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证
解：(1)作图略；
(2)取点F和画 AF正确(如图)；
添加的条件可以是：F是CE的中点；
AF⊥CE；∠CAF=∠EAF等。(选一个即可)
7. （2011年黄冈市浠水县中考调研试题）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝
∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结 BD.
求证：(1)△BAD≌△CAE；
(2)试猜想 BD、CE有何特殊位置关系，并证明.
答案：（1）AB＝AC，易证∠BAD＝∠CAE ，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS）
（2）BD⊥CE，证明略.
8. （2011年北京四中中考全真模拟 17）已知：如图，已知：D是△ABC 的边 AB 上一点，
CN∥AB，DN交AC于，若 MA=MC.
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求证：CD=AN.
答案：证明：如图，
因为 AB∥CN，所以 21 ∠=∠
在 AMD? 和 CMN? 中
CNAD =∴ CNAD //又
ADCN四边形∴ 是平行四边形
1．（ 2011
天一实验学校
二模）如图，已知 ABC△ 中，
10AB AC= = 厘米， 8BC = 厘米，点D为 AB的中点．
（1）如果点 P在线段 BC上以 3厘米/秒的速度由 B点向 C点运动，
同时，点Q在线段CA上由C点向 A点运动．
① 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，
BPD△ 与 CQP△ 是否全等，请说明理由；
②若点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度
为多少时，能够使 BPD△ 与 CQP△ 全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点 C出发，点 P以原来的运动速度从点 B同时出发，都
逆时针沿 ABC△ 三边运动，求经过多长时间点 P与点Q第一次在 ABC△ 的哪条边上相
理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动1秒时 BP=3,CP=5,CQ=3
∵D为 AB中点，AB=10，∴BD=5.
∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP
② 若 Q与 P的运动速度不等，则 BP≠CQ,若△BPD 与△CQP全等，
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CQ=5,Q的运动速度为5× 4
⑵设经过 t秒两点第一次相遇则
15 -3）t=20
80÷28=2 7
6 ×28=24,所以在AB边上。
80 两点第一次相遇，相遇点在 AB上。
2．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图， E F， 是平行四边形 ABCD的对角线 AC上
的点，CE AF= ．
请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？
并对你的猜想加以证明．
答案：猜想：BE∥DF
证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD、AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA
又∵ AF=CE
∴△ABE≌△CDF
∠AEB=∠CFD
∴∠BEF=∠DFE
3．（2011北京四中一模）如图，在 △ABC中，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，连结
AD，请你添加一个条件，
使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．
你添加的条件是
答案： 本题答案不唯一，添加的条件可以是
①AB＝AC，②∠B＝∠C，③ BD＝DC（或D是 BC中点），
④∠BAD＝∠CAD（或 AD平分∠BAC）等．
4.（2011浙江杭州义蓬一模）(本小题满分10分) 图 1,在△ABC中，
∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD
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（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求 sin∠ACH的值.
答案：（1）求证：① △AEF≌△BEC；
∠ABC=90°，E是AB的中点，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC
所以△AEF≌△BEC；
② 四边形BCFD是平行四边形；
可得DF∥BC,FC∥DB,或 DF∥BC，且DF=BC均可
（2）设 BC=1，则AC= 3 ,AD=AB=2
设 DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x) 2 +3=x 2
所以Sin∠ACH= 7
5. （2011深圳市全真中考模拟一） 如图 l，已知正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点
O，E是 AC上一点，连结 EB，过点 A作 AM⊥ BE，垂足为M，AM交 BD于点 F．
(1)求证：OE=OF；
(2)如图 2，若点 E在 AC的延长线上，AM⊥ BE于点M，交 DB的延长线于点 F，其
它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明
答案：(1)证明：∵四边形 ABCD是正方形．
∴∠ BOE=∠ AOF＝90°．OB＝OA
……………… (1分)
又∵AM⊥ BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°=∠ AFO+∠MAE
∴∠MEA＝∠ AFO………………（2分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ………………
………………(4分)
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(2)OE＝OF成立
………………
证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ BOE=∠ AOF＝90°．OB＝OA
……………… (6分)
又∵AM⊥ BE，∴∠ F+∠MBF＝90°=∠ B+∠OBE
又∵∠MBF＝∠OBE
∴∠ F＝∠ E………………（7分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ………………
………………(9分)
6. （河南新乡 2011模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC为 9的矩形
纸片 ABCO．将纸片翻折后，点 B恰好落在 x轴上，记为 B′，折痕为 CE，已知 tan∠OB
′C＝ 34．
（1）求B′ 点的坐标；
（2）求折痕 CE所在直线的解析式．
答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝ 4
3 ，OC＝9，
∴ 9 34OB =′ ．
………………………………………………………………………３分
解得 OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． ………………………………………４分
（2）将纸片翻折后，点B恰好落在 x轴上的B′ 点，CE为折痕，
∴ △CBE≌△CB′E，故 BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．
由勾股定理，得 CB′＝ 2 2OB OC′ + ＝15． … …………………………………５分
设 AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．
由勾股定理，得　a2+32＝(9－a)2，解得 a＝4．
∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）．
设直线CE的解析式为 y＝kx+b，根据题意，得
…………… ８分
∴CE所在直线的解析式为　y＝－ 3
1 x+9． ……
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7、（2011年黄冈市浠水县）如图，D是AB上一点，DF交 AC于点E，AE=EC，CF∥AB．
求证：AD=CF．
答案：证明： AB CFQ ∥ ， A ECF∴∠ = ∠ ．…………（2分）
又 AED CEF∠ = ∠Q ， AE CE= ，
AED CEF∴△≌△ ．………………………（5分）
AD CF∴ = ．…………………………………（6分）
8. （2011年浙江省杭州市模 2）（本小题满分10分）
如图1，点 P、Q分别是边长为4cm的等边?ABC边 AB、BC上的动点，点 P从顶点A，点 Q
从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点 M，则在 P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明
理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时?PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点 P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为
M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
答案：（1） 060=∠CMQ 不变。
060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中，?
