第七章第2课时空间几何体的表面积和体积_百度文库
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第七章第2课时空间几何体的表面积和体积|21高​考​优​化​设​计​配​套​课​件
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[求助]一道多元微分题：求立体体积最大条件
发表于 06-12-13 16:22:26
题为：已知：三角形周长2P，将它绕一边旋转而成一立体，求使立体体积最大的那个三角形！
答案为：P/2， 3P/4， 3P/4
请教达人，谢谢！
----出自二李06复习全书第八章习题8...本帖子中包含更多资源，您需要
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发表于 06-12-13 18:18:49
[ 本帖最后由 talentmonkey 于
06:29 PM 编辑 ]
发表于 06-12-14 09:09:27
偶之前对楼主的问题作了回答,但是没有用公式编辑器,鉴于在回答每天一道典型题时不用编辑器都已经被版主扣分,且随后重新贴上编辑过的公式也不被原谅.故而在没看到楼主回复的情况下,将自己的帖子编辑清除.
现在请版主对以上问题作答吧,偶懒,勿怪. [s:5]
头像被屏蔽
发表于 06-12-14 13:06:27
回复 #3 talentmonkey 的帖子
懒就不要乱灌水,你可以不回答,但不能这样灌水,下次注意啦!
头像被屏蔽
发表于 06-12-14 13:46:29
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发表于 06-12-14 14:12:16
原帖由 talentmonkey 于
09:09 AM 发表
偶之前对楼主的问题作了回答,但是没有用公式编辑器,鉴于在回答每天一道典型题时不用编辑器都已经被版主扣分,且随后重新贴上编辑过的公式也不被原谅.故而在没看到楼主回复的情况下,将自己的帖子编辑清除.
现在请 ...
呵呵，不管有用没用，不用删除原来自己的回答吧，至于原谅你没用编辑的公式，版主已经原谅你了，我补偿你一点分数吧，希望继续努力哦，呵呵
发表于 06-12-14 15:16:55
恩,谢谢版主啦,呵呵[s:5]
偶以后也会尽量注意用编辑器的哦.
现在贴下偶的方法吧,看行不?
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发表于 06-12-15 20:57:59
谢谢大家！尤其是sglap版主！！talentmonkey 朋友的解法也很新颖简洁，用在选择填空题里非常不错！
[ 本帖最后由 bobooscar 于
08:59 PM 编辑 ]
GMT+8, 14-12-12 07:15
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空间几何体的三视图、表面积及体积一、主干知识1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、长方体之间的关系：2.三视图：(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面.二、几何体的表面积与体积公式1.表面积公式:表面积=侧面积+底面积,其中(1)多面体的表面积为各个面的_________.(2)圆柱的表面积公式:S=___________=_________(其中,r为底面半径,l为圆柱的高).(3)圆锥的表面积公式:S=_________=________(其中圆锥的底面半径为r,母线长为l).面积的和2πr2+2πrl2πr(r+l)πr2+πrlπr(r+l)(4)圆台的表面积公式:S=__________________(其中圆台的上、下底面半径分别为r′和r,母线长为l).(5)球的表面积公式:S=_____(其中球的半径为R).π(r′2+r2+r′l+rl)4πR22.体积公式：(1)V柱=___.(2)V锥=.(3)V球=.Sh1.(2013?山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是()【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，侧面积需要计算侧面三角形的高2.(2013?重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240【解析】选D.由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.底面积为2×(8+2)×4=40,由三视图知,梯形的腰为梯形的周长为8+2+5+5=20,所以四棱柱的侧面积为20×10=200，表面积为240.3.(2013?安庆模拟)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为()【解析】选A.由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，所以体积为4.(2013?辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_________.【解析】圆柱的底面半径为2，母线长为4，其体积V1=Sh=π×22×4=16π;被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长为4的长方体，其体积V2=22×4=16.故该几何体的体积是V=V1－V2=16π－16.答案：16π－16热点考向1三视图的确认与应用【典例1】(1)(2013?四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(2013?新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()【解题探究】(1)解答本题的切入点是什么?提示:解答本题的切入点是从俯视图入手.(2)解答本题的思考顺序是什么?提示:首先在空间直角坐标系中画出该四面体,然后从投影面入手,分析正视图的各种情况.【解析】(1)选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D适合，故选D.(2)选A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内,所以以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为选项A中的图.【方法总结】有关空间几何体的三视图问题的求解关键(1)形状的确定：三视图与空间几何体的相互转化是解决这类问题的常用方法.(2)大小的确定：根据三视图的大小可确定几何体的大小,由几何体的大小也可求出三视图的大小.【变式训练】(2013?重庆模拟)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是()【解析】选D.从侧视方向，观察几何体得一个矩形，其中对角线看不见，应是从右上方到左下方.热点考向2几何体的表面积与体积的计算【典例2】(1)(2013?浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3(2)某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为()A.92+14πB.82+14πC.92+24πD.82+24π【解题探究】(1)求几何体体积的两个步骤:①根据三视图想像几何体的直观图:几何体的形状是_____________________.②计算体积:用长方体的体积减去三棱锥的体积.(2)①几何体的形状是什么?提示:几何体的下半部分是长方体,上半部分是圆柱的一半.②几何体的表面积是长方体与半个圆柱表面积的和吗?