（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率是根号2/2，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足1/|P1Q|+1/|P2Q|=2/|FQ|=2．（Ⅰ）求椭圆E的方程以及点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．①求证：B、C关于x轴对称；②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．-乐乐题库
& 直线与圆锥曲线的关系知识点 & “（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：...”习题详情
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（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1&(a＞b＞0)的离心率是√22，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足1|P1Q|+1|P2Q|=2|FQ|=2．（Ⅰ）&求椭圆E的方程以及点Q的坐标；（Ⅱ）&过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．①求证：B、C关于x轴对称；②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-宁波二模
分析与解答
习题“（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率是根号2/2，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a），由1|P1Q|+1|P2Q|=2|FQ|=2，得x=a2c，依题意|FQ|=1，即a2c-c=b2c=1，再由离心率ca=√22，&b2=a2-c2，联立即可解得a，b，c，及点Q坐标；（Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），点B关于x轴的对称点B1（x2，-y2），只需证明B1即为点C，可证A、F、B1三点共线，根据斜率相等及韦达定理即可证明；②由①得B、C关于x轴对称，同理A、D关于x轴对称，易知四边形ABCD是一个等腰梯形，从而四边形ABCD的面积S=|x1-x2|o（|y1|+|y2|）=|m|o|y1-y2|o|y1+y2|，代入韦达定理可得关于m的函数，通过换元借助导数可求得S的最大值及相应的m值，从而可得直线方程；
解：（Ⅰ）设点F（c，0），Q（x，0）（x＞a）．由1|P1Q|+1|P2Q|=2|FQ|=2，可得1x+a+1x-a=2x-c，解得x=a2c．依题意|FQ|=1，即a2c-c=b2c=1．又因为ca=√22，&b2=a2-c2，所以a=√2，&b=c=1．故椭圆的方程是x22+y2=1，点Q的坐标是（2，0）．&&&&&&&&（Ⅱ）①设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆E的方程可得（2+m2）y2+4my+2=0，依题意，△=（4m）2-8（2+m2）=8（m2-2）＞0，m2＞2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-4m2+m2，y1oy2=22+m2．（*）点B关于x轴的对称点B1（x2，-y2），则A、F、B1三点共线等价于y1x1-1=-y2x2-1y1my1+1+y2my2+1=02my1y2+y1+y2(my1+1)(my2+1)=0，由（*）可知上述关系成立．因此，点C即是点B1，这说明B、C关于x轴对称．②由①得B、C关于x轴对称，同理，A、D关于x轴对称．所以，四边形ABCD是一个等腰梯形，则四边形ABCD的面积S=|x1-x2|o（|y1|+|y2|）=|m|o|y1-y2|o|y1+y2|=4m22+m2√(y1-y2)2=8√2om2√m2-2(2+m2)2．设t=√m2-2&&(t＞0)，则m2=t2+2，S(t)=8√2o(t2+2)t(t2+4)2．求导可得S′=-8√2o(t4-6t2-8)(t2+4)3，令S'=0，可得t2=3+√17．由于S（t）在(0，√3+√17)上单调增，在(√3+√17，+∞)上单调减．所以，当t2=3+√17即m2=5+√17时，四边形ABCD的面积S取得最大值．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&此时，直线l的方程是x=±√5+√17y+2．
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程及直线的方程，考查三点共线及直线斜率，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性强，所用知识点繁多，对能力要求高．
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（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率是根号2/2，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2...
