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求解定积分
∫&0,π&e^x*cos2xdx
先看看不定积分
设A=∫e^x*cos2xdx
=∫cos2xd(e^x)
=e^x*cos2x-∫e^xd(cos2x)
=e^x*cos2x+2∫e^x*sin2xdx
=e^x*cos2x+2∫sin2xd(e^x)
=e^x*cos2x+2[e^x*sin2x-2∫e^x*cos2xdx]
即：A=e^x*cos2x+2e^x*sin2x-4A+C
===& 5A=e^x*cos2x+2e^x*sin2x+C
===& A=(1/5)*e^x*(cos2x+2sin2x)+C
所以原定积分=∫&0,π&e^x*cos2x
=(1/5)*[e^x*(cos2x+2sin2x)]|&0,π&
=(1/5)*[e^π*(1+0)-e^0*(1+0)]
=(1/5)*(e^π-1)
求解定积分∫e^x*cos2x...
2x/4e^x)&0，&&+&&0,&&e^x*cos2x/4dx
}
则从此可得出5/4Z==（e^x*sin2x/2）&0,&&-(-cos2x/4e^x)&0，&&
Z==(1/5)(e^&-1)
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∫1/[x√(1+x²)]*dx设x=tant,dx=1/cos²t*dt1+tan²t=1/cos²t√(1+tan²t)=1/cost原式=∫cost/sint*cost*1/cos²t*dt=∫1/sint*dt=∫csctdt=ln|tan(t/2)|+Ctan(t/2)=(1-cost)/sint=(1/cost-1)/(sint/cost)=[√(1+tan²t)-1]/tant原式=ln|[√(1+tan²t)-1]/tant|+C=ln|[√(1+x²)-1]/x|+C=ln{[√(x²+1)-1]/|x|}+C∫√(x²-4)/x*dx当x>0时,设x=2/costdx=2sint/cos²t*dttan²t=1/cos²t-1tant=√(1/cos²t-1)cost=2/xt=arccos(2/x)原式=∫2tant*cost/2*2sint/cos²t*dt=2∫tan²t*dt=2∫(1/cos²t-1)dt=2∫1/cos²t*dt-2∫dt=2tant-2t+C=2√(1/cos²t-1)-2t+C=√(4/cos²t-4)-2t+C=√(x²-4)-2arccos(2/x)+C当x
如图欢迎验证答案（求导数即可）
第一个换元吧，令x=tana，限定a在第一象限吧。。我算的是ln{[(根号下x的平方+1)-1]/|x|}+C，算得真麻烦，还不知道对不对。第二个，令x=2csca,也是限定a在第一象限。。。我算的是(√x^2-4)-2arccos（2/|x|）+C，算得发麻。。不知正确与否。
图片版的看着不错，就是第一题答案没有化简最后，ln((1+x^2)^(1/2)-1)/((1+x^2)^(1/2)+1)=ln[((1+x^2)^(1/2)-1)^2/x^2]=2ln[((1+x^2)^(1/2)-1)/|x|]这样就更好了求∫x^2/(π√(1-x^2))dx 的积分,_作业帮
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求∫x^2/(π√(1-x^2))dx 的积分,
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∫ x^2/(π√(1-x^2)) dx提取常数：=(1/π)(∫ x^2/√(1-x^2) dx) 代入x=sin(u)和dx=cos(u) du,然后√(1-x^2)=√(1-sin^2(u))=cos(u)且u=sin^(-1)(x)：=(1/π)(∫ sin^2(u) du)将sin^2(u)写作1/2-1/2 cos(2u)：=(1/π)(∫ (1/2-1/2 cos(2u)) du将每一项进行积分并提取常数：=(1/π)(∫ 1/2 du-1/(2π)∫ cos(2u) du代入s=2u以及ds=2du：=(1/π)(∫ 1/2 du-1/(4π)∫ cos(s) dscos(s)的积分是sin(s)：=(1/π)(∫ 1/2 du-(sin(s))/(4π)1/2的积分是u/2：=u/(2π)-(sin(s))/(4π)+c代入回s=2u：=(u-sin(u) cos(u))/(2π)+c代入回u=sin^(-1)(x)：=(sin^(-1)(x)-x√(1-x^2))/(2π)+c最后得出：∫x^2/(π√(1-x^2))dx=(sin^(-1)(x)-x√(1-x^2))/(2π)+c求教定积分问题:积分限是0到2,求I=∫x(√2x-x^2)dx是陈文灯的视频里面的一个练习题,他没写答案.自己弄不出来啊积分限是0到2,求I=∫x(√2x-x^2)dx也许我打的有点问题,是I=∫(0,2)x√(2x-x^2)dx_作业帮
