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已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+64n]内，总存在m+1个数a1，a2，…，am，am+1，使得不等式g（a1）+g（a2）+…+g（am）＜g（am+1）成立，求m的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：南充模拟
（1）当t=2时，f(x)=x+2x，f′(x)=1-2x2=x2-2x2＞0解得x＞2，或x＜-2．∴函数f（x）有单调递增区间为(-∞，2)，(2，+∞)（2）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，∵f′(x)=1-tx2，∴切线PM的方程为：y-(x1+tx1)=(1-tx21)(x-x1)．又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-(x1+tx1)=(1-tx21)(1-x1)．即x12+2tx1-t=0．（1）同理，由切线PN也过点（1，0），得x22+2tx2-t=0．（2）由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，∴x1+x2=-2tx1ox2=-t.&&(*)|MN|=(x1-x2)2+(x1+tx1-x2-tx2)2=(x1-x2)2[1+(1-tx1x2)2][(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-tx1x2)2]把（*）式代入，得|MN|=20t2+20t，因此，函数g（t）的表达式为g（t）=20t2+20t（t＞0）（3）易知g（t）在区间[2，n+64n]上为增函数，∴g（2）≤g（ai）（i=1，2，，m+1）．则mog（2）≤g（a1）+g（a2）++g（am）．∵g（a1）+g（a2）++g（am）＜g（am+1）对一切正整数n成立，∴不等式mog（2）＜g（n+64n）对一切的正整数n恒成立m20×22+20×2＜20(n+64n)2+20(n+64n)，即m＜16[(n+64n)2+(n+64n)]对一切的正整数n恒成立∵n+64n≥16，∴16[(n+64n)2+(n+64n)]≥16[162+16]=1363．∴m＜1363.由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a1=a2═am=2，am+1=16，对所有的n满足条件．因此，m的最大值为6．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，..”主要考查你对&&函数的单调性、最值&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
发现相似题
与“已知函数f(x)=x+tx(t＞0)，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，..”考查相似的试题有：
447758860922251346328273277643747705如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数y=1/2x图象在第一象限的分支上的任意一点，P点坐标为（a，b），由点P分别向x轴，y轴作垂线PM、PN，垂足分别为M、N；PM、PN分别与直线交于点E，点F．（1）设交点E、F都在线段AB上，分别求出点E、点F的坐标；（用含a的代数式表示）（2）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由；（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论；（4）在双曲线y=1/2x上是否存在点P，使点P到直线AB的距离最短的点，若存在，请求出点P的坐标及最短距离；若不存在，说明理由-乐乐题库
& 反比例函数综合题知识点 & “如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且...”习题详情
124位同学学习过此题，做题成功率80.6%
如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数y=12x图象在第一象限的分支上的任意一点，P点坐标为（a，b），由点P分别向x轴，y轴作垂线PM、PN，垂足分别为M、N；PM、PN分别与直线交于点E，点F．（1）设交点E、F都在线段AB上，分别求出点E、点F的坐标；（用含a的代数式表示）（2）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由；（3）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论；（4）在双曲线y=12x上是否存在点P，使点P到直线AB的距离最短的点，若存在，请求出点P的坐标及最短距离；若不存在，说明理由
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-江北区模拟
分析与解答
习题“如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数y=1/2x图象在第一象限的分支上的任意一点，P点坐标为（a，b），由点P分别向x轴，y轴作垂线PM、PN，垂足分别为M、N；PM、PN分...”的分析与解答如下所示：
（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，运用待定系数法求出直线EF的解析式，由点P（a，b）是反比例函数y=12x图象上的点，得出b=12a，又点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b即12a，分别把x=a，y=12a代入直线EF的解析式，即可求出对应的值，从而得出结果；（2）在△BOE与△AOF中，由于∠OBA=∠OAB=45°，根据相似三角形的判定，可分别计算BE：OB与OA：AF的值，如果它们相等，那么△AOF∽△BEO，否则，就不相似；（3）根据相似三角形的对应角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和得出∠FOE=∠EAO=45°；（4）假设在双曲线y=12x上存在点P，使点P到直线AB的距离最短．那么平行于AB的直线y=-x+m应与双曲线y=12x相切，即方程-x+m=12x有两个相等的实数根，根据判别式△=0求出m的值，从而确定点P的坐标，进而得到点P到直线AB的最短距离．
解：（1）设直线EF的解析式为y=kx+b，由题知A（1，0），B（0，1），把A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，得k+b=0，b=1，解得k=-1，b=1．∴y=-x+1．∵点P（a，b）是反比例函数y=12x图象上的点，∴b=12a．∴E（a，1-a），F(1-12a，12a)；（2）△AOF与△BOE一定相似．理由如下：∵OA=OB=1，∴AB=√2，∠OBA=∠OAB=45°，∴AE=√2AM=√2(1-a)，BF=√2BN=√2(1-12a)，∴BE=BA-AE=√2a，AF=BA-BF=√22a，∴BEoAF=√22ao√2a=1=OAoOB=1，∴BEOB=OAAF，又∵∠OBA=∠OAB=45°，∴△AOF∽△BEO；（3）∠FOE=45°，角度始终不变．理由如下：∵△AOF∽△BEO，∴∠FOA=∠OEB，∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，得∠FOE=∠EAO=45°；（4）设平行于直线AB的直线解析式为y=-x+m，解方程-x+m=12x，化简得2x2-2mx+1=0，当△=0时，解得m=±√2（负值舍去）．所以2x2-2√2x+1=0，解得x=√22．所以点P的坐标为(√22，√22)．∴点P到直线AB的距离最短为(√2-1)×sin45°=1-√22．
本题主要考查了运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定及性质，一次函数与反比例函数的关系，通过解方程求交点坐标等知识．综合性强，有一定难度．
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如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数y=1/2x图象在第一象限的分支上的任意一点，P点坐标为（a，b），由点P分别向x轴，y轴作垂线PM、PN，垂足分别为M、N；P...