又由条件得AP=BQ，∴ ABQ? ≌ CAP? (SAS)
∴ ACPBAQ ∠=∠
∴ 060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ BACCAMBAQCAMACPCMQ
（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t
4,24,2,6090 00 ==-=∴=∠=∠ tttBQPBBPQB 得时，?
当 2),4(22,2,6090 00 =-==∴=∠=∠ tttPQBQBBPQ 得时，?
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第 8题图 1
第 8题图 2
4 秒或第2秒时，?PBQ为直角三角形
（3） 0120=∠CMQ 不变。
060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中，?
∴ 0120=∠=∠ ACQPBC
又由条件得BP=CQ，∴ PBC? ≌ ACQ? (SAS)
∴ MQCBPC ∠=∠
又 MCQPCB ∠=∠?
∴ 0120=∠=∠ PBCCMQ
全等三角形
1、 选择题
1.（2010年武汉市中考模拟数学试题（15））如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线
PA、PB交于点 P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC=180°
③若点 M、N分别为点 P在BE、BF上的正投影，
则AM+CN=AC；
④∠BAC=2∠BPC
其中正确的是（　　）．
Ａ.只有①②③
Ｂ．只有①③④
Ｃ.只有②③④
Ｄ．只有①③
二、填空题
1．（2010 年德州第一次练兵）如图，点 P在 AOB∠ 的平分线上，若使 AOP? ≌
BOP? ，则需添加的一个条件是
（写一个即可，不添加辅助
答案：不唯一 ；
2．（陕西新希望教育 2010年 一模）如图，在等边△ABC中，AC＝3，点 O在AC上，且AO
＝1．点 P是AB上一点，连接 OP，以线段 OP为一边作正△OPD，且 O、P、D三点依次呈逆时
针方向，当点D恰好落在边BC上时则AP的长是
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3.（2010模拟题四）如图△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，
请你添加一个适当的条件：___________，使△AEH≌△CEB.
答案：AH=BC
三、解答题
1．（2010学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷 16）等边△ABC和等边△ADE如图放
置，且B、C、E三点在一条直线上，连接CD,求证：∠ACD＝60°.
答案：证△ABE≌△ACD即可（或证△ABE∽△ACD亦可）
2.（2010年武汉市中考模拟数学试题（24）） ABC△ 中， 90ACB = o∠ ，AC=BC，CO为
中线．现将一直角三角板的直角顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别
交 AC， CB 的延长线于点 G， H．请从图中选一组相等的线段并给予证明（除
AC=BC，OA=OB=OC外）
我选择证明
证明：（1）CG BH AG CH OG OH= = =，， （任一组都行）
GCO HBO∴△≌△ （利用等角的补角相等证 GCO OBH=∠∠ 比照给
CG BH∴ = ．
3.（2010年武汉市中考模拟数学试题（27））已知如图，∠A＝90°∠D＝90°且 AE=DE，
求证：∠ACB=∠DBC.
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4.（2010年武汉中考模拟试卷 6）如图，AB＝DE，AC＝DF，点 E、C在直线 BF上，且
BE＝CF。求证△ABC≌△DEF。
答案：、证明
∴BE＋EC＝EC＋CF即 BC＝EF
又∵AB＝DE
∴△ABC≌△DEF
5．（2010年溧水县）如图，在△ABC中，AB=AC，D是 BC的中点，连结 AD，在 AD的延长
线上取一点E，连结BE，CE.?
