我们的&低频数字式相位测量仪
摘要：本设计以MSP430F247为核心，利用430的高速硬件捕获功能，辅以必要的外围电路（包括相位测量电路、移相网络电路、数字式移相信号发生电路和电源模块电路），实现了频率和相位的精确测量。在设计中，数字式移相信号发生电路主要由430的比较模块和DAC0832构成，通过调用ROM中的数组来控制信号的频率和幅值。输出的两路信号经LM324缓冲和LM339比较后变成方波，再经过分压（+5V&&
+3.3V）送给&
MSP430的捕获单元，经MCU处理后控制液晶显示。模拟移相部分主要由LF353构成，相位和幅值的调节分别由拨码开关和电位器控制。经测试，系统整体性能良好，各模块的指标均达到设计要求。
方案比较与论证
1.相位测量部分
方案一：传统的模拟法。该方案采用倍频、计数、门控等电路。此方法难以实现大频率范围的相位测量，精度低、稳定性差。
方案二：采用双通道高速A/D对输入的信号进行采集，然后利用FFT和基波矢量分解的方法计算出这两个信号的基频和相位。该方案精度高，算法简单，对畸变波形有一定的处理能力。但要求在AD采集前作频率测量，在信号频率较高时，需要使用超高速AD转换器和较强的计算能力，一般需要使用DSP进行信号处理。硬件复杂，难度较高。
方案三：整形鉴相法。将输入的两相位不同的正弦波通过比较器进行整形，变成方波，再利用MSP430的多路高速且有缓冲存储能力的俘获单元，准确记录方波信号跳变时间，进而计算出被测信号的频率和相位。此方案硬件比方案一和方案二都简单，而且测量精度高，功耗低，体积小。故选择此方案。
2.模拟移相部分
采用常见的模拟器件电阻，电位器，电容和运放的组合电路实现移相。直接对模拟信号进行移相，如阻容移相，变压器移相等，早期的移相通常采用这种方式。采用这种方式制造的移相器有许多不足之处，如：输出波形受输入波形的影响，移相操作不方便，移相角度随所接负载和时间等因素的影响而产生漂移等。该方案由于使用模拟器件，因此精度不是很高，硬件系统也比较复杂。
基于题目的要求，我们采用阻容移相的方案，在已知输入信号频率的前提下，通过拨码开关选择电容以满足相移-45度—+45度的要求；通过调节电位器产生题目所要求的信号幅值。
3.数字式移相信号的产生部分
方案一：采用硬件直接数字频率合成（DDFS）技术产生数字信号。直接频率合成方法具有频率转换时间短、近载频相位噪声性能好、精度高，产生的信号频率范围宽等优点，但由于需要采用地址，相位计算，访问存储器操作等环节，导致直接频率合成器结构复杂、体积庞大、成本高，功耗大。而且即使使用大规模的PLD，也需要单片机来实现键盘、显示的控制等工作。
方案二：采用430的比较模块产生数字信号，通过滤波或锁相等环节输出正弦信号。该方案对单片机要求低，虽然模拟部分会产生较大相移，但是两路信号经过了相同的模拟网络，其相对相移差近似为零。故能达到设计要求并保证输出的相位精度。
理论分析与计算
1、数字式相位测量仪的设计
数字式相位测量仪的设计框图如图1－1所示。以高性能单片机MSP430F247为核心，两路输入信号分别通过跟随器（提高系统输入阻抗），然后经过LM339比较器进行整形，输入到单片机的捕获端。通过单片机判断两通道的输入信号的上升沿，从而计算出两信号的相位差。&
1.1器件的选择与计算：
要使LM339比较器输出稳定，则要求其输入阻抗小于20K，而本题目要求系统输入阻抗大于100K，因此，在输入端我们使用一片LM324作为信号的输入缓冲，从而提高了系统的输入阻抗。为了减少噪声的影响，在输入端我们使用200K的电阻接地。缓冲电路见附图1。
LM339比较器比较容易受干扰，因此，在电源部分使用鉭电容，将未用输入端接固定电平，以保证LM339的稳定性。
LM339的输出为OC结构，使用时要接上拉电阻和分压电阻，使输出电平符合单片机要求。LM339输出电路见附图2。
如果使用施密特触发器可以使比较信号更稳定。但这样影响相位的测量，因此本方案采用直接比较法，在软件中消除零点及噪声的干扰。通过捕获处理两通道的方波，就可计算出频率和相位。其原理如图1－2所示
图1－2& 相位计算示意图
计算公式为：
根据题目要求在20KHz时，应保证2度的精度。可计算出单片机的计时分辨精度为： Hz
当单片机的计时分辨精度优于3.6MHz时，才能保证题目要求的精度。我们的430F247使用的16MHz晶振，足以保证精度的要求。
以上是本方案的基本原理，实际使用中采用噪声消除和零点平移修正来减少系统误差。
