多元函数微分学
第五章&&& 多元函数微分学及其应用
前面研究了一元函数的微分法，那里研究的对象是一个自变量的所谓一元函数，所用工具是一元函数的极限。但在实际问题中，所遇到的函数常常是两个以上自变量的所谓多元函数。为了研究这种多元函数的微积分，需要用到前面第二章多元函数的概念及极限的知识。
§1& &偏导数
和一元函数微分学相比，尽管多元函数的微分学有许多和一元函数微分学情形相类似，但一元函数到多元函数确有不少本质上的飞跃，而从二元函数到三元以上的函数，则只有技巧性的差别，而无实质上的不同。学习多元函数的微积分就要紧紧抓住这两个特点，既看到它们的相同之处，又要注意不同之点。本章将重点研究二元函数微分法。
一、偏导数的定义与计算
大家还记得，一元函数的导数
是由函数对自变量在各种意义下的变化率而抽象出来的。对多元函数来说，也有变化率问题。但由于自变量的增多，使得问题变得较为复杂。但在实际问题中，常常要考虑的是，多元函数只对某个自变量的变化率（其余变量看作是不变的）。例如，在热传导问题中，要研究物体中各点随时间变化的温度函数
对时间的变化率。这种只考虑多元函数对某个自变量（其余变量看作常数）的变化率称为偏导数。因为多元函数的偏导数是指对一个自变量求导数，而其它自变量都保持不变。所以偏导数也是一元函数的导数。所谓“偏”是指对其中一个自变量而言。
1．定义& 设二元函数在点的某一邻域内有定义，当固定为时，即点由点变到点，若极限
存在，则称此极限值为二元函数在点处对的偏导数。记作
类似地，可以定义二元函数在点处对的偏导数为极限值：
对的偏导数记作&&
若函数在平面区域D内每一点都有偏导数存在，那么它们显然都是的函数，称为的偏导函数，简称偏导数。记作
2．偏导数的计算
由定义可知，偏导数的计算实际上就是一元函数的导数，原则上没有新问题，即不过是老方法新形式而已。所以求偏导数的方法是：求时：把看作常量，而仅对求导；求时：把看作常量，而仅对求导。
求在点（1，2）处的偏导数。
解 &首先求出
然后以代入得
（任意），求证：
证明& 因为 &，，所以
已知理想气体的状态方程为常数），求证：
证明& 因为&&&&&&&&&&&&&&
所以&&&&&&&&& &&&&&。
上例表明，不能将偏导数符号看作与的商，而是一个整体记号，这与一元函数的导数看作微商不同。
二、二元函数偏导数的几何意义
给定函数，设，则是平面上的曲线
在点处的切线对轴的
斜率； 是平面上的曲线
在点处的切线对轴
的斜率（如图5-1）。
三、高阶偏导数
定义& 设在区域D内存在偏导数，称它们为一阶偏导数，若与又存在偏导数，则称之为的二阶偏导数，它们分别记作：
其中与称为混合偏导数。
&& 类似地可定义元函数的二阶偏导数，进而又可以考虑二阶以上的偏导数。一般地，称一个多元函数的阶偏导数的偏导数为的阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。
，&&&&& 。
上例中两个二阶混合偏导数相等，即 ，这不是偶然的，事实上，我们有下述定理。
定理& 若在区域D上存在连续的偏导数及，则在D内有
换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。此定理的证明从略。同样更高阶的混合偏导数在连续的条件下也是与求导的次序无关的。
设，证明 。& 其中。
&&&&&&&&&&&
因此&&&&&&&&&&&&&&
§2&& 全& 微& 分
一、全微分的概念
偏导数仅是某一个自变量变化时函数的变化率，它不能刻划函数的整体变化情况，下面讨论各变量同时变化的情况。
设二元函数，在点的某邻域有定义，让自变量和在点分别取得增量和，则相应的函数也取得增量，称
为在点对的偏增量；为在点对的偏增量；
为在点的全增量。
2、全微分的定义
定义& 设在点的某邻域内有定义，若在点的全增量可表为
其中，与无关，，则称在点（可微，并称为在点的全微分。记为，即
若在区域上点点可微，则称函数在区域上可微。
二、可微的条件
（可微的必要条件）
&& 若在可微，则在（的偏导数必存在，且。
证& 因为函数在可微，则其全增量可以表为
因为上式对任意的都成立，故令，得，全增量转化为偏增量
两边除，再令，得
。同理可证 。
此定理告诉我们，若可微，则全微分为
定理2（可微的必要条件）若在点可微，则它在点连续。
证& 因为在可微，则其全增量可以表为
所以。由连续的定义知在点处连续。
定理3（可微的充分条件）
若在点（的偏导数存在且连续，则函数在该点可微分。
证& 根据拉格朗日中值定理及的连续性知，全增量表示为
其中，由此便知在点可微。
推广& 设三元函数在点处可微，则
计算函数（1）；（2） 的全微分。
解& （1）&& 因为&
所以&&&&&&&&&&&&&
（2）因为&
所以&&&&&&&&&&& 。
