定积分计算器定积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-04 05:52 标签： 计算定积分∫
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页面数据加载中...《微积分》6.4 定积分的计算方法_中华文本库
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§6.4 定积分的计算方法
由牛顿—莱布尼兹公式知 由牛顿 莱布尼兹公式知: 计算定积分 莱布尼兹公式知
的关键在于求出?(x)在[a, b]上的一个原函数 在 上的一个原函数F(x); 而由 的关键在于求出 上的一个原函数 第五章知求函数的原函数(即不定积分 的方法有凑微分法 第五章知求函数的原函数 即不定积分)的方法有凑微分法、 即不定积分 的方法有凑微分法、 换元法和分部积分法. 因而在一定条件下 也可用这几 换元法和分部积分法 因而在一定条件下, 种方法来计算定积分 . 一、凑微分法 因用凑微分法计算不定积分时自始至终可以不引入新 变量, 故用凑微分法计算定积分时, 变量 故用凑微分法计算定积分时 也应自始至终不改变 积分限. 下面举例说明. 积分限 下面举例说明
例10 计算 (1)
x 1 + x 2 dx
1 1 2 2 解 ∫ x 1 + x dx = ∫ (1 + x 2 ) d (1 + x 2 ) 0 2 0
3 1 1 2 2 2 = ? (1 + x ) 0 2 3
3 3 1 = [(1 + 12 ) 2 - (1 + 0 2 ) 2 ] 3 1 = (2 2 - 1) 3
sin 3 x - sin 5 xdx
解 因 sin 3 x - sin 5 x = sin 3 x(1 - sin 2 x) 3 ? 2 3 ? cos x ? sin x ? = cos x ? sin 2 x = ? 3 ? - cos x ? sin 2 x ? ?
x ∈ [0, x ∈[
故 I = ∫ cos x ? sin xdx - ∫π cos x ? sin xdx
= ∫ sin xd sin x - ∫π sin xd sin x
5 5 π π 4 2 2 2 2 2 = sin x - sin x π = 5 0 5 5 2
二、换元积分法 定理8 上连续, 定理8 若?(x)在[a, b]上连续 而 x =?(t) 又满足 在 上连续 (1) 在[α,β]上单调连续且具有连续导数; 上单调连续且具有连续导数; 上单调连续且具有连续导数 (2) ?(α)= a, ?(β)= b, 则 的一个原函数, 证 设F(x)是?(x)的一个原函数 是 的一个原函数
f ( x)dx = ∫ f (? (t ))? ′(t )dt
即 F ′( x) = f ( x)
故 ∫ f ( x)dx = F (b) - F (a)
d 而 F [? (t )] = F ′[? (t )] ? ? ′(t ) dt
= f [? (t )] ? ? ′(t )
F [? (t )] 是 f [? (t )] ? ? ′(t )的一个原函数,且
f [? (t )] ? ? ′(t )dt = F [? (t )] α = F [? ( β )] - F [? (α )] = F (b) - F (a ) f ( x)dx = ∫ f [? (t )] ? ? ′(t )dt ——定积分的换元公式 定积分的换元公式. 定积分的换元公式 α
在应用换元公式计算定积分时, 注意以下几个问题 以下几个问题: 在应用换元公式计算定积分时 应注意以下几个问题 (1) 所选择的代换式 ?(t)必须满足定理中的两个条件 所选择的代换式x=? 必须满足定理中的两个条件 必须满足定理中的两个条件; (2) 换元积分的关键是换限 记住“上限对上限 下限对下限”; 换元积分的关键是换限.记住 上限对上限,下限对下限 记住“ 下限对下限” (3) 求出 f [? (t )] ? ? ′(t )的一个原函
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寻找更多 ""不计算定积分，估计定积分的值。_百度知道
提问者采纳
（sinx）^2取值范围[0,1]，1/[ 1+（sinx）^2 ] 取值范围[1/2,1]。该定积分取值范围：[π/4，π/2]
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