1.2误差分析：
此方案中采用计时和鉴相处理。其中计时部分使用单片机系统时钟。此时钟来自于晶振，其误差很小可以忽略。鉴相部分精度取决于从信号输入端到单片机捕获端通过的跟随器、电压比较器所产生的相位差和时间滞后。本方案使用了直流耦合，使得由跟随器产生的相移误差几乎为零。而两通道的电压比较器的时间滞后相同，为130ns。此外，本设计中使用单片集成的运放和比较器，一致性好，不会对测量结果产生影响。
由于输入信号和运放、比较器固有特性都可能产生零点偏移，使比较器的输出不平衡，会对测量的精度造成一定的影响。
2、模拟移相部分
此部分我们按照题目要求设计、安装并测试了移相网络。
移相网络的实现电路如图2－1所示：
图2－1& 移相网络硬件实现电路
移相网络中各元件参数的选择：
设电源的电压为 ，则由电路图2－1可得：
（k为变阻器得分阻系数，满足 ）（3）
&&&&&&&&&&&&&&
由式 （1），（2），（3），（4）可得：
由（5）式可知：U4与U的相位差为：
由题目要求相移范围在 ～+ 可得：
＝ && 即：
(7)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由此可知，当频率f一定时，RC的乘积为定值。例如：
f=100Hz时，Rc=1/(2*3.)= ,只要确定一个参数的值，则另一个参数也可确定。
题目要求有三个频率点，考虑在每个频率点上，系统都应有较大的电阻，再综合考虑实际器件的数值，我们可选择如下的参数：
在频率f=100Hz时，取R1=R2=1.6koh,c=1uF;
在频率f=1KHz时， 取R1=R2=1.6koh,c=0.1uF;
在频率f=10KHz时，取R1=R2=1.6koh,c=0.01uF;
3、数字式移相信号发生器的设计
首先制作正弦数据表和信号幅值表并将其存储在430的ROM中，由信号幅值计算单元以恒定的速度进行相位累加计算，计算出当前时刻的输出正弦信号的相位，然后用此相位在ROM中查得应送往DAC的数值。
数模转换及低通滤波器：DAC将数字量形式的波形幅值转换成所要求合成频率的模拟量形式信号，低通滤波器用于滤除不需要的取样分量，以便输出特定频率段及平滑的正弦波信号。按照Nyquist准则，最高输出频率可达0.5fc。但考虑到实际低通滤波器性能的限制，实际最高输出频率一般取为0.4fc。
电路设计与程序设计
1.电路设计
系统硬件连接图如图3-1所示：
相位测量电路
MSP430F247
模拟移相网络
图3－1& 系统硬件框图
2.程序设计
系统的软件流程图如图3-2所示：
系统初始化
设置timerA,timerb
通道1：开timerA
通道2：开timerB
四、系统测试及分析
1、测试环境
时间：日（星期三）&&&&&&
温度：32℃
地点：长江大学东校区主教602室
2、测试仪器
直流稳压电源 SS3323 输出电压+5，-5V伏
信号发生器 TFG3150 DDS函数信号发生器输出正弦信号
示波器 TDS1002& 60M数字示波器，测量电压和计算相位差
数字万用表 UT58A
3、测试方法
在电路设计安装完成，软件调试完成后对设计结果进行总体调试，测试工作包括两部分：
1 正弦信号峰值测试 &调节电位器，观察输出信号的极值，测量结果见数据表1
2移相网络测试
&&通过拨码开关选择频率，调节电位器使使其输出不同幅值的信号。测量结果见数据表2
4、测试数据
表1& 幅度测量
输出电压值
表2& 移相网络输出电压及相位测试数据
相位差最大值
相位差最小值
5、结果及误差分析
从测试表1可以看出：输出信号电压范围可以达到4.83V;从测试表2可以看出：移相网络输出信号峰峰值可在0.2V-5.0V变化，相位测量绝对误差小于2度。设计制作结果达到预期目的。
测量误差产生的原因：1运放、比较器的零点漂移，2电阻电容参数的差异性使得相移不完全对称，3测周法计数的随机误差
&经过几天的努力，设计并制作了低频数字相位测量仪，测量精度和测量范围均达到了设计要求，在设计制作过程中较深入的了解了相位检测的原理和特性。了解了MPS430系列单片机的特点和基本开发过程。在调试过程中也发现和解决了很多问题，如普通运放零点漂移对相位测量的影响，由于运放的零点漂移，使比较器的输出不平衡。
为了进一步提高测量精度，数字式移相信号发生器可以采用FPGA，利用其快速性和外部扩展的大容量ROM存储更多的数组，能产生更精确的正弦信号。由于时间关系，在本次设计竞赛中只进行了简单处理，指标已达到设计要求。
