代数几何_百度百科
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现代数学的一个重要分支学科。它的基本研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个的公共所构成的集合的特性。这样的集合通常叫做，而这些方程叫做这个代数簇的方程组。外文名Algebraic geometry适用领域范围代数学，几何学
代数几何是的一个分支，是将， 特别是，同结合起来。 它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究。代数几何以为研究对象。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。例如，中的代数簇就是与。代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。
代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系，如复分析、数论、解析几何、、交换代数、代数群、等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。用代数的方法研究几何的思想，在继出现之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。研究的对象是平面的、空间的代数曲线和。
代数几何学的兴起，主要是源于求解一般的多项式方程组，开展了由这种方程组的解答所构成的空间，也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置，同样，对于任何一种也可以引进坐标，因此，坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。
代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如，在关于椭圆积分的研究中，发现了的双周期性，从而奠定了理论基础。
1857年引入并发展了代数函数论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在的某种多层平面上，从而引入了所谓的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：。[1]这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。并首次考虑了亏格g 相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并且发现这个参量簇的维数应该是3g-3，虽然黎曼没有能严格证明它的存在性。
在黎曼之后，德国数学家等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后学派的工作建立了基础。
从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以、皮卡和为代表的学派。他们对域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。
20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了的方法。在此基础上，在40年代利用的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了的上同调理论，这个为随后建立概型理论奠定了基础，他在讨论班的讲义《代数几何基础》（EGA,SGA,FGA）成为该领域的圣经。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。
近年来，人们在现代粒子物理的最新的中已广泛应用代数几何工具，这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。一个代数簇V的定义方程中的系数以及V中点的坐标通常是在一个固定的域k中选取的，这个域就叫做V的基域。当V为不可约时（即如果V不能分解为两个比它小的代数簇的并）,V上所有以代数式定义的函数全体也构成一个域，叫做V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何也可以看成是用几何的语言和观点进行的有限生成扩域的研究。
代数簇V关于基域k的维数可以定义为V的有理函数域在k上的超越次数。一维的代数簇叫做代数曲线,二维的代数簇叫做代数曲面。
代数簇的最简单的例子是平面中的代数曲线。例如，著名的猜想（又称费马大定理）就可以归结为下面的问题：在平面中，由方定义方程的曲线（称为费马曲线）当n≥3时没有坐标都是非零有理数的点。
另一方面，下面的齐次方程组方程在复数域上的射影空间中定义了一条曲线。这是一条椭圆曲线。
人们对代数簇的研究通常分为局部和整体两个方面。局部方面的研究主要是用交换代数方法讨论代数簇中的奇异点以及代数簇在奇异点周围的性质。
作为奇异点的例子,可以考察由方程x2y3所定义的平面曲线中的原点(0,0)。这是一个歧点。 　不带奇异点的代数簇称为非奇异代数簇。数学家広中平祐在1964年证明了基域k的特征为0时的奇点解消定理：任意代数簇都是某个非奇异代数簇在双有理映射下的像。
一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射称为双有理映射，如果它诱导有理函数域之间的同构。两个代数簇V1，V2称为双有理等价的，如果在V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集。这个条件等价于V1和V2的有理函数域同构。由于这个等价关系，代数簇的分类常常可以归结为对代数簇的双有理等价类的分类。
当前代数几何研究的重点是整体问题，主要是代数簇的分类以及给定的代数簇中的子簇的性质。的方法在这类研究中起着关键的作用。
代数几何中的分类理论是这样建立的：对每个有关的分类对象（这样的分类对象可以是某一类代数簇，例如非奇异射影代数曲线，也可以是有关的代数簇的双有理等价类），人们可以找到一组对应的，称为它的数值不变量。例如在的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的分类对象组成的集合上建立一个自然的，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的分类对象也在相应的代数结构中变化。
建立有较完整的分类理论的只有代数曲线、代数曲面的一部分，以及少数特殊的代数簇。现在研究得最深入的是代数曲线和阿贝尔簇的分类。
与子簇问题密切相关的有著名的霍奇猜想:设X是复数域上的一个非奇异射影代数簇，p为小于X的维数的一个正整数。则X上任一型为(p,p)的整上同调类中都有代数代表元。
黎曼1857年引入并发展了代数函数论；从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。用现代的语言，紧致的黎曼曲面就一一对应于抽象的射影代数曲线。黎曼还首次考虑了亏格g相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并发现这个参量簇的维数应当是3g-3，虽然黎曼未能严格证明它的存在性。黎曼还应用解析方法证明了黎曼不等式：l（D）≥d(D)-g+1,这里D是给定的黎曼曲面上的除子。随后他的学生G.在这个不等式中加入一项，使它变成了等式。这个等式就是著名的F.希策和A.格罗腾迪克的黎曼-定理的原始形式（见）。
