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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&实验三_矩阵的特征值和特征向量二次型_百度文库
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实验三_矩阵的特征值和特征向量二次型|M​A​T​L​A​B​应​用
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用正交变换将二次型化为标准型为什么不能直接求出特征值后就带入？收藏
为什么还要继续就特征向量，然后把特征向量单位化呢？
二次型可以写为f（X)=X^T*A^T*A*X；我们知道正交分解可以把A写成A=Q*R（其中Q是正交矩阵），将A带入f(X)，有f（X)=X^T*R^T*Q^T*Q*R*X，令Y=R*X，就实现标准化；你标题中提到为什么不用特征值分解的办法，那是因为特征向量不一定是正交的，也就是A=P*D*P^(-1)(特征值分解）带入f（X）时，你会发现，需要满足P^T=P时，才能实现对角化，即化为标准型
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或第六章 二次型07
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第六章 二次型07
第六章二次型；I考试大纲要求；1、考试内容：二次型及其矩阵；标准二次型和规范二；2、考试要求：1）掌握二次型及其矩阵，了解二次型；的标准化和规范化的概念以及惯性定理；2）掌握用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型；3）了解正定二次型和正定矩阵及其性质和判别法；II重要知识点；一、二次型及其矩阵表示；1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1；f(x1
二 次 型I 考试大纲要求1、考试内容：二次型及其矩阵；标准二次型和规范二次型；二次型的秩；矩阵的合同变换和合同等价；惯性定理；用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型；正定二次型和正定矩阵。2、考试要求：1）掌握二次型及其矩阵，了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准化和规范化的概念以及惯性定理。了解矩阵的合同变换和合同等价。2）掌握用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型的方法。3）了解正定二次型和正定矩阵及其性质和判别法。II 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1,x2,?,xn的二次齐次多项式f(x1,x2,?,xn)?a11x1?a22x2???annxn?2a12x1x2???2a1nx1xn?2a23x2x3???2an?1nxn?1xn222称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。2、二次型的矩阵表示 设n阶对称矩阵?a11??a12A?????a?1na12a22?a2n????a1n??a2n????ann??则n元二次型可表示为下列矩阵形式：?a11??a12f(x1,x2,?,xn)?(x1,x2,?,xn)????a?1na12a22?a2n????a1n??x1??a2n??x2???????ann???xn?????X???TAX 其中X?(x1,x2,?,xn)T。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A的秩称为二次型f(x1,x2,?,xn)的秩。二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。3、线性变换设x1,x2,?,xn和y1,y2,?,yn为两组变量，关系式?x1?c11y1?c12y2???c1nyn??x2?c21y1?c22y2???c2nyn?? ?
?x?cy?cy???cyn11n22nnn?n 其中cij(i,j?1,2,?,n)为实数域R(或复数域C)中的数，称为由x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn线性变换，简称线性变换。?c11??c线性变换的矩阵表示，设n阶矩阵C??21???c?n1c12c22?cn2????c1n??c2n????cnn??，则从x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn线性变换可表示为下列矩阵形式：X?CYY?(y1,y2,?,yn)T，其中X?(x1,x2,?,xn)T，，C称为线性变换的系数矩阵。称为非退化的线性变换。为正交线性变换，简称正交变换。1)
当C?0时，线性变换X?CY2)
当C是正交矩阵时，称X3)
线性变换的乘法。 设X?C1Y?CY是由x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn的非退化的线性变换，而Y?C2Z是y1,y2,?,yn到z1,z2,?,zn的非退化的线性变换，则由x1,x2,?,xn到z1,z2,?,zn的非退化的线性变换为：X二次型f(x1?(C1C2)Z。T,x2,?,xn)?XTAX经过非退化的线性变换X?CY化为f(x1,x2,?,xn)?YBY(其中B?CTAC) 仍是一个二次型。4、矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B?CTAC则称A和B是合同的，记为A?B。合同关系性质： 1)
反身性：A?2)
对称性：A?3)
传递性：A?A； BB，则B，且B?A； ，则A?C?C。5、二次型的标准形1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：d1y1?d2y2???dnyn222其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。 3）复二次型的规范形：任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12?y2???yr22，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。?1???上的对称矩阵都合同于一个形如：???????1 ?????????0??任何复数域C的对角矩阵，其中1的个数等于该矩阵的秩。4）实二次型的规范形任何实系数二次型都可经过实数域R中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12?y2???yp?yp?1?yp?2???yr22222，其中p和r唯一确定，r为二次型的秩。上述形式的实二次型称为实二次型的规范形，p(正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数，r?p(负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，p?(r?为实二次型的符号差。?1?????任何实数域R上的对称矩阵都合同于一个形如：?????????p)?2p?r称?1?1??1 ???????? ??????0??的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，1的个数由对称矩阵唯一确定，称为它的正惯性指数。6、利用正交变换化实二次型为标准形 设A是n阶实对称矩阵，按以下步骤进行： ① 解特征方程?E?A?0，求出A的全部特征值。，求出基础解系，得到r重特征值的r个线② 解齐次线性方程组(?E?A)X性无关的特征向量。?O③ 利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。④ 将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q。⑤Q?1AQ为对角矩阵，其对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列顺序一致。 对于二次型f?XTAX，令X?QY2，将二次型f22?XTAX化成如下形式平方和：?1y1??2y2????nyn 其中?1,?2,?,?n为二次型的矩阵的全部特征值。7、化二次型为标准形数域P上的任一个二次型都可经过非退化的线性替换Xf(x1,x2,?,xn)?XTTTTT2?CY2化为标准形，即：2AX?(CY)A(CY)?Y(CAC)Y?YBY?d1y1?d2y2???dnyn。二次型的标准形不是唯一的，而标准形中系数不为零和系数为正的平方项的个数都是唯一确定的。化标准形的方法： 1) 配方法。2) 初等变换法，其要点可简单表示为：???A?初等列变换?D?????????????E??C? 其中A为二次形的矩阵，D为对角矩阵，其对角元素依次为d1,d2,?,dn。注意，在初等变换过程中，作完一次列变换，紧接着作一次相应的行变换，这样一来，矩阵A的对称性质始终保持不变。当A化为对角矩阵A的同时，即可得到由变量的非退化线性变换系数矩阵C。于是当作线性变换XTx1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn?CY时，则可使二次型f?XAX化为标准形。3) 正交变换法：先按上一章利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法求得Q，使Q?1AQ为对角矩阵。由于Q为正交矩阵，Q?1角矩阵。于是令正交变换Y(QAQ)Y??1y1??2y2????nynTT222?QT，所以同时使QTAQ为对XAXTX?QY，则二次型化为标准形，其中?1,?2,?,?n为二次型的矩阵的全部特征值。化规范形的方法： 1) 任一实二次型Tf都可经过非退化线性变换XTTTT?QZ22，化为规范形，即222f(x1,x2,?,xn)?XAX?(QZ)A(QZ)?Z(QAQ)Z?Z?RZ?z1?z2???zp?zp?1??zr(r?n)，称p 为二次型的正惯性指数，r?p为二次型的负惯性指数。任一实二次型的规范形是由二次型的秩与正惯性指数唯一确定的。2) 任一复二次型都可经过非退化线性变换X?QZ，化为规范形，即：f包含各类专业文献、文学作品欣赏、高等教育、中学教育、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、第六章 二次型07等内容。　
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第五章 相似矩阵及二次型|
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