三、连续、偏导数存在、可微三者间的关系
连续，偏导数存在，可微三者之间的关系可用以下框图表示：
由此可看出一元函数与二元函数的本质差别，对一元函数来说，可导与可微等价，但对二元函数可微是比偏导数存在更强的一个概念。
例2& 证明：在点处的偏导数存在，但在点处不可微。
证& （1）因为& ，同理& ，
所以在点处的偏导数存在。
（2）用反证法证明在点处不可微，若在点处可微，则在此点有，但
所以在点处不可微。此例说明偏导数存在不能保证全微分存在。
§3&& 多元复合函数的求导法则
一元复合函数导数的“链式法则”在一元函数微分学中起重要作用。现将其推广到多元复合函数。
定理1 &设在区域D上有连续的偏导数，在区间上可微，且，则复合函数在区间上可微，且
证& 设给一个增量有对应增量，则z的对应增量为
因为的偏导数连续，所以对于是可微，即
其中。两边除，得
用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。此定理还可推广到中间变量不是一元函数的情形，例如，设复合而得函数。即
如果都在点有对与的偏导数，有连续的偏导数，则有
更一般地，若，，假定皆存在，且连续，则有
例2 &，求。
例3& 设，其中具有二阶连续偏导数，求。
解& 令& &&&则
&&&&&&& 。
§4&& 隐函数微分法
第三章曾简单地阐明了什么是隐函数及其有关的问题，并就方程确定为的隐函数，利用一元函数的复合函数求导法求隐函数的导数，和那里的情形类似，下面介绍由方程和方程组所确定的隐函数的求导法。
一、一个方程的情形
下面介绍的定理给出隐函数存在的条件及其导数的求法。
隐函数存在定理& 设函数在点的某邻域内具有连续的偏导数，且
，则方程在点的某一邻域内恒有能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数，它满足条件，并有
公式（2）就是隐函数的求导公式。
这个定理的证明从略。现仅就公式（2）作如下推导：
将方程（1）所确定的函数代入（1），得恒等式
两端对求导，得
因为连续，且，所以存在的一个邻域，在这个邻域内，于是得
如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式（2）的两端看作的复合函数再一次求导，即得
&&&&&&&&&&&
设 &，求。
解& 设，因为
二、二元隐函数的求导公式
设确定了函数，且，由方程两边分别对和求导，应用复合函数的求导法则得
从而&&&&&&&&&&&&&&&&&&
设由方程 确定，求。
解& 设，因为
三、函数组的情形
设有方程组&&&&&&&&&&&&
在几何上它表示两曲面的交线，因此只有一个独立的变量。不妨设为，则（5）确定了两个函数，求。
由链式法则，（5）式两端分别对求导，并注意都是的函数，便得
这是关于及的二元线性方程组，当系数行列式时，则
其中称为，对的雅可比（）行列式，简记为。
设方程组 确定了函数求。
解& 方程两端对求导
由此解得&&&&&&&&&&&&&&&&&&
对于隐函数是多元函数时，有类似的结论。下面举例说明：
例3& 设方程组&&
确定了函数，求。
解& 方程两边对求导，得
，& 解之得。
由方程组对求导，类似可求出。
§5& &微分法在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
1、设曲线的参数方程为
&&&&& （1）
且在点可导，且导数不全为零。设对应点，对应点，则割线的方程为
或&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（割线的极限位置直线），称为在点的切线（如图5-3）。其方程为
称为曲线在点的切向量。过点而与切线垂直的平面称为在的法平面，其方程为
求 在点处的切线及法平面。
解& 因为，&& 当时，切向量
所以切线方程为：&
法平面方程为：&&&&&&&&&&&&&
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2、设曲线方程为两个曲面的交线，其方程为
&&&&&&&&&&&&
此时，因为（4）可确定一对函数，故（4）化为形式（1），（4）式分别对、对求全导数，得
于是曲线在点的切向量为，故曲线在处的切线方程为：&&&
法平面方程为：
设曲线为：，求上任一点处的切线和法平面方程。
解& 方程两边对求导得&&&&&& ，
切线方程为：&&&&&&&&&&&&&&
法平面方程为：&&& 。
二、曲面的切平面与法线
1、隐函数形式
设曲面的方程为，且连续，过任作曲线（如图5-4），其方程为
则在的切线方程为
因为，所以有，
方程两边对求导，得
当代入上式时，有
，则由上式知， ，即⊥。由的任意性，得上过点的一切曲线的切线在同一平面上，此平面称为在的切平面。其方程为
