一个简单的数学问题但是我自学没有看懂,就是那个二项式定理推导过程说假如就是从2个（A+B)中选B得到的,只是什么意思啊?就这句话看不懂,后面我就知道了_作业帮
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一个简单的数学问题但是我自学没有看懂,就是那个二项式定理推导过程说假如就是从2个（A+B)中选B得到的,只是什么意思啊?就这句话看不懂,后面我就知道了
一个简单的数学问题但是我自学没有看懂,就是那个二项式定理推导过程说假如就是从2个（A+B)中选B得到的,只是什么意思啊?就这句话看不懂,后面我就知道了
(A+B)的N次方吗?N个式子（A+B）选K个B就有K种方法,于是第K项的公式就是CNK A的(N-k)次方*B的K次方
A+B)的N次方吗？N个式子（A+B）选K个B就有K种方法，于是第K项的公式就是CNK A的(N-k)次方*B的K次方波利亚定理_百度百科
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Pólya定理是非常重要和基本的计数工具。Pólya定理是匈牙利数学家Pólya利用发生函数的方法，结合群的观点和权的概念建立起来的一个有关计数定理。Pólya定理在有关计算不同等价类的个数问题上起着重要的作用。外文名Pólya theorem提出时间1937应用学科组合数学[1]
波利亚(-)，美国著名数学家、教育家。1940年移居美国，先在布朗大学任教。1942年后一直在斯坦福大学任教。1953年起，任该校退休教授。以他的名字命名的波利亚计数定理则是近代组合数学的重要工具。波利亚还是杰出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研究，堪称是对人类思想宝库的特殊贡献。在前人研究同分异构体计数问题的基础上，波利亚在1937年以「关于群、图与化学化合物的组合计算方法」为题，发表了长达110页、在组合数学中具有深远意义的著名论文． 　　波利亚的重要数学著作有《怎样解题》、《不等式》(与哈代、李特伍德合著)、《数学的发现》多卷、《数学与猜想》多卷设G={P1,P2,…,Pg}是n个对象的一个置换群，C(Pk)是置换Pk的循环的个数，用m种颜色对n个对象着色, 着色方案数为
（1）Pólya定理中的群G是作用在n个对象上的置换群　　（2）Burnside引理中的群G是对这n个对象染色后的方案集合上的置换群　　（3）两个群之间的联系：群G的元素，相应的在染色方案上也诱导出一个属于G的置换p
等边三角形的3个顶点用红，蓝，绿3着色，有多少种方案？
Sk=(b1k+b2k+…+bmk),k=1,2…n
把4个球a,a,b,b放入3个不同的盒子里,求方案数,若不允许有空盒,有多少分配方案?
解:设这4个球分别为a1,a2,b1,b2,将4个球放入3个盒子,可抽象为对4个球的三着色。
G={e,(a1a2),(b1b2),(a1a2)(b1b2)}
l=(34+2*33+32)/4=36
P(G)=((r+b+g)4+2*(r2+b2+g2)(r+b+g)2+(r2+b2+g2)2)/4
展开后取ribjgk项,i,j,k&0
r1b1g2的系数= r1b2g1的系数= r2b1g1的系数= (C(4,1)*C(3,1)*C(2,2)+2*C(2,1))/4=4　　故若不允许有空盒, 分配方案有4*3=12种
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看[转载]从概率悖论中推导出“勾股定理”以及数学表达公式
△数学论文： （博主于11月15日作了重要修正后正式定版）
△论题：
从概率悖论中推导出基础概率领域中的“勾股定理”
&&&&&&&&&&&
——首次在基础概率学科中发现数学公式
△关键词：概率悖论&
加法定理与乘法定理&
首创基础概率公式&
随机（系统）事件本质&
非平衡概率&
非线性概率&
生日悖论精确实验&
双六点悖论& 赌徒的谬误
&直觉与逻辑
△内容摘要：作者通过对当今基础概率教材及科普类读本中存在的诸多悖论（矛盾和问题），进行了详细的本原和本质分析，并推导出反映基础概率随机现象具有的最本质、最普遍意义的数学概率公式。这也是我国首次在基础学科中发现的最具基础本质意义的数学公式。
作者在本论文中首次做出了著名的“生日悖论”
的精确模拟实验，准确地检证了当今“生日悖论”仍是一个不完备甚至是错误的结论。
本文的宗旨就是：对基础概率中的随机现象及本质作了深层次的揭示。
△作者简介：林雄春；湖南郴州；1967年10月生；初中学历；原职业：会计；已下岗10多年；从事业余数学及物理研究二十多年,二年来已著述数学——物理论文7篇，20余万字，专著一部，20余万字。
联系方式：电话：（因租居郊区，信号不好，但可发短信）
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△正文
从概率悖论中推导出基础概率领域中的“勾股定理”
&&&&&&&&&&&
——首次在基础概率学科中发现数学公式
&几何学中的勾股定理，揭示的是直角三角形三条边长——勾、股、弦三者之间客观的、内在的数理规律。