（1）求证：△ABE≌△ACE?
（2）当 AE与 AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.?
（1）证明：∵AB=AC?
点D为 BC的中点?
∴∠BAE=∠CAE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
（2）当 AE=2AD（或 AD=DE或DE= 12 AE）时，四边形 ABEC是菱形
理由如下：?
∵AE=2AD，∴AD=DE?
又点D为 BC中点，∴BD=CD?
∴四边形 ABEC为平行四形边
∴四边形 ABEC为菱形
（其他方法参照本方法给分）?
6．（2010永嘉学业二模）阅读：下题及证明过程：
已知：如图，在△ ABC 中，点 D 是 BC 上的一点，点 E 是 AD 上的一点，且
EB=EC，∠ABE=∠ACE.
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中
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EB = EC （
∠ABE=∠ACE（
∴△AEB≌△AEC（
∴∠BAE=∠CAE（
上面的证明过程是否正确？若认为正确，请在各步后面的括号内填入依据；若认为不
正确，请给予正确的证明.
解：上述的证明过程不正确。
证明：∵BE=EC
∴∠EBD=∠ECD
∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABD=∠ACD
在△ABE与△ACE中
∠ABE=∠ACE
∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴∠BAE=∠CAE
7.（河南邓北七校联考模拟试题）如图：?ACB与?DCE是全等的两个直角三角形，其中
∠ACB=∠DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.
（1）直线DE与 AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若?DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点 E恰好落在边AB上，求平
移距离 DD，；
（3）在?DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使?DCE与?ACB的公共部分是四边形，
设平移过程中的平移距离为 x ，这个四边形的面积为 y ，求 y 与 x 的函数关系式，
并写出它的定义域.
答案：解：（1）点 M
（2）经过 t秒时，NB t= ， 2OM t=
则 3CN t= - ， 4 2AM t= -
∵ BCA∠ = MAQ∠ =45o
3QN CN t= = -
∴ 1 1 (4 2 )(1 )2 2AMQS AM PQ t t= = - +g△ 2 2t t= - + +
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（第 6题图）
2 1 92 2 4S t t t
= - + + = - - +? ÷? ?
∵0 2t≤≤ ∴当 12t = 时，S的值最大．
（3）存在．
设经过 t秒时，NB=t，OM=2t 则 3CN t= - ， 4 2AM t= -
∴ BCA∠ = MAQ∠ =45o
①若 90AQM∠ = o，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高
∴PQ是底边MA的中线
∴ 12PQ AP MA= =
∴ 11 (4 2 )2t t+ = - ∴
∴点M 的坐标为（1，0）
②若 90QMA∠ = o，此时QM 与QP重合
∴QM QP MA= =
∴1 4 2t t+ = -
∴点M 的坐标为（2，0）
8．（2010年·武汉市·中考模拟试卷）如图：已知等边三角形 ABC,D为 AC边上的一动
点，CD=nDA，连线段 BD,M为线段 BD上一点，∠AMD=60°,AM交 BC于 E.
⑴.若 n＝1,则CE
⑵.若 n＝2,求证：BM=6DM.
⑶.当 n＝　　　　时，M为 BD中点.
（直接写结果，不要求证明）。
答案：（1）
（2）.证明:
∠AMD=∠ABD+∠BAE=60°
∠CAE+∠BAE=60°
∴∠ABD=∠CAE
又,BA=CA ,∠BAD=∠ACE=60°
∴△BAD≌△ACE(ASA)
作 CF∥BD交 AE于 F
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①×②得　 BM
∴BM=6DM　
9. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD//BC，∠A=90°，BC=CD，BE⊥DC 于点 E.求证：
△ABD≌△EBD
答案：∵AD∥ BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠DBC=∠CDB,∴∠CDB=∠ADB
又,∵BE⊥DC
∴∠BDE= 090
又∵∠A= 090
∴∠BED=∠A
∴△ABD≌△EBD
10.（2010年武汉中考命题）如图，A、D、F、B 在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且
AE∥BC，求证EF∥CD。
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11.（武汉市 2010年初中学业考试）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的
距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再
定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得
DE的长就是AB的长.请说明理由.
答案：证△ABC≌△EDC得 DE=AB.
12.(2010星子二中月考)如图是由正三角形组成的正六边形网格，请在网格中画出两个
互不重叠且各个顶点均在格点上的全等三角形．
答案：如：
13.(2010 星子二中月考)如图所示,把一张矩形纸片 ABCD沿对角线BD折叠,将重合部分
剪去,得到△ABF和△EDF.
求证：△ABF≌△EDF
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