2014《MATLAB及应用》实验报告1_百度文库
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矩阵化为行阶梯型的要领
矩阵化为行阶梯型的要领是什么？
09-06-15 &匿名提问 发布
一个是把它看成解N元一次方程组另一个是从上到下，从左往右，一步一步来化为1或0，很多人以为这样最慢，其实是很快的最后一个就是多练习，有感觉了，做题目就会有灵光一闪思路清晰的感觉
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《线性代数》 线性代数课程在高等理工科院校本科生教学计划中是一门必修的基础理论课，它主要讨论有限维线性空间上的线性理论。具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，要使学生掌握科学研究中常用的矩阵方法、线性方程组、二次型等理论及有关基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础，同时使学生抽象思维能力受到一定的训练。通过此课程的学习，在掌握数学基础的同时，提高抽象思维能力，并牢固掌握在科学研究及工程实践中对离散量的基本分析方法。从而不断提高创新意识，全面加强运用数学方法分析问题和解决问题的实践能力。线性代数是一门重要的数学基础课,也是全国统一命题的硕士研究生入学考试必考的内容之一。目录 [隐藏] 1 历史 2 知识体系 3 大纲内容 4 目录 5 学习方法 6 相关词条 7 参考资料
《线性代数》-历史     笛卡儿 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。　　“代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。《线性代数》-知识体系     《线性代数》 线性代数课程内容涉及线性代数的五大知识体系，它们是:掌握行列式的定义、性质与行列式按行(列)展开定理，二、三、四阶行列式以及简单的n阶行列式的计算方法，掌握Cramer法则，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件与线性方程组有解的充分必要条件。掌握矩阵的概念、加法、数乘、乘法和转置等运算及其性质，分块矩阵及其运算，矩阵的初等变换与初等矩阵，矩阵可逆的充分必要条件及逆矩阵的求法，矩阵的秩及其求法，矩阵等价的标准形。矩阵的初等变换与线性方程组，掌握矩阵的初等变换，初等矩阵的相关定理，矩阵的秩的概念及计算，线性方程组有无解的充分必要条件。线性方程组，掌握有序n元数组(n维向量)的概念，n维向量的加法、数乘等运算及其性质，掌握n维向量组的线性相关性及其判别法则，n维向量组的最大线性无关组，n维向量组的秩及其求法，有序n元数组的向量空间及其子空间，齐次线性方程组的基础解系与通解，非齐次线性方程组的解的结构与通解。矩阵的特征值与特征向量，掌握矩阵特征值与特征向量的概念及求法，相似矩阵的概念与性质，矩阵的可对角化条件，正交矩阵的概念与性质，线性无关向量组标准正交化的Schimidt方法，实对称矩阵正交相似于对角阵的求法。《线性代数》-大纲内容     内容简介 第一章行列式：二阶与三阶行列式、n阶行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开克莱姆法则。提示：行列式是一种常用的数学工具，在数学及其它学科中有着广泛的应用。本章重点在于了解行列式的性质及解线性方程组的克莱姆法则，掌握行列式的常用计算方法。第二章矩阵及运算：矩阵的概念、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随阵、分块矩阵及其运算。提示：矩阵是线性代数的主要研究对象。它在线性代数与数学的许多分支中都有重要应用，许多实际问题可用矩阵表示并用有关理论得到解决。本章重点在于掌握矩阵的运算规律及求逆矩阵的方法，了解矩阵常用的分块方法。第三章矩阵的初等变换与线性方程组：矩阵的初等变换、矩阵等价、矩阵的秩、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件、用初等变换解线性方程组初等矩阵。提示：矩阵的初等变换是矩阵的一种重要运算。本章重点掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、求逆矩阵、解线性方程组的方法，了解初等矩阵的作用。第四章向量组的线性相关性：向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组与向量组的秩等价向量组、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量空间简介、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间非齐次线性方程组的通解、用初等行变换求解线性方程组的方法。提示：向量组的线性相关与线性无关是线性代数的重要内容，在此基础上可讨论线性方程组的通解问题。本章重点掌握向量组的线性相关与线性无关的定义及有关的性质，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。第五章相似矩阵及二次型：向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法、规范正交基正交矩阵及其性质、正交变换方阵的特征值和特征向量的概念、性质和求法相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵二次型及矩阵表示二次型的秩合同变换与合同、矩阵二次型的标准形用正交变换和配方法、化二次型为标准形惯性定理、二次型和对应矩阵的正定性及判别方法。提示：方阵的特征值与特征向量在工程技术中经常用到。本章重点掌握特征值与特征向量的概念、性质及求法，掌握方阵对角化的方法，会用正交变换把二次型化为标准形，掌握判别二次型及矩阵正定性的方法。第六章线性空间与线性变换：了解线性空间，子空间的概念并会判别、了解线性空间的维数，基及坐标的概念，熟悉几个常用线性空间的维数基、掌握两个基之间过渡矩阵的求法，并会使用坐标变换公式、理解线性变换概念并会判别、会求在一个基下线性变换的矩阵。