本文揭示的是基础概率学科中二个重要定理——加法定理与乘法定理二者之间客观的、内在的数理对应规则，用一个数学概率公式表达出来就是：
P乘＝1-e-p加（此公式推导过程见本文附1）
e是数学常数（自然对数的底），e＝2.……
比如：同时掷二枚均匀的骰子25次，依据加法定理，同时出现二个六点(也就是“至少得到一对六”)的概率是： 25/36＝0.694（用1/36加25次）；依据乘法定理，同时出现二个六点的概率是：
1-[1-（1/36）]25＝0.506
【[1-（1/36）]是掷一次不能出现双六点的概率，
[1-（1/36）]25是掷25次不能出现双六点的概率】
这一复杂的计算过程，可用上述公式直接导出其结果：
P乘＝1-e-p加＝1-e-25/36=1-e-0.694=0.502
(此公式也可用于本文后面的“生日悖论”的计算。本文主张一年为366天。)
（用公式计算与实际计算：二者的误差仅为：0.506-0.502＝0.004。由于上述样本空间只有n＝36，随着样本空间n的增加，用公式计算的误差将越来越小。尤其是自然世界是一个由无数大样本组成的无限复杂的系统，所以，用此概率公式去解释大自然时，其误差可忽略不计。能够用概率来解释这个概率世界——尤其是宇宙的创生及演化，将是概率理论应用的发展趋势）。
因此，上述公式可表达为如下一般形式：
P1-[1-(1/n)]m=1-e-p(m/n)&
（n为样本空间，m为试验次数）
这是我国首次在基础学科中发现的具有最本质、最普遍意义的数学公式。这一公式揭示了随机事件（系统）最本质、最普遍的规律，就好比勾股定理揭示了几何直角三角形的内在规律一样。
这一数学概率公式的发现是源自于当今基础概率存在的悖论（问题和矛盾）。
为了详细了解当今基础概率存在的诸多问题和矛盾，首先需要引用一段材料：
下面是引用Tony
crilly（英）所著《影响数学发展的20个大问题》一书（王耀杨译，人民邮电出版社，2012.4）P92-95页有关概率方面的论述：
……赌博中最原始也最简单的问题就是抛硬币。如果将一个硬币抛向空中，得到的结果一定是正面（H）或反面（T）。当然，它也有可能以边缘着地，但这种可能性实在太小了，因此我们完全可以在抛投时忽略这种情况，而再抛一次。我们有理由认为，得到正面的机会是两次中就有一次，或者，在技术层面上更为精确地讲“正面的概率是1/2”。同理，得到反面的概率也是1/2，由于有这一相等关系，我们经常使用的通过在体育比赛前抛硬币来决定参赛队伍或选手的场地分配的方法是公平的。
概率计算奇妙的一面在于它使我们的直觉和预期产生怀疑。我们还是用抛硬币的例子来说明这一点。抛多少次硬币更有可能得到两次正面的结果呢，是3次还是4次？凭借直觉，我们可能会选择第二个答案，因为很明显，它给予我们更多的机会。如果抛3次硬币，那么总共会有2&2&2＝8种可能的结果。得到两次正面的结果有3个，HHT，HTH，THH，因此得到两次正面的概率就是3/8。
现在让我们抛4次硬币。在这种情况下，总共有2&2&2&2＝16种可能的结果，其中包括6个我们需要的结果：HHTT，HTHT，HTTH，THHT，THTH，TTHH。这时得到的概率是6/16＝3/8，和前面那个一样！抛4次硬币会得到更多的结果，但是概率是有效结果相对结果总数的比率，这就解释了我们刚才得到两个相同答案的事实。
17世纪的业余数学家安托万·贡博曾致力于一个掷骰子游戏，他的问题是，将一个骰子抛4次得到一个六，和将两个骰子抛24次得到一对六，赌哪一个更合算。根据当时的流行看法，第二种情况也就是得到一对六是更有可能的，因为掷骰子的次数要多得多。数学能够解决这个问题吗？
在一次掷骰子后没有得到六的概率是5/6，因此掷4次都没有得到六的概率就是：(5/6)&(5/6)&(5/6)&(5/6)=
从逻辑上讲，全部的可能性就是要么一个六也没有得到，要么得到至少一个六：毫无疑问，至少有一种情况会出现。一定会发生的事件，其概率是1，因此我们可以说，一个六也没有得到的概率加上至少得到一个六的概率，和为1。这意味着至少得到一个六的概率就是1减去一个六也没有得到的概率：
1-(5/6)4＝0.5177（或者近似51%）
如果我们将两个骰子一起掷出，那么每次掷出后都有36种可能的结果。这个结果是这么得来的：将第一个骰子上的一点与第二个骰子上的每个点数分别结合起来（得到6个结果），接着，将第一个骰子上的两点与第二个骰子上的每个点数分别组合（又得到6个结果），以此类推，总共得到36个组合。在这36个组合中有35个都不是一对六，因此没有得到一对六的概率就是35/36。这意味着掷24次之后都没有得到一对六的概率是(35/36)24。
通过采取与前面计算一个骰子的情况时相同的过程，我们得到至少有一次能得到一对六的概率是：
1-(35/36)24＝0.4914（或者近似为49%）
49%比51%小，换言之，掷24次后得到一次一对六的概率略小一些。
下面对这一材料进行分析：
悖论一：加法定理与乘法定理的应用出现了矛盾
