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等式和方程
在现实世界中，两个量在有些情形之下是可以相等的。数学学习中的某些任务就是要找出那些相等的数量关系。例如，列方程，比例关系，函数的表示，以及几何中的勾股定理等等都是等式。等式的变换是数学学习的基本技能，从合并同类项、配方、因式分解，到方程的同解变形，函数的运算变换，三角函数的恒等变换等，贯穿整个初中数学学习的始终。
一、如何理解方程发展的概况？
从人类的早期文明到现代社会，方程的思想无处不在。方程的概念也随着数学的发展而不断变化，从经典的代数方程到微分方程、积分方程，方程的理论无疑是数学中最重要的内容之一。
丢番图是活跃在公元 25年前后的希腊数学家，他最重要的著作是《算术》，该著作中讨论了一次方程、二次方程和个别的三次方程，还讨论了大量的不定方程。丢番图引入了未知数，创设了未知数的符号，并有了建立方程的思想，但是并没有给出一元二次方程的解法。印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元 628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。最终完成这项工作的是被誉为&代数学&之父的韦达。
中国古代数学著作《九章算术》中有&方程&章，其中包含了许多方程问题。 13 世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。 1247年，秦九韶给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的&天元术&（ 1248年）和朱世杰使用的&四元术&（ 1303年）能够求解一大类的高次联立方程，使中国传统数学达到了顶峰。
16 世纪最伟大的数学成就就是发现了三次方程和四次方程的求根公式，于是人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但都以失败而告终。 19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。进入 20世纪，数学继续向纵深发展，对于一般的线性方程组的求解和实际算法，已经有了非常成熟的理论与实践。至于一般的多元高次方程组求解，也取得了许多成果，例如费马猜想已经最终解决。但是任意多元高次方程的解（代数流形）是一个非常复杂的代数几何问题，它与现代数学许多重要分支相关联。
许多数学的进步是随着方程研究发展而发展的。例如，由于对方程 和三次方程根的讨论二产生了复数；当用变量的观点来讨论方程时，函数思想也就蕴含其中了；在研究高次方程的解法时，产生了伽罗瓦理论，导致以&群、环、域&为研究对象的近世代数；为了解多元一次方程组，产生了矩阵理论与线性代数；方程与微积分结合产生了微分方程和积分方程。
二、如何理解方程的含义及分类？
方程是代数课程的重要内容之一，它也贯穿于整个数学课程，从小学开始的简易方程，到初中的有理数方程，再到高中的超越方程。方程的种类是数学概念类别中最多的，但无论是哪一种方程，都遵循着方程的基本思想。
（一）方程的含义
几乎所有的教材都这样定义：&含有未知数的等式叫方程&。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。西南大学的陈重穆教授就曾经指出：&含有未知数的等式叫方程&这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质，它的价值和意义。
为什么这样说？理由很多：
函数也是含有未知数的等式 s = vt, y = 1/x, 容易和方程混淆；
a + b = b+a , 也是含有字母的等式， 是不是方程？
我们并不是要研究一切含未知数的等式，只对那些有数学价值的方程，能够帮助我们寻求未知数的方程，才去面对。例如， 0& x=0 , x&x =0,这样的等式，我们是不研究的，因为他们不能帮助我们寻求未知的信息。
方程的核心是要&求&未知数， 在定义中没有体现。 因此，这一定义可有可无，没有人会因为不记住这一定义就不会解方程。不反映
一个对象的定义，最好能够帮助人们进行理解。正如认识一个人， 光靠一张照片是不够的， 至少需要一份简历。好的定义相当于一份简历。
国内已故的著名数学家关肇直也曾说过：&在一些问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，根据问题的内容， 可以知道未知量与已知灵之间的关系，从而可以由这个关系从已知量计算出未知量来。这就是解方程的问题&
因此，替代地有以下的方程定义。
&方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。&
这样定义，把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数，接着告诉我们，方程乃是一种关系，其特征是&等式&关系，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助这层关系，找到了我们需要的未知数。
实际上，方程思想，来源于人们的生活现实。为了结识一位未知的先生，我们通过熟人作为中介进行介绍，借助这层关系得以认识这位不熟悉的先生。方程的定义主要是以形式方面的特征为标准的。