提示：线性空间的概念及性质，子空间、线性空间的基、维数与向量的坐标、基变换和坐标变换公式、变换及线性变换的概念、线性变换的矩阵表达式。《线性代数》-目录     《线性代数》 第一章行列式主要内容1．基本概念2．基本理论与方法(1)行列式的性质(2)克拉默(Gramer)法则疑难解析方法、技巧与典型例题分析1．选择题2．逆序数的计算3．行列式的计算方法与技巧(1)行列式计算的一题多解(2)有关范德蒙(Vandermonde)行列式的计算(3)与代数余子式有关的计算(4)有关行列式计算的综合例题4．克拉默法则的应用第二章矩阵及其运算主要内容1．基本概念2．基本理论与方法(1)矩阵的运算及性质(2)可逆矩阵与正交矩阵(3)分块矩阵疑难解析方法、技巧与典型例题分析1．选择题2．矩阵的运算(1)矩阵的运算及性质(2)方阵的行列式(3)矩阵的应用3．逆矩阵的计算方法与技巧(1)逆矩阵的计算(2)用逆矩阵解矩阵方程(3)抽象矩阵的逆矩阵(4)有关正交矩阵的逆矩阵(5)分块矩阵的逆矩阵第三章线性代数方程组主要内容1．基本概念(1)矩阵的秩(2)向量组的线性相关性(3)线性代数方程组(4)向量空间2．基本理论与方法(1)矩阵秩的性质与求法(2)向量组的线性相关性(3)线性代数方程组(4)向量空间疑难解析方法、技巧与典型例题分析1．选择题(1)矩阵的秩的性质(2)向量组的线性表示与线性相关性(3)线性代数方程组的解与基础解系2．矩阵的秩3．向量组的线性相关性(1)线性表示与线性组合(2)线性相关性的判断(3)向量组与矩阵的秩4．线性代数方程组(1)含参数的线性代数方程组的解法(2)线性代数方程组的基础解系(3)有关线性代数方程组理论的综合题(4)线性代数方程组的应用5．向量空间(1)向量空间的检验方法(2)向量空间的基、维数、坐标的求法(3)向量的内积与正交化方法第四章矩阵的特征值、二次型 《线性代数》英文版 主要内容1．基本概念(1)矩阵的特征值(2)矩阵的对角化(3)二次型(4)正定矩阵2．基本理论与方法(1)矩阵的特征值(2)矩阵的对角化(3)化二次型为标准形的方法(4)正定矩阵疑难解析方法、技巧与典型例题分析1．选择题2．矩阵的特征值(1)特征值与特征向量的求法(2)已知矩阵自6特征值，计算(或证明)与矩阵有关的问题(3)哈密尔顿-凯莱(Hamilton-Cayley)定理的应用3．矩阵的对角化(1)相似矩阵的判别方法(2)方阵A与对角矩阵相似的判别方法(3)可对角化矩阵的应用4．二次型(1)二次型的矩阵表示及其秩(2)化二次型为标准形5．正定矩阵(1)正定矩阵、正定二次型的判定(2)有关正定矩阵性质的问题第五章线性变换主要内容1．基本概念(1)线性变换(2)过渡矩阵2．基本理论与方法(1)线性变换的性质(2)线性变换的运算(3)线性变换在一组基下矩阵的求法疑难解析方法、技巧与典型例题分析1．线性变换及其运算(1)线性变换的检验(2)有关线性变换性质的问题2．线性变换与矩阵(1)过渡矩阵的求法(2)线性变换在一组基下的矩阵的求法(3)线性变换的和、乘积及逆在某组基下矩阵的求法《线性代数》-学习方法     《线性代数》辅导书 《线性代数》是一门研究线性问题的数学基础课，线性代数实质上是提供了自己独特的语言和方法，将那些涉及多变量的问题组织起来并进行分析研究，是将中学一元代数推广为处理大的数组的一门代数。线性代数有两类基本数学构件。一类是对象：数组；一类是这些对象进行的运算。在此基础之上可以对一系列涉及数组的数学模型进行探讨和研究，从而解决实际问题。既然线性代数有自己独特的内容，就要用适当的学习方法面对。这里有五点建议：一、线性代数如果注意以下几点是有益的。由易而难线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形；由低而高运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形；由简而繁一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等；由浅而深线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。1、线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。2、线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。四、注重逻辑性与叙述表述线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查抽象思维能力、逻辑推理能力。学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，要在学习过程中一定要认真仔细地预习和复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。
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线性代数习题答案(2)87-2
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(4) ????2????541????10?0??；
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(2) 012； ????25???001??课后答案?a10?即与A可交换的一切方阵为0b2???0b3未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】?5?2?(1) ??;
(2)?21??aw.?2b3??其中a1,b2,b3为任意数. b2?3b3??网 a2?a3?b1?c1?0,c2?2b3,c3?b2?3b3.0?0??； 0??4?????a,a,?,a?0?，n?12??an??1?21??01?2?; ????001??com ?0c1?0c2???0c3?2c3??. c2?3c3???1?1????1260??21??(3) ?74?1?;