掷硬币和掷骰子都是独立事件，可以用乘法定理，但硬币的正反二面之间、骰子的六面之间是互斥的，所以也可以用加法定理。上述材料中说：“（硬币）再抛一次，我们有理由认为，得到正面的机会是两次中就有一次，或者，在技术层面上更为精确地讲‘正面的概率是1/2’。同理，得到反而的概率也是1/2”。这里是用了加法定理[如果采用乘法定理，抛二次硬币得到正面的概率是：
1-（1/2&1/2）＝1-(1/4)＝3/4]。
但是，作者Tony
crilly在接下来分析抛3次或4次硬币能出现正面的概率时,却采用了乘法定理；他在后面分析掷骰子时，也是采用了乘法定理。其实，掷骰子也可以用加法定理，即一枚骰子掷4次得到一个六点的概率以及掷二枚骰子24次得到一对六点的概率都是4/6=24/36=2/3
可见，作者在分析掷二次硬币时，用了加法定理，但在分析掷4次硬币和掷一枚或二枚骰子时，却采用的是乘法定理。这里就出现了计算口径前后不一致的矛盾（骰子与硬币的数理原理是一样的，只不过是由硬币的二面增加到了骰子的六面而已）。到底在什么前提条件下应该采用加法原则；在什么前提条件下应该采用乘法原则，在其材料的论述中始终模糊不清。
悖论二：主观计算与客观实际之间的矛盾
在上述矛盾中是采用加法定理还是采用乘法定理，都是取决于主观随选。但是，如果联系客观真实的话，无论是掷硬币还是掷骰子，在计算我们“普遍意义”上的概率时，应该一律采取加法定理（乘法定理计算得出的概率——排列组合概率，其应用在别处——即计算彩票概率或检验产品合格率或揭示万物运动秩序和物质结构秩序机制）。
比如掷一枚均匀的硬币，统计平均而言，无论掷多少次——掷二次、三次、四次……，还是掷无数次，出现正面或反面的理论概率都是P加计算的1/2，而绝不会出现P乘计算的“掷4次硬币出现正面的概率为3/8”，这已有大数定理硬币实验所证实——也就是说，如果连续掷4000次，绝不会出现正面4000&3/8＝1500次，而反面却出现4000&5/8＝2500次的现象。P乘计算不能用于分析掷硬币或骰子赌博类概型的概率。同理，一枚骰子掷4次，二枚骰子掷24次，出现一个六点或二个六点的理论概率都是4/6=24/36＝2/3（这一事实已有数百年以来赌场赔率所证实）。所以，绝不会出现“掷一枚骰子4次后出现六点的概率是1-(5/6)4＝0.5177”，也绝不会出现“掷二枚骰子24次后出现一对六点的概率是：
1-(35/36)24＝
0.4914”。
悖论三：独立性与关联性之间的矛盾
随机事件的独立性原则，是概率定义之一。但是，独立性却有二方面的特征：
一方面，随机事件的独立性表明，“每次抛掷硬币（或骰子）出现正或反（或骰子的任一面）都与前面的抛掷结果无关，所以，每次的概率都是1/2（或1/6）。这里是用了加法原则。
但另一方面，因为掷硬币或骰子都是独立事件，所以，也可以采用乘法原则，比如：掷4次硬币出现二次正面的概率是3/8，即：总共2&2&2&2＝16种可能的结果中，包括有6种“二次正面”的结果：HHTT，HTHT，HTTH，THHT，THTH，TTHH，这时得到的概率就是6/16＝3/8。
这里就出现了矛盾：即采用独立性互斥的加法原则时的概率是2/4＝1/2，而采用独立性乘法原则时的概率却是3/8，二个结果相悖。
由此表明当今基础概率定义尚存在不完备的地方。
其原因是，随机事件本身过程的独立性，与该独立事件产生的结果具有的独立性相加概率以及关联性（排列组合结构性）相乘概率之间的定义不清晰。
数学作为解释和应用工具，当我们用概率来解释这个概率性世界时，就好比二千多年前，人类用勾股定理去解释几何三角形一样，也应有它特定的或普遍的对象。其实，随机事件的独立性加法——独立系统内互斥相加原则（比如大数平衡定理）,除了能够解释日常普遍意义的概率现象外，还可以解释自然界物能守恒机制；而随机事件的独立性乘法——独立系统内关联相乘原则也有它特定的解释对象，即解释自然界万物运动秩序（比如惯性引力）以及物质结构秩序（比如黄金分割）方面的机制。
（关于这一方面的论述，我已有专门的数学——物理论文，已登记版权）
悖论四：当今概率定义0≤P≤1与客观实在P＞1之间的矛盾
当今基础概率理论，对随机事件发生的概率定义在0与1之间，但是，在前述引用的材料中，因为我们无论掷二枚骰子多少次，出现二个六点的概率始终会与公式P乘＝1-e-p加相符合。然而，尽管“P乘”的概率介定在0与1之间，但是，“P加”却出现了大于1的现象。
比如：前述掷二枚骰子45次时，
P乘＝1-e-p加＝1-e-45/36
这里的P加＝45/36＝1.25，出现了P加&1的情形，况且这一概率确定是客观存在。这是因为：当掷满36次时，“P加”已达到了100%的概率出现一对双六点。所以，当掷的次数多于36次时，“P加”自然就大于1了。换句话说，如果有一个赌徒，连续投注双六点72次，理论上庄家给出的赔率达到了200%，这里就超出了概率定义0≤P≤1的界定。
悖论五：随机概率计算与客观统计之间的矛盾
用“P乘”计算出的概率永远在0与1之间，而应用“P加”计算的概率却具有统计特征：其概率出现大于1的情况。比如，掷二枚骰子45次，平均而言（理论而言）出现一对六点的次数达到45/36＝1.25次，其概率为P加＝45/36＝1.25。表明“P加”与客观实在的统计结果相符合，却与基础概率“P乘”小于1的定义有矛盾。
悖论六：“P乘”的偏离性与“P加”的平衡性之间的矛盾
