已知f（x）是定义在R上的可导函数，若函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则下面四个结论中，所有正确结论的序号是（　　）①f（1）+f（-1）＞0；　　②f（x）≥0对x∈R成立；③f（x）可能是奇函数；　④f（x）一定没有极值点．A．①②B．①③C．①②③D．②③④【考点】；．【专题】导数的综合应用．【分析】由于函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则可知F（x）=xf（x）为R上的增函数，然后分别利用函数的性质进行判断．【解答】解：由于函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则可知F（x）=xf（x）为R上的增函数，则①f（1）＞-f（-1）即f（1）+f（-1）＞0；故①正确；②由于F（x）=xf（x），F′（x）＞0，则当x＜0时，F（x）=xf（x）＜F（0）=0成立，故f（x）＞0；当x＞0时，F（x）=xf（x）＞F（0）=0成立，故f（x）＞0；故②正确；③若f（x）是奇函数，则函数F（x）=xf（x）为偶函数，不满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，；故③不正确；④当f（x）=x2，F（x）=x3时，满足题设的条件，而此时f（x）在x=0处存在极小值点，故④正确．故答案为 A【点评】本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查导数知识的运用，解题的关键是利用导数判断函数的单调性．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：szjzl老师　难度：0.46真题：2组卷：2
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F(X)是奇函数,当X&0时,F(X)=X(1+X),当X&0时,F(X)=________.
(要过程哦,希望哪位好人能告诉我一下什么是奇函数).
1.如果对于函数定义域内任意一个x都有f(-x)=-(x)，
那么函数f(x)就叫做奇函数.
例如：f(x)=x,
因为f(-x)=-x=-f(x),
所以f(x)=x是奇函数
2.如果对于函数定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x)，
那么函数f(x)就叫做偶函数.
例如:f(x)=x^2,
因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x),
所以f(x)=x^2是偶函数
奇函数：若f(x)定义域关于原点对称，且f(x)=-f-(x),此类函数称为奇函数。
偶函数：若f(x)定义域关于原点对称，且f(x)=f(-x),此类函数称为偶函数f(-x)=-f(x)
本题F(X)=X(1+X)
当X&0时 ,-X&0
所以,根据题意
F(-X)=(-X)[1+(-X)]
根据奇函数定义,当X&0时
F(X) = -F(-X) = -(-X)[1+(-X)] = X(1-X)
书上有.在56-57面.
若x&0则－x&0
又∵x&0满足f(x)=x(1+x)(此时－x就是已知条件中的x,因为都大于0)
∴f(-x)=-x(1-x)＝－f(x)
∴f(x)=x(1-x)
∴当x&0时，f(x)=x(1-x)
<img class="piczoom mpic" alt=" 定义:函数y=f(x)对定义域内的任意x,都有f(-x)=-f(x)(即自变量变号时函数值也变号),则称f(x)是定义域上的奇函数.
奇函数的图象关于原点对称.
设x0 , ∵ x>0时,f(x)=x(1+x)
∴ f(-x)=-x(1-x)＝－f(x), 即f(x)=x(1-x)
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设x&0,则-x&0
因为x&0时,f(x)=x(1-x)---&f(-x)=-x(1+x)
又已知f(-x)=-f(x)
可以得到-f(x)=-x(1+...
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设函数f(x)是奇函数，对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x&0时，f(x)&0，f(1)=-2,
求f(x)在[-3,3]的最大值与最小值
（要过程）
提问者采纳
0;0所以f(x+t)-f(x)&x那么就可以得出结论f(x)在定义域内递减也就是说f(3)是f(x)最小值，所以f(-3)=-f(3)=6所以f(x)在【-3,也就是说f(x+t)-f(x)=f(t)根据题意t&0时f(t)&lt，3】上的最大值是f(-3)=6，显然x+t&gt，f(-3)是f(x)最大值f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2+(-2)+(-2)=-6因为f(x)是奇函数首先判断f(x)增减性任取t&0有f(x+t)=f(x)+f(t)
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定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=2x4x+1．（Ⅰ）求函数f（x）在[-l，l]上的解析式；（II）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？
题型：解答题难度：中档来源：泸州一模
（1）当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，∵x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1．∴f（-x）=2-x4-x+1=2x4x+1又f（x）为奇函数，∴当-1＜x＜0时，f（x）=-f（-x）=-2x4x+1当x=0时，由f（-0）=-f（0）可得f（0）=0又∵f（1-x）=f（x），故f（1）=f（0）=0f（-1）=-f（1）=0综上，f（x）=2x4x+1，(0＜x＜1)0，(x∈{-1，0，1})-2x4x+1，(-1＜x＜0)（2）∵f（1-x）=f（x），f（-x）=-f（x），∴f（1+x）=f（-x）=-f（x）∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），∴f（x）周期为2的周期函数，∵方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解的λ的范围即为求函数f（x）在[-2，2]上的值域&即为求函数f（x）在[-1，1]上的值域当x∈（0，1）时f（x）=2x4x+1，故f′（x）=(1-4x)o2x(4x+1)2ln2＜0即f（x）在（0，1）上为减函数，∴x∈（0，1）时，25=f（2）＜f（x）＜f（0）＜12，∴当x∈（0，1）时，f（x）∈（12，25）当x∈（-1，0）时，f（x）∈（-25，-12）&&当x∈{-1，0，1}时，f（x）=0&&&&&&&&&&&&&&&∴f（x）的值域为（-25，-12）∪{0}∪（12，25）&&&∴λ（-25，-12）∪{0}∪（12，25）时方程方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解
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据魔方格专家权威分析，试题“定义在R上的奇函数f（x）满足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]时，f（x）=2x4x+..”主要考查你对&&函数的零点与方程根的联系，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的零点与方程根的联系函数解析式的求解及其常用方法
函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点 函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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