判断一个代数式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知数，方程的概念一般用于两个领域：&求某个未知数的数&和&曲线与方程&在这两个领域中&方程&的概念本身并没有变化，而是研究的问题有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者则希望研究的是这些解的分布情况。同一个方程的解随着未知数的取值范围不同而不同。例如，方程 在有理数范围内只有一个解 ；在实数范围内有三个解 ；而在复数范围内有五个解 。也就是说，在实数集上可能无解的方程，在复数集上却可能有解。因此，方程解的个数（或解集的大小）与方程的存在域的大小有直接关系。
(二）方程的分类
方程分类的根据构成方程的表达式的结构，解的个数和未知数的个数等进行具体分类。依照方程解的个数分，可将方程分为无解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多个解、有无穷多个解和全体实数解等。
在初等数学里代数方程可按照组成的等式的表达式的形式结构，分成以下几类：
方程按照它所含有的未知数的个数来分类：一元方程、二元方程、多元方程等。
将这些标准联合起来就可以获得我们课程中方程的名称了，比如一元一次方程等。一个整式方程名称中的&元&的个数是看方程中未知数的总数。&次&是指所有未知数中的最高次数。这种形式上的分类便于判断。并引起对解法的联想。
多元方程的解是由多个未知数的解联立构成的。也就是说，多元方程解也必须写成联立的方式。比如方程组的解不能写成：
联立的形式能够表示未知数的对应关系，所以在求解后还必须根据解的关系写成联立的形式。
超越方程不能像代数方程那样严格地加以分类，例如，方程 就不能说它是指数方程还是三角方程。
另外，由于方程是在指定的数集上研究的，并且要用到解析式的感念和恒等变形、以及有关函数的知识。所以一方面要保持本身的系统，同时也要考虑到这些有关知识在初中数学课程中的扩展。除此之外，还要考虑到学生的接受能力。
在教学中要正确掌握教材内容的深广度，注意与其它有关知识的联系，要使学生掌握如&转化&、&降次&、&消元&等解方程、方程组的基本思想方法。在解方程的过程中，应该着重培养学生合理表达的能力，应该要求学生在推演过程中，要考虑根据什么，初学时可以要求学生解答中做书面说明，熟练以后就可以省略。
三、方程的核心思想是什么？方程建模应该如何理解？
方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。这种思想改变了算术中已知与未知相对立的问题。不仅是学生将来解决实际问题的重要方法，而且它是代数思想的重要应用，有利于培养用字母表示数的方程与方程组的基本理论与方法，强化对方程思想的认识。
（一）关于方程的核心思想
方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。因此，对于初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。《数学课程标准》指出，&方程是刻画现实世界的有效模型&。这是因为，现实世界的许多数量关系，都可以归结为一种特别的&式&的相等关系，成为一种抽象的模型。例如，行程问题，工程问题，折扣问题，百分比问题等许多不同领域中的数量关系，最后都可以归结为关于 x 的一元一方程 ax =b（一般地有 ax& b =cx& d）。这样的方程，是这类问题的共同数学模型。
可以说，算术是一种算法，依照给定的程序，可以的出要求的未知数；方程是一种模型，反映出所研究问题中存在的某种相等关系。比如，已知物体匀速运动，速度是 50千米 /小时。位移 100千米需要多少时间？算术方法只是给出 100& 50的算式。方程则要给出模型 50 x = 100，这是一个等式关系即一元一次方程。
有人认为，小学数学早就有方程了，例如，用□表示未知数，并要求回答：
这是四则运算的逆向思考，对求解方程非常有用。但是，这样的训练，还不是建立数学模型。这里的等式关系是已经给出的，并非为了寻求未知数由学生自己而建立起来的。因此，这还不是学习方程思想的核心。
当然，数学理论中有些方程并不依赖某个实际过程，而是一个独立的数学领域，具有深刻的纯粹数学的价值。多元高次方程的求解是一个十分困难的课题，至今仍是数学家研究的重点。 例如，费马猜想： x n +y n= z n (n&3)
（二）关于方程建模
大自然的许多客观规律都表现为量与量之间的某种关系，将它表示出来往往就是一个方程式。例如，军事上的弹道方程就是斜抛物体的运动方程。人类经常关心天气的变幻，当大气的状态用温度、压力、风速与风向等物理量描述时，各种量之间的相互关系构成大气方程。我们的天气数值预报，就是解这些方程求出未知的数据。在电磁学中，有麦克斯韦的电磁学方程。现今的信息时代，电视、手机、电子计算机是我们获得信息的工具，它们的运行规则取决于电磁学方程。
初中方程的教学不能过分地停留在数学层面上，必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系。体会方程是从现实生活到数学的一种提炼过程，一种用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。因此，初中数学学习必须学会抽象&&将关系抽象为数学符号。
初中数学方程的教学可以依赖大量的现实生活问题， 以往的应用是列方程应用题。即在实际问题中，一般不知道某些量的大小，但知道这些量所满足的条件。也就是未知量所满足的等量关系，用 等字母表示未知数后，就可以按照未知量所满足的关系列出方程。