我们知道，掷一枚均匀的硬币，如采用P加，出现正或反的概率值是1/2，这已有大数平衡的硬币实验证实。但是，如果采用P乘，则与“P加”概率值不相符，比如前述材料中，掷4次硬币出现二次正面的P乘＝3/8，“P乘”与“P加”二者之间存在一个理论偏差值。这一偏差值（其偏差值为1/2-3/8=1/8），一方面可由本文推导的概率公式P乘＝1-e-p加来体现，另一方面，P乘的偏离规律已有我数千万次的扑克派发实验结果证实。（因我走了不少弯路才找到正确的实验方法，如果采用正确的实验方法，仅用数千次扑克派发就可以体现其规律。）
当今的基础概率理论仅有平衡定理而无偏离定理，这不符合客观事实。表明当今概率理论远未发挥它的解释和应用功用——比如不能解释大自然存在的平衡与偏离、无序与有序、线性与非线性矛盾共存的客观现象（大自然的不对称或非线性偏离是其运动秩序和结构秩序的动力源泉，自然中的非线性偏离特征已有上世纪70年代诺贝尔化学奖获得者普利高律的理论和实验所证实）。而当今前沿量子论，其实就是概率论，只是因为当今概率理论仅有线性平衡定理而无非线性偏离定理，才不得不另行定义。
所以，已有不少哲学专家、数学专家指出：当今的基础概率定义不完善，比如，出现了主观概率与客观概率之间的矛盾。也有哲学专家建议：应创建非线性概率分支学科。
由本人于今年4月推导出的这一反映基础概率领域最本质、最普遍的概率公式，也许是在这个思路上作了一次抛砖引玉的尝试。
本文首创的概率公式：P乘＝1-e-p加或P偏＝1-e-p平或P阴
＝1-e-p阳（中国传统阴阳数理及哲理）
则是将平衡与偏离、线性与非线性这一矛盾现象辩证地统一于一个数学公式中，深刻地揭示了平衡与偏离、对称与破缺、随机与定机、无序与有序矛盾共存是同一事物中同时客观存在的不同的二个方面。
这一公式也从数理上针对至今仍因“波粒二象性能否同时存在于一个系统”之困惑，提供了很好的概率数理理论依据。
因为，当我们对随机事件从其数理上考察时发现，同一随机事件（系统），是出现“P加”的平衡性、线性以及无序性，还是出现“P乘”的偏离性、非线性以及有序性，只取决于人们的视角和手段，而与客观事物本身无关。也就是说，P乘与P加是同一随机现象内同时客观存在的不同的二个方面，而与人们采取的P乘或P加计算方式的选择无关。
基础概率理论存在的上述问题和矛盾，在当今的教材和科普书中普遍存在。
比如：近百年来，著名的“生日问题（悖论）”结论至今仍是一个不完备甚至是错误的结论。生日问题是统计学教材、概率论教材以及数学科普类读本都要提到的。下面参照（美）基思·鲍尔著《怪曲线、数兔子及其他数学探究》一书（汪晓勤柳留译，上海科技教育出版社，2011.11）中，对有关生日问题的解答。
对于生日问题，基思·鲍尔在本著书中对二个方面的问题作了解答：
1、23人中有一对（二人）同生日的概率有多大。
2、100人中可期望有多少对同生日的人数。
对于第一个问题，他是通过取对数的计算方法得到一个精确的不等式：
1np≤-[k(k-1)]/2n（k为人数23，n为一年的总天数365，P为23人在一年中无人配对的概率）
P≈e-[k(k-1)]/2n＝e-506/730＝e-0.69＝1/2
所以，23人中有生日配对的概率：
1-P＝1-(1/2)=1/2（有50%的概率）
对于第二个问题，基思·鲍尔的解答是：
若k个名字随机分布在n个盒子里，则平均可期望每个盒子里有[k(k-1)]/2n对名字。本节的目的是求出期望配对的名字数：k个人的组中有多少人与另一人同生日？
显而易见的答案是，因一对含两人，故同生日人数是对数的两倍。由此可得，同生日者的期望人数为[k(k-1)]/n。在100人的情形，这个数等于≈27.1。
其实，将生日同人数&2，就可得到其相应的概率，比如：假如一组人数中有二人生日相同，则有二人生日同（配对）的概率就是2/2＝1（100%）
假如一组人数中有1.5人生日相同，其概率就是1.5/2＝0.75（75%）
所以，用生日相同期望人数{[k(k-1)]/
n}除以2，就得到了100人中有生日相同的概率：[k(k-1)]/2n＝(100&99)/(2&366)=13.52（这里也出现了概率P&1的结果）。
结合上述二个方面问题的解答过程，似乎基思·鲍尔差一点就可以发现本文推导的概率公式了。
因为，在基思·鲍尔解答第一个问题时，得出了23人没有生日同的概率是：
P≈e-[k(k-1)]/2n
相应地，有生日同的概率是：
1-P＝1-e-[k(k-1)]/2n（这一步式子基思·鲍尔没有列出），
而他在解答第二个问题时,得出了100人中有生日相同的人数是:
[k(k-1)]/n
相应地，有生日同的概率是：
[k(k-1)]/2n（这一步式子基思·鲍尔没有列出）
而事实上，[k(k-1)]/2n这一概率就是采用加法原理得到23人或100人中有生日相同概率的正确答案。因为K个人中，有[k(k-1)]/2种配对关系C2K，这些配对“关系数”就是通过加法原理C2K＝1+2+3+4+……+(k-1)得到的。将这些关系数&一年总天数，就得到了K人中有生日相同（配对）的概率。
比如：23人中，在一年366天里有生日相同的概率应是：
P加＝[k(k-1)]/2n＝(23&22)/(2&366)＝0.69（69%）