附图1 缓冲电路
附图2 LM339输出电路
附图3 相位测量电路
附图4 电源模块
程序1 &定时中断子程序
#pragma vector=TIMERA1_VECTOR
__interrupt void Timer_A(void)
switch(TAIV)
&&&&&&&str1[temp1]
= TACCR1;&& // 保存计数值
&&&&&&&TBCCTL1
CCIE;&&&&&&
// 开定时器B中断
if(temp1==2)&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&
flag1=1;&&&&&&&&&
&// 置位捕获标志1
&&&&&&&&&&
&&&&&_BIC_SR_IRQ(LPM0_bits);&
// Clear LPM0
//定时器B溢出中断
#pragma vector=TIMERB1_VECTOR
__interrupt void Timer_B(void)
& switch( TBIV )
{&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
str2[temp2] = TBCCR1; &&//
保存计数值&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
TBCCTL1 &=
~CCIE;&&&&&&
// 关定时器B中断
&&&&&&&&&&&
_BIC_SR_IRQ(LPM0_bits); &// Clear LPM0
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
// CCR1 not used
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
// CCR2 not used
&& case 14:
程序2&& 捕获模块初始化
void Init_cap(void)
//捕获A1初始化
|=0x04;&&& //
选择P1.2作为捕获A1的输入端子
&= ~0x04;&& //
设为输入模式
&&& TACCTL1
|= CM1+SCS+CCIS_0+CAP+CCIE;&
上升沿触发，同步模式，使能中断
TACTL&& |=
TASSEL_2+ID_1+MC1+TAIE+TACLR;& //
选择16M－SMCLK时钟，2分频 8M
&//捕获B1初始化&&
|=0x02;&&& //
选择P1.3作为捕获A2的输入端子
&= ~0x02;&& //
设为输入模式&
&&& TBCCTL1
CM1+SCS+CCIS_0+CAP+CCIE;&&&&&&&
// 上升沿触发，同步模式，使能中断
TBCTL&& |=
TBSSEL_2+ID_1+MC1+TBIE+TBCLR;& //
选择16M－SMCLK时钟，2分频
}&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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基于FFT的正弦信号频率估算新方法24
大理学院学报；JOURNALOFDALIUNIVERSITY；第8卷第8期2009年8月Vol.8；No.8Aug.2009；基于FFT的正弦信号频率估算新方法；（大理学院物理与电子信息学院，云南大理67100；［摘要］介绍一种新的基于FFT的正弦信号频率估计；［关键词］FFT；频率估计；DFT系数；插值算法；［中图分类号］TN911.7［文献标识码］A［文
大理学院学报JOURNALOFDALIUNIVERSITY第8卷第8期2009年8月Vol.8No.8Aug.2009基于FFT的正弦信号频率估算新方法张松（大理学院物理与电子信息学院，云南大理671003）［摘要］介绍一种新的基于FFT的正弦信号频率估计的插值方法。该方法利用了DFT最大值谱线及与其相邻在本方法中不需要判断第二两根谱线系数的实部（或虚部）进行插值得到频率估计值。与传统的算法不同，大峰值谱线的位置，避免了找该谱线时可能会出错，从而使频率估算值出错的问题。另外，插值时算法中先对几根谱线DFT系数的实部和虚部的大小进行比较，实部大于虚部时用利用实部进行插值，反过来则利用虚部进行插值，从而减少了噪声的影响并提高了估算精度。