过且垂直于切平面的直线称为在的法线。法线方程为：
2、显函数形式
设曲面的方程为
，当设，则
所以切平面方程为：
法线方程为：&&& 。
求球面在点处的切平面及法线方程。
解&&&&&&&&&
所以在点处的切平面方程为
法线方程为&&&&&&&&&&&&&
求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程。
解&&&&&&&&&
所以在点处的切平面方程为
法线方程为&&&&&&&&&&&&&&&&
§6&& 方向导数与梯度
一、方向导数
因为分别表示在点沿轴及轴方向的变化率，现讨论沿任何方向的变化率。
1、定义 &设由点引射线，，
当沿趋于时（如图5-5），若
存在，则称此极限值为在点处沿方向的方向导数。记为。
由定义可知，就是在点处沿轴，轴正向的方向导数，而为沿负向的方向导数。
2、方向导数的计算公式
定理1& 若在点可微，则函数在该点沿任一方向的方向导数存
其中是方向的方向余弦。
证& 因为在点可微，故函数的增量可表为
两边各除以，并令得
例1& 求函数在点处沿从点到的方向的方向导数。
解& 这里方向即向量的方向，其方向余弦为
又&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
故所求的方向导数为&&&&&
例2& 求函数在点处沿方向的方向导数。
解& 因为& &&&&而
故的方向余弦为 。
于是&&&&&&&&&&&&&&
方向导数给出了函数沿某一方向的变化率，但过定点有无穷多个方向，则各方向的变化率不同。在无穷多个方向的变化率中，是否有最大变化率；若有最大变化率，如何求出。比如，为了研究气温的变化，不仅要研究温度函数方向导数，还要研究沿什么方向的方向导数取最大值。又比如，在电场中，要考虑沿什么方向电位变化最大等等。这个问题可以用一个向量来描述：向量的大小等于函数的方向导数的最大值，向量的方向等于方向导数取最大值的方向。具备此特征的向量就叫做梯度，其确切的定义如下：
定义& 设有函数，在定义域内有一阶连续偏导数，过定义域内一点作向量，使向量的大小等于函数在处方向导数的最大值，向量的方向取方向导数取得最大值的方向。称向量为函数在处的梯度，记为
若在可微，则。
证& 令& ， 由方向导数的计算公式得
当，即与的方向一致时，取最大值，于是由梯度定义即知就是在点处的梯度。
（3）为可微函数。
上述性质可由定理2给出的计算公式推出。读者可作为练习完成。
所以&&&&&&&&&&&&&
例4& 求在点的梯度，及沿方向的方向导数。
所以&&&&&&&&&&&&&&&&
又因为&&&&&&&&&&&&&&&
所以&&&&&&&&&&&&&&
§7&& 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最值
１、定义& 若在点的邻域内有定义，且对有
（或）（），则称在点取得极大（或极小）值；点称为函数的极大（或极小）值点。
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点。
如：在取得极小值1。又如即，对在取得极小值0，对在（0，0）取得极大值0。
一般极值不易看出，故应给出极值的判别方法，求二元函数极值可化为一元函数来解决。
2、极值存在的条件
定理1& （必要条件）若在有偏导数，且在取得极值，则
证& 不妨设在取极大值，则有，特别地，若取，
应有，即一元函数在取得极大值，故有。
同理可得。必要条件可改写为。
注：（1）使同时成立的点称为的驻点。
（2）此定理的逆不一定成立，即两个偏导数为0的条件不是充分的，仅为必要条件。
如：，容易算得，即点为驻点，但点不是
函数的极值点。因为在的任一邻域内总有使函数值为正与为负的点存在，如当时，，，所以不是极值点。
与一元函数一样，为使驻点成为极值点，必须附加一定条件。
定理2& （极值的充分条件）设在点的邻域内有连续的二阶偏导
数，且是驻点。记
（ⅰ）若（或，则是的极小值点。
（ⅱ）若（或，则是的极大值点。
（ⅲ）若，则不是的极值点。
证明从略。
求的极值。
解& 由方程组
得出驻点、、、，其次算出
在处，。所以是极小值；
在处，。所以是极大值；
在、处，因为，所以、不是极值点。
二、条件极值& 拉格朗日乘数法
1、引例：（1）求由原点到曲线的最短距离。即求在条件限制下使取最小值。
（2）求表面积为而体积最大的长方体。若用表示长，宽，高，则要求
满足条件时，最大。
这类问题称为条件极值。解决的方法如下：
（1）化为无条件极值。如引例（2），有& 则
为无条件极值。
2、拉格朗日（）乘数法
&&& 求函数在条件下的极值。运用乘数法的关健是引进
其中称为乘数。由此导出方程组
若是方程组的解，则可能为函数的极值点。因为
正是函数在点取极值的必要条件。可见乘数法实际上是通过