这一答案有我精确实验检证（模似实验见本文附2）。
我们看到基思·鲍尔在解答第一个问题时，取的答案是：
P＝1-e-p加(P加＝[k(k-1)]/2n)
但他在解答第二个问题时，取的答案却是：
P加＝[k(k-1)]/2n
也就是说，根据本文推导的概率公式：P乘＝1-e-P加，基思·鲍尔在解答23人中有同生日时，取的P乘，而在解答100人中有同生日时，取的却是P加。出现前后矛盾，似乎连他本人也没有发现这一矛盾。
可见，基思·鲍尔没有更进一步逐及概率P乘与P加之间的本质问题（这是最关键，也是最重要的一点），也没有亲自做生日问题之类的精确实验，所以，他也就很难发现并推导出这一概率公式了。
基思·鲍尔在著书的103页说：“长期以来，生日悖论一直是趣味问题中最受人喜爱的问题，但它不仅仅是一个趣味数学问题——它所揭示的原理相当重要”。但他没有进一步阐明其重要性体现在哪些方面。
对于生日问题，其准确答案就是：
23人中，有二人生日同的概率是：
P加＝(23&22)/(2&366)=0.%)
但是，当今教材及科普书的答案却是：
P乘＝0.506（50.6%）
比如，美国科普大师马丁·加纳德（1914-&&&
）所著的《悖论与谬误》（封宗信译，上海科技教育出版社，2012.7）一书中给出的计算仍然是采用了传统方法：
23人中，第一个人的生日可以是365天中的任何一天。第二个人与其生日不同，那么他的生日只能是剩下的364天中的一天，因此，2个人有不同生日的概率是364/365。第三人的生日与前两人的生日都不同，那么他的生日只能是363天中的一天，于是他的生日与前两个人不同的概率是363/365……第23人与其他22人生日都不同的概率是343/365。
一个人的生日与另一个人的生日是互相独立的，计算独立事件同时发生的概率，应把其概率相乘，于是，23人中任何2人生日都不同的概率P乘是：
(364/365)&(363/365)&(362/365)&……&(343/365)≈0.4927
结果是：23人至少2个人有相同生日的概率为：
1-0.4927＝0.5073（50.73%）（如果取一年为366天，其概率为50.6%）
而事实上，在概率公式P乘＝1-e-P加中，随着P加值的增加，P乘是一个无限趋向于1的概率值，其取值具有概率特征；而P加才是一个客观真实值，其取值具有统计特征。因为我们需要得到的应是一个具有数量特征的具体的统计值，所以，在生日问题上，我们应取P加为正确取值。所以，加纳德在本著书的修订版中仍采用P乘作为生日悖论的答案是错误的。另外，加纳德在他的著书中还提到：“23人中，有生日同的概率为50.7%，只有人数达到366人时，才能保证其概率达到100%。”我认为（认定），依据他的计算方式，随着人数的增加，其生日概率P乘仅是一个无限趋向1的极限。即使在人数达到了366人时，其概率P乘并未真正达到1。而事实上，当人数达到366人能保证有二人生日同的概率达到100%，这是依据鸽箱原理得出的结论。加纳德在著书中显然把鸽箱原理与P乘计算原理二者混为一谈了。
再比如，赌场制定赔率时，采用的就是P加，而不是P乘。就拿赌大小来说吧，赌场是依据P加性质——无论赌客赌多少次，其概率“大”或“小”总是1/2。如果采用P乘，假如赌10次，出现大或小的概率就是1/210＝1/1024，显然，因P乘不具有统计特征，不能用以制定赌场赔率的依据。
但是，我们不禁要疑惑的是，赌骰子大小或硬币正反，P加与P乘到底存在一种怎样的本质联系呢？对此，当今的科普，也是各说各的理，但终究没有揭示其本质特征。下面参照“韩雪涛著《从惊讶到思考——数学悖论奇景》（湖南科学技术出版社，2007.5）第五章第4节：“双六点之惑”以及第8节“赌徒的谬误”这两节内容来说明：
韩雪涛先生在“双六点之惑”中，要解答的是一个流传近千年的概率问题：需要将两枚均匀的骰子掷多少次才能使得到两个6点的概率不小于50%？
其著书中提到：卡尔丹（，意大利著名数学家）给出的答案是18次，他的分析是：因为每36次中有1次机会掷出两个6点，所以平均起来每掷36次这样的结果会出现一次。因此，在半数这么多次即18次投掷中，出现两个6点的机会能达到50%。
帕斯卡（）、费尔马（）和惠更斯（）三位数学家拿出的答案是：25次
用现在的计算方式就是：
1-（1-1/36）25=0.505(5.05%)
以本文的观点，卡尔丹采取的是P加原则。
而帕斯卡等三人采取的是P乘原则。
对于掷骰子，当今的科普书都是取用了P乘原则。
韩雪涛在著书中也认为，用P乘计算的25次是正确的。
在本文前述（英）Tolly
Crilly在《影响数学发展的20个大问题》中，对掷骰子的概率计算也是采取了P乘原则。
然而，韩雪涛在“赌徒的谬误”一节中，又是主张了P加原则，即掷一枚均匀的硬币，在前面连续出现９次正面后，第10次再掷出正面的可能性仍然是1/2。
这里就是采用了P加原则。
如果采取P乘原则，第10次仍掷出正面的概率应是：
(1-1/2)10=1/210=1/1024
可见，针对骰子和硬币这二种同一原理的随机事件（只不过是由硬币的二面增加到骰子的六面），却采取了不同的计算原则。也就表明，当今人们对随机事件的本质未能理清。