数值模拟结果表明利用该方法可以得到良好的插值效果，能取得很小的频率估算偏差。［关键词］FFT；频率估计；DFT系数；插值算法；估算偏差.［中图分类号］TN911.7［文献标识码］A［文章编号］（6-04ANewFFTBasedAlgorithmforSinusoidFrequencyEstimationZhangSong（CollegeofPhysicsandElectronicInformation,DaliUniversity,Dali,Yunnan671003,China）〔Abstract〕AnewinterpolationalgorithmforsinusoidfrequencyestimationbasedonFFTisdevelopedinthispaper.Realparts(orimaginaryparts)ofDFTcoefficientsofthemaximumanditstwoneighboringspectralpeaksareusedfortheinterpolationinthealgo－rithmtoacquiretheestimationfrequency.Contrasttothetraditionalapproaches,itdoesnotneedtoknowthepositionofthesecontherefore,thepossibilityofincorrectestimationbecauseofmissedlocationisavoidedwhenthepositionissearched.Inaddition,therealpartsandimaginarypartsoftheDFTcoefficientsarecomparedbeforetheinterpolationandrealpartsarechosenfortheinterpolationwhentheyarelargerthantheimaginaryparts,andviceversa.Asaresult,theaffectionofnoiseones－timationisreducedandthustheestimationaccuracyisimproved.Themathematicsimulationresultindicatesthatthealgorithmholdsagoodinterpolationeffectwithwhichaverysmallmeanestimationerrorcanbeachieved.〔Keywords〕FFT;DFTinestimationerror.对淹没在噪声中的正弦信号频率进行估计是通信、雷达、振动、声纳以及其它电子测试测量技术等领域中经常遇到和需要解决的问题。利用Music算〔1〕法、AR模型算法以及最大似然估计算法（MLE）时处理。虽说Kay〔2〕、Fitz〔3〕、Luise〔4〕和Brown〔5〕等提出的时域相位的线性预测频率估计法的计算量要小得多，但存在着对信噪比性能要求高、频率估计性能不一致、估计范围有限和相位解绕模糊等问题〔6〕。而基于DFT的谱分析方法，具有运算速度快（采用FFT）、对正弦信号具有显著的信噪比增益和等现代谱估计的方法，可以对正弦信号频率进行精确估计，但是由于算法复杂，计算量大，难以实现实［收稿日期］［作者简介］张松（1968-），男，云南大理人，讲师，主要从事电子信息技术研究.36第8卷具有算法参数不敏感等优点，是一个综合性能最佳的方法，因此得到了广泛的应用。但是由于存在栅栏效应，当采样序列频率不是DFT频率分辨率的整数倍时，正弦信号频谱发生泄漏，即使无噪声影响，信号真实频率仍落于主瓣内两根离散FFT谱线之间，导致频率估计无法满足精度要求，因此各种插值策略应运而生，用以提高估算精度。这些插值方法包括〔7〕根据式（4）可以得到km谱线幅值为：asinδπS（km）=Neπδ2〔jφ0+N-1Nπδ〕（5）k=0，1，2，…，N/2-1紧邻km的两条谱线（km+1和km-1处）幅值近似为：asin（δπ）S（km+1）=Ne2π（δ-1）k=0，1，2，…，N/2-1asin（δπ）S（km-1）=Ne2π（δ+1）k=0，1，2，…，N/2-1根据式（5）（6）和（7）可以推导得到以下两式：δ=〔S（km+1）-S（km-1）〕RERE〔2S（km）-S（km-1）-S（km+1）〕IM〔S（km+1）-S（km-1）〕IM〔2S（km）-S（km-1）-S（km+1）〕（8）〔jφ0+N-1Nπδ〕〔jφ0+N-1Nπδ〕有双线极值拟合法、二次频率内插、对称（6）频率内插法、单线相位法〔8〕和双线幅度Rife法〔9〕等，有关这些方法的细节可以在相关的文献中找并与大家熟到。