概型理论的另一个重要意义是把代数几何和域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。这种应用的两个典型的例子就是：①P.德利涅于1973年把韦伊关于ζ函数的定理推广到了有限域上的任意代数簇,即证明了著名的韦伊猜想,正是利用了格罗腾迪克的概型理论。②G.法尔廷斯在1983年证明了猜想。这个结果的一个直接推论是费马方程xn+yn=1在n≥4时最多只有有限多个非零有理解，从而使费马猜想的研究获得了一个重大突破。
在另一方面，20世纪以来复数域上代数几何中的超越方法也得到了重大的进展,例如G.-W.德·拉姆的解析上同调理论，W.V.D.霍奇的调和论的应用，以及和D.C.斯潘塞的变形理论以及P.格里菲思的一些重要工作等。
对20世纪前期的代数几何发展作出了许多重要的贡献。他建立的、周簇、周坐标等概念对代数几何的许多领域的发展起了重要的作用。他还证明了著名的周定理：若一个紧致复解析流形是射影的，则它必定是代数簇。
20世纪后期，在古典的复数域上低维代数簇的分类理论方面也取得了许多重大进展。在代数曲线的分类方面，由于D.B.芒福德等人的工作，人们对代数曲线参量簇 Mg已经有了极其深刻的了解。芒福德在60年代把格罗腾迪克的概型理论用到古典的上，从而创立了几何不变量理论,并用它证明了Mg的存在性以及它的拟射影性。人们已经知道 Mg是一个不可约代数簇，而且当g≥24时是一般型的。对Mg的子代数簇的性质也开始有所了解。
代数曲面的分类理论也有很大的进展。例如,60年代中期小平邦彦彻底弄清了曲面的分类和性质；1976年,和宫冈洋一同时证明了一般型代数曲面的一个重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的。同时，三维或更高维代数簇的分类问题也开始引起人们越来越大的兴趣。I.R. Shafarevich,basic Algebraic Geometry,Grundlehren der MatheMatischen Wissenschaften,213,SpringerVerlag,Berlin,1974. 　　D.Mumford,Algebraic plex Projective varieties,Springer-Verlag,Berlin,1976. 　　R.Hartshorne,Algebraic Geometry, Springer-Verlag,Berlin,1977. 　　S.Litaka,Algebraic Geometry, Springer-Verlag,Berlin,1982.[1]
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《几何原本》（：Στοιχε?α）又称《原本》。是数学家所著的一部数学著作。它是的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于、、及的作品。欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。这本著作是的基础，在西方是仅次于《》而。意&&&&义欧几里得几何的基础
是一部集前人思想和欧几里得个人创《几何原本》 1573版造性于一体的不朽之作。并把人们公认的一些事实列成和，以的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——。而这本书，也就成了的奠基之作。
这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大。
它开创了古典的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。
欧几里得所著的《原本》大约成书于公元前300年，原书早已失传。全书共分13卷。书中包含了5个“假设(Postulates)”、5条“公设(Common Notions)”、23个定义(Definitions)和48个(Propositions)。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出、和，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。
而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、论、相似形、数、以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代思想的来源。
照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，最后做出结论。对后世产生了深远的影响。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的。
两千多年来，《几何原本》一直是学习数学几何部分的主要教材。、、、等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。
1582年，意大利人到中国传教，带来了15卷本的《原本》。1600年，明代数学家（）与利玛窦相识后，便经常来往。1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》。后9卷是1857年由中国清代数学家（）和英国人译完的。注：《几何原本》中有“公设”与“公理”之分，近代数学对此不再区分，都称“公理”。23条
点是没有部分的
线只有长度而没有宽度
一线的两端是点
直线是它上面的点一样地平放着的线
面只有长度和宽度
面的边缘是线
平面是它上面的线一样地平放着的面
平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度
当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角
当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
大于直角的角叫钝角
小于直角的角叫锐角
边界是物体的边缘
图形是一个边界或者几个边界所围成的
圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等
这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。
圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分
半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同（接17）
直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的
在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形
此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形
在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形
平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线
1.等于同量的量彼此相等；
2.等量加等量，其和相等；
3.等量减等量，其差相等；
4.彼此能重合的物体是全等的；
5.整体大于部分。1.过两点能作且只能作一；
2.(有限直线)可以无限地延长；
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
4.凡是直角都相等；
5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。（近代数学不区分公设，公理，统一称为公理）
——以上选自《几何原本》 第一卷《》
最后一条公设就是著名的，或者叫做。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况的讨论。欧几里得的《几何原本》共有十三卷。