在此，我们仍可以在概率公式P乘＝1-e-P加中来寻找问题的答案。
在公式P乘＝1-e-P加中，用P加计算的概率是一个实实在在的统计值，而用P乘计算的概率则是一个“未真正实现”的概率值，仅是一个可能值。
比如：掷一枚硬币二次，用P加计算，理论平均而言，出现正面和反面各一次，这二次是客观真实发生过的事件，所以，赌场庄家可用P加来制定赔率。
然而，当我们用P乘计算的话，情况就不同了，掷二次硬币后，出现正和反有4种可能性：HH、TT、HT、TH。掷二次硬币就用4种“可能性”来计算其概率，表明这不是一种客观实在的概率，不具有客观统计意义。换句话说，一个赌徒赌二次硬币，他只能“历经”
HH、TT、HT、TH这4种“可能路径”中的其中一种，而另外3种是赌徒未“走”的路径，但是我们也将其纳入了计算，所以，就出现了P加与P乘之间的偏差值。
或者，再换一角度分析，因掷硬币是每掷一次后收回重掷，这里并没有形成“结构”，所以，应依据P加计算独立概率；而P乘是排列组合结构概率。所以，在计算赌硬币（或骰子）概率时，应采用P加，而不应采用P乘。
总之一句话，用P加计算得出的概率，是一个具有真实平均统计意义的独立概率；而用P乘计算得出的概率，则是一个具有可能排列组合结构特征的结构概率。同一随机事件同时客观存在的这二个概率——P加和P乘，它们各自有其自身的适应范围，不能混为一谈。
在本文前述中提到，我们可以将具有矛盾的P乘和P加辩证地统一于这样一个数学公式中，表明P乘和P加是处于同一随机事件（系统）、并同时客观存在且发生关联作用的不同的二个方面。
也表明，P乘和P加之间的关联作用过程是不依人们计算方式的选择而发生改变的。
那么，P乘与P加之间到底是一种怎样的关联作用呢？
从概率数理上看：
是P乘调制了P加的独立性偏离。
比如：掷一枚均匀的硬币，从P加方面分析，因每次掷出正或反的概率都是1/2。依据这一特征，硬币有永远正面下去的可能性，其数理逻辑是：假设当前面已连续掷出了100次正面，但问题是，依据独立性定义，第101次仍然有1/2的可能性掷出一个正面来，依此类推……硬币就有永远正面下去的可能性。
但是，在掷硬币这一随机系统中，由于P乘起了关键的纠偏作用，调制了这一极端结果，其调制机制是：
当硬币连续掷出了10次正面后，第11次仍掷出正面的概率不再是1/2，而是1/211=1/2048……即只有1/2048的可能继续在第11次掷出正面。
同理，如果硬币仍然顽固地在第11次掷出了一个正面来，那么，第12次仍然掷出一个正面的概率是更小了，为1/212=1/4096
……依此类推，连续掷出正面的概率将越来越小。
可见，是P乘调制了硬币永远正面下去的可能性，如果没有P乘的纠偏调制，任由P加独立地耍性子，那这个世界就太可怕了。
从物理数理上看：
在公式P乘＝1-e-P加或P偏＝1-e-P平或P阴＝1-e-P阳中，P加的物质性、线性、平衡性和独立性通过最无理的无理数e的“有理”调制下，得到的是具有运动性、非线性、非平衡性和结构性且具有黄金分割螺旋结构秩序的P乘结果（此原理在我的数学——物理论文中有详细论述）。
概率论是悖论最多，加上又是如此反直觉的一个分支学科，加上概率论创立时间较晚，所以，至今仍有不少问题和矛盾存在也就不足为奇了。
通过本文的论述，我们在认识随机本质的同时，还可以得到这样一个认识：直觉和逻辑能够给我们带来科学结果的同时，实证精神却越显重要。
就如本文提到的：
在分析掷硬币、掷骰子以及生日问题时，直觉和逻辑能给我们不同的答案，但我们仍要通过实证（比如大数定理的硬币实验，赌场制定的赔率验证，生日问题的精确模拟实验）。不然的话，像生日悖论中，23人中有二人生日相同的概率居然高达69.13%，这一精确答案却是多么的反直觉。而当今传统采用P乘来计算这一问题时，23人中有二人相同的概率却是50.6%。因为这一计算过程其逻辑推演是多么的准确无比、无懈可击,所以，50.6%这一错误结论至今仍然存在于当今的教材中，也就不难理解了。然而，最终通过本文精确模拟了生日悖论实验的实证后，才得出其正确答案仍然是反直觉的69.13%。
所以，本文的几个结论是：
一、本文推导的概率公式P乘＝1-e-P加揭示了随机事件最本质、最普遍的本质特征。
二、针对当今各种概率计算的适用对象及范围，出现的混乱局面，用这样一个概率公式理清并将其各概率本质地、关联地确定了起来。
三、直觉和逻辑能够带给人类科学结果，但仍不是绝对可靠的结论。
四、今后用本概率公式计算相关概率值时，将更加方便、简捷。
五、本概率公式将为揭示宇宙及生命的创生（产生）、演化（进化）具有的随机特征和机制提供了一种新的思路。
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2012年11月2日
附1：本文概率公式P乘＝1-e-p加的推导:
我们首先用“双六点之惑”为数学推导实例，然后再推导至一般情形：
在“双六点之惑”中，当抛掷骰子25次时。
P加＝25/36＝0.6944（69.44%）
P乘＝1-（1-1/36）25＝0.5055（50.55%）
因此，在P乘式子中，用指数25除以概率基数(即样本空间或概率空间)36,便可得到P加。设概率空间为n，指数（发生次数）为x。则：