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∫(0,2) x√(2x - x²) dx= ∫(0,2) x√[- (x² - 2x + 1) + 1] dx= ∫(0,2) x√[1 - (x - 1)²] dx令x - 1 = sinθ,dx = cosθ dθx = 0 --> θ = - π/2x = 2 --> θ = π/2= ∫(- π/2,π/2) (1 + sinθ)|cosθ| * cosθ dθ= ∫(- π/2,π/2) (1 + sinθ)cos²θ dθ= ∫(- π/2,π/2) cos²θ dθ + ∫(- π/2,π/2) sinθcos²θ dθ= 2∫(0,π/2) (1 + cos2θ)/2 dθ + ∫(- π/2,π/2) cos²θ d(- cosθ)= [θ + (1/2)sin2θ] |(0,π/2) - (1/3)[cos³θ] |(- π/2,π/2)= π/2
I=∫x(√2x-x^2)dx=∫(√2x²-x³)dx=∫√2x²dx-∫x³dx=√2/3*x³-1/4*x^4+C所以∫x(√2x-x^2)dx=(√2/3*x³-1/4*x^4)|0,2=8√2/3-4求下列定积分∫（上限pai/3i,下限0）(x/cos^2)∫(pai/2,0) (x+sinx)/(1+cosx)∫(2,0) 1/[2+(4-x^2)^1/2] ∫(pai/2,0) (1-sin2x)^1/2∫(pai/2,0) 1/(1+sinx^2) dx_作业帮
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∫(0~π/3) x/cos²x dx = ∫(0~π/3) xsec²x dx= ∫(0~π/3) x d(tanx)= xtanx - ∫(0~π/3) tanx dx= (π/3)tan(π/3) - (- lncosx)= (π/3)(√3) + lncos(π/3) - lncos(0)= π/√3 + ln(1/2) - ln(1)= π/√3 - ln(2)∫(0~π/2) (x + sinx)/(1 + cosx) dx= ∫(0~π/2) x/(1 + cosx) dx + ∫(0~π/2) sinx/(1 + cosx) dx= ∫(0~π/2) x/(1 + cosx) dx + ∫(0~π/2) tan(x/2) dx= ∫(0~π/2) x/(1 + cosx) dx + xtan(x/2) - ∫(0~π/2) x d(tan(x/2))= ∫(0~π/2) x/(1 + cosx) dx + (π/2)tan(π/4) - ∫(0~π/2) x/(1 + cosx) dx= π/2∫(0~2) 1/[2 + √(4 - x²)] dx,令x = 2sinz,dx = 2cosz dz= ∫(0~π/2) (2cosz)/(2 + 2cosz) dz= ∫(0~π/2) cosz/(1 + cosz) dz= ∫(0~π/2) cosz/(1 + 2cos²(z/2) - 1) dz= (1/2)∫(0~π/2) [cos²(z/2) - sin²(z/2)]/cos²(z/2) dz= (1/2)∫(0~π/2) [1 - tan²(z/2)] dz= (1/2)∫(0~π/2) dz - (1/2)∫(0~π/2) [sec²(z/2) - 1] dz= (1/2)(π/2) - (1/2)∫(0~π/2) sec²(z/2) dz + (1/2)∫(0~π/2) dz= π/4 - tan(z/2) + π/4= π/2 - [tan(π/4) - tan(0)]= π/2 - 1= (π - 2)/2∫(0~π/2) √(1 - sin2x) dx= ∫(0~π/2) √(sin²x - 2sinxcosx + cos²x) dx= ∫(0~π/2) |sinx - cosx| dx= ∫(0~π/4) (cosx - sinx) dx + ∫(π/4~π/2) (sinx - cosx) dx= (sinx + cosx) + (- cosx - sinx)= {[sin(π/4) + cos(π/4)] - [sin(π/2) + cos(π/2)]} + {[- cos(π/2) - sin(π/2)] - [- cos(π/4) - sin(π/4)]}= 2(√2 - 1)∫(0~π/2) 1/(1 + sin²x) dx= ∫(0~π/2) 1/(sin²x + cos²x + sin²x) dx= ∫(0~π/2) 1/(cos²x + 2sin²x) dx= ∫(0~π/2) sec²x/(1 + 2tan²x) dx,上下除以cos²x= ∫(0~π/2) 1/(1 + 2tan²x) d(tanx)= (1/√2)∫(0~π/2) 1/(1 + (√2tanx)²) d(√2tanx)= (1/√2)arctan(√2tanx)= (1/√2)arctan[√2tan(π/2)] - (1/√2)arctan[√2tan(0)]= (1/√2)(π/2) - 0= π/(2√2)