大一上学期高数上求极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-01-09 08:00 标签： 高数函数与极限
高等数学中求极限的方法小结_中华文本库
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宁波大红鹰学院学生数学课程论文
高等数学中求极限的方法小结
2.求极限的常用方法
2.1 利用等价无穷小求极限 这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函 数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两 个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替). 设 ? ~ ? ? 、 ? ~ ? ? 且 lim
? ? ? ? 0 (? ) ．
；则： ? 与 ? 是等价无穷小的充分必要条件为：
常用等价无穷小：当变量 x ? 0 时，
sin x ~ x , tan x ~ x , arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e ? 1 ~ x , ln (1 ? x ) ~ x ,1 ? co s x ~
1 ? x ~ x , (1 ? x ) ? 1 ~ ? x ．
1 ? cos x x a rc ta n x
1 2 x , arctan x ~ x ，
解 ? x ? 0时 ,1 ? cos x ~
故，原式 ? lim 2
(1 ? x ) 3 ? 1
co s x ? 1
? x ? 0时 , (1 ? x ) 3 ? 1 ~
x ,1 ? co s x ~
原式 ? lim 3
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1? 3 ?1 tan x
x 3 ? 1． 1 ? x ? 1 ~ x , tan x ~ x ，故:原式= lim x? 0 3 x 3
2 x ln (1 ? x )
解 x ? 0时 , e ? 1 ~ x , ln(1 ? x ) ~ x ,故:
原式 ? lim
3 3 试确定常数 a 与 n ，使得当 x ? 0 时， a x 与 ln (1 ? x ) ? x 为等价无穷小．
ln (1 ? x ) ? x
? 3x 3 1? x 而左边 lim n ?1 x? 0 nax
n ?1 ? 5 即n ? 6
? 1? a ? ?
2.2 利用洛必达法则求极限 利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为 0 比 0 型或者
型等未定式类型.
洛必达法则分为 3 种情况： （1）0 比 0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0 乘以无穷， 无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项 之后，就能变成（1）中形式了.（3）0 的 0 次方，1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指 数,幂函数） 形式的方法主要是取指数的方法， 这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了. 洛必达法则中还有一个定理：当 x ? a 时，函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于 0；在点 a 的某去
f ?( x ) F ?( x )
心邻域内， f ( x ) ﹑ F ( x ) 的导数都存在且 F ( x ) 的导数不等于 0； lim
存在，那么
f (x) F (x)
f ?( x ) F ?( x )
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高数中求极限的换底公式问题 5
例如当x趋向于0时，(1+2x)的3/sinx次方的极限如何求？利用换底公式是如何转换为那两个重要极限的？请详细解释，不胜感激
的感言：谢谢
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