但是，以往的方程设计思想的一个误区恰恰是把思路搞反了&&方程问题本应该&先是进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的方程，再到最终解决方程问题&，而不是&先给出形式化的方程定义，然后解形式化的方程，最后再进行方程的应用&。甚至以往的教学我们总是给出利用方程求解应用题问题的一般步骤：审题、设元（未知数）、列方程、解方程、检验、答案等等。这样的教学不是真正意义下的应用题。
事实上，可以把事情表述得更原本一些。无论如何，要使学生真正知道方程是怎么回事，要通过两三个典型的问题，再现方程建模的全过程，才能让学生真正理解方程的含义。
四、 方程的常见解法有哪些？
&方程&是一个深刻的思想，具有无穷无尽的发展空间：代数方程，微分方程，不定方程等不一而足。但是，小学数学只处理简易方程，即只限于形如 ax& b=c， ax& bx=c的方程。在列方程的过程中，涉及到简单的一次&式&的运算，这类方程的求解，无非是通过方程两边同时加、减、乘一个数、以及除一个非 0的数，等式不变，以最后出现 x=m，作为问题的解而结束。为了避免出现负数，问题中的所有的数据都不得不精心安排。
事实上，小学生学习方程的困难，主要在于：
（ 1） 不能很快理解已知数和未知数的平等关系。表现为，设了未知数 x，但总想列出总式 x＝&&（右端不含未知数）。这是披着代数外衣的&算术解法&。
（ 2）不能很快理解用字母表示已知数，取得问题的公式解。
（ 3）一个常见的书写错误是不能区分恒等变换和同解变换。例如，解 x＋ 3＝ 6，学生会写成： x＋ 3＝ 6＝ 6－ 3＝ 3； 2x＋ 3x＝ 10＝ 5x＝ 10。
这是把算术中的等号用法搬到代数里来， 把&＝&看成一个指示你去做运算的记号（ 6－ 3＋ 1＝ 3＋ 1＝ 4）。皮亚杰的心理学研究结果表明， 9-12岁的儿童已经有守恒意识和逆向思维能力。方程的建立，借助守恒思想得到等式关系，而在求解建议方程时，借助逆向运算得到方程的解。现在，小学 5-6年级能够理解简易方程的建立及其求解过程，已经被全世界的数学教学所证实。
上面我们已经提到初中阶段 的方程学习一是要体会方程建模的思想，二是学会解方程。初中数学方程的常见解法有：换元法、因式分解法、图像法。
五、如何理解等式与方程的关系？
在中学教学中，建立方程是借助等式作为其上位概念来完成的。
方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等。而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以使一种随机的相等。
在方程课程设计时，可以以一个问题（如&鸡兔同笼&问题）为主线，将一元一次方程、二元一次方程组等内容统一编排，一气呵成。&鸡兔同笼&问题用算术能解，用一元一次方程、二元一次方程组也能解。在这里，方法越简单，思考越复杂，相比之下，用四则运算解此题最复杂；列二元一次方程思考简单，但解方程时却复杂；而一元一次方程则是比较中庸的思想，既不是很复杂，也很好计算。
在方程一开始的教学设计时，就该让学生接触非常现实的问题，学习把日常生活中的语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决方程问题。这种数学思维的训练，对于学生以后的学习、生活都是至关重要的。
总之，等式和方程是初中数学课程的重要内容，是教学的重点也是难点，只有充分理解了二者的核心思想和本质关系才能更好地实施教学。方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，但是，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等。而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以是随机的相等。因此，初中数学教学中方程的教学设计，从一开始就应该让学生接触非常现实的问题，学习把日常生活中的语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决方程问题。这是一种思维的训练，对于学生进一步学习其他数学内容是至关重要的。
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解方程的实质是什么？
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含有未知数的等式叫方程。
等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。则：
(1)a+c＝b+c
(2)a-c＝b-c
等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。
(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
【方程的一些概念】
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的依据：1.移项； 2.等式的基本性质； 3.合并同类项； 4. 加减乘除各部分间的关系。
解方程的步骤：1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果
例如： 3x=5*6
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若不等式10（x+4）+x＜62的正整数解是方程2（a+x）-3x=a+1的解，求a2-1a2的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