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经过分析，习题“（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率是根号2/2，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的关系”
等考点的理解。
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直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的交点．
与“（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率是根号2/2，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点...”相似的题目：
如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为174．&（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．
已知x29+y24=1，则t=yx+6的取值范围为&&&&．
已知1m+2n=1(m＞0，n＞0)，当mn取得最小值时，直线y=-√2x+2与曲线x|x|m+y|y|n=1交点个数为&&&&．
“（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：...”的最新评论
该知识点好题
1若过点A（3，0）的直线l与曲线（x-1）2+y2=1有公共点，则直线l斜率的取值范围为（　　）
2已知左右焦点分别为F1，F2的椭圆x2a2+y2b2=1上存在一点P使PF1⊥PF2，直线PF2交椭圆的右准线于M，则线段PM的长为（　　）
3双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若FR=λFM，且λ∈（12，23），则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
该知识点易错题
1若过点A（3，0）的直线l与曲线（x-1）2+y2=1有公共点，则直线l斜率的取值范围为（　　）
2已知左右焦点分别为F1，F2的椭圆x2a2+y2b2=1上存在一点P使PF1⊥PF2，直线PF2交椭圆的右准线于M，则线段PM的长为（　　）
3双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若FR=λFM，且λ∈（12，23），则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率是根号2/2，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足1/|P1Q|+1/|P2Q|=2/|FQ|=2．（Ⅰ）求椭圆E的方程以及点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．①求证：B、C关于x轴对称；②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．”的答案、考点梳理，并查找与习题“（2013o宁波二模）如图，已知椭圆E：x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率是根号2/2，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足1/|P1Q|+1/|P2Q|=2/|FQ|=2．（Ⅰ）求椭圆E的方程以及点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．①求证：B、C关于x轴对称；②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．”相似的习题。如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率为根号22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1ok2=1；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|o|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．-乐乐题库
& 圆锥曲线的综合知识点 & “如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=...”习题详情
126位同学学习过此题，做题成功率64.2%
如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（√2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1ok2=1；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|o|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-山东
分析与解答
习题“如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率为根号22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca=√22，及椭圆的定义得到又2a+2c=4(√2+1)，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=1k（x-2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|o|CD|，求得λ的值．
解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca=√22，得a=√2c，又2a+2c=4(√2+1)，所以可解得a=2√2，c=2，所以b2=a2-c2=4，所以椭圆的标准方程为x28+y24=1；所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为x24-y24=1．（Ⅱ）设点P（x0，y0），则k1=y0x0+2，k2=y0x0-2，∴k1ok2=y0x0+2y0x0-2=y02x02-40，y0）在双曲线上，∴x02402=x02-4，∴k1ok2=y02x02-41ok2=1，∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=1k（x-2），由方程组{y=k(x+2)x28=1消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，x1+x2=-8k21+2k21ox2=8k2-82k2+12(x1+x2)2-4x1&x2=√2(1+k2)2k2+1，同理可得CD=√1+(1k)2(x1+x2)2-4x1x2=√2(1+1k2√2(1+k2)k2+2，∵|AB|+|CD|=λ|AB|o|CD|，∴λ=1|AB|+1|CD|=√2(1+k2)2k2+1-√2(1+k2)k2+2=√2(k2+1)=√28，∴存在常数λ=√28，使得|AB|+|CD|=λ|AB|o|CD|恒成立．
本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率为根号22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该...
错误类型：
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习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
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经过分析，习题“如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率为根号22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异...”主要考察你对“圆锥曲线的综合”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆锥曲线的综合
圆锥曲线的综合．
与“如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率为根号22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异...”相似的题目：
已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2+an2f(n)-1f(n)+1≥nn+1成立的a的最小值；（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较1f(1)-f(2)+1f(2)-f(4)+…+1f(n)-f(2n)与6of(1)-f(n+1)f(0)-f(1)的大小，并说明理由．&&&&
已知双曲线x2m-y2m+18=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=√3x，它的一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上，则 a=&&&&．
设椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（0，-45），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．&&&&
“如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=...”的最新评论
该知识点好题
1等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4√3，则C的实轴长为&&&&
2如图，双曲线x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=&&&&5+12；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S1S2=&&&&5+22．
3已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为&&&&．
该知识点易错题
1如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（√2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1ok2=1；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|o|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
2已知抛物线C1：x2+by=b2经过椭圆C2：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点．（1）求椭圆C2的离心率；（2）设Q（3，b），又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程．
3已知椭圆C1：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．（I）求椭圆C1的方程；（II）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率为根号22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1ok2=1；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|o|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，已知椭圆x2/a2+又y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率为根号22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（根号2+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1ok2=1；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|o|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．”相似的习题。考点：．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线PQ：x=my+3，与椭圆方程联立，得（3m2+4）y2+18my-21=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MR、NR的斜率为定值．解答：解：（1）由题意：（2分）2=a2-b2a2=14=>a2=16（4分）故椭圆C的方程为216+y212=1（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若直线PQ与纵轴垂直，则M，N中有一点与A重合，与题意不符，故可设直线PQ：x=my+3．（6分）将其与椭圆方程联立，消去x得：（3m2+4）y2+18my-21=0（7分）1+y2=-18m3m2+4，y1y2=-213m2+4（8分）由A，P，M三点共线可知，M163+4=y1x1+4，M=283oy1x1+4，（9分）同理可得N=283oy2x2+4（10分）MRokNR=yM163-3oyN163-3=9yMoyN49=16y1y2(x1+4)(x2+4)（11分）而1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49（12分）所以MRokNR=16×-213m2+4m2o-213m2+4+7mo-18m3m2+4+49=16×(-21)4×49=-127故直线MR、NR的斜率之积为定值．（14分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．答题：zlzhan老师