(4) ?1?6??????32142???2?1??8??0???; 0??1??4?故khd?x1??111??x???022??2?????1?10???x3????1111?111??x1??1???????【解】因022x2?1,而022?0 ???????1?10?1?10????2???x3???课后答案?x1?x2?x3?1,??2x2?2x3?1, ?x?x?2.?12www.1??1?1??2?1??????0?12??2?????11?网15. 利用逆矩阵，解线性方程组16. 证明下列命题：(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*. (2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）?1=（A?1）*. (3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*)?1. 【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得|A|?|B|?B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A* =(AB) *A|B|EA*=|A|?|B|(AB) *.∵
|A|≠0,|B|≠0, ∴
(AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A. 于是aw.??1?0??1??2??????1?3. ?1?????????2?2????2?1?????1?a?1?1?200????2500??;
(6) ?(5) ???002?3??????00?58????1a2?????. ????1?an??comA* (A?1) *=|A|A?1?|A|?1A=E,所以(A?1) *=(A*)?1. (3) 因AA′=E，故A可逆且A?1=A′. 由(2)(A*)?1=(A?1) *,得(A*)?1=(A′) *=(A*)′.17. 已知线性变换??x1?2y1?2y2?y3,?x2?3y1?y2?5y3, ??x3?3y1?2y2?3y3,求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换. 【解】已知o?x1?X??c?x??221??y1?2???网?315????y且|A|=1≠0,故A可逆，因而.?2?AY,???x3????323????y3??案答??w7?49?后Y?A?a1X???63?7?X,???32?4??所以从变量x1,x2,课x3到变量dy1,y2,y3的线性变换为h??y1??7x1?4x2?9x3,?y?2?6x1?3x2?7x3, 18. 解下列矩阵方程k?y3?3x1?2x2?4x3,..(1) ??12??13?X=??4?6?21?； ???w?(2)X?21?1??210??21?1???210?； ?1?11????????1?11??(3) ??14???12??X??20??31???11??=??0?1?； ??(4) ?010??100??X?100?001??0?43???20????????1?. ?001???010????1?20??mww【解】(1) 令A=??3?2??12??4?6??1;B=.由于A ????????11??13??21??3?2??4?6??8?20?X?AB????21????27?.11????????1故原方程的惟一解为同理?2?10??100??11????;
(4) X=?03?4?. (2) X=010;
(3) X=?1?????0????4??001???10?2??19. 若A=O (k为正整数)，证明：k(E?A)?1=E+A+A2+?+Ak?1.(E?A)(E+A+A2+?+Ak?1)?E?Ak?E,从而E?A可逆，且?E+A+A2+?+Ak?1?A?A2???Ak?1?Ak20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1. 【证】因为A2?A?2E=0, 故由此可知，A可逆，且www.同样地由此知，A+2E可逆，且khdA2?A?2E?0,课后(E?A)?1=E+A+A2+?+Ak?11A2?A?2E?(A?E)A?E.21A?1?(A?E).211(A?2E)?1??(A?3E)?(A?E)2.44答案A2?A?6E??4E,(A?3E)(A?2E)??4E, 1?(A?3E)(A?2E)?E.4网【证明】作乘法aw.com?423???21. 设A=110，AB=A+2B,求B. ?????123??【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A.而即A?2E可逆，故得www.(1)A=?khd10【解】因P可逆，且P?1课A10?(P?P?1)10?P(?10)P?14???1?4???13??????0111?????3??4???1?4??13??????0111?????3??1??1?212?4?212???.??????24?2???341?340?mm后??1?4???10?1022.
设PAP=?. 其中P=?，?=?， 求A. ???11??02??1?11?14???,故由A=P?P?1 ?3??1?1?23. 设m次多项式f(x)?a0?a1x???amx，记f(A)?a0E?a1A???amA,f(A)称为方阵A的m次多项式.??1??， 证明 ?2??aw.网?10??3?2????1??3?10??3?210????1??3答案?2B?(A?2E)?1A??1????1?1?4?3??4??1?5?3??1??????164?????123??4?1?10???21?????123??3??210???23?????2?123?10??23?? ?8?6?.?9?6??129??com223A?2E?1?10??1?0,?121包含各类专业文献、各类资格考试、中学教育、专业论文、外语学习资料、高等教育、文学作品欣赏、应用写作文书、线性代数习题答案(2)87等内容。　
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