本文主要介绍一种新的插值方法，知的双线幅度Rife法进行比较，其具有方法简单，频率估算精度高和信噪比性能好等特点。（7）1正弦波信号的DFT系数假设正弦信号为：s（t）=acos（2πf0t+φ0）（1）其中a，f0，φ0分别是振幅、频率和初始相位。以采（t）进行采样得到采样点数为N序列s（n）。样频率fs对ss（n）的N点离散时间信号的傅立叶变换（DFT）记为S（k），鉴于实序列DFT的对称性，忽略频谱的负频率成分，即只考虑离散频谱的前N/2点，有：S（k）=ajφee2 k=0，1，2，…，N/2-1δ=（9）k=0，1，2，…，N/2-1从式（4）、（5）和（6）中可以看到S（km）、S（km+1）和S（km-1）实部和虚部的大小与角度φ0+（N-1/N）πδ相关联，当cos〔φ0+（N-1/N）πδ〕比sin〔φ0+（N-1/N）πδ〕小时，实部会比虚部小。为了减少噪声的影响，当实部比较大时，δ将由式（8）给定，否则由式（9）给定。下面给出δ的计算方法：①求序列s（n）的FFT，得到序列S（k）；②找到S（k）中取最大值序号值km；③如果Re〔S（km）〕&Im〔S（km）〕时，根据式（8）计算得到δ，否则根据式（9）计算得到δ。-jπN-1k-f0T）Nsinπ（k-f0T）sin〔n（k-f0T）/N〕（2）k=0，1，2，…，N/2-1式中T=N/fs为采样时长度。假设km是对应于序列S（k）取得最大值时的序号值，那么，式（2）中f0T可表示为km+δ，δ∈〔-0.5，0.5〕，因而有：S（k）=ajφee2 N-1-jπk-km-δ）Nsinπ（k-km-δ）sin〔n（k-km-δ）/N〕（3）3仿真结果以下给出新方法和Rife方法的计算机仿真结果k=0，1，2，…，N/2-1当N取较大时，式（3）可表示为如下：S（k）=ajφNee2 并且进行了比较。（4）设实际信号为：s（t）=acos（2πf0t+φ0）+（rt）r（t）是均值为零，方差为σ2的白高斯噪声过过程，信噪比为a2/2σ2。在仿真中，信号幅度在1～6V范围内随机均匀取定，初相位服从0～2π上的均匀分布，信号频率在N-1-jπk-km-δ）Nsinπ（k-km-δ）n（k-km-δ）k=0，1，2，…，N/2-1式（4）为一般情况下正弦波信号的DFT系数表达式。2新插值方法的推导372.5MHz左右，表示为f0=2.5+δΔf，其中Δf为频率分辨这里取：fs=率，由采样率fs和采样长度N共同决定，N=256；为观察δ全部可能取值时各正弦信10MHz，号频率估计器的性能，这里将δ在〔-0.5，0.5〕区间上的取值均匀分成10等份；另外，为了得到不同信噪）在-15dB与45dB之比下的插值效果，信噪比（SNR间取值，每格3dB为一取值点，共有21个点。在不同的δ和SNR的取值下运行1000次Monte-Carlo仿真。表1中给出了信噪比为6dB，δ在不同取值的情况下新估计器和Rife频率估计的平均值，均方误差Rife和频率估计偏差。可以看到在｜δ｜比较小的时候，估计器的均方误差和频率估计偏差都比较大。相对来说随着δ变化，新的插值方法的均方误差和频率估计偏差的变化都不是很大。进一步观察表中数据，为可发现新估计器均方误差最大值在δ取0.5时，1.623K，Rife估计器的均方误差最大值是4.184kHz（δ=0.1），大约为新估计器均方误差最大值的2.5倍。新估计器估计的频率估计偏差最大值为0.061kHz（δ=0.3），可以计算得到其对应的平均估计误差为0.0024%，Rife估计器的估计频率估计偏差最大值为-2.424kHz（δ=0.1），对应的平均估计误差是0.097%，是新估计器40倍左右。很明显新估计器总体性能要比Rife估计器好得多。表1SNR=6dB时，新插值方法和Rife插值方法性能的比较为9.765625kHz来计算，可以得到新估计器估计的）是粗估值平均平均误差在最差的情况下（0.061kHz误差的0.6%左右。相应地Rife估计器的平均误差在最差的情况下（-2.424kHz）是粗估值平均误差的25%左右。