解不等式10（x+4）+x＜62的解集是x＜2，所以不等式的正整数解是x=1，把x=1代入方程2（a+x）-3x=a+1得2（a+1）-3=a+1解得a=2，则a2-1a2=4-14=154．
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据魔方格专家权威分析，试题“若不等式10（x+4）+x＜62的正整数解是方程2（a+x）-3x=a+1的解，求a2-..”主要考查你对&&一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
一元一次不等式的解法一元一次方程的解法
一元一次不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如﹕不等式x-5≤-1的解集为x≤4；不等式x﹥0的解集是所有正实数。求不等式解集的过程叫做解不等式。将不等式化为ax&b的形式(1)若a&0，则解集为x&b/a(2)若a&0，则解集为x&b/a
一元一次不等式的特殊解：不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求正数解、整数解、最大整数解等，解答这类问题关键是明确解的特征。 不等式的解与解集：不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2&1的解①不等式的解是指某一范围内的某个数，用它来代替不等式中的未知数，不等式成立。②要判断某个未知数的值是不是不等式的解，可直接将该值代入等式的左、右两边，看不等式是否成立，若成立，则是；否则不是。③一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于3的数都是x&3的解，但也存在特殊情况，如|x|≦0，就只有一个解，为x=0不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。①不等式的解集一般是一个取值范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解，不等式一般有无数个解。②不等式的解集包含两方面的意思：解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；解集外的任何一个数值，都不能使不等式成立。（即不等式不成立）③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如不等式x-1&2的解集是x&3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点。一元一次不等式的解法：解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似，只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时，要改变不等式的符号。有两种解题思路：（1）可以利用不等式的基本性质，设法将未知数保留在不等式的一边，其他项在另一边；（2）采用解一元一次方程的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。&解一元一次不等式的一般顺序： （1）去分母 （运用不等式性质2、3） 　　（2）去括号 　　（3）移项 （运用不等式性质1） 　　（4）合并同类项。 　　（5）将未知数的系数化为1 （运用不等式性质2、3） 　　（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集&不等式解集的表示方法： （1） 用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来。例如：x-1≤2的解集是x≤3。 　　（2） 用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解。用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解一元一次方程的注意事项： 1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数； 2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号； 3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号； 4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项； 5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号； 6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法； 7、分、小数运算时不能嫌麻烦； 8、不要跳步，一步步仔细算 。解一元一次方程的步骤： 一般解法：⒈去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）； 依据：等式的性质2 ⒉ 去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据 乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号） 依据：乘法分配律 ⒊ 移项：把方程中含有 未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边） 依据：等式的性质1 ⒋ 合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式； 依据：乘法分配律（逆用乘法分配律） ⒌ 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 依据：等式的性质2