P乘＝1-（1-1/n）x
＝1-（1-1/n）n·x/n
≈1-e-x/n[因（1-1/n）n＝e-1,但n必须足够大]
一般地，1-（1-k/n）x ＝1-（1-k/n）n·x/n＝1-e-kP加
我们从掷骰子等随机现象，推广到大自然中，因其时空作用都具有连续性作用特征（不存在跳跃式概率作用）。所以，k值一般应取值为1。
这样，我们就可以得到如下P乘数学表达式：
P乘＝1-e-P加（e为自然常数，e=2.……）
由于(1-1/n)n=e-1是一个极限数列，所以,当概率基数n取值较小时，用P乘公式计算结果与实际计算结果有一点误差。
附2：“生日悖论”精确实验
下面是精确地模拟了23“人”在一年366“天”中的生日实验。
著名的“生日悖论”是：
如果一个班共有23名学生，那么，其中有2人生日相同的概率是多少？
这个问题共有4种计算方法，相应地也有4个备选答案，下面把这4个答案一一列出，然后再进行实验来检证哪一个答案才是正确的。
第一种：按统计平均（大数定理平均律）计算：因每人排一天，366人可排满全年每一天（一年为366天计算），多出一人便能保证他能与另外366人中任何一人有相同生日。
那么，23人中，能够保证有二人生日相同的概率是：
P=[(22/366)&23]/2＝0.6913（69.13%）
答案是：69.13%。{22/366是根据鸽箱原理得出某一人与其他22人有生日相同的概率，（22/366）&23是23人相互之间有生日相同的人数，[(22/366)&23]/2是23人相互之间有生日相同的概率。}
第二种：假如第一个人是2月1日生，那么，第二个人不是2月1日生的概率为365/366；同样，第三个人还不是2月1日生的概率仍为365/366……
因除第一人外，其他人都不是在2月1日这一天出生的概率皆为365/366，所以有：（365/366）22＝0.94158
P=[(1-0.94158)&23]/2=0.%)
答案是：67.18%
第三种：因人与人之间可结成“配对”关系，所以有：
C223＝（23&22）/（2&1）＝253
P＝253/366＝0.6913（69.13%）
答案是：69.13%
第四种：因第一个人的生日可以是366天中的任何一天，第二个人与第一个人生日不同，那么他的生日只能是剩下的365天中的一天。因此，2个人有不同生日的概率是365/366；第三人的生日与前两人的生日都不同，那么他的生日只能是364天中的一天。于是他的生日与前两个人不同的概率是364/366……第23人与其他22人生日都不同的概率是344/366。
由于一个人的生日与另一个人的生日是相互独立的，应用相乘原则。于是，23人中任何2人生日都不同的概率是：
（365/366）&（364/366）&（363/366）&……&（344/366）＝0.494
答案是：一个班上23名同学中至少有2个人有相同生日的概率约为1-0.494＝0.506（50.6%）。这也是当今教材及科普书的答案。
事实上无论多么完美的理论和推演，如果没有得到实验检证的话，其理论和推演也是不完备的，甚至还可能是错误的。
下面进行实验，来检证上述四种答案哪一种是正确的。
下面是真实的模拟人的生日过程，用这个实验可以对生日问题（悖论）进行完整、准确的概率统计。
下面要做的这个实验，真实可靠，也十分简单，实验人人可以做。
实验材料：
1、准备366张较小但较硬的纸片，比如用1/4大小的旧扑克牌就很好；
2、家用透明胶。
3、一个小盒箱。
实验开始前的准备工作：
首先将准备好的366张小纸片卷成筒状形，然后分别编号为1-366号，再用透明胶分别将筒状固定。
将做好的366个编了号码的纸筒全部放进一个盒箱里，盒箱大小高低以方便一只手将其纸筒搅拌和抽取即可。
因人的出生是随机的，是独立的发生在全年的某一天。所以，在生日问题所要计算的“23人中有二人生日相同的概率”中，这23人组也是随机组合的。
所以，我们每次从充分搅拌后的盒中抽取一个纸筒，就相应地代表了某一“人”随机降生到这个世界上的生日。这里的一年是366“天”。比如：
当抽到62号纸筒，就代表这个“人”是在全年366个日子中的第62个日子这一天出生的。（这里不再有哪个月出生的概念）
不断地从盒中抽取纸筒号，就代表不同的人在全年366“天”中随机地选择日期出生。
将抽取的所有纸筒号记录下来进行统计，便可以很方便地计算出某组人中有二人生日相同的概率。
比如：每组抽取23个纸筒进行统计，就可以计算这23人组中有二人生日相同的概率。
为了提高准确度，应尽量多地抽取人组数，然后再计算出平均值。
在一年为366天时，23人中有二人生日相同的概率是多少呢？
在前面4种备选答案中，主要分歧在于第三种和第四种。
在这二个理论概率中：
一个是本文采用的独立相加概率P加＝C223/n＝（23&22）/（2&366）
＝0.6913（69.13%）
一个是传统采用的关联相乘概率P乘＝1-[（365/366）&（364/366）&（363/366）&……&（344/366）]＝0.506（50.6%）
也就是说，按照本文理论概率P加计算，在一年366天里，23人中有二人生日相同的概率达到69.13%。