可见新估计器频率平均估计值精度比DFT粗估计的精度高出很多，约为160倍左右。而Rife估计器频率平均估计值精度却只有DFT粗估计的精度的4倍左右。接下来，进一步了解新估计器的信噪比性能。为了简单起见，这里只观察均方误差分别取最大的从表1可以知情况下新估计器和Rife估计器的性能。道，δ取0.5时，新估计器均方误差最大，此时频率被估计值为2.519531MHz；而Rife估计器均方误差最δ=0.1，对应的被估频率值为2.503906MHz。图大时，1和2中分别给出了以上情况下频率估计值及估计图2中粗估限指的DFT方差随信噪比变化情况曲线。进行粗估计时均方误差。DFT进行粗估值均方误差Δf/2姨，由此可知图2中粗估限为5.638352KHz。从图1中可以看到，新估计器频率估计偏差性信噪比在为-3dB以上时，新能明显优于Rife估计器。估计器估算偏差都比较小，而Rife估计器的估算偏从图2中可以看到，差在18dB时便开始下降。另外，如果以粗估限门限标准，新估计器门限标准要低，而Rife估计器的门限标准约-1dB。约为-4dB，%图1频率估计值随信噪比变化情况图注：表中f0为被估频率值，f估计频率平均值，σ为均方误差，f-f0为频率偏差如果以DFT进行粗估值的平均误差是Δf/4，即38第8卷在不同δ取值和不同信差误差性能要比Rife方法好，噪比下表现出更好的一致性，而且新方法的信噪比门限要比Rife方法低。特别值得提到的是在信噪比为-3dB以上时，新方法的频率估计平均偏差都非常的小，也即平均估计值与真实值非常接近，约比DFT粗估计值平均偏差小两个数量级，因而拥有很好的插值效果。［参考文献］图2估计方差随信噪比变化情况图〔1〕RifeDC，BoorstynRR.Singletoneparameterestimation〔J〕..Theory，fromdiscretetimeobservation）：591-598.〔2〕KayS.Afastandaccuratesinglefrequencyestimator〔J〕.IEEETrans.onAcoust.，Speech，SignalProcess，）：.〔3〕FitzMP.Furtherresultsinthefastestimationofasinglefrequency〔J〕.IEEETrans.onCommun，）：862-864.〔4〕LUISEM，REGIANNINIR.Carrierfrequencyrecoveryin〔J〕.IEEEalldigitalmodemsforburstmodetransmissionsTransonCommun，/3/4）：.〔5〕BrownT，WangMM.Aniterativealgorithmforsingle-frequencyestimation〔J〕.IEEETrans.onSignalProcessing，）：.〔6〕黄玉春，黄载禄，黄本雄，等.基于FFT滑动平均极大似然法的正弦信号频率估计〔J〕.电子与信息学报，.〔7〕张昌菊，唐斌.单频信号快速频率估计算法比较及改进〔J〕.电讯技术，）：72-76.〔8〕刘渝.快速高精度正弦波频率估计综合算法〔J〕.电子学）：126-128.报，〔9〕RifeDC，VincentGA.UseofthediscreteFouriertransforminthemeasurementoffrequenciesandlevelsoftones〔J〕.Bell.Sys.Tech.J，）：197-228.需要指出的是在信噪比为24dB左右以上时Rife估计器的方差误差要小于新估计器，表2中表现为更接近于CRB限，为了进一步了解信噪比大时Rife估计器频率估计偏差是不是要比新估计器好，表2中给出了信噪比为45dB情况下两种估计器的频率估算值和估算偏差。从表中可以看到这种情况下新估计器平均估计偏差还是要比Rife估计器小很多，至于为什么会出现这种情况有待于进一步的研究。表2SNR=45dB时，新插值方法和Rife插值的频率估算值和偏差的比较（责任编辑董杰）4结论给出一种新的FFT的比值插值算法，通过数值访真并与Rife插值算法进行比较，发现新方法的方39包含各类专业文献、文学作品欣赏、专业论文、生活休闲娱乐、高等教育、各类资格考试、基于FFT的正弦信号频率估算新方法24等内容。
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