方程的同解原理 ：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。　
做一元一次方程应用题的重要方法： ⒈认真 审题（审题）　 ⒉分析已知和未知量　 ⒊找一个合适的 等量关系　 ⒋设一个恰当的未知数 　 ⒌列出合理的方程 （列式）　 ⒍解出方程（解题） 　 ⒎ 检验　 ⒏写出答案（作答）
例：ax=b（a、b为常数）? 解：当a≠0，b=0时， ax=0 x=0(此种情况与下一种一样) 当a≠0时，x=b/a。 当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程） 当a=0，b≠0时，方程无解（此种情况也不属于一元一次方程） 例： （3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5
去分母（方程两边同乘各分母的最小 公倍数）得： 5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3) 去括号得： 15x+5-20=3x-2-4x-6 移项得： 15x-3x+4x=-2-6-5+20 合并同类项得： 16x=7 系数化为1得： x=7/16。
注：字母公式（等式的性质） a=b a+c=b+c a-c=b-c （等式的性质1） a=b ac=bc a=bc(c≠0)= a÷c=b÷c（等式的性质2） 检验 算出后需检验的。 求根公式 由于一元一次方程是 基本方程，教科书上的解法只有上述的方法。 但对于标准形式下的一元一次方程 ax+b=0 可得出求根公式x=-(b/a)
发现相似题
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最小整数解是-2
4a-a分之14＝28/21＝4/3解方程_百度百科
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使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求的过程叫做解方程。必须含有未知数等式的等式才叫方程。解。求方程的解的过程叫做解方程。必须含有未知数等式的等式才叫方程。等式不一定是方程，方程一定是等式。解&&&&释求的过程含有的未知数的值代入原方程注意事项写“解”字，等号对齐，
⒈含有的叫，也可以说是含有未知数的等式是方程。
⒉使等式成立的未知数的值，称为方程的解，或方程的根。
⒊解方程就是求出方程中所有未知数的值的过程。
⒋方程一定是等式，等式不一定是方程。不含未知数的等式不是方程。
⒌验证：一般解方程之后，需要进行验证。验证就是将解得的未知数的值代入原方程，看看方程两边是否相等。如果相等，那么所求得的值就是方程的解。
⒍注意事项：写“解”字，等号对齐，检验。
⒎方程依靠等式各部分的关系，和加减乘除各部分的关系（加数+加数=和，和-其中一个加数=另一个加数，差+减数=被减数，被减数-减数=差，被减数-差=减数，因数×因数=积，积÷一个因数=另一个因数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数，商×除数=被除数）⒈：刚学解方程时的入门方法。直接估计方程的解，然后代入原方程验证。
⒉应用等式的性质进行解方程。
⒊合并同类项：使方程变形为
⒋：将含未知数的项移到左边，移到右边
例如：3+x=18
解： x =18-3
⒌：运用去括号法则，将方程中的括号去掉。
4x+2（79-x）=192 解： 4x+158-2x=192
4x-2x+158=192
2x+158=192
2x=192-158
6.公式法：有一些方程，已经研究出解的一般形式，成为固定的公式，可以直接利用公式。可解的多元高次的方程一般都有公式可循。
7.函数图像法：利用方程的解为两个以上关联函数图像的交点的几何意义求解。
方程是正向思维。⑴有分母先
⑵有括号就
⑶需要就进行移项
⑷合并同类项
⑸系数化为1求得未知数的值
⑹ 开头要写“解”
——————————
4x+2（79-x）=192
4x+158-2x=192
4x-2x+158=192
2x+158=192
2x=192-158
——————————
πr=6.28（只取π小数点后两位）
解这道题首先要知道π等于几，π=3.141592……，只取3.14，
解： 3.14r=6.28
r=6.28/3.14=2
不过，x不一定放在方程左边，或一个方程式子里有两个x，这样就要用数学中的简便计算方法去解决它了。有些式子右边有x，为了简便算，可以调换位置。一元二次方程
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：　1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、分解因式法。
⒈直接开平方法：　直接开法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m)^2=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m .