提示:不是,不包含长方体与半个圆柱互相重合的面.长方体截去一个三棱锥【解析】(1)选B.由三视图可知该几何体如图所示，所以=(2)选A.由几何体的三视图，知该几何体的下半部分是长方体，上半部分是半径为2，高为5的圆柱的一半.长方体中EH=4，HG=4,GK=5,所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4×4+4×5)+4×5=92.半圆柱的两个底的面积为π×22=4π,半圆柱的侧面积为π×2×5=10π，所以整个组合体的表面积为92+4π+10π=92+14π,选A.【互动探究】若题(2)条件不变，试求该几何体的体积.【解析】由题(2)解析可知半圆柱体积为:长方体的体积为:4×4×5=80,所以该几何体的体积为:80+10π.【方法总结】1.求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.2.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状.(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量.(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.【变式备选】(2013?北京模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()【解析】选B.由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底边长为4，所以底面积为所以该几何体的体积为热点考向3多面体与球的切、接问题【典例3】(1)(2013?大连模拟)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为的正方形.若则△OAB的面积为________.(2)(2013?开封模拟)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球表面积的则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________.【解题探究】(1)求△OAB的面积的两个关键点:①确定球心位置：点P,A,B,C,D可以视为球O的内接长方体的顶点，则球心所在位置是:_______________________;②确定△OAB的面积的求法：△OAB的面积与长方体对角面的面积的关系是:△OAB的面积是长方体对角面的面积的.长方体的体对角线的交点(2)求两个圆锥的高之比的两个关键：①确定球的半径与圆锥底面半径的比：球半径为r1,圆锥底面圆的半径为r2,则r1,r2的关系为;②用r1表示两个圆锥的高：体积较大者的高为,体积较小者的高为.【解析】(1)由题意，PA⊥平面ABCD，则点P,A,B,C,D可以视为球O的内接长方体的顶点，球心O位于该长方体的体对角线的交点处，那么三角形OAB的面积为长方体对角面面积的四分之一.因为所以PB=6,所以△OAB的面积=答案：(2)设球心为O1,球半径为r1,圆锥底面圆圆心为O2,半径为r2,则有即所以O1O2=设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1,h2,则答案：【方法总结】多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a,PB=b,PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2=a2+b2+c2求解.【变式训练】(2013?三亚模拟)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()【解析】选Ｂ.设球心为O，正三棱柱上底面为△ABC，中心为O′，因为三棱柱所有棱的长都为a，则可知又由球的相关性质可知，球的半径所以球的表面积为故选Ｂ.【典例】1.(2012?新课标全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为()2.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为( )【解析】1.选A.方法一：因为SC是球O的直径，所以∠CAS=∠CBS=90°.因为BA=BC=AC=1,SC=2,所以取AB的中点为D，显然AB⊥CD，AB⊥SD，所以AB⊥平面CDS.在△CDS中，SC=2，利用余弦定理可得cos∠CDS=故sin∠CDS=所以S△CDS=所以V=VB-CDS+VA-CDS==方法二：△ABC的外接圆的半径点O到平面ABC的距离SC为球O的直径?点S到平面ABC的距离为此棱锥的体积为2.选A.设球O1,O2的半径分别为r1,r2，由题意知|O1A|+|O1O2|+|O2C1|=而|O1A|=|O1O2|=r1+r2,|O2C1|=所以所以从而【方法总结】利用转化与化归思想解决多面体与球的接、切问题(1)多面体与球接、切问题，直接过球心及多面体的特殊点作截面，转化为多个多面体或平面图形的接、切问题求解.(2)多面体与球接、切问题，可转化为特殊的多面体(如长方体、正方体等)与球的接、切，再转化为平面图形的接、切问题求解.转化与化归思想――求空间几何体的体积【思想诠释】1.主要类型：(1)等体积转化法，如求三棱锥的体积，可转换顶点求解.(2)不规则几何体的体积的求解.2.解题思路：常结合所给几何体的结构特征及条件，通过割、补、转化等方法求解.3.注意事项：(1)割、补法是把不规则几何体转化为可求体积的几何体的常用方法.(2)等体积转化法适合于三棱锥.【典例】(2013?烟台模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为_____.【审题】分析信息，形成思路切入点：转换三棱锥的顶点,使三棱锥的高与底面积易求.关注点：一般是把三棱锥的底面放在几何体的一个面上.【解题】规范步骤，水到渠成①,△DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半，三棱锥F-DED1的高即为正方体的棱长②，所以答案：【点题】规避误区，易错警示【变题】变式训练，能力迁移(2013?南充模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为_____cm3.【解析】由题意知，四边形ABCD为正方形，连接AC,交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为从而答案:61.(2012?天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为________m3.【解析】组合体的底座是一个棱长分别为4,3,2的长方体，上面是一个高为4的四棱柱，底面的面积所以所求的体积是V=V四棱柱+V长方体=答案：302.(2013?烟台模拟)在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC都是边长为的等边三角形，AB=2.则三棱锥A-PBC的体积为____.【解析】如图所示，取AB的中点D，连接PD，DC,则PD⊥AB,CD⊥AB,由AD=BD=1，得PD=CD=1,所以PD2+CD2=PC2，因此PD⊥DC.又CD∩AB=D,故PD⊥平面ABC.所以答案：
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3秒自动关闭窗口常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题13 简单几何体表面积和体积的求法_百度文库
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