第一卷：几何基础
重点内容有的条件（），边和角的大小关系，理论，和多角形等积（）的条件，第一卷最后两个命题是（又称）的正逆定理；
第二卷：几何与代数
讲如何把三角形变成等积的；其中12、13命题相当于。
第三卷：圆与角
阐述，，，，，的一些定理。
第四卷：圆与正多边形
第五卷：比例
，多数是自的,被认为是&最重要的之一&。
第六卷：相似
讲理论，并以此阐述了的性质。
第八、第九、第十卷：初等几何数论
讲述的理。第十卷是最大的一卷，主要讨论（与给定的量不可的），其中第一是的雏形。
第十一卷：立体几何
第十二卷：立体的测量
第十三卷：建正多面体
最后讲述的内容以及的相关、、的与证明。
从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播知识的。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做，或简称为。在几何学上的影响和意义
在几何学发展的历史中，的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。并且《几何原本》中的命题1.47，证明了在西方是欧几里德最先发现的，从而说明了欧洲是西方最早发现勾股定理的大洲。（中国发现勾股定理的是商高，时间为公元前1120年，比欧洲早约八百余年。）
论证方法上的影响
关于论证的方法，欧几里得提出了、和。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作。
作为教材的影响
从发表《几何原本》到如今，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，由于具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。古希腊的建筑之美（牛顿的例子）
少年时代的在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。
《原本》的缺憾
但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。
有些被欧几里得作为不证自明的公理，却难以自明。比如“第五”，欧几里得在《几何原本》一书中断言：“通过已知直线外一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行。 ”这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证，那么在无处不在的闭合之中(地球就是个大曲面)这个平行公理却是不成立的。俄国人罗伯切夫斯基和德国人由此创立了。《几何原本》最初是手抄本，以后译成了世界各种文字，它的发行量仅次于《》而位居第二。19世纪初，法国数学家勒让德，把欧几里德的原作，用现代语言写成了几何课本，成为现今通用的几何学教本。中国最早的译本是1607年意大利（Matteo Ricci，）和根据德国人的本《》（15卷）的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。该译本第一次把学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国，同时确定了许多我们如今耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外似等。他们只翻译了前6卷，后9卷由和中国科学家在1857年译出。《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启徐光启()，字子先，上海吴淞人。他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力。他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作。利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识。但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》。
对徐光启而言，《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。这种区别于中国传统数学的特点，徐光启有着比较清楚的认识。他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百年之后，必人人习之”。
他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确 定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来之笔。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。就在他们想继续把《几何原本》的后9卷完的时候，发生了一件意想不到的事情，就是徐光启的父亲不幸去世了。徐父去世的准确日子是如今。当时徐光启尽管已经入教，但作为一名一直在传统文化熏陶下成长起来的封建时代的知识分子，他还做不到那么，所以，他不得不开始忙于一系列繁杂的丧事。丧事差不多了，到了8月初，徐光启请了假，便扶柩回了。这一去就是三年。徐光启、利玛窦翻译的《几何原本》
此时利玛窦一直在北京，中间的确为《》的他们曾经联系过一次，但那次主要是让徐光启想办法在刊印。此后，他们再没联系。三年后，即日，利玛窦去世了。而徐光启到了12月15日才回到北京。此时利玛窦已于11月1日下葬。所以他们从1607年8月之后，再也未曾谋过面。
徐光启于1611年夏天在修订利玛窦留下的《几何原本》前六卷手稿时写下了明显含有不再续译《几何原本》后九卷内容意义的话，通过前面的分析，我们认为，并非由于当时《几何原本》前六卷无人注意或没有用处，而是由于当时的环境与以前大不相同了。执掌之后，禁止传教士向中国人传授西方科技，很大程度上束缚了西方传教士与中国人的接触和交流。另外，与徐光启比较熟悉的两位神父和并不谙熟《几何原本》内容，其数学水平与利玛窦相去甚远，这两方面的因素综合起来，是使徐光启感慨太息，决定停止续译的根本原因。
就因为这个意外，使《几何原本》的后9卷的翻译推迟了200多年，才由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成。徐光启《几何原本》第一卷书影
李善兰()，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人，自幼喜欢数学。1852年到上海后，李善兰与伟烈亚力相约，继续完成徐光启、利玛窦未完成的事业，合作翻译《几何原本》后9卷，并与1856年完成此项工作。
至此，欧几里得的这一伟大著作第一次完整地引入中国，对中国近代数学的发展起到了重要的作用。
清康熙帝时，编辑数学百科全书《》（公元1723年），其中收有《几何原本》一书，但这是根据公元十八世纪法国几何学教科书翻译的，和欧几里得的《几何原本》差别很大。在评论《几何原本》时说过：“此书为益《几何原本》能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”其大意是：读《几何原本》的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按一定的法则，培养巧妙的思考。所以全世界人人都要学习几何。徐光启同时也说过：“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。”
更是认为：“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”
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