例1．解方程⑴（x-2）^2 =9⑵9x^2-24x+16=11
分析：⑴此方程显然用直接开平方法好做，⑵方程左边是完全平方式（3x-4）^2，右边=11&0，所以此方程也可用直接开平方法解。
⑴解：(x-2）^2=9 　∴x-2=±√9 　∴x-2=±3 　∴x1=3+2 x2=-3+2 　∴x1=5 x2= -1
⑵解：9x^2;-24x+16=11 　∴（3x-4）^2=11 　∴3x-4=±√11 　∴x=﹙ 4±√11﹚/3 　∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3,x2= ﹙4﹣√11﹚/3
2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c
将二次项系数化为1：x^2+（b/a）x = - c/a
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+(b/2a)^2= - c/a+(b/2a)^2
方程左边成为一个完全平方式：（x+b/2a)^2 = -c/a﹢﹙b/2a）^2;
当b^2-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚^2;
∴x=﹛﹣b±[√﹙b^2；﹣4ac﹚]﹜/2a（这就是求根公式）
例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：x^2-﹙4/3﹚x=2/3
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-﹙4/3﹚x+（4/6）^2=? +（4/6）^2
配方：（x-4/6）^2= +（4/6）^2
直接开平方得：x-4/6=± √[? +（4/6）^2 ]
∴x= 4/6± √[? +（4/6）^2 ]
∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚，x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2-4ac的值，当b^2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√（b^2-4ac)]/（2a),(b^2-4ac≥0）就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 　∴a=2,b=-8,c=5 　b^2-4ac=(-8）^2-4×2×5=64-40=24&0 　∴x=[(-b±√（b^2-4ac)]/（2a) 　∴原方程的解为x?=,x?= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做。
例4．用因式分解法解下列方程：
⑴ (x+3）（x-6）=-8 ⑵ 2x^2+3x=0 　⑶ 6x^2+5x-50=0 （选学） ⑷x2-2(+)x+4=0 （选学）
⑴解：（x+3）（x-6）=-8 化简整理得 　x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零） 　（x-5）（x+2）=0 （方程左边分解因式） 　∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程） 　∴x^1=5,x^2=-2是原方程的解。
⑵解：2x^2+3x=0 　x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式） 　∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程） 　∴x1=0，x2=-是原方程的解。　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
⑶解：6x^2+5x-50=0 　（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错） 　∴2x-5=0或3x+10=0 　∴x1=,x2=- 是原方程的解。
⑷解：x2-2(+)x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） 　（x-2）（x-2）=0 　∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结：　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的：元法，，）。
一元三次方程
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、及特殊的的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^（1/3）+B^（1/3）型，即为两个开立方之和。归纳出了的形式，下一步的工作就是求出里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
⑴将x=A^（1/3）+B^（1/3）两边同时立方可以得到
⑵x^3=(A+B)+3(AB)^（1/3）（A^（1/3）+B^（1/3））
⑶由于x=A^（1/3）+B^（1/3），所以⑵可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^（1/3）x，移项可得
⑷x^3－3(AB)^（1/3）x－（A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
⑸－3(AB）^（1/3）=p，－（A+B)=q，化简得
⑹A+B=－q，AB=-（p/3）^3
⑺这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而⑹则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
⑻y1+y2=－（b/a），y1*y2=c/a
⑼对比⑹和⑻，可令A=y1，B=y2，q=b/a，-（p/3）^3=c/a
⑽由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1=－（b+（b^2－4ac）^（1/2））/（2a)
y2=－（b－（b^2－4ac）^（1/2））/（2a)
⑾y1=－（b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^（1/2）
y2=－（b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^（1/2）
将⑼中的A=y1，B=y2，q=b/a，-（p/3）^3=c/a代入⑾可得
⑿A=－（q/2）-((q/2）^2+（p/3）^3）^（1/2）
B=－(q/2）+((q/2）^2+（p/3）^3）^（1/2）
⒀将A，B代入x=A^（1/3）+B^（1/3）得
⒁x=（－(q/2）-((q/2）^2+（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）+（－(q/2）+((q/2）^2+（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）
式 ⒁只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。
x^y就是x的y次方好复杂的说发现的一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，
3ab+p=0。这样上式就成为
两边各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p3 = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
一元四次方程
发现的一元的解法和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程
一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的：
x4=px2+qx+r
关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数
（x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即
q2 = 4(p+2a)(r+a2）
这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以
解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x
的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。
最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的解法（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算），这称为阿贝耳定理。
⒈根据问题变
⒉围绕未知数，寻找问题中的
⒊利用等量关系列方程
⒋解方程，并作答
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