但按照传统理论概率P乘计算，在一年366天里，23人中有二人生日相同的概率是50.6%。
这样的话，如果通过反复地从盒里抽取纸筒进行实验统计，看到底是与哪一个理论概率相符合，也就检证了这一理论概率是正确的，而另一个则无疑是错误的了。
在不断地从盒里抽取纸筒过程中，还有四点应注意：
1、记录抽取的纸筒应遵循统计方便、便于计算、简单直观的原则。
2、在每次抽取之前，要用手充分将其搅拌均匀；
3、抽取过程是随机的，不应加入任何主观选择；
4、每次抽取一个纸筒记录后，应将其重新放回盒里去，以保证每次是在其366个纸筒中抽取，因每人都是在全年366天中随机生下的。
因为本文做的这个实验是计算23人组的生日概率，所以采取每23个纸筒数记录一行的方式。这样，要计算有生日相同时，就等于是把有相同号纸筒进行统计。
这个实验，本人已进行过大量的重复抽取和统计。
下面的实验一共做了（23&16）&15＝5520“人”次（共16&15＝240组）
实验结果是：共有334“人”生日相同。平均每组有生日相同人数为：
334/（16&15）＝1.39“人”，即：平均每组有二人生日相同的概率为：1.39/2＝0.695（69.5%）
实验结果与本文主张的加法原则相符合，即：
P加＝C223/366＝(23&22)/（366&2）=0.%)。
所以，当今教材及科普书主张的乘法原则是错误的，即：
P乘＝1-[（1-1/366）&（1-2/366）&（1-3/366）……&（1-22/366）]＝0.506（50.6%）（这一结论是错误的）
下表是列出了上述整体随机实验里其中的16组368“人”次的模拟实验过程及结果：
上表实验结果是：
平均每组有生日相同人数为：
22/16＝1.375“人”
每组23人中有二人生日相同的概率为：
1.375/2＝0.6875（68.75%）
由此可见，当今的概率理论是不完备的。将来应当以此实验为基础来完善甚至部分重建基础概率理论，而不是由当今不完备的概率理论去调和或改变客观实验。正如110年前，由黑体辐射实验创建了量子论；也正如当今焦急等待的大型强子对撞机实验结果将意味着近百年的基础物理理论是否面临重建一样，对当今基础概率的完善也将是一个不容置疑的发展趋势。
注1：因为在实验时，会在一组23人中出现3人甚至4人生日相同的情况，这样，用理论计算生日相同的概率与现实中人的生日相同的概率会有一点偏差。比如：ABC三人生日同，则可形成配对AB、BC、AC三对“6人”，而现实中仍然是3人生日同。
所以，生日悖论的正确答案应取第一、第三个的69.13%或取第二个答案的67.18%，而当今传统答案------第四个答案50.6%恰恰是错误的。
注2：上表只选取了恰当概率的实验，如果有人要做这个实验必须要做数千次以上才能体现规律。
注3：假设一个班有50名同学，至少有二人生日相同的概率是：
传统（教材及科普书）主张的概率是：
P乘＝1-[（1-1/366）&（1-2/366）&（1-3/366）&……&（1-49/366）]＝0.97
本文主张的概率是：
P加＝C250/366=(50&49)/(2&366)=3.347
对于P加＝3.347这一结论，本人也已进行了大量的实验，完全证实了：50人中至少有二人生日相同的概率已达到3.347,相应的有生日相同的人数达到3.347&2＝6.694（人）。然而，如果按传统计算，其概率还只有97%，也就是说，50人中至少有二人生日相同的概率还达不到100%——即有生日相同的人数仍然不足2人。所以，传统这一结论是错误的——至少是不完备的，也是不具有统计意义的。
附3：参考文献
《影响数学发展的20个大问题》, tony
crilly（英）著，王耀扬译，人民邮电出版社，2012.4
Tony Crilly
：英国米德尔塞克斯郡大学数学研究员，曾在密歇根大学、香港城市大学及开放大学教授数学。撰写了多部关于分形、混沌和计算理论的学术著作。他所编著的《你不可不知的50个数学知识》畅销全球，深受读者好评。
《怪曲线、数兔子及其他数学探究》，基思·鲍尔（美）著，汪晓勤柳留 译，上海科技教育出版社，2011.11
基思·鲍尔（Keith& Ball, 1960-&
)：英国伦敦大学学院数学教授，英国皇家学会利弗休姆研究员，国际数学科学中心（ICMS）科学主任。他以妙趣横生的数学公开讲座而闻名，还写过一本凸几何学的研究生教科书。他领导的ICMS致力于数学研究及引导公众参与其中，多次召开数学及相关学科的国际研讨会，吸引了众多来自国内外的著名科学家。
&[3] 《悖论与谬误》马丁·加纳德（美）著，封宗信译，上海科技教育出版社，2012.7
马丁·加纳德（美）：(1914—&&&
),美国科普大师，一生著有50多本书，代表作有《密码传奇》、《人人都懂得的相对论》、《啊哈！灵机一动》、《悖论与谬误》等。
《从惊讶到思考------数学悖论奇景》，韩雪涛著，湖南科学技术出版社，2007.5
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作者：林雄春（湖南·郴州）
2012年11月2日
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