引进“待定乘数”，将条件极值问题化为函数的极值问题。我们略去有关的理
论推导，仅以例子说明具体作法。
例2& 制作一个体积为的长方体无盖盒子，问长，宽，高应为多少，使得材料最省？
解& 设盒子的长，宽，高各为，则体积。所用材料的面积为，则
求，并写出方程组
将第一式，第二式和第三式两边分别乘上，再两两相减，得
代入第四式，得
这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可
能的极值点处取得。也就是说，制作体积为的长方体无盖盒子，当长，宽，高分别为 时，所用材料最省。
例3& 周长为的三角形中，求其面积为最大者。
解& 设为三角形的三边的长，则三角形的面积为
。且。为了计算方便，我们求在条件下的最大值。令
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
解得这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知最大值一定存在，
所以最大值就在这个可能的极值点处取得。所以当时，取最大值，也是取最大值。
习& 五& 题
1．求下列函数的偏导数：
（1）；&&&&&&&&&& &（2）；
（3）；&& （4）；
（5）；&&&&&& （6）。
2．设，求。
3．曲线在点处的切线对于轴的倾角是多少？
4．求下列函数的，和：
（1）；& &&（2） ；& &&（3）。
5．设,求，，。
6．求下列函数的全微分：
（1）；&&&&& &&&（2）；
（3）；&&&& &&（4）。
7．求函数 当，，，时的全微分。
8．设，而当，，求，。
9．设，，，求，。
10．设，而，，求。
11．设，而，，求。
12．求下列复合函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）：
（1）；&&&& &&&（2）；
（3）；&&&&& &&&&（4）。
13．求下列函数的，，，（其中具有二阶连续偏导数）。
（1）；&& &&&&（2）。
14．设，其中为可导函数，验证
15．求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数。
（1），求；
（2），求；
（3），求；
（4），求，。
16．求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：
（1）设，求，；
（2）设，其中，具有一阶连续的偏导数，求，；
（3）设，求，。
17．设是由方程所确定的隐函数，证明：。
18．设，而是由方程所确定的，的函数，其中，都具有一阶连续导数，证明：
19．设由方程所确定，其中为可微函数，试证
20．求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：
（1），在点；& （2）在点。
21．求出曲线上的点，使在该点的切线平行于平面。
22．求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：
（1）在点；&& （2）在点。
23．求椭球面上平行于平面的切平面方程。
24．求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦。
25．求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。
26．求函数在抛物线上点处，沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数。
27．求函数在点处沿方向角为的方向的方向导数。
28．求函数在点处沿从点到的方向的方向导数。
29．求函数在曲线上点处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于增大的方向）的方向导数。
30．设，求及。
31．设，都是，，的函数，，的各偏导数都存在且连续，证明
32．问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。
33．求函数的极值。
34．求函数的极值。
35．从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
36．在平面上求一点，使它到，及三直线的距离平方之和为最小。
37．求内接于半径为的球且有最大体积的长方体。
38．抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。8-2 偏导数及其在经济分析中的应用_百度文库
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