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经过分析，习题“如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数y=1/2x图象在第一象限的分支上的任意一点，P点坐标为（a，b），由点P分别向x轴，y轴作垂线PM、PN，垂足分别为M、N；PM、PN分...”主要考察你对“反比例函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
反比例函数综合题
（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
与“如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=OB=1，点P是反比例函数y=1/2x图象在第一象限的分支上的任意一点，P点坐标为（a，b），由点P分别向x轴，y轴作垂线PM、PN，垂足分别为M、N；PM、PN分...”相似的题目：
如图，直线y=2x与反比例函数的图象在第一象限的交点为A，AB垂直x轴，垂足为B，已知OB=1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．&&&&
已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，坐标分别为（-2，4）、（4，-2）．（1）求两个函数的解析式；（2）结合图象写出y1＜y2时，x的取值范围；（3）求△AOB的面积；（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由．&&&&
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A、B两点，与x轴相交于点C，连接AO，过点A作AD⊥x轴于点D，且OA=OC=5，cos∠AOD=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点E在x轴上（异于点O），且S△BCO=S△BCE，求点E的坐标．&&&&
“如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，且...”的最新评论
该知识点好题
1如图，在函数y=4x（x＞0）的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，点B，P在双曲线上，下列说法不正确的是（　　）
2如图，已知在直角梯形OABC中，CB∥x轴，点C落在y轴上，点A（3，0）、点B（2，2），将AB绕点B逆时针旋转90°，点A落在双曲线y=kx的图象上点A1，则k的值为（　　）
3（2010o崇川区模拟）如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与双曲线y=4x(x＞0)的图象相交于A、B，设点A的坐标为（m，n），那么以m为长，n为宽的矩形的面积和周长分别为（　　）
该知识点易错题
1如图，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k＞0)的图象经过另外两个顶点C、D，且点D（4，n）（0＜n＜4），则k的值为（　　）
2一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=kx的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，DAC与BD交于点K，连接CD．对于下述结论：①S四边形AEDK=S四边形CFBK；②AN=BM．③AB∥CD；不论点A，B在反比例函数y=kx的图象的同一分支上（如图1）；还是点A，B分别在反比例函数y=kx的图象的不同分支上（如图2），都正确的是（　　）
3如图，A（-1，m）与B（2，m+3√3）是反比例函数y=kx图象上的两个点，点C（-1，0），在此函数图象上找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为梯形．满足条件的点D共有（　　）
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提问者采纳
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f(n)-f(n-1)=(n-1)/2f(n-1)-f(n-2)=(n-2)/2.f(2)-f(1)=1/2累加起来f(n)-f(1)=(n-1)/2 + (n-2)/2 + ...+1/2=(1/4)n(n-1)所以f(20)=f(1)+(1/4)*20*(20-1)=97
不就是一个数列题吗~~
先求通项公式不就得了
f(n＋1)=2f(n)＋n/2f(n＋1)＋(1/2)n＋1=2[f(n)＋(1/2)(n－1)＋1]，即：[f(n＋1)＋(1/2)n＋1]/[f(n)＋(1/2)(n－1)＋1]=2=常数，所以，数列{f(n)＋(1/2)(n－1)＋1}是以f(1)＋(1/2)(1－1)＋1=f(1)＋1=3为首项，以2为公比的等比数列，则：f(n)＋(1/2)(n－1)＋1=...